關於廣義對稱權方和不等式
蘇化明 · 潘 杰
摘要: 對文獻 [1] 中的廣義對稱權方和不等式進行了深入討論。
關鍵詞: 廣義對稱權方和不等式, 加權冪平均不等式, Radon 不等式, Archbold 不 等式。
「數學傳播」 季刊第 31 卷第 1 期 (民國 96 年 3 月) “一個不等式的誕生”[1] 一文從實際 生活中的一個最優化問題經過不斷推廣, 最後得到如下廣義對稱權方和不等式:
若 ai, bi ∈ R+ (i = 1, 2, . . . , n) (n ≥ 2), ρ, λ ∈ R, 當 λ
ρ ∈ (1, +∞) ∪ (−∞, 0) 時, 則
n
X
i=1
aibλi ≥
n X
i=1
bρi
λρ n X
i=1
a
ρ ρ−λ
i
ρ−λρ
, (1)
等號成立 ⇔ a1bλ−ρ1 = a2bλ−ρ2 = · · · = anbλ−ρn ; 當 0 < λ
ρ <1 時, 則
n
X
i=1
aibλi ≤
n
X
i=1
bρi
λρ n
X
i=1
a
ρ ρ−λ
i
ρ−λρ
, (2)
等號成立 ⇔ a1bλ−ρ1 = a2bλ−ρ2 = · · · = anbλ−ρn 。
從數學教學的角度來看, “一個不等式的誕生” 應該是一篇具有創見性的好論文, 因為該文 闡述了一個數學問題發現的全過程, 可以啟發大家如何由此及彼、 由表及裡、 由特殊到一般地進 行思考問題, 如何利用已有問題去進一步探索新問題、 尋求新結論。 但從科學研究的角度來看, 該文所得到的廣義對稱權方和不等式並不是新的結論, 而是著名的加權冪平均不等式的一個推 論。 本文就此問題展開討論。
76
首先介紹
定理A: 設 ai >0, pi >0 (i = 1, 2, . . . , n), r、 s 為實數且 r < s, 則
n
X
i=1
piari
n
X
i=1
pi
1 r
≤
n
X
i=1
piasi
n
X
i=1
pi
1 s
, (3)
其中等號成立若且唯若 a1 = a2 = · · · = an。
不等式 (3) 即著名的加權冪平均不等式, 它的證明可見 [2] 、 [3] 、 [4]。
由定理 A 可得
定理A′: 設 ai >0, pi >0, qi >0 (i = 1, 2, . . . , n), r、 s 為實數且 r < s, 則
n
X
i=1
piari
n
X
i=1
(psiqi−r)s−r1
1 r
≤
n
X
i=1
qiasi
n
X
i=1
(piqi−r)s−r1
1 s
, (4)
其中等號成立若且唯若
a1
p1 q1
s−r1 = a2
p2 q2
s−r1 = · · · = an
pn qn
s−r1 .
證明: 設 qi > 0, 在不等式 (3) 中用 qi
pi
s−r1
ai 代替 ai, 用 p
s s−r
i q−
r s−r
i 代替 pi (i =
1, 2, . . . , n), 經整理即可得到不等式 (4)。
不等式 (4) 是由不等式 (3) 變形而得到的, 因而不等式 (3) 和 (4) 是等價的。 但由於不等 式 (4) 兩邊加權係數的不同, 因而可用其解一類非對稱變數的不等式問題。 作為不等式 (3) 或 (4) 的推論, 我們有
推論1: 設 pi >0, qi >0, ai >0 (i = 1, 2, . . . , n), 當 k > 1 或 k < 0 時, 有
n
X
i=1
qiaki ≥
n
X
i=1
piai
k n
X
i=1
pki qi
k−11 1−k
; (5)
當 0 < k < 1 時, 有
n
X
i=1
qiaki ≤
n X
i=1
piai
k n X
i=1
pki qi
k−11 1−k
, (6)
(5)、 (6) 兩式中等號成立若且唯若 a1
p1 q1
k−11 = a2
p2 q2
k−11 = · · · = an
pn qn
k−11 .
證明: 當 k > 1 時, 在 (4) 中取 s = k, r = 1, 整理後即得 (5); 當 k < 0 時, 在 (4) 中 取 s = 1, r = k, 整理後並互換 pi, qi 的位置, 即得 (5)。
類似方法可得 (6)。
若在 (5)、 (6) 中分別取 k = λ
ρ, pi = 1, 再用 ai, bρi 分別代替 (5)、 (6) 中的 qi 與 ai, 即 可得到 (1)、 (2)。 反之, 我們也可以由不等式 (1)、 (2) 得到不等式 (5)、 (6), 因而不等式 (1)、
(2) 和不等式 (5)、 (6) 是等價的。 同時我們也證明了不等式 (1)、 (2) 為定理 A′ 或定理 A 的 推論。
若在不等式 (5)、 (6) 中分別取 pi = 1, qi = b1−ki (bi >0, i = 1, 2, . . . , n), 可得 推論2: 設 ai >0, bi >0 (i = 1, 2, . . . , n), 則
當 k > 0 或, k < 0 時, 有
n
X
i=1
aki bk−1i ≥
n X
i=1
ai
k
n X
i=1
bi
k−1; (7)
當 0 < k < 1 時, 有
n
X
i=1
aki bk−1i ≤
n
X
i=1
ai
k
n X
i=1
bi
k−1, (8)
(7)、 (8) 兩式中等號成立若且唯若 a1
b1 = a2
b2 = · · · = an
bn
.
不等式 (7) 即著名的 Radon 不等式[5]。 在 (7) 中取 k = m + 1 (m 為自然數), 即得文 [1] 的推論 1 (權方和不等式)。
設 p > 0, q > 0, 1 p +1
q = 1, 在 (5)、 (6) 中分別取 k = 1
p, pi = 1, qi = A, ai = Bip (i = 1, 2, . . . , n), 可得
推論3: 設 Ai >0, Bi >0 (i = 1, 2, . . . , n), p > 0, q > 0 且 1 p+ 1
q = 1, 則當 p > 1 時, 有
n
X
i=1
AiBi ≤
n X
i=1
Api
p1 n X
i=1
Biq
1q
; (9)
當 0 < p < 1 時, 有
n
X
i=1
AiBi ≥
n
X
i=1
Api
p1 n
X
i=1
Biq
1q
, (10)
(9)、 (10) 兩式中等號成立若且唯若 Ap1 B1q = Ap2
B2q = · · · = Apn Bnq
. 不等式 (9)、 (10) 即著名的 H¨older 不等式。
下面我們進一步說明不等式 (5)、 (6) 的應用。
推論4: 設 ai > 0, λi > 0, pi > 0, qi > 0 (i = 1, 2, . . . , n) 且
n
P
i=1
piai = c, 則當 r≥ 1 且 k > 1 時有
n
X
i=1
qi
ari+λi
ari
k
≥ (
cr
n X
i=1
pi
1−r
+1 cr
n X
i=1
piλ
1 1+r
i
1+r)k
n X
i=1
pki qi
k−11 1−k
, (11)
其中等號成立若且唯若 λ1 = λ2 = · · · = λn, a1 = a2 = · · · = an 及 p1
q1 = p2
q2 = · · · = pn
qn
。 證明: 在不等式 (5) 中用 ari + λi
ari 代替 ai (i = 1, 2, . . . , n), 則有
n
X
i=1
qi
ari + λi
ai
k
≥
n
X
i=1
pi
ari + λi
ari
k n
X
i=1
pki qi
k−11 1−k
, (12)
在 (5) 式中取 qi = pi 可得
n
X
i=1
piari ≥
n
X
i=1
piai
r n
X
i=1
pi
1−r
, (13)
在 (5) 式中取 piλi = qi, k = −r 可得
n
X
i=1
piλi
ari ≥
n X
i=1
piai
−r n X
i=1
piλ
1 1+r
i
1+r
, (14)
由於 Pn
i=1
piai = c, 故由 (12), (13), (14) 知不等式 (11) 成立。
特別在 (11) 中取 pi = qi = λi = 1 (i = 1, 2, . . . , n), r = c = 1, 則當 k > 1, ai >0 (i = 1, 2, . . . , n) 且
n
P
i=1
ai = 1 時, 有
n
X
i=1
ai+ 1
ai
k
≥ (n2+ 1)k
nk−1 . (15)
推論5: 設 ai > 0 (i = 1, 2, . . . , n) 且
n
P
i=1
ai = A, p 為正常數, q 為非負常數, 則當 k >1 或 k < 0 時,
n
X
i=1
(pai+ q)k≥ n1−k(pA + nq)k; (16) 當 0 < k < 1 時,
n
X
i=1
(pai+ q)k≤ n1−k(pA + nq)k, (17) (16)、 (17) 兩式中等號成立若且唯若 a1 = a2 = · · · = an。
證明: 在 (5)、 (6) 兩式中令 pi = qi = 1 並用 pai+ q 代替 ai (i = 1, 2, . . . , n), 即得 (16)、 (17)。
推論6 (Archbold 不等式的推廣): 設 zi 為複數 (i = 1, 2, . . . , n), 而 αi 是滿足
n
P
i=1
α−1i = 1 的一組正數, 則當 k ≥ 2 時, 有
n2−k
n
X
i=1
zi
k
≤ n2−k
n X
i=1
|zi|
k
≤
n
X
i=1
αi|zi|k; (18) 當 k ≤ 0 時, 有
n2−k
n X
i=1
|zi|
k
≤
n
X
i=1
αi|zi|k. (19)
證明: 當 k ≥ 2 時, 在 (5) 中取 pi = 1, qi = αi, ai = |zi| (i = 1, 2, . . . , n), 則有
n
X
i=1
αi|zi|k ≥
n
X
i=1
|zi|
k n
X
i=1
1 αi
k−11 1−k
. (20)
當 k = 2 時, 由於 Pn
i=1
α−1i = 1, 故由 (20) 可得
n
X
i=1
αi|zi|2 ≥
n X
i=1
|zi|
2
≥
n
X
i=1
zi
2
, (21)
此即 Archbold 不等式 (可見 [5] 或 [6])。
特別當 n = 2, α1 = 1 + c, α2 = 1 + 1 c
1 α1 + 1
α2 = 1
, z1 = a, z2 = b 時, 有
|a + b|2 ≤ (1 + c)|a|2+ 1 + 1
c
|b|2, (22)
此即 Bohr 不等式 (可見 [5] 或 [6])。
當 k > 2 時, 0 < 1
k− 1 < 1, 在不等式 (6) 中取 pi = qi = 1, ai = 1 αi
(i = 1, 2, . . . , n), 並用 1
k− 1 取代 k, 則有
n
X
i=1
(α−1i )k−11 ≤
n
X
i=1
(α−1i )k−11 n1−k−11 = nk−2k−1, 由於 1 − k < 0, 所以
n X
i=1
(αi−1)k−11
1−k
≥ n2−k. 結合不等式 (20), 故有
n
X
i=1
αi|zi|k ≥ n2−k
n
X
i=1
|zi|
k
≥ n2−k
n
X
i=1
zi
k
, 此即不等式 (18)。
當 k = 0 時, 由算術—調和平均不等式知 (19) 式成立。
當 k < 0 時, 1
k− 1 < 0, 在 (5) 中取 pi = qi = 1, ai = 1 αi
(i = 1, 2, . . . , n), 並用 1
k− 1 代替 k, 於是有
n
X
i=1
(αi−1)k−11 ≥
n X
i=1
α−1i
k−11
n1−k−11 = nk−2k−1, 又 1 − k > 1, 所以
n
X
i=1
(αi−1)k−11
1−k
≥ n2−k.
由於 k < 0 時 (5) 式成立, 所以當 k < 0 時 (20) 式仍成立, 故由上式及 (20) 可得 n2−k
n
X
i=1
|zi|
k
≤
n
X
i=1
αi|zi|k, 故不等式 (19) 成立。
正如文 [1] 所述, 不等式 (5)、 (6) [或 (1)、 (2)] 的應用舉不勝舉, 作為本文的結束, 我們 僅舉兩例予以說明。
例1: 若實數 xi (i = 1, 2, . . . , n) 滿足 1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn≤ m, 並且 k > 1, 這 裡 m、 k 均為常數, 試求下式的最小值
(x1 − 1)k+x2
x1 − 1k
+x3
x2 − 1k
+ · · · + xn
xn−1 − 1k
+m
xn − 1k
. (第 42 屆美國 Putnam 大學生數學競賽題 B−2 題之推廣)
解: 在不等式 (5) 中用 n + 1 替代 n, 並取 pi = qi = 1 (i = 1, 2, . . . , n + 1), 再取 a1 = x1− 1, a2 = x2
x1 − 1, . . ., an= xn
xn−1 − 1, an+1 = m
xn − 1, 則有 (x1− 1)k+x2
x1 − 1k
+x3
x2 − 1k
+ · · · + xn
xn−1 − 1k
+m
xn − 1k
≥ 1
(n + 1)k−1
x1+ x2
x1 +x3
x2 + · · · + xn
xn−1 + m
xn − (n + 1)
k
. 利用算術—幾何平均不等式, 得
x1+ x2
x1 + x3
x2 + · · · + xn
xn−1 + m
xn ≥ (n + 1)n+1√ m, 從而有
(x1−1)k+x2 x1−1k
+x3 x2−1k
+· · ·+ xn
xn−1−1k
+m xn−1k
≥(n+1)(n+1√
m−1)k. (23) 由不等式 (5) 及算術—幾何平均不等式等號成立條件知不等式 (23) 取等號成立若且唯若
x1 = x2 x1 = x3
x2 = · · · = xn
xn−1 = m xn, 解此方程組得 x1 = n+1√
m, x2 = n+1√
m2, . . . , xn = n+1√
mn, 故若且唯若 x1 = n+1√ m, x2 = n+1√
m2, . . . , xn= n+1√ mn 時, (x1− 1)k+x2
x1 − 1k
+x3
x2 − 1k
+ · · · + xn
xn−1 − 1k
+m
xn − 1k
取最小值 (n + 1)(n+1√
m− 1)k。
特別當 k = 2, m = 4, n = 3, x1 = r, x2 = s, x3 = t 時, 可知, 當 r = √
2, s = 2, t= 2√
2 時,
(r − 1)2+s r − 12
+t
s − 12
+4 t − 12
取最小值 12 − 8√
2, 此即第 42 屆 (1981 年) 美國 Putnam 大學生數學競賽試題 B−2 之答 案。
(註: 這裡的方法不同於 [7]) 例2[8]: 給定非線性規劃
min f (x) =
n
X
i=1
βi
xi
受限制於
n
P
i=1
αixi = A, 其中 αi, βi, xi, A 均為正數且 αi, βi (i = 1, 2, . . . , n), A 為常數。
試證明目標函數的最優值由下式給出:
f(x∗) = 1 A
n X
i=1
(αiβi)12
2
. (24)
證明: 在不等式 (5) 中取 k = −1, ai = xi, pi = αi, qi = βi (i = 1, 2, . . . , n), 則有
n
X
i=1
βi
xi ≥
n X
i=1
αixi
−1 n X
i=1
(αiβi)12
2
, (25)
即
n
X
i=1
βi
xi ≥ 1 A
hXn
i=1
(αiβi)12i2
。
因此目標函數的最小值由 f (x∗) = 1 A
hXn
i=1
(αiβi)12i2
給出。
註: 由 (25) 式可知
n X
i=1
αixi
n X
i=1
βi
xi
≥
n X
i=1
pαiβi
2
, (25′)
其中等號成立若且唯若
r α1
β1x1 =r α2
β2x2 = · · · =r αn βn
xn.
特別在 (25′) 中取 αi = βi = 1 (i = 1, 2, . . . , n) 並略加變形, 則可得算術—調和平均 不等式:
1 n
n
X
i=1
xi ≥ n
n
X
i=1
x−1i
. (26)
在 (25′) 中取 αi = βi = xi (i = 1, 2, . . . , n), 則可得算術—均方根不等式:
v u u t 1 n
n
X
i=1
x2i ≥ 1 n
n
X
i=1
xi. (27)
在 (25′) 中取 xi = 1, αi = ri2, βi = s2i (ri, si 均為實數, i = 1, 2, . . . , n), 則得 Cauchy- Schwarz 不等式:
n X
i=1
ri2
n X
i=1
s2i
≥
n X
i=1
|risi|
2
≥
n X
i=1
risi
2
, (28)
因而不等式 (25′) 也稱為變形的 Cauchy-Schwarz 不等式。
參考文獻
1. 石長偉, 一個不等式的誕生, 數學傳播季刊, 2007(1)。
2. 姚雲飛, 朱茱, 論加權冪平均函數與諸種不等式的係統化, 數學傳播季刊, 1997(4)。
3. 史濟懷, 平均, 北京: 人民教育出版社, 1964。
4. G.H.哈代等著, 越民義譯, 不等式, 北京: 科學出版社, 1965。
5. 匡繼昌, 常用不等式 (第 3 版), 濟南: 山東科技出版社, 2004。
6. 徐利治, 王興華, 數學分析的方法及例題選講, 北京: 高等教育出版社, 1983。
7. The Forty second William Lowell Putnam Mathematical Competition, The Amer. Math.
Monthly, 1982(9)。
8. M. 阿佛裏耳著, 李元熹等譯, 非線性規劃 (上冊), 上海: 上海科學技術出版社, 1979。
—本文作者任教安徽省合肥工業大學數學與資訊科學系—
