構造切線證明一類對稱不等式

構造切線證明一類對稱不等式

周 斌

不等式與函數雖是兩個不同概念, 但兩者是緊密聯繫的, 用函數的思想來處理不等式的問 題, 也是證明不等式問題的常見方法。 如通過構造函數, 研究函數的單調性來證明不等式, 或用 函數的凹凸性證明不等式等等。 本文通過構造函數的切線來證明一類對稱不等式, 利用限制條 件的平均值其所對應函數圖形上的點, 求過此點的切線, 觀察函數的圖形是在切線的上方 (或下 方) 來證明不等式, 或決定函數的最大值 (或最小值)。 以下先從一個求函數最小值問題說起。

例 1: 設 x, y, z 均是正實數, 且 x+y +z = 1, 求三元函數 f (x, y, z) = 3x²− x

1 + x² +3y²− y 1 + y² + 3z² − z

1 + z² 的最小值, 並給出證明。(2003湖南省數學競賽題) 解: 對於 0 < x < 1 我們先證明 3x²− x

1 + x² ≥ 9x − 3

10 (1), 此式等價於 9x³−33x²+19x−3 ≤ 0 ⇔ (3x − 1)²(x − 3) ≤ 0, 此式顯然成立。 同理有 3y²− y

1 + y² ≥ 9y − 3

10 (2), 3z² − z 1 + z² ≥ 9z − 3

10 (3), 三式相加得, f (x, y, z) = 3x²− x

1 + x² +3y²− y

1 + y² +3z²− z

1 + z² ≥ 9(x + y + z) − 9

10 =

0 當且僅當 x = y = z = 1

3 時, f (x, y, z) = 0, 故所求的最小值為 0。

這裏我們要思考的是 f (x) = 3x² − x

1 + x² 與 g(x) = 9x − 3

10 有什麼關係? 借助幾何畫板 工具, 通過研究函數圖像不難發現 g(x) = 9x − 3

10 是函數 f (x) = 3x² − x

1 + x² 在 x = 1 3 的切 線, 且是 f (x) 的下界函數, 故可用 g(x) 來估計 f (x)。 這為我們證明這類不等式提供了方法。

例 2: 設 a, b, c, d > 0 且 a+b+c+d = 1, 證明: 6(a³+b³+c³+d³) ≥ a²+b²+c²+d²+1 (2005 第 8 屆香港數學奧林匹克) 8

證明: 設 f (x) = 6x³−x², 原不等式即為 f (a) + f (b) + f (c) + f (d) ≥ 1

8, 其中 a, b, c, d > 0

86

且 a + b + c + d = 1。 f (x) = 6x³ − x² 在 x = 1

4 的切線為 y = 5 8x − 1

8, 下面證 明 f (x) ≥ 5

8x − 1

8, 即 6x³ − x² ≥ 5 8x − 1

8 此式等價於 (4x − 1)²(3x + 1) ≥ 0 當 0 < x < 1 時, 此不等式 顯然成立, 所以 f (a) ≥ 5

8a − 1

8, f (b) ≥ 5 8b − 1

8, f (c) ≥ 5 8c − 1

8, f(d) ≥ 5

8d − 1

8, 所以 f (a) + f (b) + f (c) + f (d) ≥ 5(a + b + c + d) − 4

8 = 1

8, 這證明了

所需的結論。 

通過以上的證明經驗, 我們可以發現在證明形如

n

X

i=1

f(xⁱ) ≥ M (或 ≤ M) 且滿足

n

X

i=1

Xi = S 的對稱不等式時, 可以構造在 Xⁱ 的均值 x = s

n 點的切線 g(x), 即用 g(x) 來估 計 f (x) 的值, 然後比較 g(x) 與 f (x) 的大小, 從而獲得不等式的證明。

例 3: 已知正數 a, b, c 滿足 a + b + c = 3, 求證: a²+ 9

2a²+ (b + c)² + b²+ 9

2b²+ (a + c)² + c²+ 9

2c²+ (b + a)² ≤ 5 (2006 第 2 屆北方數學奧林匹克) 證明: 設 f (x) = x²+ 9

2x²+ (3 − x)², 即 f (x) = x²+ 9

3x²− 6x + 9 在 x = 1 處的切線為 g(x) = 1

3x+4

3 下面證明當 0 < x < 3 時, f (x) ≤ g(x), 即 x²+ 9

3x² − 6x + 9 ≤ 1 3x+4

3, 此式等價於 3(x²+ 9) ≤ (x + 4)(3x²− 6x + 9) ⇔ x³+ x²− 5x + 3 ≥ 0 ⇔ (x + 3)(x − 1)² ≥ 0, 顯然成 立。 所以 a²+ 3

2a² + (3 − 1)² ≤ 1 3a+4

3, 即 a²+ 3

2a²+ (b + c)² ≤ 1 3a+4

3, 同理有 b²+ 3

2b²+ (a + c)² ≤ 1

3b+4

3, c²+ 3

2c²+ (a + b)² ≤ 1 3c+4

3, 上述三式相加可得, a²+ 9

2a²+ (b + c)² + b² + 9

2b²+ (a + c)² + c²+ 9

2c²+ (b + a)² ≤ 1

3(a + b + c) + 4 = 5 

例 4: 設 xi >0, (i = 1, 2, 3, 4, 5) 且

n

X

i=1

1

1 + xⁱ = 1, 求證:

5

X

i=1

xi

4 + x²i

≤ 1 (2003中國西 部數學奧林匹克題)

證明: 作變換設 1 1 + xi

= aⁱ 且

n

X

i=1

ai = 1 (i = 1, 2, 3, 4, 5), 則不等式轉化為

5

X

i=1 1 a_i − 1 4 +

1 a_i − 1

² ≤ 1 即

5

X

i=1

−a²ⁱ + ai

5a²i − 2aⁱ+ 1 ≤ 1,

設 f (x) = −x²+ x

5x²− 2x + 1, 計算 f (x) 在 x = 1

5 處的切線為 g(x) = 3 4x+ 1

20, 下面證明 f(x) ≤ g(x), 即 −x²+ x

5x²− 2x + 1 ≤ 3 4x+ 1

20, 因為 5x² − 2x + 1 > 0, 此式等價於

20(−x²+x) ≤ (15x+1)(5x²−2x+1) ⇔ 75x³−5x²−7x+1 ≥ 0 ⇔ (3x+1)(5x−1)² ≥ 0, 當 0 < x < 1 時, 此不等式顯然成立。 所以

5

X

i=1

−a²ⁱ + aⁱ 5a²i − 2aⁱ+ 1 ≤

5

X

i=1

3

4ai+ 1 20

= 3 4 +1

4 = 1 

例 5: 設 a, b, c 是正實數, 求證: (2a + b + c)²

2a²+ (b + c)² + (a + 2b + c)²

2b²+ (a + c)² + (a + b + 2c)² 2c²+ (b + a)² ≤ 8 (2003 美國數學奧林匹克試題)

證明: 為了證明此題, 我們注意到以下事實, 將 a, b, c 換成 a

a+ b + c, b

a+ b + c, c a+ b + c, 不等式不變, 所以可設

0 < a, b, c < 1, a+ b + c = 1, 則, (2a + b + c)²

2a²+ (b + c)² = (a + 1)²

2a²+ (1 − a)² = (a + 1)² 3a²− 2a + 1 設 f (x) = (x + 1)²

3x²− 2x + 1, 在 x = 1

3 點的切線為 g(x) = 12x + 4

3 , f (x) − g(x) =

−36x³+ 15x²+ 2x − 1

3(3x²− 2x + 1) = −(3x − 1)²(4x + 1)

3(3x²− 2x + 1) ≤ 0 當 0 < x < 1 時, 此不等式成 立, 所以, (2a + b + c)²

2a²+ (b + c)² ≤ 12a + 4 3 , 同理, (a + 2b + c)²

2b²+ (a + c)² ≤ 12b + 4

3 , (a + b + 2c)²

2c²+ (b + a)² ≤ 12c + 4 3 , 上式相加便得,

(2a + b + c)²

2a²+ (b + c)² + (a + 2b + c)²

2b²+ (a + c)² + (a + b + 2c)²

2c²+ (b + a)² ≤ 12(a + b + c) + 3 × 4

3 = 8 

例 6: 設 0 < α, β, γ < π

2, 且 sin³α+ sin³β+ sin³γ = 1 求證: tan²α+ tan²β+ tan²γ ≥ 3

√3

9 − 1 (2005 中國東南地區數學奧林匹克競賽試題的加強)

證明: 令 x = sin³α, y = sin³β, z = sin³γ 則不等式等價於在0 < x, y, z 且 x + y + z = 1 的條件下, 證明

√3

x² 1 −√³

x² +

py3 ²

1 −py^{3 2} +

√3

z² 1 −√³

z² ≥ 3

√3

9 − 1, 設 f (x) =

√3

x² 1 −√³

x², 在 f (x) = 1

3 處的切線

y = 2

3q³

1 3

h1 −p(^{3 1}3)²i²(x −1 3) +



3

q1 3

² 1 −q³

(¹₃)² 下面證明當 0 < x < 1 時,

√3

x² 1 −√³

x² ≥ 2

3q³

1 3

h 1 − ³

r

1 3

²i²(x −1 3) +



3

q1 3

²

1 − ³ r

1 3

²

(1)

令 p = √³

x, q = q³

1

3, 則 0 < p, q < 1, 於是 (1) 式 ⇔ p²

1 − p² − q²

1 − q² ≥ 2(p³− q³) 3q(1 − q²)²

⇔ p²− q²

(1 − p²)(1 − q²) ≥ 2(p³− q³) 3q(1 − q²)²

⇔ 3q(1 − q²)²(p²− q²) ≥ 2(p³− q³)(1 − p²)(1 − q²)

⇔ (p − q)²(1 − q²)[(2p³+ 4p²q) + (3q²− 1)(2p + q)] ≥ 0

而 1 − q² >0, (p − q)² >0, (2p³+ 4p²q) + (3q²− 1)(2p + q) > 0 所以 (1) 式成立, 當且 僅當 p = q 時, 等號成立, 此時 x = 1

3, 故

√3

x² 1 −√³

x² +

py3 ²

1 −py^{3 2} +

√3

z² 1 −√³

z² ≥ 2

3q³

1 3

h 1 −q³

(¹3)²i²(x + y + z − 1 3) +

3

3

q1 3

² 1 −q³

(¹₃)²

= 3

√3

9 − 1 當且僅當 x = y = z = 1

3 時, 等號成立, 從而原不等式成立。 

可以看到, 利用切線在證明這類對稱不等式非常有效, 在不等式中大量存在這些形式對稱 不等式, 讀者不妨一試。

參考文獻

1. 蔣明斌, 通過構造“零件不等式”證明不等式[J], 中學數學研究 (廣東) 2008, 7。

2. 蔡玉書, 數學奧林匹克中的不等式研究, 蘇州大學出版社, 2007 年 9 月。

—本文作者任教中國浙江省岱山縣東沙中學—

中央研究院蔡元培院長講座

「幾何學賞析」 一一 丘成桐院士主講

日 期 : 2011年12月31日 (六) 下午2時至4時

地 點 : 中央研究院學術活動中心2樓第1會議室

報 名 : http://www.sinica.edu.tw/sc.html (12月29日截止報名) 詳細情形請查詢中研院網頁 http://www.sinica.edu.tw