國立臺南女中 100 學年度第二學期期末考高二（社會組）數學科試題
說明：
1. 請於答案卡上畫記答案，否則不予計分
2. 本試卷中符號 d（P，L）意思為點 P 到直線 L 的距離 3. 雙曲線的標準式亦可寫成 1
2
2 + =
B y A
x ，此時A× B<0
一、單選題：（每題5 分，未作答不給分，共 20 分）
1. 平面上有一拋物線的焦點為 A（3，0），試問下列選項中的直線何者不可能是此拋物線的準線？
（1）L1：x+1=0（2）L2：x−3=0（3）L3：y+1=0（4）L4：y−3=0
2. 已知動點 P（x，y）符合 (x+1)2+(y−3)2 + (x−5)2 +(y+1)2 = 52，則 P 點所形成的圖形不經過下列哪一象限？
（1）第一象限（2）第二象限（3）第三象限（4）第四象限
3. 平面上以 F1（3，0）、F2（−3，0）為焦點的雙曲線為 Γ，若 Γ 的二頂點距離為 4，則 Γ 的方程式為下列何者？
（1） 1 5 4
2
2 − y =
x （2） 1
5 16
2
2 − y =
x （3） 1
9 4
2
2 − y =
x （4） 1
4 9
2
2 − y =−
x
4. 平面上有 2 個二次曲線Γ1： 1 9 16
2
2 + y =
x 和Γ2：x2 =4cy相交於二點。已知點（a，b）是其中一個交點，則下列選 項中，哪二個必為另一個交點？
（1）（−a，b）（2）（a，−b）（3）（−a，−b）（4）（0，0）
二、多重選擇題：（每題5 分，每錯一選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止。未作答不給分，共 20 分）
1. P（x，y）點為平面上的動點，請選出下列選項中正確者：
（1）若 P 點滿足
2 ) 1
1
( 2 2 −
= +
+ x
y
x ，則 P 點所形成的圖形為一拋物線
（2）若 F1、F2為平面上相異二定點，則當PF1−PF2 =k，其中 k 為小於F1F2 的定值，則 P 點所形成的圖形必為 一雙曲線
（3）若 (x−4)2+ y2 + (x−4)2+(y+3)2 =6，則 P 點所形成的圖形為一長軸平行於 y 軸的橢圓
（4）若 F1、F2為平面上相異二定點，且二點間距離為6 單位，若三角形 PF1F2的周長為16 單位，則符合此條件 的所有點 P 會形成一個完整的橢圓
（5）設點 A 為直線 L 上的一定點，則符合條件 PA ＝d（P，L）的所有 P 點形成一直線
2. 平面上以 F1（0，−5）、F2（0，5）為焦點，貫軸長為 8 單位的雙曲線為 Γ。以雙曲線 Γ 的貫軸作為共軛軸、共軛 軸作為貫軸的雙曲線稱為Γ 的共軛雙曲線。下列關於雙曲線的描述，有哪些是正確的？
（1）雙曲線 Γ 的標準式為 1 16 9
2
2 + =
− x y
（2）若雙曲線 Γ 的共軛雙曲線為Γ′ ，則 Γ′ 的標準是為 1 9 16
2
2 + =
− x y
（3）雙曲線 Γ 與其共軛雙曲線Γ′ 的所有頂點必落在同一個圓上
（4）雙曲線 Γ 與其共軛雙曲線Γ′ 的所有焦點必落在同一個圓上
（5）雙曲線 Γ 與其共軛雙曲線 Γ′ 有相同的漸近線，均為4x± y3 =0
3. 等軸雙曲線的定義為：貫軸長恆等於共軛軸長的雙曲線。若有一等軸雙曲線的中心為 A（3，2）、且有一焦點為 F
（7，2），則下列選項中正確的有哪些？
（1）此雙曲線的另一個焦點必為（ 1− ，2）
（2）此雙曲線的貫軸長為4 2
（3）此雙曲線有一漸近線為x− y=1
（4）此雙曲線上任一點到二漸近線距離之乘積必為 4
（5）此雙曲線的方程式為 1
8 ) 2 ( 8
) 3
(x− 2 − y− 2 =
4. 方程式 Γ： 1 2 6
2
2 =
+ +
− t y t
x ，其中 t 為 6 和− 以外的實數。則下列關於此方程式的敘述中，正確的有哪些？ 2
（1）存在實數 t，使得此方程式表示的圖形為一個圓
（2）當−2<t<6時，方程式表示的圖形必為一個橢圓
（3）當此方程式表示的圖形為一個橢圓時，橢圓的長軸必落在 x 軸上
（4）當t<−2或t>6時，方程式表示的圖形必為一個雙曲線
（5）若t=t1時，Γ 是一個橢圓 Γ1；且當t =t2時，Γ 是一個雙曲線 Γ2。則橢圓Γ1和雙曲線Γ2必有相同的焦點
三、選填題：（每題6 分，共 60 分）
1. 雙曲線 1
16 ) 2012 (
9 ) 101
( 2 + + 2 =
−
− y
x 的二焦點分別為 F1、F2，若 P 點落在雙曲線上，且∠F1PF2 =60°，則三角形 F1PF2
的面積=α× 3平方單位，其中α＝ 。
2. 橢圓 Γ 的其中一個焦點為點 F，P 為橢圓上的動點，若 P 點到焦點 F 的距離最大值為 18、最小值為 8，則此橢圓 的短軸長＝ 。
3. 雙曲線 Γ 的貫軸、共軛軸分別落在 y 軸、x 軸，若有一漸近線斜率為 3
4，且雙曲線二焦點距離為10，若雙曲線 Γ
的方程式為 1
2
2 + =
β α
y
x ，則數對（α，β）＝ 。
4. 平面上有一定點 A（3，2）及一定直線 L：x+1=0，P 點為平面上的動點，若 PA ＝d（P，L），則 P 點的軌跡會 形成一個二次曲線，已知此二次曲線的標準式為(y−k)2 =4×c×(x−h)，則數對（k，c，h）＝ 。 5. 以橢圓 Γ： 1
4 9
2
2 + y =
x 的焦點為頂點、並以此橢圓的長軸頂點為焦點的雙曲線標準式為 1
2
2 + =
β α
y
x ，數對（α，β）
＝ 。
6. 以直線y−2=0為對稱軸的拋物線通過二點 P（3，6）、Q（5，2−4 2），設此拋物線的焦距為 a，則 a＝ 。 7. 橢圓 1
9 25
2
2 + y =
x 有一焦點為 F（c，0），其中 c 為一正數，若 P 點為橢圓在第一象限中的某一點，且已知
3
=11
PF ，
則 P 點的坐標為 。
8. 中心為（1，2），二漸近線為2x− ay=0、2x+ y=b，且過（6，10）的雙曲線為( −1)2 −( −2)2 =1 β
α
y
x ，則數對（a，
b，α，β）＝ 。
9. 已知4x2+ y2 =4，令 2 8 − y22 +
x 的最小值為 m、最大值為 M，則數對（m，M）＝ 。 10. 橢圓 Γ： 1
4 9
2
2 + y =
x ，令 O 點為橢圓中心，F 為橢圓的其中一個焦點，若 Q 點為橢圓上動點 P 與焦點 F 連成的線
段中點，則QF+QO＝ 。
國立臺南女中 100 學年度第二學期期末考高二（社會組）數學科解答
一、單選題：（每題5 分，未作答不給分，共 20 分）
1 2 3 4 2 3 1 1 二、多重選擇題：（每題5 分，每錯一選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止。未作答不給分，共 20 分）
1 2 3 4
35 145 12345 14
三、選填題：（每題6 分，共 60 分）
1 2 3 4
9 24 （−9，16） （2，2，1）
5 6 7 8
（5， 4− ） 2 （
3
5， 8 ） （1，4，9，36）
9 10
（−6，10） 3
