99 學年度第二學期 高二數學金頭腦競賽試題
注意
① 請各隊同學於 4/13（三）下午 12:55 至篤行樓四樓語言教室進行比賽。
② 不可使用計算機與量角器，但直尺、圓規不在此限。
③ 一律使用黑筆或藍筆作答，並詳列計算過程，不可使用鉛筆，否則不予計分。
④ 不可攜帶答案入場。
⑤ 每一題都要有計算過程，即使是選擇題也必須說明原因，否則不與計分。
1. 棒球比賽每隊的先發守備位置有九個：投手、捕手、一壘手、二壘手、三壘手、游擊手、
右外野、中外野、左外野各一位。某一棒球隊有 18 位可以先發的球員，由教練團認定可擔 任的守備位置球員數情形如下：
(一) 投手 4 位、捕手 2 位、一壘手 1 位、二壘手 2 位、三壘手 2 位、游擊手 2 位；
(二) 外野手 4 位 ( 每一位外野手都可擔任右外野、中外野或左外野的守備 )；
(三) 另外 1 位是全隊人氣最旺的明星球員，他可擔任一壘手與右外野的守備。
已知開幕戰的比賽，確定由某位投手先發，而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定，
並由人氣最旺的明星球員擔任一壘手守備，其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨 意安排，則此場開幕戰共有 種先發守備陣容。( 當九個守備位置只要有一個球員 不同時，就視為不同的守備陣容 )
2. 令橢圓Γ1： x2 52＋ y2
32＝1、Γ2： x2 52＋ y2
32＝2、Γ3： x2 52＋ y2
32＝ 2x
5 的長軸長分別為 l 1 、l 2、 l 3
(1)l
。請問下列哪一個選項是正確的？
1＝l 2＝l 3 (2) l 1＝l 2＜l 3 (3) l 1＜l 2＜l 3 (4) l 1＝l 3＜l 2 (5) l 1＜l 3＜l 2
3. 已知△ABC中， AB ＝2、 BC ＝3 且∠A＝2∠C，則 AC＝ 。
4. 如下圖，若三角形的模式依此規則持續變化下去，試問第 10 個三角形，其陰影部分面積佔 整個三角形面積的比例為多少 。
5. 化簡 =
×
× +
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ +
×
× +
×
× +
×
×
×
× +
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ +
×
× +
×
× +
×
×
500 300 100 15
9 3 10 6 2 5 3 1
300 200 100
9 6 3 6 4 2 3 2
1 。
6. 在 ABC∆ 中，BC ＝ａ，CA ＝ｂ，AB＝ｃ，若9a2+9b2−19c2 = 則0 cot
cot cot C
A+ B＝ 。
7. 設雙曲線的貫軸，共軛軸分別在座標平面的 X 軸與 Y 軸上，已知兩直線y= −x 2與y= − +2x 5 皆為此雙曲線的切線，試求此雙曲線的方程式 。
8. 設 x 為任意實數，若 2 cos 1 2 cos 1 y x
x
= +
− ，試求 y 的範圍為 。
9. 多項式不等式：
2( 5)( 1)( 4)( 7) (2 3)( 5)( 1)( 4)( 7)
x x+ x+ x− x− < x− x+ x+ x− x− ，求 x 的範圍 。
10.
11.
12. 三塊磁磚上標著 X，另兩塊磁磚上標著 O。五塊磁磚隨意排成一列，其標記恰為 XOXOX 的機 率為多少 。
13. 一個邊長為 n 單位的木頭正立方體，將它的六個面都塗成紅色，並將它切割成n3個單位正立方 體。若這些單位正立方體的總面數有四分之一是紅色的面，則 n 是多少？
14. 一盒中恰放有 5 個圓型籌碼，其中 3 個是紅色，2 個是白色，每一次自盒子中任意取出一 個籌碼，取出後不再放回盒子中，直到所有紅色或所有白色被取出為止，則白色籌碼先被 取完的機率為______。
15. 在一坐標平面上有四個不同的圓，其交點數目最多為______。
16. 一隻蟲從一個正立方體的某一個頂點開始沿著稜線依下列的規則移動。每次移動均由一頂 點開始沿交會於此頂點的三條稜線中之一條稜線移至下一個頂點。每一條稜線被選到的機 率相同，且每次選取都是獨立的。七次移動後，這隻蟲經過每一個頂點恰好一次的機率是 多少______。
17. 一片牧場上的草長得一樣快，已知：60 頭牛 24 天可將草吃完，30 頭牛 60 天可將草吃完。
求：若在 120 天將草吃完，則需要多少頭牛______。
18. 有四隻螞蟻分別在正方形的四個頂點同時沿著正方形的邊爬行前進，且不回頭又再回到原 出發點，若他們的速率皆相等，求：這四隻螞蟻互不相撞的機率是多少______。
19. 已知三角形 ABC 是直角三角形，又以AB、 AC 直徑畫出兩個半圓形，試證直角三角形的 面積等於陰影部分的面積。
20. 設 a、b 皆為整數，若函數
2 13 2
) 1
(x =− x2 +
f ，在 a≤x≤b上 有最小值 2a，最大值為 2b，
則下列哪些選項正確？
(1)− 7<a<-5 (2)2<a<4 (3)a<0 (4)2<a+b<4 (5)2<ab<4
21. 設 P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，試問有多少個多項式 Q(x) 可以找到三次多項式 R(x) 使得 P(Q(x))=P(x) R(x)？
C B
A
22. 一個長方體 P 內接一個半徑為 r 的球內，已知 P 的表面積為 384，且 12 條稜長之和為 112，試問 r 為多少______。
23. 設 A、M、C 都是一位數字滿足：(100A＋10M＋C)(A＋M＋C)＝2005，試問 A 之值為何 ______。
24. 設拋物線y = x2上有一弦AB﹐若P(2﹐12)在AB上﹐使得PA：PB= 2：1﹐試求：
(1)AB
的直線方程式______。 (2)AB的值______。
25. 平面上有三個全等的橢圓F1﹐F2﹐F3；其中F1﹐F2對x = y對稱﹐F3是將F2
5
平行y = 2x之直線 向右上方移動 單位﹒已知F3之方程式為 4x2 + y2
(1) F
+ 8x − 10y + 25 = 0﹐則
2之方程式為______。 (2) F1之方程式為______。
26. 若不論a 為任何實數值﹐拋物線y = x2 + 2ax + a2 + 2a恆與一定直線相切﹐則此定直線方程式 為______。
27. 設方程式x2 − 2xy + 2y2 + 2x + y + 3 = 0 的圖形Γ ﹐試求：
(1)方程式中y的範圍______。 (2)Γ 上的格子點坐標______。
28. 甲、乙、丙、丁、戊等 5 人﹐每人都會洗碗﹐也會做飯﹐但每餐飯﹐做飯者不洗碗﹐某假 日午、晚兩餐﹐做飯者非同一人﹐洗碗者也非同一人﹐問有____________種情形。
29. 若 | x2 − 6x − 16 | = 4x + k有兩個相異實根﹐試求k的範圍______。
30. 設二定點 F(5﹐2)﹐F ′( − 1﹐2)﹐以 F ′為中心﹐10 單位長為半徑畫圓﹐令 K 為此圓上的動 點﹐P 為KF中垂線與直線K ′F 的交點﹐則 K 在圓上轉一周時﹐P 點的軌跡方程式為______。
31. 設拋物線y = mx2 + 3(m − 4)x − 9 交x軸於相異二點P﹐Q﹐則 (1)當PQ長最小時﹐ m的值 為______。(2) 又PQ之最小值為______。
