第三章作業解答

(1)

x yz

wx yz

x yz

第三章作業解答

1、試利用卡諾圖化簡法，分別求出下列布林函數為最簡表示式。

(a) f₁(x, y, z)= x⋅z+x⋅z

(b) f₂(w, x, y,z)=w⋅z+w⋅ y+w⋅x (c) f₃(x, y,z)=(x+ y+z)⋅(x+z)⋅(x+ y) (d) f₄(w, x, y, z)=(w+z)⋅(w+ x+ y)⋅(x+z) 解：

(a) f¹⁽x^, y^,z⁾=x⋅z+x⋅z

∑ (

¹^,³^,⁵^,⁷

)

= z

00 01 11 10

0 1 1

1 1 1

(b)

( )

y w x w z w

x w y w w z y x w f

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

= ^z

∑

¹^,³^,⁵^,⁷^,⁸^,⁹^,¹²^,¹³^,¹⁴^,¹⁵

) , , ,

2(

00 01 11 10

00 1 1 01 1 1

11 1 1 1 1 10 1 1

(c)

( )

( ) ( ) ( )

^x^x ^y^y ^x^z ^z^x ^x^z ^y^x ^y

z y x f

+

⋅ +

=

= +

⋅ +

⋅ + +

=⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

∏

²^,³^,⁴^,⁵^,⁷

) , ,

3(

00 01 11 10 0 0 0 1 0 0 0

(d)

( )

( ) ( ) ( )

^x^w ^z^z ^x^w^y^x ^w^y ^z ^x ^z

z y x w f

+

⋅ +

=

= +

⋅ + +

⋅ +

=⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

∏

⁵^,⁶^,⁷^,⁸^,¹⁰^,¹²^,¹³^,¹⁴^,¹⁵

) , , ,

4(

(2)

wx yz 00 01 11 10

00

01 0 0 0

11 0 0 0 0 10 0 0

2、試利用卡諾圖化簡法，分別求出下列布林函數為最簡積項之和 (SOP) 與和項之積 (POS) 表示式，並比較兩種形式化簡法所得的結果，當使用邏輯閘來實現時，何者較為經濟？

(a) ^f¹⁽^w^, ^x^, ^y^,^z⁾⁼

∑

^(0,1,5,7,8^,10,12,15)

(b) f₂(w,x, y, z)=∏(2,6,8,9,10,12,15) 解：

(a)、 ^f¹⁽^w^, ^x^, ^y^, ^z⁾⁼

∑

^(0,1,5,7,8^,10,12,15) ⁼

∏ (

²^,³^,⁴^,⁶^,⁹^,¹¹^,¹³^,¹⁴

)

(1)、利用積項之和化簡所得之最簡布林代數表示式為：

(

w x y z

)

w x y w x z w y z x y z w x z

f₁ , , , = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (2)、利用和項之積化簡所得之最簡布林代數表示式為：

(

^w ^x ^y ^z

) (

^w ^x ^y

) (

^w ^x ^z

) (

^x ^y ^z

) (

^w ^y ^z

) (

^w ^x ^z

)

f₁ , , , = + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +

實現(1)部分之最簡布林代數所需的邏輯閘數量為 6 個，其中包括 5 個 3 輸入 AND 閘與 1 個 5 輸入 OR 閘，而實現(2)部分之最簡布林代數所需的邏輯閘數量亦為 6 個，其中包括 5 個 3 輸入 OR 閘與 1 個 5 輸入 AND 閘，因實現 AND 閘與 OR 閘所需支成本相同，因此使用積項之和與和項之積所得之布林代數一樣經濟。

(b)、 ^f²⁽^w^, ^x^, ^y^, ^z⁾⁼^∏⁽²^,⁶^,⁸^,⁹^,¹⁰^,¹²^,¹⁵⁾⁼

∑ (

⁰^,¹^,³^,⁴^,⁵^,⁷^,¹¹^,¹³^,¹⁴

)

(1)、利用和項之積化簡所得之最簡布林代數表示式為：

(

, , ,

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 w x y z w y z w x y w y z w x z w x y z

f = + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + +

(2)、利用積項之和化簡所得之最簡布林代數表示式為：

(

w x y z

)

w z w y x y z x y z w x y z

f₂ , , , = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

實現(1)部分之最簡布林代數所需的邏輯閘數量為 6 個，其中包括 4 個 3 輸

(3)

入 OR 閘、1 個 4 輸入 OR 閘與 1 個 5 輸入 AND 閘，而實現(2)部分之最簡布林代數所需的邏輯閘數量亦為 6 個，其中包括 2 個 2 輸入 AND 閘、2 個 3 輸入 AND、1 個 4 輸入 AND 閘與 1 個 5 輸入 OR 閘，因實現 AND 閘與 OR 閘所需支成本相同，因此使用積項之和所需之輸入數量較少，因此實現積項之和所得之布林代數較為經濟。

3、試利用卡諾圖化簡法，分別求出下列具不完全指定函數之布林函數為最簡表示式。

(a) f₁(w, x, y, z)=∑(0,1,3,6,9,10,12,15)+∑_×(2,7,14) (b) f₂(w, x, y,z)=∏(0,1,3,7,10,11,12)+∏×(2,5,6) 解：

(a) f₁(w, x, y, z)=∑(0,1,3,6,9,10,12,15)+∑_×(2,7,14) =w⋅x+x⋅y+ y⋅z+w⋅x⋅z+x⋅y⋅z

(b) f₂(w, x, y, z)=∏(0,1,3,7,10,11,12)+∏×(2,5,6) =

(

w+x

) (

⋅ w+y

) (

⋅ x+y

) (

⋅ w+x+y+z

)

4、試利用變數之變數引入圖法，分別求出下列布林函數為最簡表示式。

(a) f₁(w,x, y, z)= w⋅x⋅ y+w⋅y+x (b) f₂(w, x, y, z)= y+w⋅x+w⋅ y⋅z 解：

(a) f₁(w, x, y, z)= w⋅x⋅ y+w⋅y+x ⁼

∑ (

²^,³^,⁴^,⁵^,⁶^,⁷^,⁸^,⁹^,¹²^,¹³^,¹⁴^,¹⁵

)

已知布林函數式為標準積項之和，接著檢視所求布林函數可知，首先選取 w 當作外 部變數，並繪出選取 w 當作外部變數之餘數圖，如下圖所示，最後在此餘式圖上求解 每一行(Column)之最簡式。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 w w w w 1 1 1 1 w

xyz

0 1

000 111 001 010 011 100 101 110

(4)

觀察上圖可知，將每一行化簡所得之結果來設定變數 x、y 與 z 所對應之變數引入圖 之方格值，如下圖所示。

首先將所有設定為外部變數 w 與 w 之方格視為 0 方格，再使用卡諾圖化簡法，可得 化簡後之布林函數表示式如下：

x z y x w

f′( , , , )=

接著分別將外部變數 w 與 w 之方格設定為 1 方格，而將原來之所有 1 方格設定為不 在意項後，再使用卡諾圖之化簡法，可得化簡後之布林函數表示式如下：

y z y x w

f ′′( , , , )=

y z y x w

f ′′′( , , , )=

最後將上述步驟所得之最簡布林函數式，用 OR 連結起來(由外部變數 w 與 w 設定 為 1 方格之卡諾圖化簡所得之積項需多加入外部變數 w 與 w ，即 f ′′(w,x,y,z)=w⋅y、

y w z y x w

f ′′′( , , , )= ⋅ )，即可得最簡布林函數表示式如下：

y w y w x z y x w

f( , , , )= + ⋅ + ⋅

(b) f₂(w, x, y, z)= y+w⋅x+w⋅ y⋅z ⁼

∑ (

⁰^,²^,³^,⁴^,⁶^,⁷^,⁸^,⁹^,¹⁰^,¹¹^,¹⁴^,¹⁵

)

已知布林函數式為標準積項之和，接著檢視所求布林函數可知，首先選取 w 當作外 部變數，並繪出選取 w 當作外部變數之餘數圖，如下圖所示，最後在此餘式圖上求解 每一行(Column)之最簡式。

w w w w

1 1 1 1

1 1

× × × ×

1 1

× × × × x

yz 0 1

10 11

01 00

x yz

10 11

01 00

0 1

x

yz 00 01 11 10 0

1

(5)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 w 1 1 w 0 1 1

觀察上圖可知，將每一行化簡所得之結果來設定變數 x、y 與 z 所對應之變數引入圖 之方格值，如下圖所示。

首先將所有設定為外部變數 w 之方格視為 0 方格，再使用卡諾圖化簡法，可得化簡 後之布林函數表示式如下：

y z x z y x w

f′( , , , )= ⋅ +

接著分別將外部變數 w 與 w 之方格設定為 1 方格，而將原來之所有 1 方格設定為不 在意項後，再使用卡諾圖之化簡法，可得化簡後之布林函數表示式如下：

x z y x w

f ′′( , , , )=

z z y x w

f ′′′( , , , )=

最後將上述步驟所得之最簡布林函數式，用 OR 連結起來(由外部變數 w 與 w 設定 為 1 方格之卡諾圖化簡所得之積項需多加入外部變數 w 與 w ，即 f ′′(w,x,y,z)=w⋅x、

z w z y x w

f ′′′( , , , )= ⋅ )，即可得最簡布林函數表示式如下：

z w x w z x y z y x w

f( , , , )= + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 w 1 1

w 1 1

× 1 × ×

× ×

× × × 1 × × w

xyz

0 1

000 111 001 010 011 100 101 110

x yz

0 1

10 11

01 00

x yz

10 11

01 00

0 1

x

yz 00 01 11 10

1 0

(6)

5、試利用列表法，分別求取下列布林函數之最簡表示式。

(a)、 f₁(x, y, z)=x+x⋅y+y⋅z (b)、 f₂(w, x, y, z)= x+w⋅ y⋅z+x⋅z 解：

(a)、 f₁(x, y,z)=x+x⋅y+ y⋅z=

∑ (

⁰^,¹^,²^,³^,⁴^,⁵^,⁷

)

將上述之最小項所對應的二進位數具有相同指標個數整理在同一組，並由大至小依序排列，接著比較指標個數為 i 與 i+1 之所有最小項，若兩個最小項間僅有 1 個二進位數有 0 與 1 的變化，則表示此兩個最小項可以合併成一項，並將可合併之兩個最小項作記號，如下表所示。

指標個數等效十進位數

x y z

0 0 0 0 0 ＊

1

1 0 0 1 ＊ 2 0 1 0 ＊ 4 1 0 0 ＊

2 3 0 1 1 ＊

5 1 0 1 ＊

3 7 1 1 1 ＊

重複上述之方法，再繼續比較指標個數為i 與 i+1之所有最小項，所得結果如下表所示。

x y z

0

0 , 1 0 0 - ＊ 0 , 2 0 - 0 ＊ 0 , 4 - 0 0 ＊

1

1 , 3 0 - 1 ＊ 1 , 5 - 0 1 ＊ 2 , 3 0 1 - ＊ 4 , 5 1 0 - ＊ 2 3 , 7 - 1 1 ＊ 5 , 7 1 - 1 ＊

(7)

接著處理上表中指標個數為i 與i+1之可合併之最小項，所得結果如下表所示。

x y z

0 0 , 1, 2, 3 0 - - 質隱項 A 0, 1, 4, 5 - 0 - 質隱項 B 1 1, 3, 5, 7 - - 1 質隱項 C

檢查上面合併指標個數為 i 與 i+1所得之三個表中，將標示有質隱項之最小項組合起來，即可得質隱項之集合 I 如下

} , , {x y z I =

接著將化簡所得質隱項集合，以每個質隱項成一對 (Row) 方式，依序組成一個質隱項表，接著將每個質隱項之所有可能對應十進位數字上作記號 (＊)，如下表所示。

質隱項對應之十進位數

質隱項 0 1 2 3 4 5 7 A x ＊＊＊＊

B y ＊＊＊＊必要質隱項

D z ＊＊＊＊必要質隱項

× × × × × × ×

最後利用包含銷去法，即可得到所求之最簡布林函數表示式為 z

y z y x

f( , , )= +

(b)、 f₂(w, x, y,z)=x+w⋅y⋅z+x⋅z =∑(0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,13,14)

將上述之最小項所對應的二進位數具有相同指標個數整理在同一組，並由大至小依序排列，接著比較指標個數為 i 與 i+1 之所有最小項，若兩個最小項間僅有 1 個二進位數有 0 與 1 的變化，則表示此兩個最小項可以合併成一項，並將可合併之兩個最小項作記號，如下表所示。

指標個數等效十進位數等效二進位數 w x y z

0 0 0 0 0 0 ＊

1

1 0 0 0 1 ＊ 2 0 0 1 0 ＊ 4 0 1 0 0 ＊

(8)

8 1 0 0 0 ＊

2

3 0 0 1 1 ＊ 6 0 1 1 0 ＊ 9 1 0 0 1 ＊ 10 1 0 1 0 ＊ 12 1 1 0 0 ＊

3

11 1 0 1 1 ＊ 13 1 1 0 1 ＊ 14 1 1 1 0 ＊

重複上述之方法，再繼續比較指標個數為i 與 i+1之所有最小項，所得結果如下表所示。

指標個數等效十進位數等效二進位數 w x y z

0

0, 1 0 0 0 - ＊ 0, 2 0 0 - 0 ＊ 0, 4 0 - 0 0 ＊ 0, 8 - 0 0 0 ＊

1

1, 3 0 0 - 1 ＊ 1, 9 - 0 0 1 ＊ 2, 3 0 0 1 - ＊ 2, 6 0 - 1 0 ＊ 2, 10 - 0 1 0 ＊ 4, 6 0 1 - 0 ＊ 4, 12 - 1 0 0 ＊ 8, 10 1 0 - 0 ＊ 8, 12 1 - 0 0 ＊

2

3, 11 - 0 1 1 ＊ 6, 14 - 1 1 0 ＊ 9, 11 1 0 - 1 ＊ 9, 13 1 - 0 1 ＊ 10, 11 1 0 1 - ＊ 10, 14 1 - 1 0 ＊

(9)

12, 13 1 1 0 - 質隱項 A 12, 14 1 1 - 0 ＊

接著處理上表中指標個數為i 與i+1之可合併之最小項，所得結果如下表所示。

0

0, 1, 2, 3 0 0 - - 質隱項 B 0, 2, 4, 6 0 - - 0 ＊

0, 1, 8, 9 - 0 0 - ＊ 0, 2, 8, 10 0 - - 0 ＊ 0, 4, 8, 12 - - 0 0 ＊

1

1, 3, 9, 11 0 - - 1 ＊ 2, 3, 10, 11 - 0 1 - ＊ 2, 6, 10, 14 - - 1 0 ＊

4, 6, 12,14 - 1 - 0 質隱項 C 8, 9, 12, 13 1 - 0 - 質隱項 D

最後處理上表中指標個數為i 與i+1之可合併之最小項，所得結果如下表所示。

0

0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 11 0 - - - 質隱項 E 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10, 11 - 0 - - 質隱項 F 0, 4, 8, 12, 2, 6, 10, 14 - - - 0 質隱項 G

檢查上面合併指標個數為 i 與 i+1所得之三個表中，將標示有質隱項之最小項組合起來，即可得質隱項之集合 I 如下

} , , , ,

{w x y w x w x z I = ⋅ ⋅v ⋅

接著將化簡所得質隱項集合，以每個質隱項成一對 (Row) 方式，依序組成一個質隱項表，接著將每個質隱項之所有可能對應十進位數字上作記號 (＊)，如下表所示。

質隱項對應之十進位數

質隱項 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14

A w⋅x⋅y ＊＊

B w⋅ ＊＊＊＊ x

C w ＊＊＊＊＊＊＊＊必要質隱項

(10)

D x ＊＊＊＊＊＊＊＊必要質隱項 z ＊＊＊＊＊＊＊＊必要質隱項

× × × × × × × × × × × × ×

最後利用包含銷去法，即可得到所求之最簡布林函數表示式為 z

x w z y x w

f( , , , )= + +

6、試利用卡諾圖化簡法，求出下列多輸出布林函數為最簡表示式。

y w z x y z y x w f

z x z y w w z y x w f

⋅ +

=

⋅ +

⋅

⋅ +

= ) , , , (

) , , , (

2 1

解：

展開已知之布林函數式為標準積項之和如下

( )

∑ ∑

=

⋅ +

=

⋅ +

⋅

⋅ +

=

14 , 13 , 12 , 9 , 8 , 6 , 5 , 4 , 1 , 0 )

, , , (

14 , 12 , 10 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 )

, , , (

2 1

y w z x y z y x w f

z x z y w w z y x w f

檢視所求之兩個布林函數間之關係，以尋找這兩個布林函數 f₁(w,x,y,z) 與 )

, , ,

2(w x y z

f 之公共項，如下圖所示。

) , , ,

1(w x y z

f f₂(w,x,y,z)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

經由以上卡諾圖法之化簡，即可得兩個布林函數之最簡結果為 z

y z x w z y x w

f₁( , , , )= + ⋅ + ⋅ z x y z y x w

f₂( , , , )= + ⋅ wx

yz

01 00

00 01

11

10

wx yz

01 00 00 01

11

10

第 三 章 作 業 解 答

第 三 章 作 業 解 答

∑ (

)

( )

∑

( )

( ) ( ) ( )

∏

( )

( ) ( ) ( )

∏

∑

∑

∏ (

)

(

)

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

∑ (

)

(

)

(

)

(

) (

) (

) (

)

∑ (

)

∑ (

)

∑ (

)

( )

( )

∑ ∑

第三章作業解答

第三章作業解答