AD BD AB AB AD BP AB = = PQ , ⇒−++==− ⇒ =−++ DE AEAD m n AC

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.10.13 班級

範

圍 1-2、3、4 向量

座號

姓 名

2-1. △ABC中，D在

BC

上，E在

AC

上且

CD

：BD = 2：1，AE：

EC

= 1：3，若 = m + n ， 則數對(m，n) =

____\

DE

____\

AB

____\

AC

。

【解答】( 1 5

3 12

− ，− )

【詳解】

____\

DE

= ^____

AE AD

^\−^____\ =1 ^____\ 1^____\ 2^____\

( )

4

AC

− 3

AB

+2

AC

= 1^____\

3

AB

15

− 2 ^____

AC ，∴(m，n) = (

^\ 1 5 3 1

− ，−

− 2)

2-2. 已知

OC

^____\ = (5t + 3)^____\

OA

+ (4 + t)^____\

AB

，且 A，B，C 三點共線，若求 t=________。

【解答】 2

− 5

【詳解】

= (5t + 3) + (4 + t) = +

A，B，C 三點共線

____\

OC

^____\

OA

^____\

AB

____\ ____\ ____\

A

(5

t

3)

OA

+ +(4

t OB O

)( − ) ⇒

OC

^____\

B

____\ ____\

(4

t

1)

OA

(4

t O

)

= − + +

(4 1) (4 ) 1, 2

t t t

5

⇒ − + + = = −

2-3. 若△ABC中，

AB

= 3，

AC

= 3，∠

BAC

=120°，且

P Q

, 為

BC

的三等分點點，求^____

AP AQ

^\⋅^____\ = ?

【解答】5

【詳解】

BP ： PC

=2 :1⇒ ^____\

AP

=2 3

____\

AB

+1 3

____\

AC ，同理

^____\

AQ

=1 3

____\

AB

+2 3

____\

AC

． =

____\

AB

^\

____

AC

1

cos120 3 6 ( ) 9

AB AC

× × ° = × × −2 = − 故^____\

AP

．^____\

AQ

= (2

3

____\

AB

+1 3

____\

AC )．(

1 3

____\

AB

+2 3

____\

AC )

____\ ____\ ____\ ____\

2 2

2 2

1[2| | 5 2| | ] 9

1[2 3 5( 9) 2 6 ] 9

5

AB AB AC AC

= + ⋅ +

= × + − + ×

=

2-4. △ABC中，已知

AB

= 4，

BC

= 5，

CA

= 2，∠A的分角線交

BC

於D點，求 AD 之長 。

【解答】 22 3

【詳解】

AD 為角平分線， BD ： CD

= AB ：

AC

= 4：2 = 2：1， ^____\ 1^____\ 2^____

3 3

AD

=

AB

+

AC

^\

____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 2 1 1

| | | | | 2 | [| | 4 4| |

3 3 9 9

1[ 4 4 ]

9 2

1 4 2 5 22

[4 4 4 5 ]

9 2 9

AD AB AC AB AC AB AB AC AC

AB AC BC

AB AC

= + = + = + ⋅ +

+ −

= + × +

+ −

= + × + × =

2]

⇒ AD

= 22 3

2-5. 設△ABC中，D，E，F三點分別在

BC

，

CA

， AB 上，

BD CD

: =1:1,

CE EA

: = :1，2 : 3 :

AF FB

= 2 ，且G是△DEF的重心，若^____

AG

^\ = x ^\，則(x，y) =

\ ____

____

AC y

AB

+ 。

【解答】( 11 30， 5

18 )

【詳解】

∵ G 為△DEF 的重心

∴ ^____

AG

^\ = 3

1(^____

AD

^\ +

____\

AE

+^____

AF )

^\ =

3

1[(1^____\

2

AB

+1^____\

2

AC )+

^____\ 3

1

AC

+3^____\

5

AB ] =

3

1(11^____\

10

AB

+5^____\

6

AC ) =

11^____\

30

AB

+ 5 ^____\

18

AC

2-6. △ABC中， AB= 3，

AC

= 2，

BC

=

11

，又H為△ABC的垂心，若 ^\

____

AH

= x + y ，則 數對(x，y) =

____\

AB

____\

AC

。

【解答】( 3 35， 8

35)

【詳解】

． =

____\

AB

____\

AC

2 1(| ^\|

____

AB

² + | |

____\

AC

² − | |

____\

BC

² ) = 2

1(9 + 4 − 11) = 1

H為垂心

⇒ ^____

AH ．

^{\ ____}

AB

^\=

____\

AH ．

^____

AC

^\ = ． = 1

____\

AB

____\

AC

____\

AH ．

= x |

|

____\

AB

____\

AB

²

+ y

^____

AC

^\ ． ⇒ 9x + y =1……c

____\

AB

____\

AH ．

= x ． + y | |

____\

AC

____\

AB

____\

AC

____\

AC

² ⇒ x + 4y = 1……d 解c，d得數對(x，y) = ( 3

35， 8 35)

2-7. 已知△ABC中，O為外心， AB= 4，

AC

= 6，∠

BAC

= ° ，若60 ^____\

AO = x

+ y ，求 (x，y) =

____\

AB

____\

AC

。

【解答】(1 6，4

9)

【詳解】

____\

AB ．

____\

AC = AB × AC

×cos 60° = 4×6×

1 =12 2

____\

AO ．

____\

AB

= 2 1|

____\

AB |

² = 8

____\

AO ．

____\

AC =

2 1|

____\

AC |

² =18

____\

AO ．

= x | |

____\

AB

____\

AB

² + y ． ⇒ 16x +12 y = 8……c

． = x ． + y

____\

AC

____\

AB

____\

AO

____\

AC

____\

AB

____\

AC

| |

____\

AC

² ⇒ 12x + 36y =18……d 解c，d得(x，y) = (1

6，4 9)

2-8. 如圖，A、B、O不共線，OC ，

____\ ____\ ____\ ____\

3

OA OD

, 2

OB

= =

AD 與 BC

交於P點，若 = x + y ，

求數對(x，y) =

____\

OP

^____\

OA

^____\

OB

。

【解答】 (3 5，4

5)

【詳解】

= x + y = x

____\

OP

^____\

OA OB

^____\ 1^____\

( )

3

OC

+y （∵ ）

∵ B，P，C 三點共線 ∴

____\

OB

____\ ____\

3

OC

=

OA

1

3

x + y = 1……c

= x + y = x +y

____\

OP

^____\

OA OB

^{____\ ____\}

OA

1^____\

(2

OD) （∵

）

∵ D，P，A 三點共線 ∴ x +

____\ ____\

2

OD

=

OB

1

2

y = 1……d

由cd得(x，y) = (3

5，4 5)

3-1. 設

A

(5,1), (3, 5),

B C

(1, 6)，若 ，則 點的坐標為

____\ ____\ ____\ ____

3 2

AP

= −

AB

+

BC AC

+ ^\

P

。

【解答】 (3, 4)−

【詳解】設

(

____\

( , ) ( 5, 1)

P x y

⇒

AP

=

x

−

y

−

____\ ____\ ____

(3 5,5 1) ( 2, 4); (1 3, 6 5) ( 2,1); ( 4, 5)

AB

= − − = −

BC

= − − = −

AC

^\ = −

____\ ____\ ____\ ____\

3 2 ( 5, 1) 3( 2, 4) 2( 2,1) ( 4,5)

AP

= −

AB

+

BC AC

+ ⇒

x

−

y

− = − − + − + −

5, 1) (6 4 4, 12 2 5) ( , ) (3, 4)

x

−

y

− = − − − + + ⇒

x y

= − 3-2. 設

a

K = (4，3)，bK

= ( x，− 2)，若( 2aK −bK

) // (

a

K + 2bK

)，求

x 之值 =_______________。

【解答】 8

− 3

【詳解】

−

2a K

b

K

= ( 8 − x，8 )， aK + 2bK

= (4 + 2x，− 1) ( 2

a

K−

b

K

) // (

a

K+ 2bK

)⇒ 8 8

, (8 ) 8(4 2 )

4 2 1 3

x x x x

x

− = − − = + ⇒ = −

+ −

8

3-3. 如圖，設

OA

=1,

AB

=2,

BC

=4,

CD

= 且8, θ = ° ，求 D 點坐標____________。 30

【解答】 ( 3 1,1 6 3)− +

【詳解】

____\

(1, 0)

OA

=

____\

(2 cos 30 , 2sin 30 ) ( 3, 1)

AB

= ° ° =

____\

(4 cos 60 , 4 sin 60 ) (2, 2 3)

BC

= ° ° =

____\

(8 cos120 ,8sin120 ) ( 4, 4 3)

CD

= ° ° = −

____\ ____\ ____\ ____\ ____\

(1 3 2 4, 0 1 2 3 4 3) ( 3 1,1 6 3)

OD

=

OA AB BC CD

+ + + = + + − + + + = − +

⇒

D

( 3 1,1 6 3)− +

3-4. 設A( − 4，14)，B(1，4)，P在直線AB上且 AP ： PB =3：2，則P之坐標為 。

【解答】 ( 1− ,8)或 (11, 16)−

【詳解】設

P

(x，y)

c若

P

為內分點， AP ： PB= 3：2，則

3 1 2 ( 4) 3 2 1

( 1,8) 3 4 2 14

3 2 8

x

P y

× + × −

⎧ = = −

⎪⎪ + ⇒ −

⎨ × + ×

⎪ = =

⎪ +

⎩

d若

P

為外分點， AP ： PB= 3：2，則

3 1 ( 2) ( 4) 3 2 11

(11, 16) 3 4 ( 2) 14

3 2 16

x

P y

× + − × −

⎧ = =

⎪⎪ − ⇒ −

⎨ × + − ×

⎪ = = −

⎪ −

⎩

3-5. 設直線的參數方程式分別為L1： 5 3 7 2

x t

y t

⎧ = +

⎨ = − −

⎩ ，t ∈ R，L2： 1

2 7

x t

y t

⎧ = −

⎨ = +

⎩ ，t ∈ R，求L1與L2的 交點為 。

【解答】 ( 2，−5 )

【詳解】

(1) L1： 5 3 7 2

x t

y t

⎧ = +

⎨ = − −

⎩ ，t ∈ R，L2： 1

2 7

x s

y s

⎧ = −

⎨ = +

⎩ ，s ∈ R，則

⇒

解c，d ⇒ t = − 1，s = −1，故L

5 3 1 7 2 2 7

t s

t s

+ = −

⎧⎨− − = +

⎩

3 4

2 7 9

t s

t s

+ = −

⎧⎨− − =

⎩

""

""

c d

1與L2的交點為( 2，−5 )

3-6. 梯形 ABCD 中，

AD / / BC

且 (3, 6),

A B

(1,5),

C

(4,1),

AD

= ，則 D 點坐標____________。 3

【解答】 24 18 ( ,

5 5)

【詳解】設

D x y

( , )⇒^____\

AD

=(

x

−3,

y

−6)，且^____\

BC

=(4 1,1 5)− − =(3, 4)− 又

AD / / BC

且

____\

____\

____\

(3, 4) 9 12

3 3( ) 3 ( ,

5 5

| | AD AD BC

BC

= ⇒ = = − = − )

5

9 12 24 18

( 3, 6) ( , ) ( , ) ( , )

5 5 5 5

x

−

y

− = − ⇒

x y

=

3-7. 設一平面上 A(3，1)，直線 L： 1 2 2

x t

y t

= − +

⎧⎨ = − −

⎩ ，t ∈ R，則 A 點到直線 L 的最短距離長 =_______。

【解答】 2 5

【詳解】直線 L： 1 2 2

x t

y t

= − +

⎧⎨ = − −

⎩ ，t ∈ R⇒ +

x

2

y

+ = 05 ， d(A；L) =

2 2

| 3 2 1 5 |

2 5 1 2

+ ⋅ + = +

3-8. 有一颱風中心在清晨零時位於A(4，− 6)，清晨 2 時已到B(1，0)，若此一颱風做等速直線行 進，求上午 8 時颱風中心所在的坐標位置為 。

【解答】 ( 8− ,18)

【詳解】

颱風路線方向向量^____\ 3

( 3, 6) 2( , 3)

AB

= − = −2 颱風中心清晨 t 時位置在

4 3

: 2

6 3

x t

y t

⎧ = −

⎪⎨

⎪ = − +

⎩

8,

⇒ = 颱風中心在

t

3

(4 8, 6 3 8) ( 8,18)

− × − + × = −2

4-1. 設^____\

OA

= (− 12，1)，

OB

^____\ = (− 2，5)，若 ，且 ，則

____\ ____\ ____\ ____

, / /

OC

⊥

OB BC OA

^\

OD

^____\ =

OC OA

^____\−^____\

OD

^____\ = ______。

【解答】 (22, 3)

【詳解】 設 ，

____\ ____\

OC

⊥

OB

⇒

OC

^____\ =

t

(5, 2)=(5 , 2 )

t t OC OB

^____\−^____\ =(5

t

+2, 2

t

− 5) 因為

____\ ____\ ____\ ____\ ____

/ / ( ) / / ^\

BC OA

⇒

OC

−

OB OA

，5 2 2 5 ^____\

5 2 24 60, 2 (10, 4) 12 1

t t

t t t OC

+ −

= ⇒ + = − + = ⇒ =

−

____\ ____\ ____\

(10 12, 4 1) (22, 3)

OD

=

OC OA

− = + − =

4-2. 若L1： 3 ，L 4 2 ,

x t

t R

y t

= − +

⎧ ∈

⎨ = −

⎩ ²： 3

5 ,

x t

t R

y t

⎧ =

⎨ = − ∈

⎩ ，則L1與L2之夾角

θ 為 。

【解答】 4

π

或

4 3

π

(45 ,135° °)

【詳解】L₁及L₂之方向向量，分別為 = (1，− 2)， = (3，−1) 則cos

θ

= ±

____\

v

1 ^____\

v

₂

____\ ____\

1 2

____\ ____\

1 2

1 3 ( 2) ( 1) 1

5 10 2

| || |

v v v v

⋅ = ± × + − × − = ±

⋅ ⇒

θ

=

4

π

,

4 3

π

4-3. 平面上三點

A

( 4, 1), (6, 4),− −

B C

( 1, 3)− ，則

B 在直線 AC 上的投影點為 。

【解答】 (2, 7)

【詳解】向量 AB^_____\ = (10，5)，向量^____\

AC

= ( 3，4)，

AB

_____\

在^____\

AC

上之正射影 =

____\ ____\

____\

2

( )

| | AB AC

AC

⋅

^____\

AC

=(

30 20 25

+

)(3，4) = (6，8)

設 B 在直線 AC 上的投影點為

D x y

( , )⇒^____\

AD

=(

x

+4,

y

+ =1) (6,8) ⇒

D x y

( , )=(2, 7)

4-4. 設

OA

， 若 | | = 4，| | = 5，| | =6，求△ABO面積

_____\ ____\

=

a OB

_____\ ____\

=

b

^____\

a

^____\

b

____\ ____

a

−

b

^\ 。

【解答】15 7 4

【詳解】

\

| | =6 ⇒ | − |

____\ ____

a

−

b

^____\

a

^____\

b

² =6² ⇒ |^____\

a

|² − 2^____\

a

．^____\

b

+ |^____\

b

|² = 36，得^____\

a

．^____\

b

=5 2

△ABO之面積 = 2

1 ^_____\ ₂ ^_____\ ₂ ^{_____\ _____\} ₂

) (

|

|

|

| OA OB − OA ． OB

= 2

1 _{2 2}

5

₂

15 4 5 ( )

2 4

× − = 7

4-5. 坐標平面上二點A(− 5，3)，B(2，1)，若直線x − 2y +3 = 0 交 AB 於P點，求

AP ： BP = 。

【解答】8：3

【詳解】 AP ： BP= d(A；L)：d(B；L) =| 5 6 3 | 1 4

− − +

+ ：| 2 2 3 | 1 4

− +

+ = 8：3

4-6. 平面上P(x，y)為直線

L

: 3

x

+4

y

− =2 0上，求 (

x

+5)²+(

y

−1)² 最小值 = 。

【解答】 13 5

【詳解】設 Q(− 5，1)； (

x

+5)²+(

y

−1)² 最小值 = d(Q；L)=

2 2

| 15 4 2 | 13 3 4 5

− + − + =

4-7. 已知x，y為實數且 3x − 2y = 4，則 3x² + 2y²的最小值為 。

【解答】16 5

【詳解】

3 2

3 2

x y

−

柯西不等式知(3x − 2y)² ≤ [( 3 x)² + (

2 y)

²] [( 3 )²+ (−

2

)²] ⇒ 16≤ (3x² + 2y² )

⋅

5

∴ ⇒ 16 ²

3 2

5

x y

2

≤ + ，即 3x² + 2y²的最小值為16 5 4-8. 設L：2x + y −5 = 0，試求過點(4，3)且與L之一夾角為

4

π

的直線方程式 。

【解答】3x− y = 9 或 x + 3y = 13

【詳解】設所求直線之斜率為 m，且方程式為(y − 3) = m (x − 1) L：2x − y + 3 = 0，則 cos

3 0

mx y m

⇒ − − + = 4

π

= ± (

2 2

2 1 1 2 1

m

m

²

+

+ + ) 兩邊平方 ⇒ 1

2=

⁽²

₂

¹⁾

²

5(

²

1) 2(2 1)

²

5( 1)

m m m

m

+ ⇒ + = +

+

即3

m

²+8

m

− = 3 0 (3

m

−1)(

m

+ =3) 0⇒ m = − 3 或 m =

3 1 所求為(y − 3) = − 3(x − 4)或(y − 3) =

3

1(x − 4)，即 3x− y = 9 或 x + 3y = 13