105 高一上數學 Ch1.2 第1 頁 cjt 翰林版
Ch 1.2 數線上的幾何 一年____班 座號：____ 姓名：
重點1：數線上兩點距離公式與分點坐標公式
1.坐標：數線上每一點 P 對應到一個實數 x，稱為這個點的坐標，以 P(x)表示
2.距離公式：設兩點 A 與 B 的坐標分別為 a 與 b，即 A(a)，B(b)，則 AB 就是 A 與 B 兩點的距離 a b 3.內分點公式：
設數線上兩點A(a)，B(b)，且 a＜b，點 P(x)介於 A，B 兩點之間，且 AP ： BP ＝m：n，如下圖 則P 點的坐標為 x＝na mb
m n
註：若 m：n＝1：1，則點 P 是 AB 的中點，得到 AB 的中點坐標公式為 2 ab
，即P(
2 ab
)
例1.1：(1)設 A(－2)，B(4)為數線上兩點。若點 P 介於 A，B 兩點之間且 AP ： BP ＝3：5，求 P 點的坐標。
(2)設 A(－2)，B(4)為數線上兩點。若點 A 介於 P，B 兩點之間且 AP ： BP ＝3：5，求 P 點的坐標。
例1.2：設 a＜b，P1，P2，P ，3 P4，P 分別是 a，b 間的 5 個等分點，如圖所示： 5 (1) 5
6 a b
， 2 a b
，2 3 a b
分別是哪些點的坐標？
(2)比較 5 6 a b
， 2 a b
，2 3 a b
三數的大小。
例1.3：設 A(3)，B(7)為數線上兩點。若 P，Q 兩點將線段 AB 三等分且 P＜Q，試求 P，Q 兩點的坐標。
x
a b
A BP1 P2 P3 P4 P5
105 高一上數學 Ch1.2 第2 頁 cjt 翰林版
重點2：數線上坐標的表示法
1.數線上 P(a)表是一點，其幾何意義如圖(1)
2.閉區間[a，b]表示 a x b，其幾何意義如下圖(2) 3.開區間(a，b)表示 a＜x＜b，其幾何意義如下圖(3)
4.半開區間[a，b)表示 a x＜b，其幾何意義如上圖(4) 半開區間(a，b]表示 a＜x b，其幾何意義如上圖(5) 5.[a，)表示 a x，其幾何意義如下圖(6)
(a，)表示 a＜x，其幾何意義如下圖(7)
6. (－，b]表示 x b，其幾何意義如上圖(8) (－，b)表示 x＜b，其幾何意義如上圖(9)
7. (－，)表示 xR (即整條數線)，其幾何意義如上圖(10)
例2.1：在數線上標出以下範圍：
(1) x＝2 (2) x＞2 (3) x ≥ 2 (3) －1 ≤ x＜2
例2.2：在數線上標出以下範圍：
(1) x＞2 或 x＜－3 (2) x＞0 且 x ≤ 3 (3) x＜－1 且 x＞2 (4) x＜3 或 x＞0
重點3：數線上兩點的距離
1.絕對值的定義：在數線上，實數點 a 與原點 O 之距離，記作a，讀作 a 的絕對值(或絕對值 a ) 對實數 a，則a＝
a a a
a a a
則 當
則 當
, 0
, 0
註：a表示數線上點 P(a)與原點的距離
a－b就是 P(a)與 Q(b)兩點的距離 2.絕對值性質：
(1) a 0 (2)a＝－a 0 (3)a＝0 a＝0 (4) a ＝a2 2 (5) ab＝ab (6)a b a2 b2
(7)若 b 0，
ba ＝
b
a (8)三角不等式a＋b a＋b
3.設數線上兩點 A 與 B 的坐標分別為a與b(以符號 A(a)，B(b)表示)，
則A，B 兩點的距離定義為a－b＝ b－a，以 AB 表示，如下圖 註：(1)若 a b，則 AB ＝a－b＝a－b
(2)若 a＜b，則 AB ＝a－b＝b－a a b (2)
a b
(3)
a b
(4)
a b
(5)
a (6)
a (7)
b (8)
b (9)
a b
(10) a
(1)
A B
a b
| a－b |
B A
b a
| a－b | O a
b
b a P Q
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例3.1：(1)說明 x ＝4 的幾何意義。
(2)解 x ＝4
例3.2：試說明下列各式的幾何意義：
(1) 4－2 (2) 4＋2 (3) a＋1＋a－3
重點4：含絕對值的一次方程式與不等式
1.意義：利用幾何的想法來思考(距離)，或利用代數的方式來思考(去掉絕對值要考慮正負)
2.一次方程式：含有未知數 x 的等式，稱為方程式；「解方程式」就是要求出滿足方程式之未知數 x 的值
一次不等式：有不等號()的式子，稱為不等式；「解不等式」就是要求出滿足不等式之所有未知數的值(範圍) 3.一次方程式與不等式的解：設k是正實數
(1)若x＝k，則 x＝k 或 x＝－k (2)若x k，則 k x k (3)若x k，則xk或x k
例4.1：解下列方程式，並將解描繪在數線上：
(1) x＝6 (2) x＋3＝4
例4.2：解下列不等式：
(1) x＜3 (2) x≥ 3
例4.3：解下列不等式：
(1)x＋2≥ 4 (2) x－1＜2
例4.4：解不等式x＋2＋x－3＞7，並將解描繪在數線上。
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例4.5：設不等式 f (x)＝x＋2＋x－3
(1)試作 f (x)的圖形
(2)若 f (x)＝x＋2＋x－3≥ k，試求 k 之值 (3)若 f (x)＝x＋2＋x－3＝k 無解，試求 k 之值
例4.6：解下列各不等式：
(1)
1 1
2 3 x
x (2) 1 2x1 ＜5
例4.7：解不等式x 5 2x4
重點5：三角不等式
定義：設a，b為實數，則 a ＋ b ab 稱為三角不等式
例5.1：設x為實數，求 x 2 x 1的最小值。
