示 例 ：
畢 氏 定 理 在 中 國 古 代 的 證 明 方 法
目 標 ：( 1 ) 認 識 畢 氏 定 理 在 中 國 古 代 的 發 展 ( 2 ) 欣 賞 中 國 在 數 學 知 識 發 展 上 的 貢 獻
學 習 階 段 ：3
學 習 單 位 ： 畢 氏 定 理
所 需 教 材 ：( 1 ) 由 相 關 書 籍 發 展 而 成 的 工 作 紙 ( 2 ) 有 關 劉 徽 證 明 的 活 動 材 料
預 備 知 識 ： 對 畢 氏 定 理 有 基 礎 認 識
活 動 內 容 ：
1 . 教 師 要 求 學 生 說 出 畢 氏 定 理 的 內 容 。
2 . 教 師 派 發 工 作 紙 1 ， 並 要 求 學 生 ： ( a ) 從 中 盡 量 找 出 畢 氏 定 理 的 不 同 名 稱 ； ( b ) 找 出 有 關 畢 氏 定 理 證 明 的 數 目 。
3 . 教 師 總 結 所 找 到 的 名 稱 ： 勾 股 定 理 及 商 高 定 理 。 教 師 可 略 為 解 釋 有 關 勾 股 定 理 名 稱 的 起 源 ， 並 邀 請 學 生 就 畢 氏 定 理 應 否 改 稱 為 勾 股 定 理 的 名 字 作 辯 論 。 第 3 題 內 ( a ) 至 ( c ) 部 可 作 為 學 生 家 課 。
4 . 教 師 分 發 附 件 及 工 作 紙 2 給 學 生 ， 教 師 略 為 解 釋 趙 爽 證 明 該 定 理 的 方 法( 參 閱 附 件 或 教 師 注 意 事 項 內 其 他 相 關 證 明 方 法 ) 。 教 師 引 導 學 生 觀 察 以 上 證 明 的 精 妙 之 處 ， 然 後 著 學 生 完 成 有 關 證 明 。 最 後 ， 教 師 總 結 證 明 的 步 驟
5 . 教 師 介 紹 我 國 古 代 另 一 數 學 家 劉 徽 及 其 背 景 故 事1。 學 生 獲 派 發 如 下 舖 排 的 物 料 ， 教 師 要 求 學 生 以 最 少 步 驟 移 動 這 5 塊 塊 件 來 組 成 一 個 以 邊
1 劉 徽 以 割 圓 術 方 法 來 估 計 值 是 十 分 有 名 的 。 他 的 方 法 是 將 圓 分 割 為 大 邊 數 的 正 多 邊 形 ， 從 多 邊 形 周 界 估 計 圓 周 ， 從 而 求 得 的 估 計 值。
b 1
度量、圖形與空間
長 為 c 的 大 正 方 形 。
6 . 教 師 邀 請 部 分 學 生 展 示 他 們 的 步 驟 ， 並 與 同 學 討 論 最 少 步 驟 的 方 法 。 教 師 分 發 工 作 紙 3 ， 並 介 紹 劉 徽 所 採 用 的 「 出 入 相 補 法 」 及 以 上 的 「 青 朱 出 入 圖 」 。
7 . 教 師 總 結 在 中 國 古 代 數 學 家 所 使 用 的 兩 種 證 明 方 法 ， 並 可 比 較 其 他 國 家 如 前 美 國 總 統 伽 菲 爾 德 的 證 明 方 法 。 從 而 引 導 學 生 欣 賞 中 國 在 發 展 數 學 知 識 上 的 貢 獻 。 教 師 可 派 發 工 作 紙 4 給 對 這 課 題 甚 感 興 趣 的 學 生 ， 讓 他 們 探 究 勾 股 定 理 在 中 國 古 代 的 應 用 情 況 。
b
a
c
b
工 作 紙 1 ： 畢 氏 定 理 的 名 稱
閱 讀 以 下 段 落 並 回 答 以 下 問 題 。
幾 何 學 裏 有 一 個 非 常 重 要 的 定 理 ─ 畢 達 哥 拉 斯 定 理( 或 簡 稱 畢 氏 定 理) 。 畢 達 哥 拉 斯 是 約 於 公 元 前 5 0 0 年 的 希 臘 哲 學 家 、 天 文 學 家 、 數 學 家 和 音 樂 家 。 雖 然 這 定 理 稱 為 畢 氏 定 理 ， 但 是 仍 然 有 討 論 指 出 有 比 畢 達 哥 拉 斯 更 早 的 數 學 家 已 發 現 這 定 理 。 在 我 國 ， 這 個 定 理 稱 為 勾 股 定 理 ， 或 在 台 灣 省 稱 為 商 高 定 理 。 勾 、 股 是 指 直 角 三 角 形 內 較 短 的 兩 邊
（ 弦 是 指 三 角 形 內 的 鈄 邊 ） ， 而 商 高 則 是 約 於 公 元 前 1 1 0 0 年 周 朝 時 代 的 人 物 。 這 兩 個 名 字 均 出 現 於 我 國 有 名 的 《 周 髀 算 經 》 內 。
在 中 國 流 傳 至 今 最 古 老 的 一 部 天 算 典 籍 《 周 髀 算 經 》 中 ， 第 一 章 便 記 述 周 公 與 商 高 1的 問 答 ， 由 於 商 高 的 答 辭 中 論 述 了 勾 股 定 理 的 特 例
「 句2廣 三 ， 股 修 四 ， 徑 隅 五 」 的 內 容 。 除 此 ， 在 《 周 髀 算 經 》 卷 內 之 二 記 載 榮 方 與 陳 子 問 答 中 ， 亦 有 陳 子 講 述 ： 「 句 股 各 自 乘 ， 并 而 開 方 得 之 」 。 用 現 代 數 學 符 號 表 示 ， 即 是 a2 + b2 = c2，其 中 a、b 及 c 分 別 是 直 三 角 形 的 兩 邊 而 c 是 鈄 邊 。 可 見 在 當 時 已 知 句 股 定 理 。
雖 然 《 周 髀 算 經 》 的 成 書 年 代 估 計 為 在 公 元 前 一 世 紀 至 公 元 一 世 紀3， 不 過 書 中 內 容 則 可 能 在 成 書 前 便 已 產 生 ， 如 公 元 前 十 一 世 紀4。 因 此 歷 來 便 有 討 論 ， 「 勾 股 定 理 」 在 中 國 何 時 已 有 嚴 格 的 證 明 及 應 否 將 畢 氏 定 理 正 名 為 勾 股 定 理 。
勾 股 定 理 不 僅 是 最 古 老 的 數 學 定 理 之 一 ， 也 是 數 學 中 證 法 最 多 的 一 個 定 理 ， 幾 千 年 來 ， 人 們 已 經 發 現 了 4 0 0 多 種 不 同 的 證 明 方 法 ， 足 以 編 成 厚 厚 的 一 本 書 。
1 1 「從《中國方志從書 商南縣志卷八》〈人物志〉中查獲一條有關商高生平的記載：[周] 商高，黃帝之昆孫。以地得姓。
周初封子男於商。精數學，[周髀] 衍其說為算經。《國語》曰司商。」曲安京(1996)
22 「句」為「勾」的古字。
33 李 儼 ( 1 9 9 2 ) 。 《 中 國 古 代 數 學 簡 史 》 第 3 2 頁 。
4 4 「關 於 《 商 南 縣 志 》及 上 述 文 字 的 作 者 及 出 處 ， … … ， 十 分 可 信 ， 商 高 為 西 周 初 期( 約 公 元 前 十 一 世 紀 ) 的 數 學 家 殆 無 疑 問 。 」 曲 安 京( 1 9 9 6)
1 . ( a ) 盡 量 寫 出 相 等 於 畢 氏 定 理 的 名 稱 。
( b ) 有 多 少 個 已 知 證 明 畢 氏 定 理 的 方 法 ？
2 . 在 圖 中 於 對 應 位 置 寫 出 三 角 形 內 的 “ 勾 ” 、 “ 股 ” 、 “ 弦 ” 的 名 稱 。
3 . ( a ) 在 希 臘 ， 畢 氏 定 理 大 約 於 那 年 被 「 發 現 」 出 來 呢 ？
( b ) 《 周 髀 算 經 》 大 約 於 那 年 出 現 ？ 為 何 不 能 準 確 說 出 勾 股 定 理 的 出 現 年 份 ？
( c ) 簡 單 解 釋 為 何 有 言 論 指 畢 氏 定 理 應 稱 為 勾 股 定 理 。
工 作 紙 2 ： 趙 爽 的 證 明 方 法
參 照 附 件 文 章 所 提 趙 爽( 約 於 公 元 3 0 0 年 ) 在 為 《 周 髀 算 經 》 內 勾 股 定 理 作 注 釋 ， 所 用 的 證 明 方 法 ， 在 以 下 方 空 格 內 將 該 證 明 以 數 學 語 言 重 新 改 寫 。
K S
R H
B C
L
T
A
Q O P
c
a b
a a
b
a
b
題解：
工 作 紙 3 ： 劉 徽 的 證 明
與 趙 爽 同 期 ， 中 國 的 另 一 數 學 家 劉 徽 亦 發 現 了 一 奇 妙 證 明 勾 股 定 理 的 方 法 。 劉 徽 的 方 法 是 完 全 不 用 代 數 方 法 來 作 出 證 明 。 他 的 方 法 以 當 時 文 字 記 錄 如 下 ：
句 1 自 乘 為 朱 方 ， 股 自 乘 為 青 方 ， 令 出 入 相 補 ， 各 從 其 類 ， 因 就 其 餘 不 移 動 也 。 合 成 弦 方 之 冪 ， 開 方 除 之 ， 即 弦 也 。
劉 徽 的 方 法 ：
劉 徽 首 先 作 出 三 角 形 上 兩 條 直 角 邊 上 的 正 方 形 ， 他 把 由 一 條 直 角 邊 形 成 的 正 方 形 叫 做 「 朱 方 」 ， 而 另 一 條 直 角 邊 形 成 的 正 方 形 叫 做
「 青 方 」( 見 圖 一 ) ， 然 後 把 圖 中 標 注 有 「 出 」 的 那 部 分 圖 形 ， 移 到 標 注 有 「 入 」 的 那 些 位 置 ， 就 拼 成 了 圖 中 斜 置 的 那 個 正 方 形( 見 圖 二) 。
劉 徽 把 斜 置 的 那 個 正 方 形 叫 做 「 弦 方 」 ， 它 正 好 是 由 直 角 三 角 形 斜 邊 形 成 的 一 個 正 方 形 。
經 過 這 樣 一 番 移 、 合 、 拼 、 補 ， 自 然 而 然 地 得 出 了 結 論 ： 朱 方 + 青 方 = 弦 方
即 a2 + b2 = c2。
「 青 朱 出 入 圖 」 是 一 幅 多 麼 神 奇 的 圖 ！ 它 甚 至 不 用 去 標 注 任 何 文 字 ， 只 要 相 應 地 塗 上 朱 、 青 兩 種 顏 色 ， 便 能 把 蘊 含 於 勾 股 定 理 中 的 數 學 真 理 ， 清 晰 地 展 示 在 世 人 面 前 。
摘 錄 自 《 數 學 奇 觀 》 第 6 1 頁
註1 : 「 句 」 為 「 勾 」 字 的 古 代 用 字 。
圖二
出 3
入 1
出 2 入 2
入 3
出 1
a
c 圖一
弦 朱
青 b
工 作 紙 4 ： 蘆 葦 問 題 ( 或 在 印 度 稱 為 蓮 花 問 題 )
1 .
在 《 九 章 算 術 》 的 第 九 章 ( 勾 股 章 ) 內 的 一 道 出 名 的 蘆 葦 問 題 如 下 ：
「 葭 生 中 央 問 題 」
今 有 池 方 一 丈 ， 葭 生 其 中 央 ， 出 水 一 尺 ， 引 葭 赴 岸 ， 適 與 岸 齊 ， 問 水 深 葭 長 各 幾 何?
轉 為 現 代 中 文 的 意 思 如 下 ：
有 一 個 正 方 形 的 池 塘 ， 邊 長 為 1 丈1， 有 棵 蘆 葦 生 長 在 池 塘 的 正 中 央 ， 高 出 水 面 的 部 分 有 1 尺 長 ， 如 果 把 蘆 葦 向 岸 邊 拉 ， 葦 頂 正 好 能 碰 到 池 岸 邊 沿 。 問 池 塘 水 深 和 蘆 葦 的 長 度 各 是 多 少 ？
( a ) 畫 出 以 上 題 意 並 解 決 以 上 問 題 。 題解：
(b)
書 內 提 供 的 題 解 ， 以 近 代 語 文 寫 成 如 下 ：
把 池 塘 邊 長 的 一 半 自 乘 ， 再 把 蘆 葦 出 水 的 那 部 分 自 乘 ， 然 後 相 減 ， 將 所 得 的 差 除 以 出 水 數 的 2 倍 ， 就 是 池 塘 的 水 深 ， 加 上 出 水 數 ， 就 是 蘆 葦 的 長 度 。
解 釋 為 何 以 上 方 法 能 找 到 答 案 。
2 . 以 下 為 另 一 首 印 度 作 家 婆 什 迦 罹 ( 公 元 1 1 1 4 - 1 1 8 5 ) 有 名 的 蓮 花 歌 謠 ， 你 可 否 以 同 樣 方 法 解 決 問 題 ？
平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓬；
出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；
漁人觀看忙向前，花離原位兩尺遠；
能算諸君請解題，湖水如何知深淺。2
2 2 本 示 例 內 工 作 紙 大 部 分 詩 詞 取 材 自 九 章 出 版 社 的 《 數 學 奇 觀 》 及 《 中 國 古 代 數 學 簡 史 》 ， 蒙 孫 文 先 先 生 慷 慨 借 出 版 權 ， 刊 於 本 教 學 資 源 套 ， 謹 此 致 謝 。
題解：
教 師 注 意 事 項 ：
1 . 本 示 例 提 供 的 閱 讀 材 料 只 供 參 考 ， 教 師 可 取 用 其 他 可 供 討 論 及 配 合 教 學 目 標 的 閱 讀 材 料 。 教 師 宜 安 排 學 生 在 堂 上 閱 讀 材 料 ， 然 後 進 行 討 論，
而 不 宜 只 給 予 學 生 作 家 課 活 動 。 除 此 ， 教 師 亦 可 提 供 其 他 課 餘 閱 讀 材 料 給 學 生 或 要 求 學 生 進 行 專 題 習 作 。
2 . 部 分 學 生 會 覺 得 較 難 明 白 一 些 以 古 代 語 文 寫 成 的 閱 讀 材 料 。 教 師 可 只 展 示 該 材 料 ， 然 後 讓 學 生 閱 讀 以 近 代 語 文 寫 成 的 文 章 。 如 果 學 生 對 古 文 有 興 趣 的 話 ， 亦 可 向 中 文 科 教 師 請 教 或 與 中 文 科 合 作 改 為 一 跨 學 科 的 活 動 。
3 . 在 進 行 探 討 數 學 歷 史 的 活 動 時 ， 讓 學 生 領 會 到 數 學 的 動 態 發 展 是 至 為 重 要 的 。 同 時 ， 教 師 須 注 意 不 同 書 籍 在 記 載 歷 史 詳 細 背 景 會 略 有 出 入。
教 師 須 小 心 處 理 這 方 面 的 問 題 及 選 擇 較 為 可 信 的 閱 讀 材 料 。 再 者 ， 亦 須 留 意 這 活 動 主 要 引 述 中 國 在 勾 股 定 理 的 發 展 ， 亦 可 提 出 其 他 文 明 如 巴 比 倫 在 這 方 面 的 貢 獻 。
4 . 教 師 可 用 旋 轉 變 換 的 概 念 來 證 明 趙 爽 所 提 供 的 「 弦 圖 」 ：
c
M
K
H
B C
L A
Q O P
F E
b
a c
步 驟 ：
1 . 由 給 出 的 △ A B C ， 分 別 以 邊 長 c , a 及 b 作 正 方 形 A C H K , B C L M 和 B F P A 。
2 . 將 △ A B C 繞 C 點 以 順 時 針 方 向 旋 轉 9 0， 與 △H L C 重 合 。 3 . 將 △ A B C 繞 A 點 以 逆 時 針 方 向
旋 轉 9 0， 與 △A P K 重 合 。 4 . K P Q 為 直 線 。 延 長 線 段 C L 會
與 A P 相 交 而 形 成 長 方 形 O L Q P 。
5 . 由 於 O P = b – a = O L ， 因 此 O L Q P 實 為 邊 長 b – a 的 正 方 形 。
6 . 由 於 △ L C H △ Q H K △ P K A
△ O C A
所 以 SA C H K= 4 SL C H+ SO L Q P
7 . 化 簡 ， 可 得 c2= a2+ b2
國 的 另 一 重 要 應 用 為 求 太 陽 與 地 球 間 的 距 離 。 這 內 容 可 在 《 中 國 古 代 數 學 簡 史 》 一 書 內 找 到 。
參 考 資 料 ：
書 籍 ：
1 . 李 儼 ( 1 9 9 2 ) 。 《 中 國 古 代 數 學 簡 史 》 。 中 國 台 灣 ： 九 章 出 版 社 。
2 . 李 天 華 、 許 濟 華 編 著 ( 1 9 9 5 ) 。 《 數 學 奇 觀 》 。 中 國 台 灣 ： 九 章 出 版 社。
3 . 錢 寶 琮 主 編 ( 1 9 8 1 ) 。 《 中 國 數 學 史 》 。 中 國 北 京 ： 科 學 出 版 社 。 4. Dan Bennett (1995). Pythagoras Plugged in Proofs and Problems for the Geometer’s
Sketchpad. USA.C.A: Key Curriculum Press.
5. Roger B. Nelsen. (1993). Proofs Without Words- Exercises in Visual Thinking.
Washington, USA.DC: The Mathematical Association of America
6. Swetz, F.J. & Kao, T.I. (1977). Was Pythagoras Chinese?. USA: The Pennsylvania State of University Press.
文 章 或 論 文 ：
1 . 李 學 數( 1 9 7 8 ) 。 “ 希 臘 郵 票 上 的 數 學 定 理 和 中 國 的 「 商 高 定 理 」 ”
《 數 學 和 數 學 家 的 故 事( 1 ) 》 。 頁 1 - 9 。 香 港 ： 廣 角 鏡 出 版 社 。
2 . 曲 安 京( 1 9 9 6 ) 。 “ 商 高 、 趙 爽 與 劉 徽 關 於 勾 股 定 理 的 證 明 ” 《 數 學 傳 播 》2 0 卷 3 期 。 台 北 ： 中 央 研 究 院 數 學 研 究 所 。
3. Darko Veljan (2000). The 2500-Year Old Pythagorean Theorem. In Mathematics Magazine Vol. 73, No.4, October 2000. Washington, DC: The Mathematical Association of America.
4. Lit, C.K. (1998). Using history of mathematics in junior secondary school classroom: A curriculum perspective. Unpublished thesis. H.K.: The Chinese University of Hong Kong.
附件
勾 股 定 理 在 我 國 傳 統 數 學( 尤 其 是 幾 何 學 ) 中 是 一 項 非 常 重 要 的 發 現 及 有 廣 泛 應 用 。 其 中 有 明 確 記 載 勾 股 定 理 的 證 明 ， 要 算 是 三 國 時 期 的 數 學 家 趙 爽 注 釋 《 周 髀 算 經 》 並 撰 著 「 句1股 圓 方 圖 注 」 。 趙 爽 ， 字 君 卿 ， 大 約 是 魏 晉( 公 元 三 至 四 世 紀 ) 時 期 的 人 。 他 在 數 學 方 面 的 工 作 ， 主 要 保 存 在
《 周 髀 算 經 注 》 之 內 ， 其 中 最 寶 貴 的 是 《 句 股 圓 方 圖 注 》 。 《 句 股 圓 方 圖 注 》 列 於 現 傳 本 《 周 髀 算 經 》 卷 內 。 它 全 文 不 過 五 百 餘 字 ， 卻 列 出 有 關 於 直 角 三 角 形 三 邊 之 間 關 係 的 命 題 共 2 1 條 。 其 一 為 勾 股 定 理 及 有 關 勾 股 定 理 的 證 明 圖 ─ 「 弦 圖 」 。
趙 爽 的 證 法 很 有 特 色 ， 首 先 ， 他 作 4 個 同 樣 大 小 的 直 角 三 角 形 ， 將 它 們 拼 成 右 圖 的 形 狀 ， 然 後 再 著 手 計 劃 整 個 圖 形 的 面 積 。
顯 然 ， 整 個 ACHK 圖 形 是 一 個 正 方 形 ， 它 的 邊 長 是 c，面 積 為 c2。另 一 方 面 ， 整 個 ACHK 圖 形 又 可 以 看 作 是 4 個 標 有 「 朱 」 的 三 角 形 與 1 個 標 有 「 黃 」 的 小 正 方 形 面 積 的 和 。
K S
R H
B C
L
T
A
Q O P
c
a b
a a
b
a
b
4 個 三 角 形 的 總 面 積 是 2ab，中 間 那 個 小 正 方 形 的 面 積 是 (b-a)2，它 們 的 和 是 2ab+(b-a)2=a2+b2。比 較 這 兩 種 方 法 算 出 的 結 果 ， 就 有
a2 + b2 = c2。
趙 爽 的 證 法 鮮 明 地 體 現 了 我 國 古 代 證 題 術 的 特 色 ， 這 就 是 先 對 圖 形 進 行 移 、 合 、 拼 、 補 ， 然 後 再 通 過 代 數 運 算 得 出 幾 何 問 題 的 證 明 ， 這 種 方 法 融 合 幾 何 、 代 數 於 一 體 ， 不 僅 嚴 謹 ， 而 且 直 觀 ， 顯 示 出 與 古 代 西 方 數 學 完 全 不 同 的 風 格 。
部 分 材 料 取 材 自 《 數 學 奇 觀 》 第 60 頁 黃
朱
朱
朱 朱
