Muirhead 不等式 ( 齊次對稱不等式 ) 三元之輪換形分割 ( 上 )

Muirhead 不等式 ⁽ 齊次對稱不等式 ⁾ 三元之輪換形分割 ⁽ 上 ⁾

吳建生

I. 主旨:

(一) 介紹 Muirhead 不等式。

(二) 探討它三元之兩種分割:

(1) 對稱輪換不等式 (P 型)。

例如 a³+ b³ + c³ ≥ a²b + b²c + c²a.

(2) 輪換不等式 (Q 型)

例如 a⁵b³c + b⁵c³a + c⁵a³b ≥ a⁴b³c²+ b⁴c³a²+ c⁴a³b²

 輪換式指具輪序之非對稱式。

(三) 共五大分割定理 A, B, C, D, E, 而一以貫之, 最後總結成本定理。

(四) 最後作三元分割之綜合分析。

(五) 附件為推廣之三列的排序不等式。

II. 內容:

(一) Muirhead 不等式:

(α₁, α₂, . . . , α_n)≥ (β1, β₂, . . . , β_n)⇒

(α₁, α₂, . . . , α_n)≥

(β₁, β₂, . . . , β_n)

§1: 敘述說明:

(1) 兩實數列 (α1, α₂, . . . , α_n), (β₁, β₂, . . . , β_n) 若滿足

(a) α_i ≥ αj, β_i ≥ βj, ∀ i < j.

27

(b) ⁿ

i=1

α_i =ⁿ

i=1

β_i. (c) ^K

i=1

α_i ≥ ^K

i=1

β_i, ∀ 1 ≤ K ≤ n.

則 (α1, α₂, . . . , α_n)≥ (β1, β₂, . . . , β_n)。 (2) 齊次對稱式

x^α₁¹x^α₂²· · · x^α_nⁿ 記為

(α₁, α₂, . . . , α_n) (係數和 n!, xi ≥ 0, ∀ i) 例如

(3, 2, 1) = a³(b²c + c²b) + b³(a²c + c²a) + c³(a²b + b²a).

(4, 0, 0) = 2(a⁴ + b⁴+ c⁴).

(2, 2, 2) = 6a²b²c².

(3) ∵ (3, 0, 0) ≥ (2, 1, 0) ∴

(3, 0, 0)≥

(2, 1, 0).

即 2(a³+ b³+ c³)≥ (a²b + b²c + c²a) + (a²c + c²b + b²a).

§2: 證明請查 Hardy 著 Inequility 或高中數學電子報網站 67 期本人之文章。

(二) Muirhead 不等式三元之分割 (1) 如 

(3, 0, 0)≥

(2, 1, 0)可分割成

⎧⎨

⎩

a³+ b³+ c³ ≥ a²b + b²c + c²a a³+ b³+ c³ ≥ a²c + c²b + b²a.

(P型)

(2) 如 

(5, 3, 1)≥

(4, 3, 2)可分割成

⎧⎨

⎩

a⁵b³c + b⁵c³a + c⁵a³b ≥ a⁴b³c²+ b⁴c³a²+ c⁴a³b² a⁵c³b + b⁵a³c + c⁵b³a≥ a⁴c³b²+ b⁴a³c²+ c⁴b³a².

(Q型)

 其他分割, 例如 

(5, 3, 0) ≥ 

(5, 2, 1) 可分割成三式, 之一為 a⁵(b³ + c³) ≥ a⁵(b²c + c²b) 則不在本文探討範圍內。

 本文只討論三元, 其實四元以上分割概念會更清晰。

 以下 X > Y > Z ≥ 0 (三) 分割定理:

定理 A: 

(X + Y, 0, 0)≥

(X, Y, 0) (Y > 0) 可分割 (P 型), 即 a^X+Y + b^X+Y + c^X+Y ≥ a^Xb^Y + b^Xc^Y + c^Xa^Y. (等價於 a^X+Y + b^X+Y + c^X+Y ≥ a^Xc^Y + b^Xa^Y + c^Xb^Y).

證明 (兩種):

(1) 依排序不等式

⎧⎨

⎩

a^X ≥ b^X ≥ c^X

a^Y ≥ b^Y ≥ c^Y , 順序和最大, 得證。

(2) 排序, 令 b ≥ c ≥ a (其他 5 種同理, 以後雷同), 則

(a^X+Y + b^X+Y + c^X+Y)− (a^Xb^Y + b^Xc^Y + c^Xa^Y)

= a^X(a^Y − b^Y) + b^X(b^Y − c^Y) + c^X(c^Y − a^Y)

= a^X(a^Y − c^Y) + a^X(c^Y − b^Y) + b^X(b^Y − c^Y) + c^X(c^Y − a^Y)

= (b^Y − c^Y)(b^X − a^X) + (c^Y − a^Y)(c^X − a^X)≥ 0.

故成立。

今看下面例子:

例 (一) a⁵c + b⁵a + c⁵b ≥ a³b²c + b³c²a + c³a²b 證明: 令 a ≥ c ≥ b (兩列之排序不等式失效)。

則左 − 右 = ca³(a²− b²) + ab³(b²− c²) + bc³(c² − a²)

= ca³(a²− c²) + ca³(c²− b²) + ab³(b²− c²) + bc³(c²− a²)

= c(a² − c²)(a³− c²b) + a(c²− b²)(a²c− b³)≥ 0.

 同理可知 a⁵b + b⁵c + c⁵a ≥ a³b²c + b³c²a + c³a²b, 故推廣指數得 定理 B:

(X + Y, Z, 0)≥

(X, Y, Z) (Z > 0) 可分割 (Q 型)

 Z = 0 即定理 A, 即

⎧⎨

⎩

a^X+Yb^Z+ b^X+Yc^Z + c^X+Ya^Z ≥ a^Xb^Yc^Z+ b^Xc^Ya^Z+ c^Xa^Yb^Z a^X+Yc^Z + b^X+Ya^Z+ c^X+Yb^Z ≥ a^Xc^Yb^Z + b^Xa^Yc^Z+ c^Xb^Ya^Z.

 上兩式可交叉。 亦即交叉之後, 不等式仍然成立, 請見下例。

舉列說明:

例 (二) 令 X = 3, Y = 2, Z = 1, 則 

(5, 1, 0)≥

(3, 2, 1), 可分割為

⎧⎨

⎩

a⁵b + b⁵c + c⁵a≥ a³b²c + b³c²a + c³a²b a⁵c + b⁵a + c⁵b≥ a³c²b + b³a²c + c³b²a,

或 ⎧

⎨

⎩

a⁵c + b⁵a + c⁵b≥ a³b²c + b³c²a + c³a²b a⁵b + b⁵c + c⁵a≥ a³c²b + b³a²c + c³b²a.

系:

(X + Y + Z, 0, 0)≥

(X + Y, Z, 0)≥

(X, Y, Z) (Z > 0) 可分割。

 前兩式 (P 型), 後兩式 (Q 型)。

舉列說明:

例 (三) 令 X = 4, Y = 3, Z = 2, 則

(9, 0, 0)≥

(7, 2, 0)≥

(4, 3, 2) 可分割

如下:

a⁹+ b⁹+ c⁹ ≥ a⁷b²+ b⁷c²+ c⁷a² ≥ a⁴b³c²+ b⁴c³a²+ c⁴a³b² a⁹+ b⁹+ c⁹ ≥ a⁷c²+ b⁷a² + c⁷b² ≥ a⁴c³b²+ b⁴a³c²+ c⁴b³a². 今再看下面例子:

例 (四) a⁴b²+ b⁴c²+ c⁴a² ≥ a³b²c + b³c²a + c³a²b 證明: 令 c ≥ b ≥ a

則左 − 右 = a³b²(a− c) + b³c²(b− a) + c³a²(c− b)

= a³b²(a− b) + a³b²(b− c) + b³c²(b− a) + c³a²(c− b)

= a²(c− b)(c³− ab²) + b²(b− a)(bc²− a³)≥ 0.

故推廣指數得 定理 C:

(X + Z, Y, 0)≥

(X, Y, Z) (Z > 0) 可分割 (Q 型), 即 a^X+Zb^Y + b^X+Zc^Y + c^X+Za^Y ≥ a^Xb^Yc^Z+ b^Xc^Ya^Z+ c^Xa^Yb^Z

a^X+Zc^Y + b^X+Za^Y + c^X+Zb^Y ≥ a^Xc^Yb^Z+ b^Xa^Yc^Z+ c^Xb^Ya^Z. 系:

(X + Y + Z, 0, 0)≥

(X + Z, Y, 0)≥

(X, Y, Z) (Z > 0) 可分割。 前兩 式 (P 型), 後兩式 (Q 型)。

舉例說明:

例 (五) 令 X = 4, Y = 3, Z = 2 則 

(9, 0, 0)≥ 

(6, 3, 0) ≥

(4, 3, 2) 可分割

成

a⁹+ b⁹+ c⁹ ≥ a⁶b³+ b⁶c³+ c⁶a³ ≥ a⁴b³c²+ b⁴c³a²+ c⁴a³b² a⁹+ b⁹+ c⁹ ≥ a⁶c³+ b⁶a³ + c⁶b³ ≥ a⁴c³b²+ b⁴a³c²+ c⁴b³a².

 附件的三列排序不等式可直接導出 a⁹+ b⁹+ c⁹ ≥ a⁴b³c²+ b⁴c³a²+ c⁴a³b² 今再看下面例子

例 (六) a⁶b⁴c²+ b⁶c⁴a²+ c⁶a⁴b² ≥ a⁵c⁴b³+ b⁵a⁴c³+ c⁵b⁴a³.

證明: 依算幾不等式得 ⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

a⁶b⁴c² + b⁶c⁴a² ≥ 2b⁵a⁴c³ b⁶c⁴a² + c⁶a⁴b² ≥ 2c⁵b⁴a³ c⁶a⁴b² + a⁶b⁴c² ≥ 2a⁵c⁴b³, 三式相加, 得證。

故推廣指數得 定理 D:

(X, Y, Z)≥ X + Y

2 ,X + Z

2 ,Y + Z 2

可分割 (Q 型).

定理 E: 

(X, Y, Z)≥

(r, r, r) 可分割 

r = X + Y + Z 3

(P型).

證明: 由算幾不等式易得。

舉例說明: 令 X = 3, Y = 2, Z = 1 則 

(3, 2, 1)≥

(2, 2, 2) 可分割成

⎧⎨

⎩

a³b²c + b³c²a + c³a²b ≥ 3a²b²c² a³c²b + b³a²c + c³b²a≥ 3a²b²c², 由以上諸定理得。

本定理:

(X + Y + Z, 0, 0)≥

⎧⎨

⎩

(X + Y, Z, 0)

(X + Z, Y, 0) ≥

(X, Y, Z)

≥ X + Y

2 ,X + Z

2 ,Y + Z 2

≥

(r, r, r) (Z > 0) (P,Q 型)

舉例說明: 令 X = 6, Y = 4, Z = 2 則

(12, 0, 0)≥

(10, 2, 0)

(8, 4, 0) ≥

(6, 4, 2)≥

(5, 4, 3)≥

(4, 4, 4) 可分割成

例 (七)

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

a¹²+ b¹²+ c¹²≥ a¹⁰b² + b¹⁰c²+ c¹⁰a² ≥ a⁶b⁴c²+ b⁶c⁴a² + c⁶a⁴b²

≥ a⁵b⁴c³+ b⁵c⁴a³+ c⁵a⁴b³ ≥ 3a⁴b⁴c⁴,

a¹²+ b¹²+ c¹²≥ a¹⁰c²+ b¹⁰a² + c¹⁰b² ≥ a⁶c⁴b²+ b⁶a⁴c² + c⁶b⁴a²

≥ a⁵b⁴c³+ b⁵c⁴a³+ c⁵a⁴b³ ≥ 3a⁴b⁴c⁴, (四) 三元分割之綜合分析:

令 (X, Y, Z) ≥ (X^, Y^, Z^).

§1: X = X^,不可分割 (1) (P型) 明顯不可能。

(2) 此時 Y > Y^, Z < Z^, Y + Z = Y^+ Z^,

而 a^Xb^Yc^Z + b^Xc^Ya^Z + c^Xa^Yb^Z ≥ a^Xb^Yc^Z+ b^Xc^Ya^Z+ c^Xa^Yb^Z 不成立, 因只要 a 夠大, b < c 即找到反例。

故 (Q 型) 不可能。

由 (1)、 (2) 得證。

§2: X > X^.

(1) Y = Y^, 可分割 先化簡成 

(X − Z, Y − Z, 0) ≥

(X^− Z, Y^− Z, Z^− Z).

再令 A = X^− Z, B = Y^− Z, C = Z^− Z, 得 

(A + C, B, 0)≥

(A, B, C)。 依定理 C 得證。

(2) Y = Y^

(A) Z = Z^, 則不可分割。

今以 (6, 3, 0) > (5, 4, 0) 為例

即 (a⁶b³+ b⁶c³+ c⁶a³)≥ (a⁵b⁴+ b⁵c⁴+ c⁵a⁴),

只要令 c 很小且 a < b, 則明顯的找到反例, 使其不成立, 其他情況雷同。

(B) Z = Z^

(i) X = X^+ Y^ 且 Z = 0 (此時 Y = Z^) 它可化成 

(X^+ Y^, Z^, 0)≥

(X^, Y^, Z^), 依定理 B, 可分割。

(ii) 某些特殊型或者可分割。

如 

(10, 8, 2)≥

(9, 6, 5) 依定理 D, 可分割。

如 

(12, 6, 3)≥

(7, 7, 7) 依定理 E, 可分割。

(iii) 其他無法確定 如 

(10, 6, 1)≥

(8, 5, 4)

而 a¹⁰b⁶c + b¹⁰c⁶a + c¹⁰a⁶b≥ a⁸b⁵c⁴+ b⁸c⁵a⁴+ c⁸a⁵b⁴ 根本束手無策。

(五) 附件: 三列之排序不等式

三實數列: ⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

a₁ ≥ a2 ≥ · · · ≥ an

b₁ ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn

c₁ ≥ c2 ≥ · · · ≥ c_n

, 則順序和不小於亂序和。

即 ⁿ

i=1

a_i· bi · ci ≥ ⁿ

i=1

a_Pi· bQi· cRi.

其中 {P1, P₂, . . . , P_n} = {Q1, Q₂, . . . , Q_n} = {R1, R₂, . . . , R_n} = {1, 2, . . . , n}.

§1: 應用

(1) 直接導出例 (三)、 例 (五) 之 a⁹+ b⁹+ c⁹ ≥ a⁴b³c²+ b⁴c³a²+ c⁴a³b² (2) 推廣至 n 元 3 指數 (上式為 3 元, 3 指數), 即由

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

A^X₁ ≥ A^X2 ≥ A^X3 ≥ · · · ≥ A^X_n A^Y₁ ≥ A^Y2 ≥ A^Y3 ≥ · · · ≥ A^Y_n A^Z₁ ≥ A^Z2 ≥ A^Z3 ≥ · · · ≥ A^Z_n,

得 A^R1 +A^R₂ +·+A^R_n ≥ A^X1 A^Y₂A^Z₃ +A^X₂ A^Y₃A^Z₄ +A^X₃ A^Y₄A^Z₅ +· · ·+A^X_n−1A^Y_nA^Z₁ + A^X_nA^Y₁A^Z₂ (P 型) R = X + Y + Z。

 上式為

(X + Y + Z, 0, 0, . . . , 0)≥

(X, Y, Z, 0, 0, . . . , 0)之分割後之代表 式。 (但要透過 n 元齊次對稱式分割之輪換子群, 以後若討論 4 元以上時, 再詳細說 明)

§2: 證明

(1) 取 n = 5, 而 a1b₁c₁ + a₂b₂c₂+ a₃b₃c₃+ a₄b₄c₄+ a₅b₅c₅ ≥ a1b₂c₃+ a₂b₄c₅ + a₃b₁c₄+ a₄b₅c₁+ a₅b₃c₂ 記成

⎡

⎢⎣

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

⎤

⎥⎦ ≥

⎡

⎢⎣

1 2 3 4 5 2 4 1 5 3 3 5 4 1 2

⎤

⎥⎦ (省略不定元)。

 其和為 5 行之每行相乘後相加。

(2) Lemma (對調原理)

若 A ≥ B, C ≥ D 則將 AD + BC 中 C, D 之對調後會遞增, 因為 AD + BC ≤ AC + BD,可推廣如下:

(a) 若 A ≥ B, C ≥ D, E ≥ F 則將 ACF + BDE 之 E, F 對調後會遞增。

因為 (ACE + BDF ) − (ACF + BDE) = (AC − BD)(E − F ) ≥ 0。

(b) 若 A ≥ B, C ≥ D, E ≥ F , G ≥ H 將 ACF H + BDEG 之 F H 和 EG 對調一樣會遞增 (同理)。 記為

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎣

A B

C D

F^v E^v H^v G^v

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎦≤

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎣

A B C D E F G H

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎦ (v 表對調之項)。

 也許抽象成 「大·小+小·大 ≤ 大·大+小·小」 更易了解。

(3) 數學歸納法

以上矩陣、 引理、 歸納法三箭齊發, 即可中靶心, 省略過程。

參考資料

1. 吳建生。 從算幾不等式到齊次對稱不等式。 教育部高中數學科網站電子報, 67期。

2. 吳建生。 大三元齊次對稱輪換不等式。 教育部高中數學科網站電子報, 90期。

3. 吳建生。 小三元齊次輪換不等式。 教育部高中數學科網站電子報, 99期。

4. 嚴鎮軍主編。 高中數學競賽教程。

5. Hardy 著, Inequility 之 Muirhead 定理。

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