畢氏定理和餘弦定律的證明

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談幾何非談餘弦定律不可。餘弦定律既承畢氏定理於先, 又啟內積的概念於後, 在幾何學中具樞紐的地位, 它的證明值得一提。

大凡教科書中證明餘弦定律多從畢氏定理出發, 本文想從「證明畢氏定理的方法」出發, 一次解決「畢氏」和「餘弦」。 (註一)

為了便於證明, 假設 △ABC 是一個銳角三角形, 我們先在三個邊上各畫一個正方形, 面積分別為 a², b², 和 c²。然後作三邊上的高, 並且延長到正方形的邊上 (如圖一)。

圖一

仿原來畢氏定理的證明 (見圖二及說明), 我們可以看出長方形 AC₁C₂C₃ 和長方形 AB₁B₂B₃ 的面積相等, 長方形 BC1C₂C₄ 和長方形 BA₁A₂A₃ 的面積也相等。因此 a² +

註一^:畢氏定理的證明,方法很多。本文採取的是歐基里德原本中的證明,學過平面幾何的讀者應不陌生。

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畢氏定理和餘弦定律的證明

b² − c² 就等於長方形 CB₁B₂B₄ 和長方形 CA₁A₂A₄ 面積之和。而這個面積之和不外就是 2ab cos C。 (牽涉到的兩個長方形的面積其實都等於 ab cos C)。

圖二

現在回到圖二, 拉兩條補助線, CC3 和 BB₃, 因為 △ABB³ 和 △ACC³ 全等, 並且它們的面積分別是長方形 AB₁B₂B₃ 和長方形 AC₁C₂C₃ 的面積之半。因此知道後二者的面積相等 — 這正是歐基里德原本的用以證明畢氏定理的方法。 (註二)

—本文作者曾任教於臺灣大學數學系, 現已退休—

註二^:請參考曹亮吉:阿草的葫蘆,遠哲科學教育基金會出版,第38頁。