(1)向 量 1

向 量

1. 向量的相等：若 AB CDuuuv uuuv

、 相等，則|uuuvAB|=|CDuuuv| 且 AB CDuuuv uuuv

、 方向相同

2. 反向量：若 |uuuvAB|=|CDuuuv|

，但 AB CDuuuv uuuv

、 方向相反

則 CDuuuv= −uuuvAB

，例 BAuuuv= −ABuuuv

3. 向量加法：平行四邊形法 AB BC AC AB AC CB

+ =

− =

uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

4. 向量的係數積：

(A)對於任一向量 av

，設 r 為實數，把 r 與 av 之積 記為 rav

，若r >0 rav

， 與 av

同向；

若r<0 rav

， 與 av

反向。

|rav|=r a|v|

(B)若 A、B、C 相異三點共線，存在非零實數 t，使 ABuuuv =t ACuuuv 5. 向量內積：a bv v⋅ =|a bv v|| | cosθ

2

0

| | a b a a a

 ⋅ =



 ⋅ = v v

v v v垂直

6. 分點公式：

( )

m n

OP OB OA

m n m n

OA m OB OA

m n

OA m AB

m n

= +

+ +

= + −

+

= + +

uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

m n

OP OB OA

m n m n

= + −

− −

uuuv uuuv uuuv

7. 三點共線：A、B、P 三點共線⇔OPuuuv=αOAuuv+βOBuuuv, α β+ =1

( )

(1 ) ( )

AP t AB

OP OA t OB OA OP t OA t OB

⇒ =

− = −

= − +

uuuv uuuv

uuuv uuv uuuv uuv uuuv uuv uuuv

“ ”

(1 ) ( 0)

( )

( )

OP OA OB

OP OA OB OB

OP OB OA OB BP BA

α α α

α α α

⇐ = + − ≠

= − +

− = −

=

uuuv uuv uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuv uuuv uuv uuv

“ ”

8. 三角形面積公式

2 2 2

1 1

| | | || | sin

2 2

1 | | | | ( ) 2

OA h OA OB

OA OB OA OB θ

⋅ =

= − ⋅

uuuv uuuv uuuv

uuuv uuuv uuuv uuuv

9. 三角形的重心：

D，E，F 分別是 BC AC AB， ， 之中點

(a) 1

( )

AD= 2 AB+AC uuuv uuuv uuuv

(b) 1 1

3 3

AG= AB+ AC uuuv uuuv uuuv

證明： ( )

AG=αAD=α2 AB+AC uuuv uuuv uuuv uuuv

(1 ) (1 )

AG=βAE+ −β AB= β2 AC+ −β AB uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

1 2

2 3

β = −β ⇒ =β

(c)uuuv uuuv uuuv vAG+BG+CG=0

(d) 1 1 1

3 3 3

OGuuuv= OAuuuv+ OBuuuv+ OCuuuv

10. 三角形的內心：

正弦定理：

sin sin

c x

θ = α

sin( ) sin

b y

π θ = α

−

: :

x y c b

⇒ =

b c

AD AB AC

b c b c

= +

+ +

uuuv uuuv uuuv

證明： b c

AI AB AC

a b c a b c

= +

+ + + +

uuv uuuv uuuv

11. 平面向量座標表示：

( , )

x y

OP xe ye x y

= +

=

uuuv uv uv

1 1 2 2

1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

1 2 1 2

1

( ) ( )

( ) ( )

( , ) ( , ) ( , )

( ) ( )

| | ( ) ( )

x y x y

x y

x y

x

OA OB x e y e x e y e x x e y y e

x y x y x x y y

AB OB OA x x e y y e

AB x x y y

OA OB x x y y

rOA rx e

+ = + + +

= + + +

⇒ + = + +

= − = − + −

= − + −

= ⇒ = =

=

uuv uuuv v v v v

v v

uuuv uuuv uuv v v

uuuv uuv uuuv

uuv u

＊

＊

＊ ，

＊ v+ry e_{1 y} =(rx₁,ry₁)

＊單位向量| | 1av = 給定任一向

| | b b b

≡ b

v， $ vv 為單位向量

12. 分點公式：

1 1 2 2

( , ) , ( , ) OAuuv= x y OBuuuv= x y

P 點在 AB 線上且AP BP: =m n:

2 1 2 1

(mx nx ,my ny )

OP m n m n

+ +

= + +

uuuv

13. 直線的參數式：

(a)過點P₀ =(x₀ ,y₀)且與vv=( , )a b

平行之直線參數式

0 0

0

, x x ta P P tv

y y tb

 = +

=  = + uuuv v

(b)過P x₁( ₁ ,y₁)，P x₂( ₂ , y₂)兩點之直線參數式

1 2 1

1 1 2

1 2 1

( )

, ( )

x x t x x P P t P P

y y t y y

= + −

=  = + − uuuv uuuv

P 在∆ABC內部： APuuuv=mABuuuv+nACuuuv 證明：m≥0，n≥0，m+ ≤n 1

14. 向量的內積與夾角：

| || | cos av v− =b a bv v θ

2 2 2

2 2

2 1 2 1

2 2 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

cos 1( )

2

( ) ( )

OA OB ab A a b c

c x x y y

a x y b x y

OA OB x x y y

⋅ = = + −

= − + −

= + = +

⇒ ⋅ = +

uuv uuuv

uuv uuuv ，

若av=(a₁,a₂) bv=(b b₁, ₂)

，

1 1 2 2 0

av ⊥ ⇔ ⋅ =bv a bv v a b +a b =

， ^{1 2}

1 2

// a a

a bv v⇔ b = b 平行四邊形面積：

2 2 2

|a bv v|| | sinA= |av| | |bv − ⋅(a bv v)

2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 2 1

( )( ) ( )

| |

a a b b a b a b a b a b

= + + − +

= −

15. 柯西不等式：− ≤1 cosθ ≤1, (|a bv||v| cos )A ² ≤|av| | |² bv²

2 2 2

(a bv v⋅ ) ≤|av| | |bv

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

(a b +a b )≤(a +a )(b +b ) 等號成立時cosθ = ±1

1 2

1 2

// a a

a b b b

⇒ v v = 或

習題：

2 2

9 16 1

x + y = ，求x+ +y 2之極大值、極小值及 ( , )x y ？

16. 正射影： $

| | a a

≡ a v v

av 在 bv

方向的正射影：| | cosav θ b$

(| | cos ) ( 2)

| | | | b a b

a b

b b

θ ⋅

= =

v v v

v uv

v v

av 在 bv

方向的正射影長 | | cos

| | a a b

θ b⋅

= =

v v v

v 基底： a bv v

， 不垂直

2

0 ( )

| |

| |

| | a a

b a b a

b b a

a a a

a b b

b

 ′ =

 ′ ′⋅ =

 ′ = − ⋅



 ′′ ′

 = ′



 ′′= ′

 ′



v v

v v v v

v v v

v v v

v v v

v

柯西不等式另一個證法：| |bv′ ≥² 0

²

| ( 2) | 0

| | b b a a

a

− ⋅ ≥

v v v v v

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2 2

( ) ( )

| | 2 0

| | | | ( )

| | 0

| |

| | | | ( ) b a b a b

a a

b a b a

a b a b

⋅ ⋅

+ − ≥

− ⋅ ≥

⇒ ≥ ⋅

v v v v

v v v

v v v v

v v v v

17. 直絲的點斜式：

斜率 ^{2 1}

2 1

y y m x x

= −

−

1 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 1

( ) ( )

( )

( ) ( )

tan

x x t x x y y y y

y y t y y x x x x m y y m x x

m θ

= + −

 ⇒ − = − =

 = + − − −



− = −

= :

y=mx+b， b y軸截距

18. 截距式：x y 1 a+ =b :

a x 軸截距 :

b y 軸截距

19. 法式：法向量： : ( , )nv a b

0 0

( ) ( ) 0 0

a x−x +b y− y = ⇒ ax+by+ =c

20. 兩直線的夾角： ^{1 1 1}

2 2 2

0 0 a x b y c a x b y c

+ + =

 + + =

 法向量：nuv₁=(a₁,b₂)

nuuv₂ =(a₂ ,b₂)

法向量夾角： ^{1 2 1 1 2 2}

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2

( )

| || |

n n a b a b

n n a b a b

⋅ = +

+ +

uv uv uv uv

習題： ^{1 1}

2 2

y m x b y m x b

= +

 = +

 ，證明 ^{1 2}

1 2

tan 1 m m θ = m m−

+ 。(_θ 為銳角)

21. 點到直線的距離：

直線法向式：ax+by+ =c 0

線外一點P x( ₁,y ，線上一點₁) Q x( ₀,y₀) 法線方向的單位向量 $

2 2

1 ( , )

n a b

a b

= +

P 點到直線的距離d =|PQ nuuuv⋅ =$| |PQuuuv| cosθ

1 0 1 0

2 2

1 1

2 2

1 | ( ) ( ) |

1 | |

d a x x b y y

a b

ax by c a b

= − + −

+

= + +

+

22. 兩平行直線距離：

1 1

2 0 0

2 0 0

: 0

: ( ) ( ) 0

( )

L ax by c

L a x x b y y

c ax by

+ + =

− + − =

= − +

L 到1 L 的距離₂ ^{0 0 1 2 1}

2 2 2 2

|ax by c | |c c |

a b a b

+ + = −

+ +

23. 角平分線：

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

: 0

: 0

| | | |

L a x b y c L a x b y c

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + = + + =

+ + = + +

+ +

習題：| | | | x y 1

a + b ≤ ，作圖及求面積。

習題：|x+ y|+|x−2 |y ≤3，作圖及求面積。

空間中的直線與平面

1. 直線與平面的關係：

( ) ( ) ( )

a L E b L E c L E





與 平行

與 相交於一點

與 上

2. 決定平面的條件：

( ) ( ) ( ) ( ) a b c d







不共線三點

一直線與線外一點 兩相交直線

兩平行線

3. 空間中兩相異直線之關係：

( ) ( ) ( ) a b c





相交於一點 兩平行直線 兩歪斜線

4. 空間座標系：OPuuuv=a x$+b y$+cz$ =( ,a b c, ) 右手座標系

x 軸：正射影點： ( , 0 , 0)a y 軸：正射影點： (0 ,b, 0) z 軸：正射影點： (0 , 0 , )c xy 平面：正射影點： ( ,a b, 0)

5. 兩點間的距離：P a₁( ₁,b₁,c₁) , P a₂( ₂,b₂,c₂)

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )

(cos , cos , cos )

P P a a b b c c

P P P P α β γ

= − + − + −

uuuv= , ,

α β γ 分別是P Puuuuv1 2

與 , ,x y z 軸正向的夾角 (cos , cosα β, cos )γ ，叫方向餘弦。

$ (1 , 0 , 0) $ (0 , 1 , 0) (0 , 0 , 1) x= ，y = ，z$=

1 2

| 1 2| P P P P uuuv

uuuv 是單位向量， $x 也是單位向量。

由向量內積的定義可知兩者之間的內積，其數值為夾角的餘弦。

6. 空間向量的內積：

(a)av =(a₁ ,a₂ ,a₃)

bv =(b₁ ,b₂ ,b₃) a bv v⋅ =|a bv v|| | cosθ

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

2 2 2

2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

| | ( ) ( ) ( )

| | | | | | 2 | || | cos

2 | || | cos | | | | | | 2( )

| || | cos

c a b c a b a b a b

c a b a b

a b a b c a b a b a b

a b a b a b a b θ θ

θ

= − = − + − + −

= + −

= + − = + +

= + +

v v v v

v v v v v

v v v v v

v v

，

(b) ^{1 1 2 2 3 3}

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

( )

cos | || |

a b a b a b a b

a b a a a b b b

θ = ⋅ = + +

+ + + +

v v v v

(c)向量的垂直與平行：

3

1 2

1 2 3

0 //

a b a b

a a a

a b k a kb

b b b

 ⊥ ⇔ ⋅ =

 ⇔ ∃ = ⇔ = =



v v v v

v v v v

實數 使

(d)三點共線⇔ uuuv uuuvAB//AC ⇔uuuvAB=t ACuuuv 7. 空間向量的平行四邊形面積

1 2 3 1 2 3

( , , ) ( , , ) OAuuuv= a a a OBuuuv= b b b

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2

| || | sin | | | | | | | | cos

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

OA OB OA OB OA OB

a a a b b b a b a b a b a b a b b c b c a c a c

θ = − θ

= + + + + − + +

= − + − + −

uuv uuuv uuv uuuv uuv uuuv

8. 柯西不等式：|a bv v⋅ ≤| |av| | |² bv ² ⇔ ⋅(a bv v)² ≤|av| | |² bv ²

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

(a b a b a b ) (a a a )(b b b )

⇔ + + ≤ + + + +

等號成立時 ^{1 2 3}

1 2 3

a a a b = b = b 可推廣到 n 維空間。

(1 , 1 , 1) (0 , 1 , 1) (1 , 0 , 0) ( 1 , 1 , 1)

OA OC

OB BC

= =

= = −

uuv uuuv

uuuv uuuv

1 1

2 2

1 , cos 1, 70.5 3

2 2

2 , cos 35.3

3 2 3 OA BC

OA OC

θ θ

θ θ

⋅ = = ≈ °

⋅ = = = ≈ °

uuv uuuv uuv uuuv

,

Ex. 2x−6y+3z=28 x y z, , ∈R

求(x−1)² +(y+2)² +z²之最小值及此時之 ( ,x y z ？ , )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

{( 1) ( 2) ( ) }{2 ( 6) (3) } (2 6 3 1) {( 1) ( 2) }{49} (14)

( 1) ( 2) 4

x y z x y z

x y z

x y z

− + + + + − + ≥ − + −

− + + + ≥

− + + + ≥

成立時， 1 2

2 6 3

x y z

− = + = =t

−

2(2 1) 6( 6 2) 3(3 ) 28

2 11 26 6

49 14 ,

7 7 7 7

t t t

t t x y z

+ − − − + =

= , = = , = − =

習題： , ,x y z 皆為正，1 4 9

x+ + =y z 9，求x+ +y z之最小值及此時 ( , , )x y z ？ 9. 平面方程式：

(a)點向式：平面 E 過 P 點(x₀,y₀,z ₀) 法向量nv uuuv=PQ⋅( , , )a b c

0 0 0

( ) ( ) ( ) 0

a x−x +b y− y +c z−z =

(b)一般式：ax+by+cz+ =d 0, ( ,a b c 法向量 , )

(c)三點式：過(a b c₁, ₁, ₁) (, a₂,b₂,c₂) (, a b c₃, ₃, ₃) 法向量nv=(n₁,n₂,n₃)

2 1 1 2 1 2 2 1 3

3 1 1 3 1 2 3 1 3

2 1 3 1 3 1 2 1 1

2 1 3 1 3 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

{( )( ) ( )( )}

{( )( ) ( )( )} 0

a a n b b n c c n a a n b b n c c n

a a c c a a c c n b b c c b b c c n

− + − + − =

 − + − + − =



− − − − −

+ − − − − − =

1 2 3

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1

n n n

b b c c c c a a a a b b t

b b c c c c a a a a b b

= = =

− − − − − −

− − − − − −

平面：n x₁( −a₁)+n₂(y−b₁)+n z₃( −c₁)=0

2 1 2 1 2 1 2 1

1 1

3 1 3 1 3 1 3 1

2 1 2 1

1

( ) ( )

( ) 0

b b c c c c a a

x a y b

b b c c c c a a

a a b b

z c a a b b

− − − −

− + −

− − − −

− −

+ − =

− −

1. 假設地球是一個完美的球體，若甲、乙兩人分別在高度為 h 的大樓及平地上 看日落，乙看見日落後馬上以行動電話告訴甲，而甲發現他在 t 秒後才看見 日落，求地球半徑？

2. 已知 log 2=0.3010 log 3， =0.4771 log 7， =0.8451某人在銀行存入 20 年期年利 率 5%的定存，問 20 年後，本年和是本金的幾倍？(取兩位有效數字)