科學月刊【數‧生活與學習】9809
「幾何」原本
單維彰‧98 年 8 月 11 日
每當我們對一個好奇心旺盛而且腦筋清楚的人，說『輾轉相除法』在西方稱為『歐 幾里得演算法』，再加一句解釋，說此演算法出現在後者的名著《幾何原本》裡 面，經常立刻被反問的問題有二：那麼『輾轉相除法』是中國固有的嗎？既然是
「幾何」原本，為什麼還包括計算最大公因數的算法？第一個問題簡單，高中數 學課本可能就有交代，我在第二段說。第二個問題就可以拉長一點，這是我最感 興趣的一段故事。思考本月內容的時候，受到「八八水災」的震撼，感到萬般的 無奈，心情沈重而終日茫茫。於是，就撿這個老故事來說說吧。
『輾轉相除法』確實是我們的「固有」文化遺產，出於《九章算術》。這本 書集結了周朝與漢朝的數學發現，成書於東漢年間，作者已不可考。書中列舉 246 個數學命題，依其性質分成九類，所以稱為「九章」。三國時期的魏國人劉 徽為它作注（西元 263 年），使得這部古籍得以流傳下來。至於『輾轉相除法』
是什麼？讀者只要搜尋一下便知，此處不再贅述。
歐幾里得 (Euclid)是希臘托勒密一世時代 (公元前 323—285) 的人；稍微粗 糙地比對，希臘哲人蘇格拉底在世的時間大約與孔子同期，而歐幾里得大約與孟 子 同 期 。 他 並 不 生 活 於 今 日 的 希 臘 境 內 ， 而 是 尼 羅 河 口 的 亞 歷 山 卓 (Alexandria) ， 如 今 屬 於 埃 及 ， 當 時 由 希 臘 人 統 治 。 他 的 這 部 著 作 英 譯 為
《Elements》，在他所寫的六部數學書籍之中，這是「入門」的一部，正如其標 題所暗示的：基礎、原理。它可以被理解成當年學習高等數學的基礎教材。
《Elements》所涵蓋的數學基礎，並不止於幾何。事實上，這一部著作共分 13 卷，前 6 卷大約全是平面幾何，但是第 2 卷其實以幾何表徵處理了各種平方
本裡也看到這種解釋的手法。國中課程中的平面幾何 1 卷（關於垂 直、平行、三角形）和第 3 卷（關於圓與弦）。例如給定一任意角，求做角平分 線，是第 1 卷的命題 9。例如畢氏定理是第 1 卷的倒數第二個命題 (47)，其逆敘 述則是第 1 卷的最後一個命題。
第 7 卷開始講整數，例如輾轉
乘法公式，例如命題 4 以面積闡述 ，在我們的國中數學課
，大約都在第
相除法，就是第 7 卷的命題 2。第 10 卷探討無 理數
之為《原
2 2 2
(a b ) a b 2ab
與平方根的運算，第 11 卷探討空間中的直線與平面，第 12 卷證明了「圓面 積正比於直徑平方」，「球體積正比於直徑立方」和「錐體體積是底面積乘以高的 三分之一」這些體積公式，第 13 卷專論（僅有的）五種正多面體。
從以上的簡述應該明白：這部書不僅是幾何。雖然有人主張應該稱
本》，但大多數人還是習慣稱之為《幾何原本》。這個「膾炙人口」的譯名，似乎 已經根生蒂固於我們的文化之中。而原因，實在是因為它有四百多年的歷史。就 在兩年前，西元 2007 年，華文世界正在慶祝《幾何原本》的出版 400 週年：萬
曆三十五年（西元 1607 年），徐光啟與利瑪竇合譯的《幾何原本》刻印刊行了。
利瑪竇 (Mateo Ricci) 在西元 1552 年生在屬於天主教皇的一個城邦，在 26
師是克拉
者大 400 歲，比利瑪竇小 10 歲。
這位
二十多年，在文人雅士之間頗為優遊自得，想必已 經學
麼擱置下來。一擱 250 年，
，所以譯本稱為「幾何」原本，則
幾何」兩字？可能是拉丁文 Geometria (即幾何學 歲上，乘了半年的船到印度傳教；四年後經澳門進入明朝時期的中國。此後再也 沒有回歸故鄉，西元 1610 年逝於北京，得年不滿 58 歲。他 19 歲時加入耶穌會 (Jesuit)，這是在馬丁路德發起宗教改革之聲以後，天主教內產生的一個修會，其 特色之一是非常重視教育，而且不排斥「科學」教育。他們之中，許多人懷抱著
「埋骨何需鄉梓地」的豪情，遠赴世界各地傳教。來到中國的耶穌會傳教士，可 以列出一份響噹噹的名單：利瑪竇、湯若望、南懷仁、郎世寧、…。
關於利瑪竇在耶穌會所受的科學教育，僅需指出一點：他的數學老
維 (Clavius)，就是他修訂了陽曆，而沿用至今。克拉維也發明了今天採用的閏 年規則：四年一閏，逢百取消，四百補回。
徐光啟生於西元 1562 年的上海，比本欄作
思想前衛的知識份子，在 41 歲上，受洗成為天主教徒，教名保祿 (Paul)。
次年考取進士，任職於北京的翰林院。我們可以想像，徐光啟的國學根底深厚，
至少足以在科舉考試中脫穎而出。他可能也從神父那兒學了一點拉丁文，並初步 地認識西歐的文明。在中了進士之前，他可能從《周髀算經》和《九章算術》學 習過傳統的數學。儘管如此，我邀請讀者想像徐光啟的狀況：44 歲，讀了一輩 子的中國經典，隔著不認識的文字，初次學習數學。這樣就能體會，他的智能和 毅力，是多麼地令人敬佩。
當年 54 歲的利瑪竇來華
得了華語。當時的狀況是：利瑪竇用華語講解拉丁文版的《Elements》給徐 光啟聽，而後者在學懂之後，以中文寫出來。一年多的學習，完成了這部書的前 六卷，恰好就是平面幾何的那一部份。徐光啟學得熱血澎湃，要求利瑪竇繼續講 完，可是利瑪竇想休息一下，但是他三年後就過世了。
所以，中西首度交會所做的《Elements》翻譯，就這
到了清末的 1857 年，才由李善蘭和一位英國人翻譯了其餘數卷。既然徐光 啟的譯本已經名為《幾何原本》，李善蘭補齊的那一部份，也就跟著稱為《幾何 原本》。「幾何」兩字，就這樣流傳至今。
若說是因為徐氏所譯的部分恰好都是幾何
可能犯了倒果為因的錯。事實上，應該是因為徐氏選用的譯本標題，使得那 6 卷的內容，後來被稱為「幾何」。因為，幾何兩字，在徐氏的譯本書之前，並沒 有如今這個數學分支的意義。
那麼，為什麼徐氏選擇了「
之義，發音類似英文的 geometric)。其字頭「Geo」就是「幾何」之音的來源。
可是，徐氏雖然沒有翻譯後面 9 卷，卻知道它們的存在。而他極可能知道後 面 9 卷的主題涵蓋整數、方程式與空間幾何。所以，徐光啟極可能知道《Elements》
這部書包括了當時「所有」數學的基礎。而「幾何」之詞，中國固有，按字面就
是「有多少」的意思。例如曹操的《短歌行》開頭便嘆：
對酒當歌，人生幾何？
譬如朝露，去日苦多。
所以，徐氏之本意，可能要用「幾何」兩字涵蓋《Elements》的所有課題：關於 圖形的用「幾何」的音來表達，關於數與量的，用「幾何」的義來表達。換句話 說，徐光啟心目中的「幾何」，可能就是今天我們所謂的「數學」。所以他為譯本 所取的名字，以今日用語再翻譯一次，就是：《基礎數學》。如果我們了解：《幾 何原本》就是《基礎數學》，它當然會包含像『輾轉相除法』這樣的課題。
