關於初等對稱多項式的一類粧等式

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“C41N49” — 2017/12/1 — 17:08 — page 89 — #1

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關於初等對稱多項式的一類粧等式

吳 波 · ^陳騎勇

下面這兩個粧等式是我們所熟知的:

(i) (1 − x1x₂)²+ (x1+ x2)² = (1 + x²₁)(1 + x²₂);

(ii) (1 + x1x₂)²− (x1+ x2)² = (1 − x²₁)(1 − x²₂).

本文中我們將這兩個粧等式推廣到一般情形。

定理1: 關於 x1, x₂, x₃, . . . , xn 的 k 次初等對稱多項式記作 σ_n^k, 即: σ⁰n= 1, σn¹ =

n

P

l=1

xl,

σ²_n=

n

X

1≤l<m≤n

xlxm,· · · , σⁿn =

n

Y

m=1

xm, 則





[ⁿ₂]

X

k=0

(−1)^kσn^2k





2

+





[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

(−1)^kσ^2k+1n





2

=

n

Y

k=1

(1 + x²k).

證明: 構造函數

f(x) =

n

Y

k=1

(x − xk), (1)

而 1 + x²k = (xk+ i)(xk− i), 因此由 (1) 式有:

n

Y

k=1

(1 + x²k) =

n

Y

k=1

(i − xk) ·

n

Y

k=1

(−i − xk) = f (i) · f (−i). (2)

另一方面, 由根與係數關係知 (1) 式可展開為:

f(x) =

n

X

k=0

(−1)^kσ^k_nx^n−k. (3)

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而由 (3) 式有:

f(i) =

n

X

k=0

(−1)^kσ_n^kx^n−k =

n

X

k=0

i^2kσ^k_ni^n−k = iⁿ

n

X

k=0

i^kσ_n^k

= iⁿ(σn⁰+ iσ¹n− σn² − iσ³n+ σ⁴n+ iσ⁵n− · · · + σⁿniⁿ)

= iⁿ((σ⁰n− σn²+ σn⁴ − σn⁶ + · · · ) + i(σ¹n− σn³ + σn⁵− σn⁷ + · · · ))

= iⁿ





[ⁿ₂]

X

k=0

(−1)^kσ^2k_n + i

[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

(−1)^kσ^2k+1_n



. (4)

同理有

f(−i) =

n

X

k=0

(−1)^kσn^k(−i)^n−k =

n

X

k=0

i^2kσ^kni^3(n−k) = i³ⁿ

n

X

k=0

i^−kσn^k

= i³ⁿ





[ⁿ₂]

X

k=0

(−1)^kσn^2k− i

[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

(−1)^kσn^2k+1



. (5)

(4)、(5) 兩式相乘可得:

f(i) · f (−i) =





[ⁿ₂]

X

k=0

(−1)^kσ_n^2k





2

+





[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

(−1)^kσ^2k+1_n





2

.

將上式代入 (2) 式即知定理 1 的結論成立。 

　上面的證明正好印證了法國數學家 Jacques Hadamard 的一句名言:「連接實數域中兩 個真理之間的最短路徑是通過複數域」。

在定理 1 中, 如果諸 xm = 1 (m = 1, 2, . . . , n), 則 σn^k = Cn^k (k = 0, 1, 2, . . . , n), 因 此有:

推論:





[ⁿ₂]

X

k=0

(−1)^kC_n^2k





2

+





[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

(−1)^kC_n^2k+1





2

= 2ⁿ. 用同樣的方法, 還可以將本文開頭提到的粧等式 (ii) 推廣到一般情形, 即:

定理2: 記號同定理 1, 則





[ⁿ₂]

X

k=0

σ_n^2k





2

−





[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

σ_n^2k+1





2

=

n

Y

k=1

(1 − x²k).

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“C41N49” — 2017/12/1 — 17:08 — page 91 — #3

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證明: 同定理 1 的證明中所設, 則

n

Y

k=1

(1 − x²k) =

n

Y

k=1

(1 − xk) ·

n

Y

k=1

(1 + xk) = (−1)ⁿ

n

Y

k=1

(1 − xk) ·

n

Y

k=1

(−1 − xk)

= (−1)ⁿ· f (1) · f (−1). (6)

而

f(1) =

n

X

k=0

(−1)^kσ_n^k=

[ⁿ₂]

X

k=0

σ^2k_n −

[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

σ_n^2k+1, (7)

f(−1) =

n

X

k=0

(−1)^kσ_n^k(−1)^n−k = (−1)ⁿ

n

X

k=0

σ_n^k = (−1)ⁿ





[ⁿ₂]

X

k=0

σ_n^2k+

[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

σ^2k+1_n



.(8) (7)、(8) 兩式相乘得:

f(1) · f (−1) = (−1)ⁿ











[ⁿ₂]

X

k=0

σ_n^2k





2

−





[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

σ^2k+1_n





2



.

將上式代入 (6) 式即知定理 2 的結論成立。 

若 xm ∈ R 且 |xm| < 1, 則

n

Q

k=1

(1 − x²k) > 0, 由定理 2 可得:

推論: 若 xm ∈ R 且 |xm| < 1 (m = 1, 2, . . . , n), 則 

[ⁿ₂]

X

k=0

σ^2kn

>

[ⁿ⁻¹₂ ]

X

k=0

σ^2k+1n

      .

一般地, 如定理 1、 2 的證明過程所示, 如能將 h(x) 在複數域內徹底分解, 那麼就可使用 這種方法把

n

Q

k=1

h(xk) 用 σn^k (k = 0, 1, 2, . . . , n) 表示出來。

—本文作者任教中國重慶市長壽龍溪中學—