數學解題 數學解題

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類別： ： ： ：教育專業經驗分享類 教育專業經驗分享類 教育專業經驗分享類 教育專業經驗分享類

作品名稱 作品名稱 作品名稱 作品名稱： ： ： ： 數學解題

數學解題 數學解題

數學解題 0 00 0 到無限 到無限 到無限- 到無限 -- -透過合作學 透過合作學 透過合作學習 透過合作學 習 習 習道出層層 道出層層 道出層層 道出層層多元 多元 多元 多元思維 思維 思維 思維

作者姓名

作者姓名 作者姓名

作者姓名： ： ：林鳳美 ： 林鳳美 林鳳美 林鳳美

服務機關 服務機關

服務機關 服務機關： ： ：臺 ： 臺 臺 臺北市立成淵高級中學 北市立成淵高級中學 北市立成淵高級中學 北市立成淵高級中學

摘要 摘要 摘要 摘要

蓋聶指出解題為學習的最高層次，解題能力之獲得更一直受到數學學習所著 重。所以本行動研究選定數學解題為數學探究歷程活動，採用歷屆全美中學數學 分級能力測驗試題教材，透過「共同學習法」方式進行數學解題歷程，提供良好 的互動教學環境，學生開始藉由表達自己的思考以驗證自己的想法，聆聽者也能 藉由理解他人之解題策略，對於自身之解題能力有提昇之效果，同時培養「表達、

溝通與分享」、「尊重、關懷與團隊合作」和「主動探究與研究」的能力，對學習 有正向的態度，有較高的批判思考和問題解決能力。

本行動研究包含量與質的研究，分析結果得知合作學習確實學生在經過數學 解題策略教學歷程後，在認知、技能、情意向度整體平均符合達到 80%以上學習 成效，也對合作學習給予高度的肯定。同時開發「一題多解」的信念，培養學生 對數學的學習興趣與解題破解的技巧，歷程中道出多元思維能力，讓數學不僅只 是一種課程，而是是有趣、充滿驚奇與創造想像空間的園地。

關鍵詞 關鍵詞 關鍵詞

關鍵詞：：：合作學習：合作學習合作學習、合作學習、、、解題策略解題策略解題策略解題策略、、、、共同學習法共同學習法共同學習法共同學習法

壹 壹 壹

壹、 、 、 、緒論 緒論 緒論 緒論

一 一 一

一 、、、 研 究、研 究研 究 動 機研 究動 機動 機動 機

在教育部所頒訂的各級學校課程標準中，尤其相當重視教學時的學習情境，

而近年來社會潮流趨勢，發現團隊合作越來越趨於重要，團隊合作、溝通技能與 問題解決能力已是世界公認未來人才所必需具備的核心能力之一，培養學生的團 隊合作與問題解決能力已是刻不容緩，教師更應該在課程中培養學生團隊合作與 問題解決的能力，以提升未來的就業競爭力，所以本研究選擇合作學習問題情境 教學，最能符合培養團隊合作與問題解決的能力。

Schoenfeld (1992)認為在任何階段中，數學學習的最終目的就是要解決問題，

所以學習怎樣解決問題就成為學習數學的根本原因。至於目前高中數學課程教學

習的結果往往仍僅止於模仿老師的解題，同時往往只是被動的學習老師所教授的 解題技巧，少了共同討論思考的時間，所以不易引起學生的學習興趣，當學生學 習興趣無法有效提昇，解題的動機不足，便無法自發地以多元的方式解題，當然 多元思維就無法展現。

本研究改變傳統僵化的教學方式，改為「數學解題策略教學」進行數學解題 的歷程活動，期間鼓勵學生思考、提問、解決問題、討論自己的想法、策略、解 題的方法、傾聽別人的批判評鑑，要求學習數學知識、應用數學技巧、運用數學 思考、解決數學問題，發揮自己獨創的見解，來培養學生團隊合作解題的能力與 培養創意思考的能力。

二 二 二

二、、、、研究目的與研究問題研究目的與研究問題研究目的與研究問題 研究目的與研究問題

學習數學如何解題並非最重要的，但其歷程的訓鍊過程，乃是為了培養應有 的知識、情意、技能與素養，讓學生具備面對未來問題之解決能力，要比與其背 誦大堆公式定理更有意義，故數學解題歷程中能力之增強，實為學校數學教學的 重點之一。

本研究的目的在探討如何在高中數學課程的教學中，以數學解題為學習目 標，讓學生透過小組合作將先前所學的知識，應用至新的與不熟悉的數學情境之 歷程，因而促進層層多元思維，進而解決數學情境問題。數學解題過程之路徑圖 如圖一：

圖一：數學解題過程之路徑圖

數學解題本身不是全部或最終的目的，而是一種訓練手段與過程、是解題問題的 學習歷程，所以本行動研究的目的主要有三項：

(一)透過合作學習歷程促進解決數學問題與實施成效

(二)數學解題歷程中，透過歷程增強知識應用與思考無限延伸 (三)數學解題策略促進解決數學問題，進而培養多元思維與多元能力 因此本行動研究研究問題如下說明：

(一)以小組互動合作學習，是否能提昇學生對數學的學習與促進解決數學問 題，使學生將理論知識應用呢？

(二)如何在高中數學課程教學中，藉由數學解題歷程，培養學生具備洞 察 數 學 的 知 識、應用數學知識、思考問題、分析問題和解決問題的能力的歷 程？進一步如何道出層層多元思維呢？

(三)數學解題策略，如何達到引起學生學習興趣，提升學生的解題能力呢？而

「一題多解」信念冊策略是否促進數學解題意願與能力呢？

貳 貳

貳 貳、 、 、文獻探討 、 文獻探討 文獻探討 文獻探討

一 一

一、、、、數數數學數學學解題學解題解題歷程解題歷程歷程 歷程

從認知科學的角度來看，問題解決是一個多步驟的過程(Mayer,1992)，在此 過程中，解題者必頇找出舊經驗與新課題之間的關聯性，才能順利解題。數學解 題研究，早在1945年著名的數學家Polya (1945) 曾出版一本名為「怎樣解題」（How to solve it）的經典之作，將數學解題歷程區分為四個步驟：

瞭解問題、擬定計畫、實施計畫及回顧解答，其說明如下表一：

表一：Polya數學解題歷程區四個步驟 瞭解問題

瞭解問題 瞭解問題

瞭解問題 從題目所給的訊息中，尋找未知數、已知數、條件、解題目標等重 要關鍵。

擬定計畫 擬定計畫 擬定計畫

擬定計畫 可考慮以前是否有解過類似的題目，若有類似的解題經驗，則有助 於計畫的設計。

實施計畫 實施計畫 實施計畫

實施計畫 主要是根據規劃好的解題計畫，逐一採用各種可行的解題策略，進

回顧解答 回顧解答 回顧解答

回顧解答 則是將獲得的解答進行驗算的工作，並重新的思索整個解題歷程，

以統合相關的解題經驗。

其數學解題模式，著重於解題策略的應用，因此其解題的四個步驟中，每個 步驟都各包含許多的解題策略，因此在本研究中，以Polya的數學解題歷程為主 軸，融入高中數學課程特性，以達到提升學生的高中數學課程解題能力。

二 二 二

二、、、、數學解題策略教學數學解題策略教學數學解題策略教學 數學解題策略教學

「數學解題策略教學」乃研究者在瞭解學生所具備數的概念、計數的概念及 簡單推理能力之後，學生能應用認知基模中的語言知識與之結合，形成數學解題 的能力。接者以最有效率和邏輯的方式進行各種策略運用達成解題效果，教師完 整設計問題情境，引導學生進行問題思考、轉化題意為個體所能充分掌握的型 式，並整合學生已具備的基模知識，擬定解題計畫，最後執行解題計畫，歸納整 合成學生自己的策略思考。

三三

三三、、、、合作學習合作學習合作學習理論基礎合作學習理論基礎理論基礎 理論基礎

本研究所指之合作學習採用「共同學習法共同學習法共同學習法共同學習法(Learning Together)(Learning Together)(Learning Together)(Learning Together)」，共同學習 法是由David Johnson 與Roger Johnson發展出的共同學習的概念，使用共同學習時 應注意以下事項：(1)小組的組別大小。(2)明確目標的建立。(3)提升成員間的互 助互賴。(4)個人責任績效的增強。(5)教導合作技巧。本研究將「共同學習法」

設計於進行數學解題策略教學中。其實施流程圖如下圖二：

圖二：共同學習法實施流程圖

在進行高中數學解題策略教學所使用的數學教學內涵，是取用全美中學數學 分級能力測驗歷屆試題內容，透過四人的異質性小組合作學習，學生分派的工作 單共同學習，而後每小組繳交一份代表成員努力成果的學習單，以此為小組獎勵 的依據，共同研讀與分享團體努力的成果，其特性為重視互動，團體歷程，教導 合作技巧，促進互賴關係，重視個人績效責任的成就，強調建構合作學習環境，

以團體作業方式進行，共同完成並呈現團體學習成果。

四 四 四

四、、、、透過合作學習中進行透過合作學習中進行透過合作學習中進行解題策略教學歷程透過合作學習中進行解題策略教學歷程解題策略教學歷程解題策略教學歷程實施架構圖實施架構圖實施架構圖：實施架構圖：： ：

本研究透過合作學習中利用「共同學習法(Learning Together)」方法進行解題 策略教學，其歷程實施架構圖如下圖三：

圖三：透過合作學習中進行解題策略教學歷程實施架構圖 五

五 五

五、、、、理念與特色理念與特色理念與特色：理念與特色：：：

根據行政院青年輔導委員會(2006)在「大專畢業生就業力調查」報告中，將 最重要的核心就業力之一就是有利於就業的工作態度與合作能力。由此可見，團 隊合作與問題解決能力已是世界公認未來人才所必需具備的核心能力之一，所以

與他人溝通講理的能力，解決問題的能力，並在問題情境的教學過程中使學生形 成解決問題所需的數學概念、過程、技能和態度，完成有意義的數學學習。其課 程特色為：

(一) 美國數學家 P.R.Halmos 認為「問題是數學的心臟」，而解決問題則是數學上 最重要的工作。數學解題的過程是問題解決的歷程，更是心智活動的開發，

不但需要一段時間思考探索，更需要具備一定的數學能力與技巧，方能解決。

(二) 本研究透過合作學習進行數學解題策略教學時，採用多角度思路、策略與一 題多解法，引導學生多樣的思考與多向思維的習慣，相信更可學生正向增強 數學能力與綜合能力，開發現代科學思考與創意思考的基礎，奠定未來學習 研究的基礎能力。

(三)解題一題多解的開發是學習數學的思考訓練最好的方法之一，藉助一題多解 的思考、聯想、訓練，同時「一題多解」的開發必可牽動『舉一反三』『正 逆思維』『圖像思維』『深度思考』的信念，把相關知識加以整合與有效能 的聯結，將問題推廣，幫助發現新方法、技巧和建構數學的學習，相信更可 以提升學生的解題樂趣，並達成更理想的教學成效。

(四)透過合作學習的教學環境下，得到鼓勵，個人知識及經驗的分享獲得支持，

在與團體交流之後，可以提出更多變的觀點與經驗，針對學習事物能夠有更 深一層的瞭解。同時學習者會主動地建構知識並參與學習的歷程互動中，會 讓成員產生使命感、認同感與歸屬感。因此不僅增進了學業成就，並在小組 積極的互動中增進了溝通技巧與社會技巧，也改變個人學習態度，亦培養學 生分享、協助與關懷他人的態度，進而提昇學習興趣與成就，教師的身教及 言教潛移默化地影響學生。

參 參 參

參、 、 、 、研究方法 研究方法 研究方法 研究方法

Davidson & Sternberg(1998)認為一個人能否成為好的問題解決者，關鍵就在於 他是否能思考與監控自己的問題解決歷程。本研究主要是利用數學研究課程，以 實驗組與對照組的方式進行，探討在現有的教學環境中，透過數學解題歷程與合 作學習歷程下，找出多樣性數學解題歷程來提升學生的解題能力，並結合合作學 習的策略，來培養學生團隊合作與數學解題的能力，進而培創造性思考的能力。

一一一一、、、、研究研究研究研究對象對象對象對象

以本校高一 ,A B 二班同學為研究對象，其中A 班為實驗組(40 人)與 B 為對照 組(38 人)。

二二

二二、、、、教學設計教學設計教學設計實施期程圖教學設計實施期程圖實施期程圖 實施期程圖

本研究體悟「解題」是數學中一個主要的活動，從小到大數學的學習活動，

都脫離不了學習如何去解題，本研究透過合作學習進行數學策略教學中加強數學 解題歷程與合作學習歷程，其中數學解題歷程是以 Polya (1945)所提出來的四個 解題步驟為主軸，並融入高中數學特性，再配合高中生的學習特性做適度的調 整，其解題流程圖說明如下圖四：

圖四：解題流程圖

教學設計分為準備階段、實驗階段、分析階段等三階段，其實施期程圖如圖五：

圖五：教學設計實施期程圖

而透過合作學習進行數學策略教學中課程計畫內涵說明如圖六：

圖六：透過合作學習進行數學策略教學中課程計畫內涵說明 三三

三三、、、、教學教學教學設計教學設計設計理念設計理念理念 理念

本課程之單元活動設計理念為透過全美中學數學分級能力測驗 AMC10A 試 題刺 激 學 生 對 數 學 的 興 趣 且 透 過 以 試 題 來 開 發 學 生 對 數 學 的 才 能；測 驗

題 型 範 圍 由 容 易 到 困 難，其 內 容 包 括 幾何題、代數題、推理題與離散數學題 等四類，充份學習重要數學觀念且能 夠 洞 察 數 學 的 知 識 ，，，， 進 一 步 發 掘 一 些 對 數 學 有 才 能 的 學 生，讓 學 生 潛 力 發 揮 ，同 時 利 用 合作學習中「共同學習 法(Learning Together)」加速學習，並提供分析、思考、推理與討論時間，加深說 明數學知識，充份學習達到真正解決問題能力。

四 四 四

四、、、、數學解題的歷程規劃數學解題的歷程規劃數學解題的歷程規劃：數學解題的歷程規劃：：： 此課程上課引導方式步驟如下：

第一步驟 發現問題，進而解決問題；第二步驟 提升邏輯思考與分析能力；

第三步驟 以小組互動合作學習開發學生對數學的潛力；

第四步驟 洞 察 數 學 的 知 識，開發一題多解；第五步驟 增強數學創造能力；

第六步驟 透過口頭上台講解，增進學生能應用所學知識融會貫通。

五 五 五

五、、、、研究工具研究工具研究工具 研究工具

本研究透過行動研究方式，探討透過「共同學習法」方式進行數學解題歷程，

評量方式必須兼重解題的歷程與結果，所以包含學習回饋分享問卷、自主學習 單、學習成果量表、數學能力指標檢核與參賽具體成效等等評量方式，因此在資 料分析與蒐集方面，採取量的研究與質的研究兩種方式進行。

(一)包括量的研究

１. 自主學習學習單與上台講解：每週末每位同學進行全美中學數學分級能 力測驗 AMC10A 試題書寫，且發放一題多解的學習單，組長負責進行統整與討 論，學習單請星期三前交，保有先交優先的權力，接著星期四上課進行分組上台 口頭講解，老師進行多元角度思考說明，並提供每個解法的獨特性說明，並進行 課程加深加廣的內容，讓學生全盤瞭解。同時以鼓勵學生自我推演、多元解題為 主，透過循序漸進的方式，鼓勵學生提問、自我挑戰、解答難題，加速提升學生 專業能力。

２.學生歷程學習成果與數學能力指標檢核：就學生的學習階段歷程進行資

3.紙筆測驗法：目的全美中學數學分級能力測驗試題熟練度練習，其特別加 入錯誤類型與策略計分系統的策略技巧，分別說明如下：

(1)錯誤類型：主要是分析學生在解某種數學領域的題目時，所產生的錯誤。

試圖找出某個學生或是部份學生，容易產生的系統性錯誤，在教學數學時，提醒 學生該注意的地方。

(2)策略計分系統：以選擇題的方式呈現，將各種解題策略安排於選項中，

以評量學生在解題過程中，所採用的解題策略之種類與頻率，同時訓練學生在有 效時間內完成思考與完成答案。

(二)包括質的研究方面：

1.訪談：在教學實施前後，分別從研究對象中，不定時約談學生，其中包 含學習高成就、中等程度學生和學習低成就，進行個別訪談。

2.現場觀察：教學現場觀察學生整體反應進行。

3.教師歷程檔案與能力檢核表：進行資料分析。

4.學習單與回饋單：進行資料分析。

5.競賽具體成果

肆 肆 肆

肆、 、 、實施 、 實施 實施 實施成效與結果分析 成效與結果分析 成效與結果分析 成效與結果分析

一 一 一

一、、、、透過透過透過合作學習進行透過合作學習進行合作學習進行數學解題策略合作學習進行數學解題策略數學解題策略數學解題策略教學學生問卷分析與回饋教學學生問卷分析與回饋教學學生問卷分析與回饋教學學生問卷分析與回饋：

為確實瞭解此課程學生之學習成效，不定時寫填問卷調查、學習單與 心得回饋，因受限於篇幅僅呈現部份，其結果如下：

((((一一一))))開發一題多解信念一開發一題多解信念開發一題多解信念開發一題多解信念回饋單回饋單回饋單回饋單分享分享分享分享：：：：((((問卷內容見附錄問卷內容見附錄問卷內容見附錄問卷內容見附錄一一一一)))) 問卷問題問卷問題

問卷問題問卷問題(1)(1)(1)：一題多解的開發有增強你的數學能力嗎(1) 一題多解的開發有增強你的數學能力嗎一題多解的開發有增強你的數學能力嗎一題多解的開發有增強你的數學能力嗎？？？？說出你的看法說出你的看法說出你的看法說出你的看法……… … 學生回答

學生回答 學生回答 學生回答

問卷 問卷 問卷

問卷結果結果結果教師分享結果教師分享教師分享：教師分享：：：在數學解題歷程中，開發一題多解的信念，的確學習數學的 思考訓練最好的方法之一，從此牽動多元思考發展，把相關知識加以整合與有效 能的聯結，將問題推廣，幫助發現新方法、技巧和建構數學的學習，相信更可以 提升學生的解題樂趣，並達成更理想的教學成效，自然增強數學解題能力與技 巧，而達到問題解決。

問卷問題 問卷問題 問卷問題

問卷問題(2)(2)(2)：在(2) 在在在 AAAMC10AAMC10AMC10AMC10A 試題試題試題試題中中中中，，，，我學習到許多以前所不知道的觀念我學習到許多以前所不知道的觀念我學習到許多以前所不知道的觀念我學習到許多以前所不知道的觀念………… 學生回答學生回答學生回答

學生回答

問卷結果教師分享 問卷結果教師分享 問卷結果教師分享

問卷結果教師分享：：：：本題勾選相當符合占 15%，符合占 82.5%且不符合占 2.5%。

本研究採用歷屆全美中學數學分級能力測驗試題內容包 括 幾何題、代數題、推 理題與離散數學題等四類數學領域，其試題內容是多方面數學領域，當然知識提 昇也相對性多元增強，是不錯的一份教學教材。

問卷問題 問卷問題 問卷問題

問卷問題(3)(3)(3)：在(3) 在在在 AAAMC10AAMC10AMC10AMC10A 試題訓練試題訓練試題訓練試題訓練中中中中，，，，你增強那方面的能力你增強那方面的能力你增強那方面的能力你增強那方面的能力……… … 學生回答

學生回答 學生回答 學生回答

問卷結果教師分享 問卷結果教師分享 問卷結果教師分享

問卷結果教師分享：：：：增強思考能力、思考速度、解決難題所需的元素與另一個角 度看題目的能力。

問卷問題 問卷問題 問卷問題

問卷問題(4)(4)(4)：在(4) 在在在 AAAMC10AAMC10AMC10AMC10A 試題訓練試題訓練試題訓練試題訓練中中中中，，，，是否有增強高中數學課程的能力是否有增強高中數學課程的能力是否有增強高中數學課程的能力是否有增強高中數學課程的能力………… 問卷結果教師分享

問卷結果教師分享 問卷結果教師分享

問卷結果教師分享：：：：本題勾選相當符合占 37.5%，符合占 60%且不符合占 2.5%，

因此此課程同時也增強高中數學課程的能力。

問卷問題 問卷問題 問卷問題

問卷問題(5)(5)(5)：特別回饋分享(5) 特別回饋分享特別回饋分享特別回饋分享：：： ：

學生回答 學生回答 學生回答 學生回答

問卷結果教師分享

問卷結果教師分享 問卷結果教師分享

問卷結果教師分享：：：：本研究課程乃是為提供原有高中課程標準實施之外，有更加 深、加廣及加速的學習機會，並藉以刺激學習興趣、開發學習潛能，達到融會貫 通的境界。

(三) 學生學生學生自主學習學生自主學習自主學習學習單自主學習學習單學習單學習單與教師回饋分享與教師回饋分享與教師回饋分享與教師回饋分享：：：：以下學生自主學習學習單部份分享 (見附錄二)與學生實戰的現場畫面，揮灑其潛力！！

學生回答 學生回答 學生回答 學生回答

教師回饋分享 教師回饋分享 教師回饋分享

教師回饋分享：：：：這是一份自主學習學習單，讓學生多元角度思考訓練歷程，也是 學生自我推演、自我挑戰與解答難題歷程，要求必展現一題多解的信念，學生發 揮創造力的表現，加速提升學生專業能力，學生揮灑其潛力的舞台！！。同時也 常勉勵同學高斯(Guass)的一段話「給我最大快樂的，不是已懂的知識，而是不斷 的學習。不是已有的東西，而是不斷的獲取。不是已達到的高度，而是繼續不斷 的攀登。」

二 二 二

二、、、、教學歷程教學歷程教學歷程學習成果量表教學歷程學習成果量表學習成果量表與分析學習成果量表與分析與分析與分析結果結果結果結果：

本研究規劃透過合作學習中的「共同學習法」進行數學解題策略教學歷程學 習成果量表(如附錄三)，以提升教師教學與學生學習之成效，參與合作學習者40 名，接受問卷調查者40名，問卷分析實驗組學生對於合作學習的學習成果量表，

以認知、情意、技能三個向度及整體來分析，經整理結果如下表二與統計表：

表二 表二 表二

表二：：：透過合作學習中：透過合作學習中透過合作學習中「共同學習法透過合作學習中 共同學習法共同學習法共同學習法」進行數學進行數學進行數學進行數學解題策略教學歷程解題策略教學歷程解題策略教學歷程學習成果量解題策略教學歷程學習成果量學習成果量學習成果量表表表表 本研究透過

本研究透過 本研究透過

本研究透過「共同學習法共同學習法共同學習法」進行高中數學解題策略教共同學習法 進行高中數學解題策略教進行高中數學解題策略教進行高中數學解題策略教 學

學 學

學，，，，教材取歷屆教材取歷屆教材取歷屆全美中學數學分級能力測驗教材取歷屆全美中學數學分級能力測驗全美中學數學分級能力測驗試題內容全美中學數學分級能力測驗試題內容試題內容，試題內容，，， 為了加速數學解題的能力

為了加速數學解題的能力 為了加速數學解題的能力

為了加速數學解題的能力，，，，同時開發一題多解的信念同時開發一題多解的信念同時開發一題多解的信念同時開發一題多解的信念，，，， 讓學生經由猜想

讓學生經由猜想 讓學生經由猜想

讓學生經由猜想、、、、靈感靈感靈感、靈感、、、擴散性思考擴散性思考擴散性思考擴散性思考、、、、分工合作與共同分工合作與共同分工合作與共同分工合作與共同 分享團體努力的成果之過程

分享團體努力的成果之過程 分享團體努力的成果之過程

分享團體努力的成果之過程，，，，來引發學生更多的想像思來引發學生更多的想像思來引發學生更多的想像思來引發學生更多的想像思 維空間

維空間 維空間

維空間，，，激發學生對數學研究之興趣潛能，激發學生對數學研究之興趣潛能激發學生對數學研究之興趣潛能。激發學生對數學研究之興趣潛能。。。

不不不 不符符符符 合 合合 合

沒意沒意 沒意沒意 見 見 見 見

符合符合 符合符合

1.小組合作可增進、釐清基本觀念 5% 5% 90%

2.小組合作作業可以提高我的學習成效 7.5% 7.5% 85%

第第

第第1.2.1.2.1.2.1.2.題是認知向度分析整體平均題是認知向度分析整體平均題是認知向度分析整體平均題是認知向度分析整體平均 6.25%6.25% 6.25%6.25% 6.25%6.25%6.25%6.25% 87.5%87.5%87.5%87.5%

3.我會熱心幫助小組的成員課業上的問題 7.5% 2.5% 90%

4.我會熱心幫助其他小組的成員課業上的問題 15% 12.5% 72.5%

5.小組合作作業可以提高我的學習動機 7.5% 5% 87.5%

6.小組合作作業可以提高我對小組或班級的認同感 10% 7.5% 82.5%

7.我覺得此種學習方式增加我與同學溝通討論的機會 7.5% 5% 87.5%

8.透過小組合作學習我更積極參與討論 5% 0% 95%

9.透過小組合作學習，使我更敢於發表個人想法 10% 7.5% 82.5%

10.我覺得和同學進行討論時是很有趣的 5% 5% 90%

11.我嘗試和其他小組組員討論課業 20% 17.5% 62.5%

題解決 第 第 第

第12121212題是技能向度分析整體平均題是技能向度分析整體平均題是技能向度分析整體平均題是技能向度分析整體平均 5%5% 5%5% 5%5%5%5% 90%90%90%90%

13.我覺得小組組員對於課程內容熟悉的平均程度很整 齊

17.5% 10% 72.5%

14.我所屬的小組溝通能力很好 12.5% 7.5% 80%

15.我喜歡此種合作學習的方式 5% 5% 90%

16.我覺得組長的回應速度還不錯 7.5% 2.5% 90%

17.我曾經對同組的組員的不合作行為感到不滿 42.5% 37.5% 20%

18.我覺得此種學習方式比以前更吸引我 7.5% 5% 87.5%

19.透過小組合作學習，我學會去稱讚同學 10% 2.5% 87.5%

20.透過小組合作學習，我學會主動幫助同學 2.5% 0% 97.5%

第第第13~20第13~2013~20題是合作學習模式分析整體平均13~20題是合作學習模式分析整體平均題是合作學習模式分析整體平均題是合作學習模式分析整體平均 13.13%13.13% 13.13%13.13% 8.75%8.75%8.75%8.75% 78.12%78.12%78.12%78.12%

認知向度分析整體平均

不符合 6%

沒意見 6%

符合 88%

不符合 沒意見 符合

情意向度分析整體平均

不符合 10%

沒意見 7%

符合 83%

不符合 沒意見 符合

技能向度分析整體平均

不符合 5%

沒意見 5%

符合 90%

不符合 沒意見 符合

合作學習模式分析整體平均

不符合 13%

沒意見 9%

符合 78%

不符合 沒意見 符合

教學歷程

教學歷程 教學歷程

教學歷程學習成果量表學習成果量表學習成果量表結果學習成果量表結果結果結果分析分析分析分析：

(1)學生在經過數學解題策略教學歷程後，學習成果量表分析百分比如上表二。

(2)學生在經過數學解題策略教學歷程後，在認知、技能、情意向度整體平均符合 達到百分比80%以上學習成效。

(3)學生在經過數學解題策略教學歷程後，針對合作學習模式整體平均符合達到百 分比78%學習成效，但其中一題「17.我曾經對同組的組員的不合作行為感到不

習那麼簡單，更重要的是組織合作小組，促進小組的合作學習。小組能否發揮 其功能與小組成員的關係正是小組學習成敗的關鍵!真正的合作學習小組，每 個成員是互相依賴，互相幫忙，分享資源，彼此相互助長學習。

三三

三三、、、、數學數學數學解題策略教學歷程數學解題策略教學歷程解題策略教學歷程教學解題策略教學歷程教學教學教學活動活動活動活動數學能力指標檢核統計表與結果分析數學能力指標檢核統計表與結果分析數學能力指標檢核統計表與結果分析數學能力指標檢核統計表與結果分析：

本研究透過合作學習中的「共同學習法」進行數學解題策略教學，數學能數學能數學能數學能 力指標檢核統計表

力指標檢核統計表 力指標檢核統計表

力指標檢核統計表((((見見見附錄見附錄附錄四附錄四四四))))與結果分析如下表與結果分析如下表與結果分析如下表三與結果分析如下表三三三：：：： 表

表表

表三三三三：：：：數學數學數學數學解題策略教學歷程解題策略教學歷程解題策略教學歷程解題策略教學歷程教學教學教學活動教學活動活動數學能力指標檢核統計表活動數學能力指標檢核統計表數學能力指標檢核統計表 數學能力指標檢核統計表 已達到

已達到 已達到

已達到 AAA 部分達到A 部分達到部分達到部分達到 BBBB 未達到未達到未達到未達到 CCCC 能力指標能力指標

能力指標能力指標 ^實驗組實驗組 ^{實驗組實驗組}

A1A1 A1A1

對照組 對照組對照組 對照組

A2A2 A2A2

實驗組 實驗組 實驗組實驗組

B1B1 B1B1

對照組 對照組 對照組對照組

B2B2B2 B2

實驗組 實驗組 實驗組實驗組

C1C1 C1C1

對照組 對照組 對照組對照組

C2C2 C2C2 1.能選擇合適的數學表徵 35353535%%% 29% 65%% 65%65%65% 60% 0%0%0% 11% 0%

2.能使用合適的數學表徵 35%35%35%35% 26% 60%60%60%60% 63% 5%5%5% 11% 5%

3.能用不同想法，檢驗答案的合理性 55%55%55%55% 11% 45%45%45%45% 81% 0%0%0% 8% 0%

4.了解一數學問題可有不同的解法 75%75%75%75% 32% 25%25%25%25% 68% 0%0%0% 0% 0%

5.能嘗試不同的解法 65%65%65%65% 16% 35%35%35%35% 79% 0%0%0% 5% 0%

6.能尊重他人解決數學問題的多元想法 85%85%85%85% 55% 15%15%15%15% 45% 0%0%0% 0% 0%

7.能把待解的問題轉化成數學的問題 45%45%45%45% 5% 52.552.552.552.5

%%

%%

74% 2.5%2.5% 2.5%2.5% 21%

8.能用一般語言說明情境與問題 45%45%45%45% 8% 50%50%50%50% 79% 5%5%5% 13% 5%

9.能用數學語言說明情境與問題 35%35%35%35% 3% 55%55%55%55% 71% 10%10%10% 26% 10%

10.能發現自我之迷思概念 40%40%40%40% 16% 60%60%60%60% 68% 0%0%0% 16% 0%

11.能增強學習的數學概念和解題技巧 55%55%55%55% 8% 45%45%45%45% 76% 0%0%0% 16% 0%

12.在面對題目時，能整理、組織並歸納自己

學過的數學知識 55%55%55%55% 8%

40%40%

40%40% 84%

5%5%5%

5% 8%

13.能從題目中找出關鍵的數字與關鍵語，進 而順利的解題

52.552.552.5 52.5

%

%%

%

13% 42.42.42.42.5555

%

%

%

%

79% 5%5% 5%5% 8%

14.在一題多解訓練中學會舉一反三的技巧 57.557.557.557.5

%

%%

%

11% 37.537.537.537.5

%

%

%

%

68% 5%5% 5%5% 21%

15.在一題多解訓練中學會正逆思維的技巧 45%45%45%45% 8% 40%40%40%40% 76% 15%15%15% 16% 15%

16.在一題多解訓練中學會圖像思維的技巧 52.552.552.552.5

%

%%

%

8% 45%45%45%45% 76%

2.5%

2.5%2.5%

2.5% 16%

17.在一題多解訓練中學會深度思考的技巧 42.542.542.542.5 3% 52.552.552.552.5 63%

5%5%5%

5% 34%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

實驗組第1題 對照組第1題 實驗組第2題 對照組第2題 實驗組第3題 對照組第3題 實驗組第4題 對照組第4題 實驗組第5題 對照組第5題 實驗組第6題 對照組第6題 實驗組第7題 對照組第7題 實驗組第8題 對照組第8題 實驗組第9題 對照組第9題 實驗組第10題 對照組第10題 實驗組第11題 對照組第11題 實驗組第12題 對照組第12題 實驗組第13題 對照組第13題 實驗組第14題 對照組第14題 實驗組第15題 對照組第15題 實驗組第16題 對照組第16題 實驗組第17題 對照組第17題

未達到 部份達到 已達到

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

實驗組第14題舉一反三 對照組第14題舉一反三 實驗組第15題正逆思維 對照組第15題正逆思維 實驗組第16題圖像思維 對照組第16題圖像思維 實驗組第17題深度思考 對照組第17題深度思考

未達到 部份達到 已達到

數學能力指標檢核統計表 數學能力指標檢核統計表 數學能力指標檢核統計表

數學能力指標檢核統計表結果分析結果分析結果分析結果分析：

由上表發現各能力指標實驗組已達到的百分比均高於對照組百分比，尤其實 驗組的「了解一數學問題可有不同的解法」與「能尊重他人解決數學問題的多元 想法」百分比分別高達75%與85%，可知學生透過數學解題歷程中，已慢慢體會”

如何尋找解題規律”及“怎樣學會解題”，透過多元思維，更能體會如下三點：

(1)將「一題多解」信念發揮，學生能養成多元的思考與多向思維的習慣，培育更 多元推理思考的綜合能力，同時把思考與聯想相關知識加以整合與有效能的聯

結，相信更可以提升學生的解題樂趣，並達成更理想的教學成效。

(2)能澄清數學知識的概念，比較知道如何多元思考問題，進而達到真正解決問

(3)學生能對學習及解題的反省能力，增進後設認知能力，將數學知識融會貫通與 應用。

四四

四四、、、、進行數學進行數學進行數學解題策略教學歷程進行數學解題策略教學歷程解題策略教學歷程參賽得獎解題策略教學歷程參賽得獎參賽得獎參賽得獎具體成效具體成效具體成效具體成效

透過「共同學習法」進行數學解題策略教學歷程參賽得獎具體成效如下：

1.參加2011年全美中學數學分級能力測驗AMC12榮獲非常優良有3位同學與優良 有6位同學，且符合參加2012 AIME測驗資格者共有4位同學。

2.參加2012年全美中學數學分級能力測驗AMC12榮獲非常優良有8位同學與優良 有24位同學，且符合參加2012 AIME測驗資格者共有9位同學，其中1位同學 AMC12成績在全球前1％（109.5分以上）。

根據1.與2.的數據分析折線圖如下表：

05 1015 2025 3035

非常優良者 優良者 符合 AIME測驗 資格者 AMC12成績達在 全球前1％者

2012AMC12 2011AMC12

從上表可知很明顯看到學生在數學能力競賽的進步與突破！！

3.參加 2011 年全美中學數學分級能力測驗 AMC12 榮獲非常優良有 3 位同學與優 良有 6 位同學，且符合參加 2012 AIME 測驗資格者共有 4 位同學。

4.參加 2012 年全美中學數學分級能力測驗 AMC12 榮獲非常優良有 8 位同學與優 良有 24 位同學，且符合參加 2012 AIME 測驗資格者共有 9 位同學，其中 1 位 同學 AMC12 成績在全球前 1％（109.5 分以上）。

5.參加 2013 年全美中學數學分級能力測驗 AMC10 符合參加 2013 AIME 測驗資格 者共有 8 位同學(進級者為紅色同學)。

學生學生學生

學生 得獎項目得獎項目得獎項目得獎項目 學生學生學生學生 得獎項目得獎項目得獎項目得獎項目 學生學生學生學生 得獎項目得獎項目得獎項目得獎項目 12 號 非常優良 13 號 非常優良 36 號 非常優良得到全

體最高分的殊榮 14 號 非常優良 34 號 優良 11 號 非常優良 19 號 非常優良 7 號 優良 17 號 非常優良 24 號 非常優良 2 號 優良 35 號 非常優良 22 號 非常優良 26 號 優良 37 號 非常優良 28 號 非常優良 38 號 優良 30 號 非常優良 25 號 優良 39 號 優良 32 號 非常優良 40 號 優良 29 號 非常優良 表五：對照組參賽得獎整體成效

學生 學生學生

學生 得獎項目得獎項目得獎項目得獎項目 學生學生學生學生 得獎項目得獎項目得獎項目得獎項目 學生學生學生學生 得獎項目得獎項目得獎項目得獎項目 22 號 非常優良 11 號 非常優良 1 號 優良

5 號 優良 36 號 優良 教師回饋分享

教師回饋分享 教師回饋分享

教師回饋分享：：：：利用「共同學習法」方法進行解題策略教學我們領悟到

(1)促成個人成長與發揮每個人的潛力；(2)個人的腦力激盪活動比團體的腦力激 盪活動有效率；(3)學生邏輯思考、判斷推理及解決問題的能力增強；(4)當組員 一起做一件事時，團隊精神就自然開展；(5)在合作學習活動中，學生們常需使用 社會技能，因而人際關係的技巧更熟練；(6)組員通常有機會表現他們特殊的能力 與專長；(7)學生研究探索的能力更純熟與學習效果提昇；(8)提供學生語言互動 的機會,促進同儕間面對面互動和正向相依,增進彼此的友誼學生，更懂得尊重自 己；(9)從合作技巧的學習過程中,學生勇於表達自己的觀點，更能瞭解合作學習 的真諦，亦既社會技巧有進步。(10)問題解決是心理、尋求解決辦法的一種活動、

一個發現的過程、探索的過程及創新的過程、目的、把數學用於各種情況的能力，

這也是生存的本領。(11)多種教學策略透過合作學習的應用，可以促進學生學習 氣氛。(12)能增進學生的學習動機，有助於學生學科知識的學習，使學業成就進 步。

伍 伍 伍

伍、 、 、反思 、 反思 反思 反思與未來展望 與未來展望 與未來展望 與未來展望----

本研究透過「共同學習法」進行高中數學解題策略教學，教材取歷屆全美 中學數學分級能力測驗試題內容，為了加速數學解題的能力，同時開發一題多解 的信念，讓學生經由猜想、靈感、擴散性思考、分工合作與共同分享團體努力的 成果之過程，來引發學生更多的想像思維空間，激發學生對數學研究之興趣潛能。

一一

一一、、、、問題是數學的心臟問題是數學的心臟問題是數學的心臟且解題是一問題是數學的心臟且解題是一且解題是一且解題是一連串的歷程連串的歷程連串的歷程連串的歷程

美國數學家 P.R.Halmos 認為「問題是數學的心臟」，而解決問題則是數學上 最重要的工作。目前很多高中學生學生數學解題的過程是直接翻看解答而得到答 案，或單從老師的講解中簡易複製而得，失去問題背後真正的知識傳達的內在深 層涵義。所以解決問題不但需要一段時間思考探索，更需要具備一定的數學能力 與方法，方能解決。問題解決不只侷限於練習題或測驗卷，而是泛指解決日常生 活中的各種問題。

二 二 二

二、、、、「「「「一題多解一題多解一題多解一題多解」」」」的信念的信念的信念道出層層的信念道出層層道出層層思維道出層層思維思維 思維

教師在教導解題策略時，若能將「一題多解」信念發揮，不拘泥在單一思路，

單一策略，單一解法，引領學生多元的思考與多向思維的習慣，培育更多元推理 思考的綜合能力，透過一題多解的思索、訓練，將問題推廣，幫助發現新方法、

技巧和建構數學的學習，同時把思考與聯想相關知識加以整合與有效能的聯結，

相信更可以提升學生的解題樂趣，並達成更理想的教學成效。

數學是現代科學思考與創意思考的基礎，數學的思考訓練可以鼓勵同學用類 比、延展並從多元面向掌握數學的本質，進而深入歸納探究其中的邏輯性及發展 性，以發展更為有效的解題方法，奠定未來學習研究的基礎能力。

三三

三三、、、、開啟學生思考的金鑰匙開啟學生思考的金鑰匙開啟學生思考的金鑰匙 開啟學生思考的金鑰匙

相信「一題多解」信念下必能讓學生慢慢學會『舉一反三』-在既有的知識 點上，聯結橫向發展，得以觸類旁通，擴大知識領域、『正逆思維』-以完全不同

化，以視覺直觀、邏輯推理為本，在圖像中，尋獲巧思。與『深度思考』-反常 態思維直入題意核心，以敏銳的思考、極少的算式穿透解題。開啟學生創造思維、

邏輯推理、數理分析能力是我堅持努力的方向。

四四

四四、、、、透過合作學習可從透過合作學習可從透過合作學習可從「透過合作學習可從「「「個人競爭個人競爭個人競爭個人競爭」」」」改為改為改為「改為「「合作競爭「合作競爭合作競爭」合作競爭」」」

傳統的教學中，獲得酬賞的方法來自於競爭，別人的成功將導致自己的失 敗，在這樣的學習環境中，中下程度的學生不容易產生學習興趣。而在合作學習 中，要獲得酬賞的要素，包括了個人績效責任的展現及團體學習目標的達成。學 生為達成團體學習目標，不只需要自己努力，還要幫助團體中其他人；在這樣的 酬賞結構下，造成合作學習中，學習過程合作的目標結構，在合作學習的情境中，

學生處於合作的目標結構下，高成就的學生被視為團體中可提供協助的角色、中 等成就的學生可因為自己的努力而獲得酬賞、低成就的學生也能獲得同儕的協 助、鼓勵，在進步和團體的成功中，獲得內在學習的動力。

五 五 五

五、、、、開啟學生潛能的金鑰匙開啟學生潛能的金鑰匙開啟學生潛能的金鑰匙 開啟學生潛能的金鑰匙

在合作學習中，學生主動學習，經由教師或同儕的引導，讓學生從被動的 知識接受者蛻變成主動的知識追求者，促進學生在認知、情意和技能方面的表 現，提高學習興趣，容易了解課程的內容與意義，增進學生的學習成效，訓練 學生學習適當的社會技巧及培養帶得走的能力，願意表達自己的看法，也學會 尊重他人看法與互相幫助的團隊精神，成就個人和團體的雙贏局面，此歷程幫 助發展認知架構，一連串體驗、發現與思考，才能到達潛能的最高層次。

六 六 六

六、、、、教師應由傳統知識權威者轉為協調教師應由傳統知識權威者轉為協調教師應由傳統知識權威者轉為協調、教師應由傳統知識權威者轉為協調、、合作、合作合作、合作、、共同學習者、共同學習者共同學習者共同學習者

教師應由傳統知識權威者轉為協調、合作、共同學習者。教師不僅是教也是 學的角色。教學應跳脫傳統以「教師為導向」的方式，善用互動合作，重視學習 者的學習反應，而使教學成為以「學習者為導向」的方式，能符合學習者的需求，

也較能提高學習者的學習動機與興趣，進而提高學習成效。

七 七 七

七、、、、真正真正真正應用合作學習在數學教學所產生的限制與困難真正應用合作學習在數學教學所產生的限制與困難應用合作學習在數學教學所產生的限制與困難 應用合作學習在數學教學所產生的限制與困難

(一) 教師教學方面主要是對合作學習的陌生，加上沒有充分的時間備課，以 致於擔心進度落後；因為不熟悉合作學習適合的實施方式，而不知如何進行、如 何提出適合的數學題目、以及教學者本身的專業不足而影響教學的進行。

(二)學習小組組數過多，而難以掌握討論狀況；另外討論品質與學生的學習 無法掌握，這些都是教學者在實施時所面臨的障礙。所以教師必需不斷的修正教 學設計與教學技巧、教師角色的調整、學生小組互動的促進、訂定上課班級的社 會規範等方面的解決策略，尋求出教師應用合作學習的可行性方式。

(三)在指導合作技巧前應先建立合作環境，要創造一個能讓小組成員同舟共 濟且主動融入學習小組的環境。

(四)越早教導合作技巧效果越好，如果從幼稚園開始教導作技巧其效果較國 中或高中之後教導有效。

(五)安排團體歷程，提供學生進步的機會，光是練習是不夠的，學生必須經 過小組討論、描述、回饋來促進合作技巧表現的品質。

陸 陸 陸

陸、 、 、結論 、 結論 結論 結論

本行動研究歸納幾點結論如下說明：

開發一題多解信念回饋單分享問卷中，深刻體驗開發一題多解的信念，的確 學習數學的思考訓練最好的方法之一，學生增強思考能力、思考速度、解決難題 所需的元素與另一個角度看題目的能力，同時掌握解題的科學程序來解題，促進 數學中常用的思維方法(如觀察、試驗、歸納、演繹、類比、分析、綜合、抽象、

概括等)，更掌握解題的基本策略，能因題制宜地選擇適當的解題思路，使用有 效的解題方法，運用精明的解題技巧，進一步培養了具有敏銳的直覺，是自我突 破與自我挑戰的歷程，牽動多元思考發展，把相關知識加以整合與有效能的聯 結，將問題推廣，幫助發現新方法、技巧和建構數學的學習，相信更可以提升學

到問題解決。

學生自主學習學習單中，讓學生多元角度思考訓練歷程，也是學生自我推 演、自我挑戰與解答難題歷程，要求必展現一題多解的信念，學生發揮創造力的 表現，加速提升學生專業能力，學生揮灑其潛力的舞台！！這歷程深刻只要給學 生發揮的舞台，因在思考訓練下，看到他們的潛力無限開展而出，常常令人感動 不已。

教學歷程學習成果量表中，學生在經過數學解題策略教學歷程後，在認知、

技能、情意向度整體平均符合達到80%以上學習成效。 針對合作學習模式整體 平均符合達到百分比78%學習成效，真正的合作學習小組，每個成員是互相依 賴，互相幫忙，分享資源，彼此相互助長學習。

數學能力指標檢核統計表結果可知各能力指標實驗組已達到的百分比均高 於對照組百分比，可知學生透過數學解題歷程中，的確道出層層多元思維與多元 能力，培育更多元推理思考的綜合能力，同時把思考與聯想相關知識加以整合與 有效能的聯結，相信更可以提升學生的解題樂趣，並達成更理想的教學成效。

本行動研究體認提高解題效率的人都必須對下列三項下功夫：

(1)熟練掌握數學基礎知識系統─教材的概念系統、定理系統、符號系統、數學競 賽的基本理論。

(2)深刻理解數學概念，準確掌握數學定理、公式和法則。

(3)熟習基本的邏輯規則和常用的解題方法，累積不斷出現的數學技巧。

弗里德曼曾說過：「解題不能教會，只能靠自己學會。」在解題實踐中，

有時會成功、有時會失敗，這兩方面的經驗累積，都能形成長久保留價值或借鏡 的經驗。而成功是一種有效的有序組合，失敗是一種無效的無序組合─不過它可 從反面提供有效有序組合有用的資訊。成功經驗所獲得的有效有序組合，遇到合 適的場所就可以套用上，所以數學解題歷程中，是可允許失敗，因解題經驗的累 積有利於解題念頭的誘發，有助於直覺性題感的形成，它是思維變遷的一種潛在

表現，而實質上是一種數學觀念、數學意識，常表現為整體把握及成功思路的預 感、預測和預見。

俗語說：「三個臭皮匠勝過一個諸葛亮」，又禮記學記篇上說：「獨學而無 友，則孤陋而寡聞」，可見可見得傳達了「合作」的力量無窮，歷程中學生能彼 此長露長才，獻心獻力，發揮團對互助之精神，同時透過「合作」歷程支持學生 發揮最大的努力，學生對所學內容有更深層的認識，且享受學習的樂趣，發揮領 導才能。本研究體認合作學習是讓學生彼此教學相長，共同成長的最佳方式，正 如羅馬哲學家 Seneca 的名言：當你教別人時，你等於學了兩次！ 而且單打獨鬥 的時代已經過去，唯有「合作學習」才能戰勝接踵而來的挑戰。

柒 柒

柒 柒、 、 、參考文獻 、 參考文獻 參考文獻 參考文獻

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附錄 附錄 附錄

附錄一一一：一：：學習：學習學習歷屆全美中學數學分級能力測驗學習歷屆全美中學數學分級能力測驗歷屆全美中學數學分級能力測驗 A歷屆全美中學數學分級能力測驗AAAMC10AMC10AMC10AMC10A 試題試題試題試題回饋單回饋單回饋單回饋單

台北市立成淵高中 台北市立成淵高中 台北市立成淵高中

台北市立成淵高中 101 101 101 101 學年度數學研究課程 學年度數學研究課程 學年度數學研究課程 學年度數學研究課程

學習 學習

學習 學習歷屆 歷屆 歷屆 歷屆全美中學數學分級能力測驗 全美中學數學分級能力測驗 全美中學數學分級能力測驗 A 全美中學數學分級能力測驗 A A AMC10A MC10A MC10A MC10A 試題 試題 試題回饋單 試題 回饋單 回饋單 回饋單

座號： 姓名：

問題 問題 問題

問題 → 提升提升提升提升邏輯思考邏輯思考邏輯思考邏輯思考 → 開發開發開發一題多解開發一題多解一題多解 → 增強一題多解 增強增強數學創造能力增強數學創造能力數學創造能力數學創造能力

透過 AMC10A 試題，開發一題多解的信念，利用團體小組合作加速學習，

並提供分析、思考、推理與討論時間，加深說明數學知識，充份學習達到真正解 決問題能力與增強數學創造能力。

1.1.

1.1.一題多解的開發有增強你的數學能力嗎一題多解的開發有增強你的數學能力嗎一題多解的開發有增強你的數學能力嗎一題多解的開發有增強你的數學能力嗎？？？說出你的看法？說出你的看法說出你的看法…說出你的看法………

2.

2.

2.

2.在在在在 AAAAMC10A 試題試題試題試題中中中中，，，，我學習到許多以前所不知道的觀念我學習到許多以前所不知道的觀念我學習到許多以前所不知道的觀念我學習到許多以前所不知道的觀念…………

□相當符合 □符合 □不符合 □相當不符合 增強那些觀念？

3.3.

3.3.在在在在 AAAAMC10A 試試試試題訓練題訓練題訓練題訓練中中中中，，，你增強那方面的能力，你增強那方面的能力你增強那方面的能力…你增強那方面的能力………

4.在在在在 AAAAMC10A 試題訓練試題訓練試題訓練試題訓練中中中中，，，是否有增強高中數學課程的能力，是否有增強高中數學課程的能力是否有增強高中數學課程的能力…是否有增強高中數學課程的能力………

□相當符合 □符合 □不符合 □相當不符合。

5.

5.

5.

5.特別回饋特別回饋特別回饋特別回饋分享分享分享：分享：：：

附錄 附錄 附錄

附錄二二二：二：：數學研究課程：數學研究課程數學研究課程-數學研究課程---美國美國美國 AMC10美國AMC10AMC10AMC10 數學測驗訓練數學測驗訓練數學測驗訓練 數學測驗訓練 學習單學習單學習單 學習單

數學研究課程 數學研究課程 數學研究課程 數學研究課程- -- -美國 美國 美國 AMC10 美國 AMC10 AMC10 AMC10 數學測驗訓練 數學測驗訓練 數學測驗訓練 數學測驗訓練 學習單 學習單 學習單 學習單

問題 問題 問題

問題 → 提升提升提升提升邏輯思考邏輯思考邏輯思考邏輯思考 → 開發開發開發開發一題多解一題多解一題多解 → 增強一題多解 增強增強數學創造能力增強數學創造能力數學創造能力 數學創造能力

歷屆全美中學數學分級能力測驗 AMC10A/AMC12A 試題測 驗 題 型 範 圍 由 容 易 到 困 難，其 內 容 包 括 幾何題幾何題幾何題幾何題、、、、代數題代數題代數題代數題(含數論、級數、絕對值(或數線) 等問題)、推理題推理題推理題推理題(含比例問題)與離散數學題離散數學題離散數學題離散數學題(含機率問題)等四類練習，利用團 體小組合作加速學習，並提供分析、思考、推理與討論時間，加深說明數學知識，

充份學習達到真正解決問題能力解決問題能力解決問題能力解決問題能力與增強數學創造能力增強數學創造能力增強數學創造能力增強數學創造能力。

A AA

AMC10 MC10 MC10- MC10 -- - 試題 試題 試題 試題

組員：

附錄附錄

附錄附錄三三三：三：：透過：透過透過透過「共同學習法共同學習法共同學習法」進行數學共同學習法 進行數學進行數學進行數學解題策略教學歷程解題策略教學歷程解題策略教學歷程解題策略教學歷程學習成果量表學習成果量表學習成果量表學習成果量表

透過 透過 透過

透過 「共同學習法 共同學習法 共同學習法 共同學習法」進行 進行 進行 進行數學 數學 數學 數學解題策略教學歷程 解題策略教學歷程 解題策略教學歷程 解題策略教學歷程學習成果量表 學習成果量表 學習成果量表 學習成果量表

本研究透過 本研究透過 本研究透過

本研究透過「共同學習法共同學習法共同學習法」進行高中數學解題策略教共同學習法 進行高中數學解題策略教進行高中數學解題策略教進行高中數學解題策略教 學

學 學

學，，，，教材取歷屆教材取歷屆教材取歷屆全美中學數學分級能力測驗教材取歷屆全美中學數學分級能力測驗全美中學數學分級能力測驗試題內容全美中學數學分級能力測驗試題內容試題內容，試題內容，，， 為了加速數學解題的能力

為了加速數學解題的能力 為了加速數學解題的能力

為了加速數學解題的能力，，，，同時開發一題多解的信念同時開發一題多解的信念同時開發一題多解的信念同時開發一題多解的信念，，，， 讓學生經由猜想

讓學生經由猜想 讓學生經由猜想

讓學生經由猜想、、、、靈感靈感靈感、靈感、、、擴散性思考擴散性思考擴散性思考、擴散性思考、、、分工合作與共同分工合作與共同分工合作與共同分工合作與共同 分享團體努力的成果

分享團體努力的成果 分享團體努力的成果

分享團體努力的成果之過程之過程之過程之過程，，，，來引發學生更多的想像思來引發學生更多的想像思來引發學生更多的想像思來引發學生更多的想像思 維空間維空間

維空間維空間，，，激發學生對數學研究之興趣潛能，激發學生對數學研究之興趣潛能激發學生對數學研究之興趣潛能。激發學生對數學研究之興趣潛能。。。

不符 不符不符 不符 合合合 合

沒意 沒意 沒意 沒意 見見 見見

符合 符合 符合 符合

1.小組合作可增進、釐清基本觀念 2.小組合作作業可以提高我的學習成效 3.我會熱心幫助小組的成員課業上的問題 4.我會熱心幫助其他小組的成員課業上的問題 5.小組合作作業可以提高我的學習動機

6.小組合作作業可以提高我對小組或班級的認同感 7.我覺得此種學習方式增加我與同學溝通討論的機會 8.透過小組合作學習我更積極參與討論

9.透過小組合作學習，使我更敢於發表個人想法 10.我覺得和同學進行討論時是很有趣的

11.我嘗試和其他小組組員討論課業

12.透過小組合作學習可激發我有更多的想法有助於問 題解決

13.我覺得小組組員對於課程內容熟悉的平均程度很整 齊

14.我所屬的小組溝通能力很好 15.我喜歡此種合作學習的方式 16.我覺得組長的回應速度還不錯

17.我曾經對同組的組員的不合作行為感到不滿 18.我覺得此種學習方式比以前更吸引我 19.透過小組合作學習，我學會去稱讚同學 20.透過小組合作學習，我學會主動幫助同學