第四章《東算抄》內容分析（中）

第四章《東算抄》內容分析（中）

4.1 卷之二的內容分析

《東算抄》第二卷包括六卷，共一百二十六個問題。主要內容為： 〈盈不足 術門〉有八題，其類型涵蓋「盈、不足」 、 「兩不足」 、 「盈朒雙套」之盈不足、兩 盈、盈適足； 〈方程正負門〉解方程式問題，共八題； 〈勾股互隱門〉為各類句股 問題，共七十五題； 〈望海島術門〉為利用句股性質處理某些測望問題，共七題；

〈缶瓶堆垛門〉為較複雜的等差級數問題，共八題； 〈倉囤積粟門〉體積問題的 實際應用，共二十題。

此卷一百二十六題中，就有五十一題以籌算式表達運算過程，可見東算家保 存中國的籌算，並於解題之中大量運用。尤其在高次方程的解題方面，如〈勾股 互隱門〉和〈缶瓶堆垛門〉中可發現較多籌算式的運用。

4.1.1 盈不足術門

盈不足術主要是解決盈虧類問題，即藉由兩次試驗取數所得結果，或盈、或 不足、或適足，據此而依術文求得原數。本門的八個問題，可歸納為：第一題為

「兩不足」 ，第二題為「盈，不足」 ，第三、六題為「雙套盈，不足」 ，第四題為

「雙套兩不足」 ，第五、七題為「雙套兩盈」 ，第八題為「雙套盈，適足」 ，已經 涵蓋了盈不足問題的基本的模式。

筆者今就其中有兩種解法之問題加以討論，即第二、四、五、八等四題：

第二題與《算法統宗》第九卷均輸章第二十一題類型相同：

《東算抄》 《算法統宗》

〔2〕今有人車不知其數，乃三人共車，

四車空；兩人共車，五人步，問人、車 各若干？

荅曰：一十七車，三十九人。

法曰：置 四車 以 三人 因之，得 十二人 ，為 不足，以五人為盈，乃併盈不足，得 十 七 為實，以三人二人為出數，相減餘 一，為法，除之，得車數十七。以三人 乘之，減四車，共得三十九，即人數。

今有人車，不知其數，凡三人共車二車 空，二人共車九人步，問人、車各若干？

法曰：置二人，以三人乘之，得六，加

九人，得車一十五。又以二人乘車十

五，得三十，加九人得人數。

合問。

又曰：五人以二人歸之得二車半，為不 足；以四車為盈，乃併盈不足，共得六 車半，以三人二人相乘，得六人，為法，

乘之，亦得三十九人合問。

筆者認為《算法統宗》此題可能是假設車為 x，以 3（x-2）=2x+9，先求得 車數。東算家將此轉化為盈不足問題，除了對問題本質的瞭解外，各展現「一題 多解」的多元化靈活思維，解法一以「人數」為「盈朒；解法二以“車數”為「盈 朒」 ，並出現「二車半」 、 「六車半」的用法，已經有純代數計算的味道了。

第四題至第八題為「盈月肉 雙套」的問題，其基本類型為：今有人共買物，

若 m 個人共出錢 a ，則盈

₁

b 錢；若 n 個人共出錢

₁

a ，則不足

₂

b 錢，問物價及人

₂

數各若干？若以盈為正，不足為負，則

物價＝

2 1

2 1 1 2

ma na

b na b ma

−

+ ，人數＝ ( )

n a m a

b b ma na

b b mn

2 2 1

1 2

1

1 2

−

= +

− +

其中 mn 為「乘人率通法」， na

₁

− ma

₂

為「法」 。 若 m=n=1，則為盈不足之基本「原型」。

若 b

₂

= 0 ，則為「盈，適足」或「不足、適足」 。

以第四題為例，可知東算家在解盈不足術問題時，是依上述規則運算，並結 合籌算。

〔4〕今有買梨，每三人出七文，盈一 文；每四人出八文，不足三文，

問人數及梨價各若干？

荅曰：一十二人，梨價二十七文。

法曰：依圖佈筭

人 出

文

，三人、四人 相乘得十二為乘人率通法，又以 四人互乘七文得 二十八 ，三人互 乘八文得 二十四 ，二數相減餘四 為法，乃盈、不足相併得 四文 ， 以通法 十二 乘之，得四十八為人 實，以法四除之得人數 十二 。卻

今譯解法：

（一）4 人 3 8 出文 7

1（盈） 3（不足）

人： ( )

8 12 3 7 4

12 1

3 =

×

−

×

× +

梨：

27

8 3 7 4

3 28 1

24 =

×

−

×

× +

×

（二）若設人數 x

甲 之 一 乙 三 分

甲 二 分 乙 之 一 銀 銀

以左下 二十四 乘盈 一文 得 二十四

文，以右下二十八乘不足三文得

八十四文 ，併得 一百八文 為物實，

以法四除，得梨價。

又曰：三人、四人相乘得十二即人數，

或折半或倍之 以八文乘得 九十六 ， 以三四相減餘四，除之，得二十 四，加不足三文，合問。

( )

( )

( ) ( )

27 8 3

12 4 4 3

12 8

12 4 8 3

3 7 4

4 3 1 3

1 4 3

3 8 3 7 4

1 4 3

8 3 7

3 4 8 1 3 7

= +

÷

= +

×

=

=

×

× =

−

×

×

×

= +

+

× =

×

−

×

+

=

−

+

×

=

−

×

—œ™J x

x x

x x

x x

其中由「又曰」中： 「三人、四人相乘得十二即人數」 ，以上述解（二）看來，

只是特例。 「 或折半或倍之 以八文乘得 九十六 」為乘以

4

8

或除以

8

4

的意思， 「以三四 相減餘四」即 3×4－8=4，此處的「四」應是每四人出八文的四，顯然也是此題 的特別情形。

4.1.2 方程正負門

〈方程正負門〉主要為解線性方程組的問題，共八題，每題都利用籌算式解 題，以《九章算術》的直除法解題。以題目類型來看，第一題與第三題為二色方 程，第七、八為三色方程，其餘為四色方程。以解題方法而言，乃是以「互乘相 消法」並搭配籌算為核心， 「互乘相消法」免去了「直除法」的繁瑣， 「籌算式」

簡化了運算的過程，就整體內容及解法而言，可看出東算家解線性方程組的功 力，值得進一步仔細探討。

由第一題可瞭解係數是分數時，東算家如何運算：

〔1〕今有甲乙兩人分銀不知其數，只 云甲取乙銀少半，滿一百五十 兩；乙取甲銀中半，一百五十兩，

問各若干？

荅曰：甲：一百二十兩，乙：九 十兩。

法曰：列所問數 ，以右 行遍乘左行，又以左行遍

今依術文將解法呈現：

解法（一） ： 設甲：x 乙：y

2 150 1

3 150 1

= +

= +

y x

y x

（此為依題意所列之方程

組）

轉化成籌算式

乘右行，乃左右行對減，

則甲空餘，乙五，銀 一百五 十， 上法下實而一，得乙一 分之率三十兩，三因得乙 銀，乃甲滿數內減乙一分 三十兩，得甲，合問。

又曰：置一百五十，以甲四分乘 之，五歸得甲，以乙三分乘 之，五歸得乙， 甲四內取中半 於乙三得五乙三內取少半加於甲 四亦得五 也，合問。

1 2 2 2 0 2 3 1 → 6 1 → 5 1 150 150 300 150 150 150

（以右行遍乘左行，又以左行遍乘右 行）

上述即將 x 項之係數皆化成

2

1

，籌算式

以整數表示即以

2

1

為衰。 「乃左右行對 減，則甲空餘，乙五，銀 一百五十， 」 表示將 x 項消去，「上法下實而一，得 乙一分之率三十兩」 ： 「上法」乃指「乙 五」 ， 「銀 一百五十 」表示「下實」 ， 「得 乙一分之率三十兩」此處是指以

6 1

為

衰，而最初是以

2

1

為衰，故「三因得乙 銀」 。

解法（二）可見東算家之「靈巧」 ： 先找到一組簡單整數解（4，3）滿足：

2 5 1

3 5 1

= +

= +

y x

y x

再依比例計算。

第二題為三色方程分別用「互乘相消法」及「籌算式」解題：

¹

〔2〕今有綾二尺、羅四尺、絹六尺、

價皆八十四文，藏置多年，虫 損，兩濕人皆不求，乃凌添羅 二，羅添絹二，絹添綾二，然後 各同前價，問三色各尺價若干？

荅曰：綾二十四文，羅十八文，

絹六文。

法曰：置左行綾二、絹六價 八十 四文 ，以八 以原綾二、羅四相 乘得八 為法，乘之，得絹 四

今將解法轉換成現代的書寫方式：

解法（一） ：設綾：x 文/尺、羅：y 文/

尺、绢：z 文/尺

( ) ( ) ( ) ^‰Es

y x

’†s z

y

¶s z

x

3 ...

84 2 2

2 ...

84 2 4

1 ...

84 6 2

= +

⇒

= +

= +

1

劉徽在方程章「牛羊值金」問題中創造了互乘相消法，與現代的加減消去法類似。

價 價 價

羅 絹

綾 羅 絹

借 借 借 綾

價 價 價

羅 絹

綾 羅 絹

借 借 借 綾

十八尺 、綾 一十六尺 價 六百七 十二文 。卻以中行羅四、

絹二，四因，得羅 一十六 尺、 絹 八尺 價 三百六十三文 ， 二位併得絹 五十六尺 、羅 一 十六尺 、綾 一十六尺 價 一千八 文 。另置右行綾二、羅二 價 八十四文， 即八因得綾、

羅各 一十六尺 價 六百七十二 文， 二位對減，綾、羅盡，

只有絹 五十六尺 價三百三 十六文，上法、下實而 一，得絹 一尺 價 六文， 乃於 中行原價 八十四文 內減絹

二尺 價 一十二文， 餘七十二 文，即羅四尺價，四而 一，得羅尺價 一十八文 ，又 右行價內減羅 二尺 價，餘

四十八文， 即綾 二尺 價，半 之得綾 一尺 價 二十四 文，合 問。

又曰：列所問數 ，以 左行四次直加中行，得 綾 八、羅四、絹二十六價四百二 十 ，又左行一次直加右 行，得 綾四、羅二、絹六價一 百六十八文 ，分左、右，以 右行 綾四 遍乘左行，又左行

綾八 遍乘右行，乃左右行對 減，則綾、羅空，餘絹 五 十六尺 價 三百六十三 文，上 法、下實而一，得絹尺價

六文 。

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3 8 16 16 672...

( )

8

7 ...

1008 56

16 16 6 5

6 ...

336 8

16 4 2

5 ...

672 48

16 8 1

= +

⇒

×

= + +

⇒ +

= +

⇒

×

= +

⇒

×

y x

z y x

z y

z x

( ) ( )

( )

( ^{84 84 2 2 18 6} ) ^{4 2 18 24}

6 336

56 8 7

=

÷

×

−

=

=

÷

×

−

=

=

⇒

=

⇒

−

x y

z z

解法（二） ：

( ) ( ) ( ) ^‰Es

y x

’†s z

y

¶s z

x

3 ...

84 2 2

2 ...

84 2 4

1 ...

84 6 2

= +

⇒

= +

= +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) x y z ( ) ‰E

¶ z

y x

5 ...

168 6

2 4 3 1

4 ...

420 26

4 8 2 4 1

= + +

⇒ +

= + +

⇒ +

×

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ^{6 5 8 7 32 56 16 336 48 1244 6 ... 7}

6 ....

1680 104

16 32 4 4

=

⇒

=

⇒

−

= + +

⇒

×

= +

+

⇒

×

z z

‰E z

y x

¶ z

y

x

上述解法皆展現出東算家對方程組中各式的「敏感度」 。解法一由（3）之係 數相同可知，埋下同時消去兩個未知數的伏筆。解法二構造出 x 與 y 的係數比為 2：1，亦是為消去 x、y 做好準備，此外，籌算式中以０表“空”，更易於做籌 算式的佈算。

第五題結合「四色方程」與「齊同術」更發揮了精湛的解題技巧：

〔5〕今有絹一尺、紗二尺、羅三尺、

綾四尺，共價八兩七錢二分，只 云陵四尺、羅五尺、紗六尺、絹 七尺之價適等，問四色尺價各若 干？

荅曰：綾一兩五分，紗七錢，羅 八錢四分，絹六錢。

法曰：依圖佈算

紗 綾 羅

絹 ，以左行 互相乘之於右行 以左行綾 四、紗六、絹七，乘右行羅三，

得五百四；又以左行羅五、紗 六、絹七、乘右行綾四，得八百 四十；又以左行綾四、羅五、絹 七、乘右行紗二，得二百八十；

又以左行綾四、羅五、紗六、乘 右行絹一，得一百二十 。四位 併之得 一千七百四十四， 為 法。另以左行自相乘之 以左 行綾四乘羅五，又以紗六乘之，

又以絹七乘之 ，得 八百四十 ， 以乘共價八兩七錢二分，

得 七千三百二十四兩八錢 ，為 實，以法除之得四兩二錢

此即相等之價 。七歸得絹價

六錢 ，六歸得紗價 七錢 ，五 歸得羅價 八錢四分 ，四歸得 綾價 一兩五分 ，合問。

今將解法以現代符號表示：設綾價：x 羅價：y 紗價：s 绢價：j

依題意列式：

4x＋3y＋2s＋j=8.72 4x=5y=6s=7j

依圖布筭：

5×6×7×4＝840 4×6×7×3＝504 4×5×7×2＝280 4×5×6×1＝120

840＋504＋280＋120＝1744 4×5×6×7＝840

840（4x＋3y＋2s＋j）＝840×8.72

＝7324.8……..（＊）

（＊）÷1744＝4.2…….相等之價 即 4x=5y=6s=7j＝4.2 則 綾價：x＝1.05 羅價：

y=0.84 紗價：s=0.7 绢價：j=0.6 其實已將各色「齊同以通之」 ：

令 4x=5y=6s=7j=r

4 x= r

，

5 y= r

，

6 s= r

，

7 j = r

840×4x＝5×6×7×4×r…（1）

840×3y＝4×6×7×3×r…（2）

840×2s＝4×5×7×2×r…（3）

840×1j＝4×5×6×1×r…（4）

（1）＋（2）＋（3）＋（4）

840（4x＋3y＋2s＋j）＝（5×6×7×4＋4

×6×7×3＋4×5×7×2＋4×5×6×1）r＝1744r

∴840×4.2=1744r，故 r=4.2

第七、八兩題為較複雜的三色方程正負問題，使用「正負術」解方程，由籌 式中可之方程組之係數出現負數，且三色需滿足特殊條件，第八題題文中有「右 二問句股法」 ，換言之是將直角三角形的邊長關係融入題目中，惟題文未加以說 明。茲以第八題為例：

〔8〕今有昆仲季三人持金不知其數，只云昆季和取四分之三，昆仲和取五分之 四，二數相減取九兩六錢；又昆仲和取二分之一以比於昆季和五分之三不 足二兩四錢，問昆仲季個人持銀若干？ 右二問句股法

荅曰：昆四十兩，仲三十二 兩，季二十四兩。

法曰：前分母五四相乘得二十，以乘餘數得一百九十二兩 是一十六箇昆仲和內 減十五箇昆季和餘數 ，又後分母二五相乘得十，以乘不足得二十四兩 是 六箇甲丙和內減五箇甲乙和餘數也 ，乃列於左右，以右行甲丙和 十五 遍乘 左行，得甲丙和 負九十 ，甲乙和 正七十五 ，金 正三百六十兩 。又以左行甲 丙和六遍乘右行，得甲丙和 正九十 ，甲乙和 負九十六 ，金 正一千一百五十 二 ，仍與左右行異減同加，甲丙和盡，餘甲乙和 二十一 ，金一千五百 一十二兩，上法下實而一，得甲乙和 七十二兩 。以左行甲乙和五乘之，

得 三百六十 ，加入左行得金 二十四兩 ，共得 七百二十兩 ，以甲丙和六除之，

得甲丙和六十四兩。仍以甲乙和 七十二兩 乘而倍之，得九千二百十六 為實，以平方開之，得甲乙丙三和 九十六兩 ，內減甲乙和 七十二兩 ，餘 二十四兩，即季金。又三和內減甲丙和，餘 三十二兩 ，即仲金。卻於 甲乙和內減仲金，餘 四十兩 ，即昆金，合問。 右二問句股法

今將解法以現代符號表示：

設昆：x 仲：y 季：z

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 10 6

( ) (

5

)

24...

( )

4 3 ...

192 16

15 20

1

2 ...

4 . 2 2

1 5

3

1 ...

6 . 5 9

4 4

3

= +

− +

⇒

×

= + + +

−

⇒

×

= +

− +

= + + +

−

y x z x

y x z

x y x z

x

y x z

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ^{384 64}

6

24 360 6

4 7

7 ...

72 1512

21 6 5

6 ...

360 75

90 15 4

5 ...

1152 96

90 6

3

= +

⇒

= +

⇒

=

− +

⇒

= +

⇒

= +

⇒ +

= +

− +

⇒

×

= + + +

−

⇒

×

z x z

x

z x

‘ã“ü

y x y

x

y x z

x

y x z

x

【依此列籌算式】

( )( )

( )

Žž¬—§z y{Ý

96 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

z y x

z y x

xz yz xy x

z x y x

+

=

= + +

=

+ + +

=

+ +

40 32 72

32 64 96

24 72 96

96

=

−

=

=

−

=

=

−

=

= + +

x y z

z y x

從上述解法可看出東算家解方程時，以可將變數變換，而不一定要用「損益

術」合併同類項，已經可瑧於現代解聯立方程組之程序。

4.1.3 句股互隱門

〈句股互隱門〉 主要內容為以勾股定理為核心的問題，共七十五題僅次於〈開 方各術門〉的八十五題，由此可見勾股問題在《東算抄》中的重要性。此外，“句 股”列於“方程”之後，與《九章算術》編排的方式相同。

其實，勾股理論在中國傳統數學中亦佔有舉足輕重的地位，，關於勾股的著 作不勝枚舉，廣泛的運用於測高望遠，與勾股形相關的恆等式，勾股容方，勾股 容圓，以勾股形建立方程式的模型或融入勾股理論的應用問題，因相關內容頗多 故在探討勾股問題時必須瞭解算學家常用的名詞定義今列舉於下：

名稱 代表符號 名稱 代表符號 名稱 代表符號 句 a 句股和 a+b 弦和和 c+（b+a）

股 b 句股較 b-a 弦和較 （a+b）-c 弦 c 股弦和 b+c 弦較較 c-（b-a）

句弦和 a+c 股弦較 c-b 勾股積

2ab 1

句弦較 c-a 弦較和 c+（b-a）

〈句股互隱門〉的七十五題中，幾乎都和上述所題之十四率有關，

²

除了第 六十六至七十五題屬於「尖田截積」問題，是關於直角三角形中比例相似問題，

筆者將本節所用到的相關式歸納整理於附錄四。

本「門」勾股問題中，雖所給的已知條件互有差異，除第八題以（30，40，

50） ，其餘都圍繞著兩組勾股數（27，36，45） 、 （24，45，51）設問，化簡後即（3，

4，5）、 （8、15、17）。 「勾三、股四、弦五」自《周髀算經》以降就廣為人知，

是算家心中的「典範例」 ，中外皆然。 《算法統宗》中勾股的佈題就多以（27，36，

45）為主。至於（8、15、17）於吳敬《九章算法比類大全》中古問一即為此數 據，

³

（24，45，51）亦被王文素《算學寶鑑》所採用。

⁴

第一、二、五、六、七等四題為不直接言明勾股的應用問題，其類型皆屬於

《九章算術》勾股章中的題型， 《算法統宗》則收錄於卷十二，第五題「開門去 閾」 ，其數據恰《算法統宗》之半，是股較求股問題，但答案承襲《算法統宗》

的疏忽；第六、七兩題「圓材埋壁」 ，屬於弦較求弦問題，與《算法統宗》皆同。

第二題同「葭生池中」問題，為股較求股之應用，乍看之下東算家以蓮佈題所得

2

若「勾股積」 ，則稱為「勾股名義，生變十三名」 ，參見《算法統宗》 ，頁 1364。

3

參見明．吳敬， 《新集通證古今算學寶鑑》 ，收入郭書春主編， 《中國科學技術典籍通彙》數學卷，

第二分冊（鄭州：河南教育出版社，1993 年），頁 749。

4

參見明．王文素， 《新集通證古今算學寶鑑》 ，收入郭書春主編， 《中國科學技術典籍通彙》數學

卷，第二分冊（鄭州：河南教育出版社，1993 年），頁 749。

之數，似乎有些誇張，但經筆者查證，確實有一種生於沼澤的蓮花，其長度可達 數十尺（見附錄三） ，一開始筆者的「基模」無此心像，本想否定，由此一歷程 更使筆者體會到「脈絡」的重要，要避免不合理或粗略的類比或映射。

將焦點回到數學文本上，筆者先就第二題來「暖身」 ，此題與《算法統宗》

所犯的小疏忽相同，只求出股長，未求出最後的答案--「門廣」 ：

〔2〕今有開門去閾五寸，不合一寸，問門廣若干？

荅曰：門廣二尺四寸七分五里。

法曰：以去閾五寸為句，自乘得 二尺五寸 ，不合一寸折半得 五分 為股較，自 乘得二分五里，減之餘二尺四寸七分五里為實，以較五分倍作一寸 為法，除之得一邊門廣，合問。

將解法以現代符號表示：

設門廣：c，去閾五寸:a 即句，令不合一寸：b=c－0.5 即 c－b=0.5

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

25 . 25 5 . 0 75 . 24

75 . 5 24 . 0 2

5 . 0 5

2 2 2

2

2 2

2 2 2 2

2

= +

=

× =

= −

−

= −

−

−

−

= −

−

−

= −

c b

b c

b c b b

c

b c b c b

c b c b a

答案為「二尺四寸七分五里」有誤，此為股，應再加 0.5 寸。故為「二尺五寸二 分五里」 。

其餘之題目皆以單純勾股形為框架，依不同的條件，做各種的變換，而東算 家展現靈活的解題思維，由本門可得到驗證。其中以一題多解的方式呈現的，就 佔五分之一強，解四次方的問題除了「三乘方開之」外，還運用了「二次平方開 之」 。在搭配籌算式運算上，也能處理係數是小數的情形；又能運用「形」的概 念解題，不拘泥於現成的公式或口訣，成為一項特色，筆者就一些題目來闡明上 述的觀點：

〔10〕今有弦五十一尺，只云句股和六十九尺，問句股各若干？

荅曰：句二十四尺，股四十五尺。

法曰：置弦自乘倍之得五千二百二尺 此四箇勾股相乘兩箇差自乘數 ，又勾股和 自乘得四千七百六十一尺 此四箇勾股相乘及一箇差自乘數 ，兩數相減餘 四百四十一為實，以平方開之得句股差二十一尺，加和折半得股，

內減差得句，合問。

c b-a a b

y y

x r

r x

弦 自 乘

股 自 乘

句 自 乘 句 股 相 乘 句 弦 相 乘 句股 相乘 句弦 相乘

股弦 相乘

股 弦 相 乘

a b

c

a

b

c

此題乃利用弦圖解題：

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

²

( ) (

²

)

²

2 2

2 2 2 2

2 2 1

2 ...

4 1 ...

2 4 2

2

a b b a c

ab a

b b a

a b ab c

a b ab c

−

= +

−

⇒

−

+

−

= +

− +

=

− +

=

〔30〕今有句股積五百四十尺，只云句股弦相和一百二十尺，問句股弦各若干？

荅曰：句二十四尺，股四十五尺，弦五十一尺。

法曰：置積四因 得兩千一百六十尺 為實，以三和 一百二十尺 為法，除之，得弦 和較 勾股和內減弦 一十八尺，以減於三和，餘一百二尺，折半，即弦 也，又三和內減弦，得句股和 六十九尺 為縱方，列積倍之為實，以 減縱平方開之得句，減句股和即股，合問。

又曰：三和自乘得 一萬四千四百 ，內減四段句股積 二千一百六十 ，餘一萬二千 二百四十，折半，得六千一百二十為實，以三和 一百二十 為法，除 之，亦得弦。

解法一先求弦和較，乃利用「以勾乘股，倍之為實，句股求弦之為法，實如 法而一，勾股容圓之徑也，容圓之徑即弦和較也。」依現代符號表示如下：

x=a-r，y=b-r c=x+y=a-r+b-r a+b-c=2r

c b a c r

b a

ab = = + −



 





+

× + 2

2

再利用「弦和較」與「勾股弦相和」求得弦，則其條件就同第二十七題。

解法二筆者認為其運用“出入相補”之原理，試分析如下：

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

...1 2

2 2

2

2 2

2 4 1

2

2 2

2 2 2

2

c b a c

b a c c

c c b a b a

ab c

c b a b

a

ab c

b a

+ +

=

+ +

=

+ + + +

=

− + + + +

=

×

− + +

※ 右圖減去兩個勾股相乘之積，

c c

a

b

+ c 句 自 乘

股 自 乘

= 弦 自 乘

句弦 相乘

股弦 相乘 句弦 相乘

股弦 相乘

弦 自 乘

再重新排列後後，如右圖。

再以 ( )

( a b c ) = ^c + + 2

1

其條件亦回歸至第二十七題模式

東算家於解勾股問題時融合了數與形，使得解題思維更益與視野更加開闊。

接著要探討的，是東算家如合利用基本之勾股定理：

a² +b² =c²

，結合籌 算及解高次方程式之技巧，處理勾股問題：

〔29〕今有句股積五百四十尺，只云股弦和九十六尺，問句股弦各若干？

荅曰：句二十四尺，股四十五尺，弦五十一尺。

法曰：置積倍之得 一千八十尺 ，以和乘之又倍之得 二十萬七千三百六十 為實，

以和自乘得 九千兩百一十六 為縱方 正 ，以一為隅法 負 ，

以減縱立方開之得句 二十四尺， 以句除倍積得股 四十五尺 ，於和內減 股得弦，合問。

今先以代數符號表示，再置入已知條件：

( )

( )

( )

[ ]

( ^{c b} ) ^a

a

a c bc b

a

bc b

a

c b ab

c b ab

× + +

−

=

− + +

=

+

=

+

=

× +

×

×

3 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 1

⇒

( ) ( )

( ) 95 45 51

45 24 504 2

24 0 207360 96

0 2

3 3

=

−

=

− +

=

=

÷

×

=

÷

=

=

=

− +

−

= +

−

× + +

−

b c b c

a ab b

ĈȌ¸ãsŠJ—§•û–@‹a a

a

‘ã“ü›ß’mžŠŒ“¾

c b ab a c b a

透過上述的變換得到一個一元三次方程式，並透過開方術解之，可見對於勾 股弦之間的關連及式子的轉換，已能非常熟捻地運用。

另一方面，由「又曰」中又可以瞭解遇到負整數時，籌算寫法如何表示。若

遇到小數或負小數時，可從 49、51、55、56 諸題的開方式得知。

〔49〕 表示

0.5625x² −729=0

〔51〕 表示

1.5625x² −2025=0

〔55〕

表示

0.28x² +35.36x−142.84=0

【負號加於個位數】

〔56〕 表示

−0.4375x² +126x−3969=0

【負小數負號加在末位】

保存了籌算並加以運用，位值制的概念很明顯，其實已接近現代的運算模 式，只是數碼不同，成為當時東算相對高水平的象徵。此外對於開方式也有轉化 不再單純依中算使用隅法、廉、縱方、等名詞，而使用甲縱、乙縱、丙縱、丁縱 等稱呼，其實已有次數的雛形，這些在本門的 36、44、45 題可看到這類的轉化。

至於開方術的探討筆者擬安排於第四章再行論述。

句股問題之後，第六十六至七十五題，緊接著是利用三角形比例相似原理來 處理「尖田截積」問題，只是這邊的田皆為句股形罷了，類似《算法統宗》之「句 股截積」 。

⁵

其實《東算抄》是以句股形為基礎，再做推廣與延伸，譬如第七十三 題就提及「圭田梯田截積亦倣此」 。故今以此題為例。

〔73〕今有句股田，積七十五步，今從尖截去，其餘長九步，餘闊四步，問元 長闊各若干？

荅曰：元長一十五步，元闊一十步。

法曰：置餘長以餘闊乘之得三十六步，又以餘長乘之得三百二十四為 實，另列元積七十五步內減餘長餘闊相乘數 三十六步 ，餘 三十九步

倍之得七十八為縱方，

以餘闊為隅法，以減縱平方開之 ，得尖截長六步，加餘長 九步即元長一十五步，以除倍積，得元闊十步，合問。

一法：置餘長以餘闊乘之，又以餘闊乘之，得一百四十四為實，另列元

5

參見《算法統宗》 ，頁 1331-1333。

x 4

y 9

x 4

y- 4 9

積內減餘長餘闊相乘數 三十六步 ，餘 三十九步 倍之得 七十八 為縱方

負， 以餘長九步為隅法

正 ，以減縱平方開之 得 六步， 加餘闊 四步 ，亦得元闊。 圭田 梯田截積亦倣此。

今譯解法：

解法一：設截長：x 元闊：y

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0 324 78

4

0 36 4 9 114 4

150 9

36 4 1 2

2 ...

36 4 : 4 9 :

1 ....

150 9

75 2 9

1

2 2

= +

−

= + +

−

= + +

⇒

= +

⇒

= +

= +

⇒

= +

x x

x x x

y x

‘ã“ü

xy x

y x

x

y xy y

x

【減縱平方開之】

x=6，原長＝6+9=15，原闊 y=2×75÷15=10 解法二：方向不同，先求 y-4

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

10 6

4

0 144 4 78 4 9

4 150 144 72

4 9

4 150 9

9 150 4

150 2 9 1

2 ...

9 4 9 :

4 9

: 9

1 ....

150 9

75 2 9

1

2 2

2

=

⇒

=

−

= +

−

−

−

−

=

− +

−

−

=

⇒

=

−

= +

⇒

=

− +

⇒

−

= +

= +

⇒

= +

y Œ¸ãs•½•ûŠJ”V“¾y

y y

y y

y

y y

y y y

y ‘ã“ü x

y y

x y y

x

y xy y

x

法二中以不同的方向的比例關係求解，其中變數的認定上，已能把（y－4）

當成新變數，變數的變換可使方程式簡化，更方便解題。相似比例關係的應用除 了截積問題外，更廣泛運用於測高望遠。

4.1.4 望海島術門

〈望海島術門〉共七問主要內容為重差類問題，蓋利用句股形的比例相似性 質，應用於實際度量的測望問題上，相關的算法在中國古代數學中稱為重差術，

劉徽於《九章算術》句股章後曾編寫〈重差〉一卷，唐初獨立刊行，因其第一題

為「望海島」 ，是一個測望海島山峰而推算它的高、遠問題，故後人將此部書名 為《海島算經》 ， 《東算抄》之編排與命名可由此略知一、二。

本門七個問題中，主要地一至三題為二望問題，利用比例相似基本性質即可 解決，第四至第七題為三望問題，需利用重差術，皆以

「 •\‚

‘Þs·

•\‚

Š‘ª‚ •\ŠÔ × +

= 」之公式解題，惟第五、六兩題在表間的認定上 承襲《算法統宗》之錯誤，今提出加以說明：

〔5〕今有海島不知其高遠，乃立表 四丈，退行七十丈，又立短表 四尺，人目望其二表，俱與島 峯參合，復卻退行六百丈，又 立表四丈，退行七十二丈，又 立短表四尺，人目望其二表，

亦俱與島峯參合，問海島高遠 各若干？

答曰：島高六里四丈 （五尺為一 步三百六十步為一里） ，島 遠一百一十六里一百二 十丈。

法曰：置表高 四丈 減短表 四尺 餘 三丈六 尺 ，以兩表間相去 六百丈 乘之，得 二千 一百六十丈 為實，另至後表退行 七十二 丈 內減前表退行 七十丈， 餘 二丈 為法，

除之得 一千八十丈 ，加表高 四丈， 共得 一千八十四丈，以每里 一百八十丈 除之 得島高 六里四丈 。又置表間相去 六百 丈 ，以前表退行 七十丈 乘之，得 四萬二 千丈， 亦以前法 兩丈 除之，得 二萬一千 丈 ，亦以每里 一百八十丈 除之，得島遠

一百一十六里一百二十丈

今將兩解法並列以茲比較：

（1） 原解法：承襲算法統宗的錯誤以 600 丈計算

解法：

( )

( )

( )

( ) ŽÚ ˆê•Sˆê\˜Z—¢ˆê•S“ñ\ ^ä

“‡‰“

˜Z—¢Žlä ŽÚ

“‡‚

=

=

−

= ×

=

=

− +

= ×

210000

4 40

10800 700

10840

20 40 4 40 6000

（2） 更正解法：

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ŽÚ ˆê•SŽO\—¢ŒÜ\ä

“‡‰“

˜Z—¢\ŽOä ŽÚ

“‡‚

=

=

−

−

= ×

=

=

− +

×

= +

234500

4 40

40 12100 700

12100

20 40

4 40 6000 700

兩法之差別在於題文中「…乃立表四丈，退行七十丈，又立短表四尺，人目 望其二表，俱與島峯參合，復卻退行六百丈，…」 ，術文中「…兩表間相去 六百丈

乘之…」 ，第六題亦呈現相同的差異（見附錄勘誤表） ，第七題中給出了開方不盡

時取近似值的方法： 「…不盡者，卻將所商倍之，再加一為分母命之….」，即以

1 2

2

+ + −

a a

a A 表示 A 的近似值，應是考慮到在解決實際測量情境時，所遇到的數 字並非皆如數學問題中的「完美」 。

4.1.5 缶瓶堆垛門

〈缶瓶堆垛門〉主要是處理高階等差級數問題。於《九章算術》 、 《張邱建算 經》中便有等差級數問題，但伴隨著數學的發展及天文曆法的需要，等差級數問 題，在宋元時代發展成高階等差級數求和問題，開創者是北宋沈括（公元 1013~1095） ，沈括由研究《九章算術》中的體積問題提出了隙積術，南宋楊輝《詳 解九章算法》 、 《楊輝算法》以各種果子比類， 《九章算術》中的立體體積，元朱 世傑《算學啟蒙》中的〈堆積還源門〉 ， 《四元玉鑑》卷中的〈茭草形段門〉 、 〈如 象招數門〉卷下的〈果垛迭藏門〉皆有相關問題，而「缶瓶堆垛」之名最早出現 於《詳明算法》中。而以上《楊輝算法》 、 《算學啟蒙》 、 《詳明算法》等書對於東 算皆影響甚深。

本門八個問題中，第一、四題為童形果子垛；第二、三題為三稜物，牽涉到 三角形數的算法；第五至八題結合三角果垛與四角果垛問題，第七題雖有另法，

但與楊輝算法相同，故其解題方式皆不逸於當時中算對同類問題的水平。

今筆者將其解題公式整理如下：

題號 公式

1，4 ( ) ( )

[

( )

]

( )

[

( )

] [

_{( )}

]

(

n

) {

[a

(

n

)

a]

}

n

n n a

n n a

n

n a n a

a a

S

+

− + +

=







 + − − + + + −

+

=

− +

× + + +

× + +

× +

×

=

1 2

6 1 1

2 1 1 2

1 1 3 1

1 ...

2 3

1 2

1

2，3 ( )

18 1 1 9

3 1 9 3 2 3 1 3 2 3 3

3 2

1 + +

=

 

 + −



 +

=

 

 − +



 − +

= n n n n n n

S

5~8 ※ 三角垛：

( ) ( )( )

6 2 1 2

1 = + +

∑^{n n}+ ^{n n n}

※ 四角垛：

( )( ) ( ) _



 



  +



 

  + + =

= +

∑

ⁿ

²

^{n n 1} ₆ ^{2 n 1 1} ₃ ^{n n} ₂ ^{1 n 1}

4.1.6 倉囤積粟門

〈倉囤積粟門〉主要內容是將體積問題應用於實際糧倉體積上，共二十題。

第一題為外角堆米問題；第二題船艙體積計算取材於《算法統宗》 ，數據為原題 的一半，第三、四題為蘆席囤米問題，第五至二十題為方倉、長倉、立方體體積 問題，本質上是解三次方程式。

聚米問題可分為平地堆米、倚壁聚米內角聚米外角聚米四類各法僅是比例上 的不同《詳明算法》中有口訣「…，堆與圓倉周自行，各再以高乘見積，唯圓十 二一中分，尖堆法用三十六，倚壁須分十八停，內角聚時如九一，外角三九積分 明，…」 ，

⁶

此處僅列外角聚米一例，第二題雖取自《算法統宗》 ，但又舉出另一 種算法：

〔2〕今有船艙南頭面廣一十二尺，腰廣十三尺，底廣一十尺，北頭面廣一十四 尺，腰廣一十五尺，底廣一十二尺，深五尺，長一十八尺，問積米若干？

答曰：四百六十八石。

法曰：南頭腰廣倍之，併入面廣、底廣。北頭腰廣倍之，併入面廣、底廣，

併二位以四歸得 二十六尺 ，折半得 十三尺 ，以深乘再以長乘之，得 一千 一百七十尺， 為實，以斛法而一，合問。

又曰：併南北面廣折半得十三尺為上廣，又併南北腰廣折半得十四尺為中 廣，又併南北底廣折半得十一尺為下廣 用三廣田法或用二梯田法， 乃併 上下廣折半得一十二尺，加中廣共二十六尺，以半長乘，再以深乘 之，為實，以斛法而一，合問。

解法如下：

（一）腰廣即中線，故分成兩塊高皆為 2.5

( ) ( )_^

 + +

+ + +

=

⇒

=

=

=

=

=

=

1 2 2 2 2 1 1 1

2 1

2 1

2 2 2 2

6 , ,

h b h

h a b h

a V L

L DF AE

b HG b BC

a EF a AD

6

引自《詳明算法》 ，頁 1388。

H

B

G I

J

L K

C H

A B

C D

E

F

G I

J

L K

( ) ( )

468 5 . 2

18 2 5

1 4

12 14 15 2 10 12 13 2

2 5 2 2 5 2

15 14 2 5 2 2 5 2

13 12 6 18 2

5 2 2 5 2

15 12 2 5 2 2 5 2

13 10 6 18

=

÷

×

×

 

 × + + + × + + ×

=



 



 



 



 × + + +



 



 × + + +



 



 



 



 × + + +



 



 × +

= +

V V

（二）

南 北

面廣 12 14

腰廣 13 15

底廣 10 12

深：5 長：18

上廣＝面廣和之半 底廣＝底廣和之半 中廣＝腰廣和之半 上廣：

13

2 14 12+ =

中廣：

14 2

15 13+ =

底廣：

11 2

12 10+ =

468 5 . 2 2

2 × × ÷ =



 



 + +

[ ’·

’êœA ’†œA ãœA

H

A B

C D

E

F

G

解法一為《算法統宗》之解法，解法二為解法一之轉化，兩者實為等價公式，

其中「用三廣田法或用二梯田法」 ，即將船艙切割成兩個如上圖之形狀。值得注

意的是，此處的公式又是正確的，有別於〈商功修築門〉第六題，由此可知此二

題抄自《算法統宗》 。

其餘的題目，皆可轉化為解高次方程問題，牽涉到開方術（見第四章） ，但 並未用天元術列式，不過，可以很明顯的看出，東算家已用代數的方式來解幾何 問題。

4.2 卷之二內容結論

從卷之二的內容來看，很明顯的題目的難度與變化性都增加了，這裡所要用 到的數學能力有：解各色線性方程組問題、句股問題、堆垛問題，尤其是以句股 問題佔大多數。此外，更要具備開方術才能解決句股問題、堆垛問題或〈倉囤積 粟門〉中所出現之方程式。另一項極具特色的部分是，本卷一百二十六個問題之 中，就有五十一題用籌算式表達運算過程或列式。

首先，在『方程術』方面，東算家應比中算家更為精進，於一七一三年六月 二十一日（ 「癸巳閏五月二十九日」 ） ，洪正夏「與劉生壽錫入（賓）館中與五官 司曆何國柱論算。」的對話中有這樣一段論及方程術的內容：

司曆曰：算家諸術中，方程正負之法，極為最難，君能知之乎？

余曰：方程之術，即中等之法，何難之有？

可見『方程術』亦是東算家所必備之數學能力，若解題時再輔以籌算，那更 能使運算加快，而當時籌算在中國已沒落，所以何國柱才揮感到驚訝而有「中國 無此算子，可得而誇中國乎？」之語。

再者，解方程式時已能對負係數直接運算，並對負數以現代的語言稱呼，這 一點有別於早期慶善徵的《默思集算法》 。

⁷

在開方術方面，只有〈句股戶隱門〉

的第六十一、六十二題列有詳細的開方過程，以解題程序來看是增乘開方法，這 也是讓東算家處理句股問題，列出高次方程時，能夠快速解題的因素之一，今筆 者將本卷的體例算法內容上的特點歸納整理如下：

（1）本卷體例計有：

1.「今有」－「答曰」－「法曰」。

2.「今有」－「答曰」－「法曰」－「又曰」。

3.「今有」－「答曰」－「法曰」－「一法」。

4.「今有」－「答曰」－「法曰」－「一法」－「一法」。

（2）以依圖佈算列籌算式，並能以籌算式表示（負）小數。

（3）直接以負數稱呼方程式的係數。

（4）籌算式中以０表示空的未知數。

7

參見李建宗， 《朝鮮算學家．慶善徵《默思及算法》初探》 ，頁 122。

（5）解句股問題能利用圖形作輔助。

（6）直接以籌算式表示負係數之方程組，並可用相當現代的加減消去法求解。

譬如解：

( ) ( ) ( )

( ) ( )

^2.4...

( )

²

2 1 5

3

1 ...

6 . 5 9

4 4

3

= +

− +

= + + +

−

y x z

x

y x z

x

（7）開四次方時用二次平方開之，可見對指數律及平方根的概念非常清楚。

因為是用籌算的關係，這樣亦可節省佈算空間。

譬如：勾股互隠門第二十三題的開方，就是以「二次平方開之」 ，分段求出。

( )

^x

^{2 2}

^{− 2601 x}

²

^{+ 1166400 = 0 ，先求出}

^x2

^{，再求 x 。}

第四十二題的方程式為

x⁴ =531441

，也是二次平方開之。

對於東算家的運 籌快速，由此可見端倪。

（8）不再單純依中算使用隅法、廉、縱方、等名詞，次數由低到高分別使用甲 縱、乙縱、丙縱、丁縱等稱呼，其實已有次數的雛形。

（9）〈倉囤積粟門〉第二十題以“○”來作為斷句，應是倣自《算法統宗》 。

（10） 〈缶瓶堆垛門〉之算法公式及敘述皆與楊輝之算法相同。

由句股問題所佔的份量可看出東算家對句股問題十分重視，由句股問題所給 條件之變換，來訓練轉換能力，配合圖形與籌算，彰顯了東算家的靈活思維，難 怪令人「驚訝」 。由認知的角度來看將問題所給的條件，先「依圗佈算」列出，

一方面可使算家隨時注意各已知條件間的關係，這在「方程術」中頗為重要；另 一方面，使腦中的「記憶體」可空出來處理其他相關問題。

4.3 卷之三內容分析

依題意列出了方程式，緊接著便是要將根求出，這時就需要依賴開方術，否 則便無法畢盡全功。也因此開方術佔了極重要的地位，本卷只有〈開方各術門〉

一門，卻是單門中題目最多的，共有八十五題。在本門之中的所有題目並未詳述 開方的步驟，只能從術文中瞭解各題所用的開方方式。

在這八十五題中，所用的開方術包含帶縱開方、減縱開方、平（立）方翻積

等方法，與中國所發展的開方術相同，但從本卷的題目中，可以發現東算家對於

變數的變換與操作非常靈活，筆者認為值得提出來探討。