第 二 章 作 業 解 答
1、試用真值表證明下列布林函數等式成立。
(a)、x⋅y= x+ y
(b)、x+y⋅z =(x+ y)⋅(x+z) 解：
(a)、x⋅y= x+y
x y x⋅ y x+ y 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 (b)、x+y⋅z=(x+ y)⋅(x+z)
x y z x+y⋅z (x+ y)⋅(x+z)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
2、試將下列布林函數展開成最小項之和來表示，並列出該布林函數之真值表。
(a)、 f(x,y,z)= x+y⋅z
(b)、 f(w,x,y,z)=w⋅x+x⋅y+w⋅z 解：
(a)、 f(x, y,z)= x+ y⋅z
(1) 第 1 個積項x缺少 y 與 z，故先將 x 定為 1 後，再將 y 與 z 分別補上 00、01、10 與 11，做法如下所
x y z 1 0 0 1 0 1
1 1 0
1 1 1
z y x⋅ ⋅
z y x⋅ ⋅
z y x⋅ ⋅
z y x⋅ ⋅
(2) 第 2 個積項 y⋅ 缺少 x，故先將 y 定為 0，z 定為 1 後，再將 x 分別補上 0 與 1，z 做法如下所示。
x y z 0 0 1 1 0 1
最後將上面所得之最小項用 OR 連結起來，並消去重複之最小項，即可得所 求之最小項之和表示式如下所示：
) 7 , 6 , 5 , 4 , (1 ) , , (
∑
=
⋅
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅
=
⋅ +
=x y z x y z x y z x y z x y z x y z z
y x f
觀察上面之最小項之和表示式，即可列出所求之真值表，如下表所示：
x y z x+y⋅z
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
(b)、 f(w,x,y,z)=w⋅x+x⋅y+w⋅z
依照(a)部分之作法亦可得到可得所求之最小項之和表示式與真值表如下表所示：
( )
∑
=
⋅ +
⋅ +
⋅
= 0,2,4,6,7,8,9,10,11,14,15
) , , ,
(w x y z w x x y w z
f
觀察上面之最小項之和表示式，即可列出所求之真值表，如下表所示：
w x y z w⋅x+x⋅y+w⋅z
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
z y x⋅ ⋅
z y x⋅ ⋅
3、試將下列布林函數展開成最大項之積來表示，並列出該布林函數之真值表。
(a)、 f(x,y,z)= y⋅(x+y)⋅(x+z)
(b)、 f(w,x,y,z)=(w+ y)⋅(x+z)⋅(w+x+ y) 解：
(a)、 f(x,y,z)= y⋅(x+y)⋅(x+z)
(1) 第 1 個和項 y 缺少 x 與 z，故先將 y 定為 0 後，再將 x 與 z 分別補上 00、01、10 與 11，做法如下所示。
x y z 0 0 0 0 0 1
1 0 0
1 0 1
(2) 第 2 個和項x+ 缺少 z，故先將 x 定為 0，y 定為 1 後，再將 z 分別補上 0 與 1，y 做法如下所示。
x y z 1 0 0 1 0 1
(3) 第 3 個和項x+ 缺少 y，故先將 x 定為 0，z 定為 1 後，再將 y 分別補上 0 與 1，z 做法如下所示。
x y z 0 0 1 0 1 1
將上面所得之最大項用 AND 連結起來，並消去重複之最大項，即可得 )
5 , 4 , 3 , 1 , (0 ) ( ) ( ) , ,
(x y z = y⋅ x+ y ⋅ x+z =∏ f
觀察上面之最小項之和表示式，即可列出所求之真值表，如下表所示：
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
(b)、 f(w,x,y,z)=(w+ y)⋅(x+z)⋅(w+x+ y)
z y x+ +
z y x+ +
z y x+ +
z y x+ +
z y x+ +
z y x+ +
z y x+ +
z y x+ +
依照(a)部分之作法亦可得到可得所求之最小項之和表示式與真值表如下表所示：
( )
∏
= + +
⋅ +
⋅ +
=( ) ( ) ( ) 5,7,8,9,12,13,14,15 )
, , ,
(w x y z w y x z w x y
f
觀察上面之最小項之和表示式，即可列出所求之真值表，如下表所示：
w x y z f(w,x,y,z) 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
4、試將積項之和 f(w,x,y,z)= x⋅y+w⋅y⋅z+x⋅z之布林函數表示式轉換成為標準和項 之積表示式，並列出該布林函數之真值表。
解：
( ) ∏ ( )
∑
== 1,4,5,6,12,13,14 0,2,3,7,8,9,10,11,15 )
, , ,
(w x y z f
w x y z f(w,x,y,z)
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0
0 1 1 1 0 1
1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 1 0
1 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 0 1
5.試利用 AND、OR 與 NOT 等 3 種邏輯閘，以實現下列布林函數表示式。
(a)、 f(w,x,y,z)=w⋅(x⋅z+x⋅y)+w⋅z
(b)、 f(w,x,y,z)= w+(x+ y)⋅(w+z)+w⋅x
6.請說明最小項 (Product Terms)、最大項 (Sum Terms)、積項之和 (Sum of Product) 與 和項之積(Product of Sum) 之定義。
(1)、積項：當兩個或多個變數以 AND 運算子所組合成之布林代數式。
(2)、和項：當兩的或多個變數以 OR 運算子所組合成之布林代數式。
(3)、積項之和：以最小之和來表示布林函數時，稱為積項之和(SOP)，即在真值表中 輸出值為 1 之所有最小項，用 OR 連結起來。
(4)、和項之積：以最大項之積來表示布林函數時，稱為和項之積(POS)，即在真值表中，
輸出值為 0 之所有最大項，用 AND 連結起來。
