不等式的又一推廣

數學傳播 37卷1期, pp. 83-85

Weitzenbock 不等式的又一推廣

趙忠華

△ABC 中, 設 a, b, c 分別為 BC, CA, AB 的邊長, △ABC 面積記為 S, 則有 a²+ b²+ c² ≥ 4√

3S,當且僅當 △ABC 為等邊三角形時等號成立。 此即著名的 Weitzenbock 不 等式, 具體見文 [1]。 關於它的推廣與加強屢見於各種刊物中, 但大多數是增加不等式右邊的項 數, 如著名的費-哈不等式: a²+ b² + c² ≥ 4√

3S + (b− c)²+ (c− a)² + (a− b)², 具體見 文 [1]。 本文將從新的角度給出它的一個有趣推廣:

定理: △ABC 中, 設 a, b, c 分別為 BC, CA, AB 的邊長; 相應於頂點 A, B, C 的中線長為 m_a, m_b, m_c; 內角平分線長 wa, w_b, w_c;高線長為 ha, h_b, h_c; △ABC 面積記為 S, 則有

a²+ b²+ c² ≥ 4

√3 (m_a

ha

+m_b hb

+ m_c hc

)

S ≥ 4

√3 (w_a

ha

+ w_b hb

+ w_c hc

)

S ≥ 4√ 3S.

當且僅當 △ABC 為等邊三角形時等號成立。

我們先證以下引理。

引理: △ABC 中, 相應於頂點 A, B, C 的中線長為 ma, mb, mc; 內角平分線長 wa, wb, wc; 高線長為 ha, h_b, h_c; 則 ha≤ wa≤ ma, h_b ≤ wb ≤ mb, h_c≤ wc≤ mc。

證明: 如圖: △ABC 中, AD 是高, AE 是內角平分線, AF 是中線, 我們分情況討論:

(1) 若 AC ̸= AB, 不妨設 AC > AB, 則 ∠B > ∠ACB, 所以 ∠BAD < ∠CAD, 所以

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84 數學傳播 37卷1期 民102年3月

∠BAC 的內角平分線 AE 位於 ∠CAD 中, 即 E 一定在 CD 上。 根據勾股定理, BD < CD, 所以 BC 的中點 F 一定在 CD 上, 因為 BE

EC = AB

AC < 1, 所以 E 點在線段 DF 上, 故 h_a < w_a< m_a。 若 AC < AB 同理可證。

(2) 如果 AC = AB 則 ha= w_a = m_a。

由 (1)、 (2) 得 ha≤ wa≤ ma。 同理 hb ≤ wb ≤ mb, h_c≤ wc≤ mc。

下面我們來給出定理的證明:

證明: 不等式的右半部分是顯然成立的, 因為由引理即得

√4 3

(m_a h_a +m_b

h_b +m_c h_c

)

S ≥ 4

√3 (w_a

h_a +w_b h_b +w_c

h_c )

S ≥ 4√ 3S 下面關鍵是證明不等式的左半部分。

∵ (m_a ha

+m_b hb

+m_c hc

) S = 1

2(am_a+ bm_b + cm_c),

∴ 原不等式等價於

a²+ b² + c² ≥ 2

√3(am_a+ bm_b + cm_c).

由柯西不等式得 (a²+ b²+ c²)(m²_a+ m²_b + m²_c)≥ (ama+ bm_b+ cm_c)², 又 m²_a= 2b²+ 2c²− a²

4 , m²_b = 2a²+ 2c²− b²

4 , m²_c = 2a²+ 2b²− c²

4 ,

所以

m²_a+ m²_b + m²_c = 3(a²+ b²+ c²)

4 ,

所以

(a²+ b²+ c²)× 3

4(a²+ b²+ c²)≥ (ama+ bm_b + cm_c)². 即

(a²+ b²+ c²)² ≥ 4

3(am_a+ bm_b+ cm_c)² 開方即得

a²+ b² + c² ≥ 2

√3(am_a+ bm_b + cm_c).

如果等號成立, 必須 a m_a = b

m_b = c

m_c, 即( a m_a

)2

= ( b

m_b )2

= ( c

m_c )2

, 即 a²

2b²+ 2c²− a² = b²

2a²+ 2c²− b² = c²

2a² + 2b² − c² = k,

Weitzenbock不等式的又一推廣 85

由等比性質得

k = a²+ b²+ c² 3a²+ 3b²+ 3c² = 1

3, 從而







4a² = 2b²+ 2c² 4b² = 2a²+ 2c² 4c² = 2a²+ 2b²

, 解得 a² = b² = c²,

即當且僅當 △ABC 為等邊三角形時等號成立, 定理得證。

參考資料

1. O. Bottema等著, 單墫譯, 幾何不等式, 北京大學出版社, 1993年版。

—本文作者任教安徽省旌德中學^—

更正啟事

本刊第36卷第4期 (144號) 第18頁倒數第7行的公式有誤, 正確公式如下:

G(χ, σ) =∑

χ(x)σ(x), x∈ F^∗p

本刊第36卷第4期 (144號) 第29頁第11行的誘導表示有誤, 正確公式如下:

Ind^g_hV = U (g)⊗U (g)V

本刊第36卷第4期 (144號) 第30頁最後一行的公式與第31頁第1、2行中的 LW 為 誤植, 正確應為 Lw。

本刊第36卷第4期 (144號) 第30頁第14行 「· · · 上同調群 Hⁱ(X,L) 是有理模 G。」

為誤植, 正確應為 「· · · 上同調群 Hⁱ(X,L) 是有理 G 模。」。

本刊第36卷第4期 (144號) 第30頁最後一行猜想有誤, 正確猜想如下:

chL_w =∑

y≤w

(−1)^{ℓ(w)−ℓ(y)}P_y,w(1)chM_y,