國立臺南女中 100 學年度第二學期期末考高三（社會組）數學科試題

國立臺南女中 100 學年度第二學期期末考高三（社會組）數學科試題

命題教師：李珮麒老師

一、多選題：（每題 6 分，共 24 分，答錯一個選項扣 3 分，扣到該題 0 分為止）

1. 某一實驗測得 15 組樣本點（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、…、（x₁₅，y₁₅），已知 165

15

1

∑

= i

xi 、 315

15

1

∑

= i

yi 、 ( ) 576

15

1

2 =

∑

= i

i x

x 、

900 )

(

15

1

2 =

∑

= i

i y

y 及 ( )( ) 9

15

1

=

−

∑

= i

i

i x y y

x ，請問下列敘述何者正確？

（A）x與 y 相關係數大於 0

（B）用最小平方法求得之迴歸直線斜率為正數

（C）此實驗適合用直線y=a+bx表示x與 y 的相關情形（a、b 為常數，b≠0）

（D）若此組實驗數據再增加一個樣本點（75，22），則滿足此 16 個樣本點之相關係數會變大

（E）若此組實驗數據再增加一個樣本點（75，22），則滿足此 16 個樣本點之迴歸直線不改變 2. 關於指數函數與對數函數圖形的敘述，下列哪些選項是正確的？

（A）當x<0時，y=2012^x的圖形恆在y=101^x的下方

（B）y=log₁₀₁x與y=101^x兩函數的圖形對稱於直線y= x

（C）y=log₁₀₁x與y=log₁₀₁(−x)兩函數的圖形對稱於直線 y 軸

（D）y=log₁₀₁x與y x

101

log 1

= 兩函數的圖形對稱於直線x軸

（E）y=log₁₀₁(x³−2012x+1)的圖形與x軸相交

3. 擲一枚均勻硬幣 100 次，若恰好出現n次正面的機率記為a ，X 表示出現正面的次數，則下列哪些選項是正確的？ _n

（A）a₄₀ =a₆₀（B）a₄₀ >a₄₁（C）a₆₀ >a₆₁（D）X 的標準差為 25（E）X 的期望值為 50 4. 設 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ d c

b

A a 為一個轉移矩陣， ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

0 6 . 0

1 4 .

B 0 、 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

9 . 0 3 . 0

1 . 0 2 .

C 0 ，則下列哪些選項是正確的？

（A） B 為轉移矩陣

（B）C為轉移矩陣

（C） AB 為轉移矩陣

（D）可找到轉移矩陣 A 使得AC為轉移矩陣

（E）無論轉移矩陣 A 為何， ( ) 2

1 A+C 必定不為轉移矩陣

二、填充題：

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得分 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 71 76 1. 小陽有一台自行車，平時用一副四位數密碼的號碼鎖所鎖住。有一天，小琪向他借用這台自行車，他答應借用，

但只告訴小琪號碼鎖的密碼abcd符合以下二階方陣的等式： ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

4 0

0 4 12

8 10 6

d c

b

a ，小琪卻一直無法解出

正確的密碼，而不能使用這台自行車。求這副號碼鎖的正確密碼四位數abcd＝ 。

2. 擲 3 個公正的骰子 1 次，在至少出現一個 6 點的條件下，求恰好出現 2 個 6 點的機率＝ 。

3. 某商店進一批芒果，平均單價為每個 80 元，標準差為 20 元。今每個芒果以進價的 1.5 倍再加 20 元為售價出售，

若芒果的平均售價為每個 x 元，標準差為 y 元，則數對（x，y）＝ 。

4. 符號P(C)代表事件 C 發生的機率，符號P(C D)代表在事件 D 發生的條件下，事件 C 發生的機率。今設 A、B 為 樣本空間中的兩個事件，已知P(A)=0.6，P(B)=0.7，試求：

（1）P(BA)的可能範圍為 。

（2）若 A、B 為獨立事件，則P(A∪B)＝ 。

5. 政府於 101 年 3 月開放美國牛肉進口問題引起社會廣大的討論，衛生機構欲針對進口美國牛肉是否含有瘦肉精進 行檢驗，便委託毒物專家李教授研發檢驗技術，經研究發現：若牛肉含有瘦肉精就必定可以檢驗出來，但卻有 3%

的機率將不含有瘦肉精的牛肉誤檢為含有瘦肉精。已知某批進口的美國牛肉品有 4%含有瘦肉精，則檢驗此批進口 美國牛肉發現含有瘦肉精的情況下，真正含有瘦肉精的機率為 。（化為最簡分數）

6. 試求滿足多項不等式x³(x+6)(x−3)(x−8)≤(8x² −15x)(x+6)(x−3)(x−8)之整數解x共有 個。

7. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上由點 A（20，0）、B（30，5）、C（58，13）、D（48，8）所圍成的 平行四邊形及其內部。已知目標函數ax+by（其中 a、b 為常數）在 B 點有最小值 20，則此目標函數在同個可行 解區域的最大值為 。

8. 下列 A～E 分別代表 5 組二維數據，其相關係數依序為 r1、r2、r3、r4、r5，試求 r1、r2、r3、r4、r5之大小關係 。

（A）

x 2 4 6 8

y 1 3 5 7

（B）

x 1 3 5 7

y 2 4 6 8

（C）

x 2 4 6 100

y 1 3 5 7

（D）

x 2 4 6 8

y 9 29 49 69

（E） 20

10

1

∑

= i

xi ， ¹⁰ ₃₀

1

∑

= i

yi ， ¹⁰ ₈₀

1 2 =

∑

xi ， 100

10

1 2 =

∑

yi ， ¹⁰ ₅₀

1

∑

= i

i iy x

9. 某動物園的遊園列車依序編號 1 到 9，共有 9 節車廂，今想將每節車廂畫上一種動物。如果其中的兩節車廂畫企鵝，

兩節車廂畫無尾熊，另兩節車廂畫大象，剩下的三節車廂畫上貓熊，並且要求最前面的四節車廂必須有大象、企 鵝、無尾熊及貓熊，則 9 節車廂一共有 種畫法。

10. 某公司舉辦年終尾牙餐會，會中安插了一項抽獎活動。在抽獎箱中放了一副 52 張的撲克牌，每人抽出一張牌，且 抽後放回；抽到紅心的紅色牌給獎金 8000 元，抽到方塊的紅色牌給獎金 5000 元，抽到黑桃的黑色牌給 2000 元的 獎金，而抽到梅花的黑色牌則重抽一次。假設每張牌被抽到的機率相等，那麼抽到獎金的數學期望值為 元。

11. 設 f(x)=x⁴+6x³−13x²−36x−18、g(x)= x⁴+7x³+10x+12，h(x)為 f(x)與g(x)的最高公因式且最高次項係數為 1，

則h(42)為 。

12. 在坐標平面上，A（1，6）、B（3，3）、C（x，x）、D（4，5）四點，其中x為實數，若三角形 ABD 面積等於三 角形 BCD 面積的 3 倍，則 x＝ 。

國立臺南女中 100 學年度第二學期期末考高三（社會組）數學科解答

一、多選題：（每題 6 分，共 24 分，答錯一個選項扣 3 分，扣到該題 0 分為止）

1 2 3 4

ABDE ABCDE ACE ACE

二、填充題：

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得分 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 71 76

1 2 3 4(1)

6543

91

15 （140，30） ( ) 1

2

1 ≤P BA ≤

4(2) 5 6 7

0.88

43

25 12 32

8 9 10 11

4 2 1 3

5 r r r r

r < < = = 或

5 3 4 2

1 r r r r

r = = > > 1440 5000 2106

12

3 16或

3 2