1.1实验分布

1.1实验分布

实验 开放

近代

光学

电学

热学

演示

力学

课题

大体分为两类：

一是定性反映客观事物本质属性的概念。

如机械运动、分子运动、热平衡、磁场、

交流电等；

二是定量反映客观事物本质属性的概念，

这种概念就是物理量。如长度、速度、

热量、功、电流强度等。

二.物理实验

2.1七个基本物理量

长度的单位：米；

质量的单位：千克；

时间的单位：秒；

电流的单位：安培；

热力学温度的单位：开尔文；

物质的量的单位：摩尔；

发光强度的单位：坎德拉。

①必须要有实验结果的分析讨论：讨论是实验的 升华，是得高分的保证。

②分析讨论： 分析实验结果和现象；讨论实验误 差的大小和原因；有何体会。

③实验报告绝对不能互相抄袭，凑数据，要实事 求是，不合格重做。

④注：每次实验报告的批改，都有一个评分标准，

老师按评分标准给出成绩。

2.6实验报告要求

四个要素：

1)测量对象 2)测量方法 3)测量单位

4)测量不确定度

三. 测量

3.1测量分类

直接测量

h

d

h M

d M V

M

2

4

   

间接测量

直接测量：把一个待测物理量和标准物理量进行 比较。如米尺测长度、用温度计测温度、用电 压表测电压等都是直接测量，所得的物理量如 长度、温度、电压等

间接测量：由直接测量的物理量根据已知公式、

规律进行计算而求出待测物理量。如单摆法测 重力加速度 g 时，，其中 T (周期)、L(摆长)是 直接测量值，而 g 就是间接测量值。

3.2直接测量与间接测量

绝对误差

相对误差 _{100 %}

0

 

 x E

x 0

x 





误差的种类

（1）系统误差

（2）随机误差

（3）粗大误差

3.3误差

例题

用一把米尺来测量长度分别为50cm和5cm的两物体，分析其绝 对误差和相对误差。

解：米尺的最小刻度为1mm，所得值的最后一位都是用眼睛估

计的，对一般人来说，视觉误差在最小刻度的0.2倍左右。所以，

我们取仪器上最小刻度的0.2倍作为人的视力带来的绝对误差。

即0.2

mm

1 50

L  cm

2 5

L  cm

1 0.2

L mm

 

2 0.2

L mm

 

绝对误差 相对误差

1 1

0.2 10

100% 0.04%

E 50





  

1 2

0.2 10

100% 0.4%

E 5





  

3.4测量结果的评价

(1)精密度(2)准确度 (3)精确度

图a准确度低、精密度高，

图b准确度高、精密度低，

图c精确度高，既准确又精密。

例题

3.5仪器误差

级别 %

仪

 量程 



求电压表仪器误差。电压表量程100mV，等级0.5。

100 0.5% 0.5

V mV

   

测1.5V电压，要求测量结果相对误差不大于 1.5%，应该选下面哪种仪器：0.5级量程5伏；

1.0级量程2伏；2.5级量程1.5伏。

2V×1.0%÷1.5V=1.33%

例题

例题

数值、单位、不确定度。

表达式三个要素：

四.不确定度

U x

x

x   ^（单位）

4.1算术平均值

 

 ⁿ

i

y i

y n

1

1

实际测量一般取 n =6～10 即可

4.2标准偏差

 

1

2



  

n

y

s y ⁱ

1 0 lim

1



 

 



n

i n n i

图 2.1-1 随 机 误 差 的 正 态 分 布 曲 线

o

^{ d}

 o 

 

f  ^f

 



1

2

1

 ₁

2

 ₂

(a) (b)

① 单峰性：绝对值小的误差出现的可能 性（概率）大，绝对值大的误差出现 的可能性小。

② 对称性：大小相等的正误差和负误差 出现的机会均等，对称分布于真值的 两侧。

③ 有界性：非常大的正误差或负误差出 现的可能性几乎为零。

④ 抵偿性：当测量次数非常多时，正误 差和负误差相互抵消，于是，误差的 代数和趋向于零。

4.3随机误差正态分布的性质

4.4标准误差的物理意义





2 ) 1

0 (  f

若测量的标准误 差  很小，则测得 值的离散性小，重 复测量所得的结果 相互接近，测量的 精密度高；

如果  很大，误

差分布的范围就较

宽，说明测得值的

离散性大，测量的

精密度低。

4.5算术平均值的标准偏差

 

) 1 (

1

2







 



n n

x x

n S S

n

i

i x

x

实验用

不确定度表示由于测量误差的存在而对被测 量值不能确定的程度。

1）用数理统计方法处理，称为A类 不确定度；

2）用非数理统计方法处理,统称为B 类不确定度。

4.6不确定度分类

A类分量用统计方法估计 B类分量用其它方法估计 总不确定度：

  ²

1

( 1)

n

i i

A

x x n n





  



   B

_仪器

2 2 2 2

A B

S

x

       

_仪器

4.7总不确定度

4.8不确定度的传递

设一间接测量值

y=f(A,B,C _… H)

是彼此独立的直接测量值

A、B、C _… H

的函数,其不确定度分别为

△A△B△C _… △H



对函数求全微分，合并同类项：

将微分符号变为不确定度符号△，取方和根



对函数求自然对数，对对数式求全微分，合并同类项

将微分符号变为不确定度符号△，取方和根

H dH dC f

C dB f

B dA f

A dy f



 

 

 



 



  

       

2 2 2 2

2

2 2 2

y A B C H

f f f f

A B C H

   

       

                             

ln ln ln ln

dy f f f f

dA dB dC dH

y A B C H

   

    

   

ln y  ln f

       

2 2 2 2

2

2 2 2

ln ln ln ln

y

A B C H

f f f f

y A B C H

                                         

 例：函数 的不确定度传递公式。

解：先对函数式取对数，得 对各自变量求偏导数得：

代入不确定度传递公式，得：

n m k

x x y x

3 2 1 



3 2

1 ln ln

ln

ln y  k x  m x  n x

3 3

2 2

1 1

,

, x

n x

y x

m x

y x

k x

y  



 



 





2 3 2

2 2 2

2 1

2 (

¹

) (

²

) (

³

)

x n u

x m u

x k u

y

u _{y x x x}







例题：推导方法

例题：求不确定度的传递式

 ^{x x y} 

N   ³

解：

例：测电流单次测量。I=8.61mA,无零点误差。电 流表等级0.5，量程10mA。

0

8.61

I  mA

10 0.5% 0.05

I mA

   

8.61 0.05( ) I   mA

0.58%

E I 

例题：单次测量



算术平均值：



最佳估计值:



A类分量:



B类分量：



总不确定度：



测量结果：

例：用螺旋测微计测量一微小长度，重复测量6次

n

1 2 3 4 5 6

l

(mm) 2.567 2.565 2.569 2.570 2.571 2.568 零点误差=-0.005mm ，螺旋测微计的仪器误差0.004mm

6

1

1 2.5683( )

6

_i ⁱ

l l mm



  

0 2.5683 ( 0.005) 2.5733( )

l     mm

 

6 2

1

0.0009( )

6(6 1)

i i

A x

l l

S

^

mm



   





0.004( )

B mm

  

_仪器



2 2 2 2

0.0009 0.004 0.005( )

l A B mm

       

2.573 0.005( )

l   mm ^E _l ^{ 0 . 20 %}

例题：多次测量－直接测量

例：已知圆柱体的质量m=76.18±0.04g，直径

D=19.84±0.02mm，高h=31.24±0.02mm。计算圆柱体的密度 及其不确定度。

解： ³

3 3 2

3

2

7887 . 8 /

10 24 . 2 31

10 84 . 19

10 18 . 76

2

m kg D h

m 



 



 



 



 

 



 



 

 



 



h D

m ln ln 4 ln

ln

ln   

²



 

m m

1 ln 



 

D D

2 ln  



 

h h

1 ln  



 

     

2 2 2

2 2 2

ln ln ln

m D h

m D h



  



                              

 

^{2 2}

 

^{2 2}

 

²

2

2 1

1

h D

m

D h

m   



 



 



 



 



 



 



 



 

 

^{2 2}

 

^{2 2}

 

²

2

02 . 24 0

. 31 02 1

. 84 0

. 19 04 2

. 18 0

. 76

1  



 



 

 



 



 

 



 



   0 . 0022  0 . 22 %

7887.8 0.0022 17 kg m /

3









         ( 7888  17 ) kg / m

³

例题：间接测量

4.9常用函数的不确定度传递公式

2

1 x

x

y   ^{2 2}

2

1 x

c u x u

u  

2 1 x x

y  

2 1

x

y  x ( ₁ ¹ ) ² ( ₂ ² ) ² x

u x

u y

u c  x  x

函数的表达式 不确定度的传递公式

或

n

m k

x x y x

3 2 1 

 ²

3 2

2 2 2

2 1

2 ( ¹ ) ( ² ) ( ³ )

x n u

x m u

x k u

y

u c  x  x  x

x

w  sin U _w  cos U _x x

w  ln

x U _w  U ^x kx

w  U _w  kU _x

函数的表达式 不确定度的传递公式

五.有效数字

若用一个最小分度数为1mm的米尺去测量一个物体的长度，

由尺上读出该物体的长度为41.15cm，其中前三位数

41.1cm是直接根据尺上刻度读出的，称为可靠数字。而最 后一位0.05cm是由最小刻度之间估计出来的，称为可疑数 字。

最后结果按“四舍六入五看左右”法仅保留一位有误差数 码。（ “四舍六入五看左右”的具体方法是：舍弃数字中 最左边一位数为小于四（含四）舍，为大于六（含六）入，

为五时则看五后若非零的数则入，若皆为零则往左看拟留 的末位数位奇数则入、为偶数则舍）

5.1有效数字保留规则

例题：将下列数值取四位有效数字。

2.71749→2.717（舍）

5.165509→3.166（入）

4.510500→4.510。（凑偶）

4.511500→4.512。（凑偶）

用游标卡测量某物体，长度约为8.88cm，现用 精度为0.1mm的量具，可测出（ 4 ）位有效数 字 ； 若 以 精 度 为 0.2mm 的 游 标 卡 ， 则 可 测 出

（ 3 ）位有效数字。

例题

5.2不确定度的有效位数保留规则

不确定度一般情况下只取一位。测量量的平均值的最后 一位应与误差所在位对齐。当合成标准不确定度最左边的第 一位非零有效数字是1和2时，可取2位，而3以上则只可用一 位有效数字。欲保留的最低位后的这位数不为零则进位，如 为零则舍去。

(9.80±0.034)cm，(9.804±0.03)cm，

它们应分别改为：

(9.80±0.04)cm，(9.80±0.03)cm。

例题

例题

，可保留 2位有效数，

，可保留 2位有效数，

，只保留 1位有效数，

，只保留 1位有效数，

12134 .

 0 u c

01 12

.

 0 u c

01 2 3 .

 0 u c

3021 .

 0 u c

13 .

 0 u c

12 .

 0 u c

4 .

 0 u c

3 .

 0

u c

在十进制换算单位中，测量结果的单位变换不影 响有效数字位数。

1.2kg＝1.2×10 ³ g，1200g＝1.200kg，切不可 写为1.2kg＝1200g，1200g＝1.2kg。

5.3有效数字与换算单位

十进制单位变换

例题

保持误差所在位在单位变换后还是有效数字的末位。

例如： 用弧度表示。

粗略判断其误差不小于0.1 ^o 。若要改用弧度为 单位，则先换算其误差约为：

故

5 o

.

 93



rad 002

. 0 1

.

180   0 

rad 632

. 1 5

.

180  93 

 



非十进制单位变换

测量结果的表示，一般应采用科学表示法，即用有 效数字乘以10的幂指数的形式来表示。一般小数点前 只取一位数字，幂指数不是有效数字。

例题 1.5kg可写成1.5×10 ³ g，不能写成1500g。

（5234±1）km应写成（5.234±0.001）×10 ⁶ m。

（0.000456±0.000003）s应写成（4.56±0.03）

×10 ^-4 s。

测量结果的科学表示方法

我们给出一种简单直观的方法，即将自变量可疑 位上下变动一个单位，观察函数结果在哪一位 上变动，结果的可疑位就取在该位上。

如求 ，因为

所以取

20 3 . 25

0605405 .

1 24

.

20 3 

0607039 .

1 25

.

20 3 

0608669 .

1 26

.

20 3 

0607 .

1 25

.

20 3 

函数表示方法（通用）

例题

在运算过程，公式中的常数(如等)和系数(如，

等)可以认为有效数字位数是无限多位的，常数和 系数的位数只要取到不降低运算结果的有效数字位 数即可，通常取的位数应比测量数据中有效数字位 数最少者多取一位。

常数和系数的有效数字

总的原则是：

①准确数字与准确数字进行四则运算时，其结果仍为准确数 字。

②准确数字与存疑数字以及存疑数字与存疑数字进行四则运 算时，其结果均为存疑数字。

③在最后的结果中只保留一位存疑数字，其后的数字是无意 义的，应按有效数字舍入规则截去。

5.4有效数字的运算规则

加减法运算规则：若干项加减运算时，仍然按正常运算进行，

计算结果的最后一位，应取到与参加加减运算各项中某 项最后一位最靠前的位置对齐。

3.11+1056.7+103-9.862＝1153

乘除法运算规则：计算结果的有效数字位数保留到与参加 运算的各数中有效数字位数最少的位数相同。

2.7×3.902＝11

5.5加减乘除运算

例题

例题

A =80.5， B =0.0014， C =3.08326， D =764.9，

求 N=ABC/D

[解]

10

4

5 . 765 4

08 . 3 0014 .

0 5 .

80

_



 

 

 D N ABC

例题

5.6带误差运算

(3.12±0.02)+(5.23±0.04)=8.35 ±0.04

(3.12±0.02)×(5.23±0.04)=16.32 ±0.06

2 2

2

1 x

c u x u

u  

2 2

2 1

) (

)

( ^{1 2}

x u x

u y

u c  x  x

例题

5.7函数运算有效数字取位

[例题] 已知 ， ，求

y

。

[解] 因

x

的有误差值是在十分位上，所以取 ， 利用误差传递公式 去估计

y

的误差位

，说明

y

的误差值在千分位上，故

7

.

 56

x y  ln x

1 .

 0

x

x x

f

y  



|

^'

( ) |

002 . 7 0

. 56

1 .

0 

 



 x

y x

038 .

4 7

. 56

ln 



y

1、一般读数应读到最小分度，然后再估读一位。

2、有时读数的估计位，就取在最小分度位。例如，仪器的 最小分度值为0.5，则0.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必 估到下一位。

3、游标类量具，读到游标分度值。多数情况下不估读，特 殊情况估读到游标分度值的一半。

4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。

5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。

例如在“灵敏电流计研究”中，测临界电阻时，调节电阻箱

“×10Ω” 仪器才刚有反应，尽管最小步进值为“×0.1Ω”，

电阻值只记录到“×10Ω”。

6、若测量值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。

5.8其它有效数字的读取

六.实验数据的处理方法

列表法 作图法 逐差法

最小二乘法

数据处理 — 作图法

1.选择合适的坐标分 度值。

I (mA)

U (V)

8.00

4.00 20.00

16.00

12.00 18.00

14.00

10.00

6.00

2.00

0

_{1.00 2.00 3.00 4.005.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00}

2.标明坐标轴。

3.标实验点。

4.连成图线。

5.标出图线特征。

6.标出图名。

作图六点要求：

序号 荷重砝码质量 mg (N)

标尺读数 S (cm) 荷重砝码质量差4牛顿

时的读数差S (cm) S的绝对误差 (S) (cm)

增砝码时 减砝码时 平均值

1 0 S₀=0.00 S₀’=0.10 (S)₁=0.03

2 1×9.80 S₁=0.99 S₁’=1.00 (S)₂=0.03

3 2×9.80 S₂=1.80 S₂’=1.90 (S)₃=0.02

4 3×9.80 S₃=2.70 S₃’=2.80 (S)₄=0.01

5 4×9.80 S₄=3.62 S₄’=3.70 6 5 ×9.80 S₅=4.51 S₅’=4.59

7 6 ×9.80 S₆=5.40 S₆’=5.49 8 7 ×9.80 S₇=6.32 S₇’=6.32

实验例子一金属杨氏弹性模量的数据处理—逐差法

05 .

0



0

S

00 .

1

 1 S

85 .

2

 1 S

75 .

3



2

S

66 .

4



3

S

55 .

5



4

S

45 .

6



5

S

32 .

7



6

S

61 .

0 3

4

1

  

 S S S

55 .

1 3

5

2   

S S S

60 .

2

3

6

3

  

 S S S

57 .

3

3

7

4

  

 S S S

58 .



3

S

逐差法。此法的优点是充分利用所测的数据，有利于减少测量的 随机误差和仪器带来的误差。

最小二乘法 （线性回归）

0 1

y   b b x

0 1

b   y b x

 

1 2 2

x y xy b

x x

  



2 2 2 2

( )( )

xy x y r

x x y y

  

 

2 2

0 1

1 1

[ ( )]

n n

i i i

i i

S  y y b b x

 

     

| | r  1, 线性关系越好

y = 0.65787 x + 2.91708 R

²

= 0.99828

2.92 2.94 2.96 2.98 3 3.02 3.04

0 0.05 0.1 0.15 0.2

最小二乘法应用举例

为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电 阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：

R = a + b t。

表一 电阻随温度变化的关系

t/℃ 19.0 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 R/Ω 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10

解：

1. 列 表 算 出 ：

 t

ⁱ

^,  R

ⁱ

^,  t

ⁱ²

^,  R

ⁱ

t

ⁱ 2. 写出a、b的最佳值满足方程

n Rt n

b t n

a t n

R n

b t

a _{ˆ  ˆ}  _  _{； ˆ}  _{ ˆ} 

²

_ 

n t/℃ R/Ω t ² /℃ ² R t

/

Ω ℃

1 19.1 76.30 365 1457 2 25.0 77.80 625 1945 3 30.1 79.50 906 2400 4 36.0 80.80 1296 2909 5 40.0 82.35 1600 3294 6 45.1 83.90 2034 3784 7 50.0 85.10 2500 4255 n=7

 ^t

ⁱ =245.3



=566.00

^R

ⁱ

^{ t}

ⁱ²=9326

 ^R

=20044ⁱ

^t

ⁱ



 













 



 











C b

a

b a

b a

/ 2873

. ˆ 0

79 . ˆ 70

7 20044 ˆ

7 ˆ 9326 7

3 . 245

7 00 . ˆ 566

7 3 . ˆ 245

解出：

列表数据代入方程：

3. 写出待求关系式：

－－℃

；

－－ t R

t R





 70 . 79 0 . 2873

七. 测量仪器读数

L=13mm+15×0.02mm=13.30mm

L=18mm+0.5mm+40.5×0.01mm

=18.905mm

A=51°+2’=51°02’

（1）游标卡尺最小刻度为1mm，游标上有50小格，

其总长度为49mm,问此游标卡尺的最小分度值为多 少？若游标的零刻度线在主尺的11mm与12mm之间，

且游标的第19根刻度线与主尺的某一根刻度线重合，

问此时游标尺的读数为多少？

1-49/50=0.02 11mm+19×0.02

（2）试设计一角游标，使其最小读数为30 ’ ’，已 知主刻度盘上每小格为20 ’。

例题

 

_仪

在实验报告册最后有详细说明

八. 重点实验（考试）

示波器

分光计

8.1 示波器

1. 有一50HZ信号，在示波器上出现两个周期波，则 扫描周期是多少？

25HZ

2.为了使示波器上显示稳定的波形，锯齿波电压周 期T

_y

与被测量信号电压周期T

_x

必须满足（ T

_x

= nT

_y

） 关系；如示波器上波形若向左移动，则应该（增加，

减小）信号频率，使波形稳定；示波器上波形若向右 移动，则应该（增加，减小）信号频率，使波形稳定。

例题

图为做示波器实验时从示波器荧光屏上观察到的两 个相互垂直的电振动合成的李萨如图形，已知：

，请给出 的结果表达式。

Hz

f

_X

 100 . 0  0 . 5 f _Y

例题

200.0 1.0

f X   Hz

在示波器的使用实验中学习了正弦信号通过RC电路后 产生位相差的测量，现两正弦波形如图所示：

a. 在图上标出位相延迟△T的位置，如果△T=10ns，

周期T=50 ns，位相差等于多少？

b．实验中发现输出波形的幅度变小，是什么原因？

c. 输入，输出波形的周期是否一样?

输入波形 输出波形

例题

8. 2分光计

2.在分光计实验中，我们已经学过了通过测量发自平行 光管的狭缝像经三棱镜两光学面反射后的位置从而测定 三棱镜顶角的实验方法。现请设计一个用自准直法测定 三棱镜顶角的方法,要有示意图及步骤。

1.试根据光路图分析，说明为什么望远镜光轴与平面 镜法线平行时，在目镜内应看到“十”形反射像与

“ ”形叉丝的上方交点相重合?

例题