中點弦

HPM 通訊第九卷第六期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億 助理編輯：李建勳、陳春廷（台灣師大數學所）

編輯小組：蘇意雯（成功高中）蘇俊鴻、趙國亨（北一女中）

黃清揚（北縣福和國中）葉吉海（新竹高中）

陳彥宏（成功高中） 陳啟文（中山女高）

王文珮（桃縣青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘（台師大數學系）謝佳叡（台師大數學系）

蔡寶桂 (新竹縣網路資源中心) 傅聖國 （北市萬福國小）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

 《數之起源：中國數學史開章《筭數 書》》跋文

 記蕭文強教授來訪

 中點弦

 π案叫絕論劉徽

 新書櫥窗：《博士熱愛的算式》

《數之起源：中國數學史開章《筭數書》》跋文

台師大數學系 洪萬生教授

《算數書》於1983 / 1984 年出土後，由中國湖北省荊州市博物館館長彭浩教授負責整 理。他經過長時間的細心爬梳之後，終於在公元2000 年 9 月，將它的釋文發表於《文物》

月刊第九期。當月，筆者從中國科學院自然科學史研究所郭書春教授處獲贈此一文獻，立 刻邀請七位年輕的朋友蘇意雯、蘇俊鴻、蘇惠玉、陳鳳珠、林倉億、黃清揚與葉吉海等，

共同學習校勘與解讀，並及時地將研究成果發表在《HPM 通訊》第三卷第十一期（2000 年11 月出版，以《算數書》專輯問世）。幾乎在這同時，筆者也已經差不多另行完成了三 篇論文：〈《算數書》初探〉、〈《算數書》vs.《九章算術》〉與〈《算數書》的幾則論證〉。後 來，又進一步撰寫了〈關於《算數書》體例的一個備註〉。

現在，我們利用這些研究報告為基礎，再結合中國學者如郭書春、郭世榮、鄒大海、

彭浩，日本學者大川俊隆團隊，以及美國學者道本周 (Joseph Dauben) 與英國學者古克禮 (Christopher Cullen) 的研究成果，我們乃得以完成本書之撰寫。此外，劉鈍、徐義保（中 國學者）、林力娜 (Karine Chemla)、馬若安 (Jean-Claude Martzloff)（法國學者) 與 Alexei Volkov（俄羅斯學者）等人，在秦漢算學史研究方面都很有建樹，也是我始終仰望的北辰。

除了有關《筭數書》文本內容之解讀之外，我們還倚重了考古學家與史學家有關秦漢 墓所入葬的簡牘之研究成果（這，當然多虧了倉億在搜尋資料與文獻方面所下的基本功 夫）。所有這些，特別是有關秦漢簡牘、法制史與醫學史的研究，都在我們拍照《筭數書》

的『寫真集』時，提供了不可或缺的背景或脈絡。誠然，本書之寫作，主要讓『文本』(text) 得以安放（回）在它原生的『脈絡』(context) 之中，以便述說一個比較有趣的故事。不過，

限於本書的『普及』體例，我們顯然不須要『言必引據』，同時，在綜合諸家論點時，也 可能掛一漏萬，禮數不周在所難免，在此總請『眾家路數（線）』諒察與包容就是了。總 之，筆者在間隔大約25 年之後，還有機會以本書之寫作進路，來呼應 1980 年左右所撰寫 的〈重視證明的時代－魏晉南北朝時代的科技〉，對於相關的學界貢獻，始終中心存敬意。

我想本書只不過提供了一種敘事手法，將考古學家、秦漢史家以及數學史家的研究成果，

編織出一個以《筭數書》為主角的歷史圖像而已。拋磚引玉，當然有所期待於可畏的後生！

HPM 通訊第九卷第六期第二版

本書之撰寫，始於公元2003 年 8 月。當時，筆者申請了一年的教授休假，希望可以 寫一本書留作紀念。沒想到到了2004 年 7 月休假期滿，雖然寫了前四章，但第 5、6 兩章 離完成階段還有一大段路。後來，就與『通訊團隊』（Tongxun Group，這是道本周教授對 我們團隊的暱稱）伙伴商量，請他（她）們義助一把。於是，俊鴻協助撰寫第5 章，倉億 與惠玉合作完成第6 章。由於他（她）們都曾參與《筭數書》的校勘工作，再加上他們已 有相當成熟的的數學史研究心得，因此，一路寫來相當得心應手。另一方面，由於他（她）

們的出身背景比較不被某些學問的門道或常規所限制，所以，他（她）們的論述，總是可 以讓我們感受年輕人筆觸下所洋溢的熱情與活力。這種分享的喜悅，絕對是我完成本書之 後的最大收穫！

最後，感謝盧金城先生的推薦，以及李俊男先生的編輯協助（書名是他的建議，希望 讀者喜歡）。當然，台灣商務印書館原意出版發行本書，也是我們團隊的榮幸。無論如何，

我們誠懇地歡迎專家學者與讀者的批評與建議。

^{記蕭文強教授來訪}

蕭文強教授趁訪台之便，應邀於5 月 25 日蒞臨本系發表演講，講題為：「數學史與數 學教學的融會：『知易行難』抑或『知難行易』？」與會同仁與研究生都相當興奮，並與 他進行了非常難得的學術互動。其中論及HPM 的切入點時，蕭教授特別分享了他參觀朱 銘美術館所獲得的心得。他認為當我們試圖將數學史融入數學教學時，看似無門徑可入，

然而，對於有心人而言，卻是處處可以切入。誠所謂：處處無門處處門！

HPM 通訊第九卷第六期第三版

HPM 通訊第九卷第六期第四版

中點弦

成功高中游經祥、劉國莉老師

壹、前言

高二數學教材中有『中點弦』之單元。本文作者之一劉國莉講解相關例題：

設點 為橢圓 內的一點，一直線過點 P 且交橢圓 於兩點 A,B，若 點 P 為線段

( )

2,1

P Γ:x²+4y² =16 Γ

AB 的中點，求直線AB的方程式。

有一位學生提出補教界的解題秘方如下：

以點P

( )

2,1 代入橢圓的切線方程式x₀x+4y₀y=k ⇒2x+4y=k，點P

( )

2,1 在此直線上 8

1 4 2

2× + × =

=

⇒ k ，得直線AB的方程式為2⋅x+4⋅1⋅y=8 ⇒x+2y=4。

然而，該學生不知其解題的道理為何？於是，劉國莉下課後，遂與另一作者游經祥老師討 論，最後，我們歸納下列應相互連結的教學單元，希望可以提供解題的所以然之故：

1. 定義相似橢圓。

2. 相似橢圓上切線的幾何關係及證明。

3. 相似橢圓上切點弦的平分關係及證明。

4. 橢圓中平行弦中點共線性質及此直線之方程式公式。

5. 切線公式在橢圓中的幾何意義及證明，作為切線公式在圓中的性質的推廣。

6. 實例應用。

貳、相似橢圓

我們定義：兩橢圓Γ ：b²x² +a²y² =l與Γ′ ：

，為相似橢圓。

2 ,

2 2

2x a y k

b + = k> l0, >0

其理由如下：如右圖（一），設兩橢圓

，中心點為O 0

, 0 : ,

:

2 2 2 2

2 2 2 2

>

⎪⎩ >

⎪⎨

⎧

= +

Γ′

= +

Γ k l

k y a x b

l y a x

b

( )

^{0,0 ，點B ( , )x y}

在橢圓Γ 上，點 A

(

^{x y′ ′,}

)

^{在橢圓 ′Γ 上。設OA=rOB，即}

x′ =rx，y′ =ry，代入方程式b²x′² +a²y′² =k,，得b r x^{2 2 2}+a r y^{2 2 2} =k ^{2 2 2 2} k₂ b x a y

⇒ + =r 與 比較常數，得

l y a x

b ²+ =

Γ: ^{2 2 2} l

rk =₂

l r= k

⇒ 。因此， OB

l

OA= k ，即 x

l x′= k ，

y l y′= k 。

L² L1

O B

A

Γ

Γ ′

圖（一）

當兩共中心的橢圓Γ:b²x²+a²y² =l，Γ′:b²x² +a²y² =k

(

l,k>0

)

的圖形關係是Γ與Γ′

HPM 通訊第九卷第六期第五版

可以互相伸縮而得到重合者，我們就定義Γ 與 Γ′ 為相似橢圓，且Γ 伸縮到 的伸縮倍數為Γ′

l k 。

參、相似橢圓的切線關係

觀察過中心的直線與兩相似橢圓Γ 、 Γ′ 的四個交點，而過此四點分別作 Γ 與 Γ′ 之切 線將會平行。我們寫成定理1 如下：

定理1：如圖（二），設Γ 、 ′Γ 為兩相似橢圓，過中心點 O 的任意直線 L 交 Γ 、 ′Γ 於 B、D、A、C，且分別作 與Γ Γ′的切線L₁、L₂、L₃、L₄，則L₁//L₂//L₃//L₄。

)

證明：如圖（二），設兩相似橢圓 ，

，點B 坐標為

l y a x

b + =

Γ: ^{2 2 2 2} k

y a x

b + =

Γ′: ^{2 2 2 2}

(

l,k>0

(

x y0, 0

)

，則過點B 的切線方程式L₂：b²x₀x+a²y₀y=l。因 OB

l

OA= k ，點A

坐標為 ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

0

0, y

l x k l

k ，則過點A 的切線方程式 ：L₁

k y y a l x k x b l

k ² ₀ + ² ₀ = ⇒b²x₀x+a²y₀y= kl，得證L₁// L₂。同理，利用OD=−OB，

OB l

OC=− k ，可分別推得L₂// L₄，L₃// L₂。因此，L₁//L₂//L₃//L₄得證。

Γ Γ′

圖（二） L4 L3

L2 L1 O

B A

C D

肆、相似橢圓的切點弦關係

觀察參中之圖（二），設過橢圓Γ′ 上的一點 A 的切線交橢圓 Γ 於兩點 E、F，猜測點 A 為線段 EF 之中點。我們寫成定理 2 如下：

圖（三）

O B A E

F

Γ Γ′

定理2：如右圖（三）， 和 為兩相似橢圓，設直線 為過 橢圓Γ 上點 A 的切線，且 交橢圓

Γ Γ′ L₁

′ L₁ Γ 於兩點 E、F，則點 A 為弦 EF 的中點。反之，若 EF 為橢圓Γ的弦，且點A 為弦EF 的中點，

則存在一相似橢圓Γ′ ，使直線EF為過橢圓Γ′ 上點 A 的切線。

L¹

證明：設橢圓Γ:b²x² +a²y² =l，Γ′:b²x² +a²y² =k

(

^l,k>0

)

^，點A

(

x y0, 0

)

在橢圓Γ′ 上，

則直線L₁的方程式為 b x² ₀x+a y y² ₀ =k，若y₀ ≠0，利用

0 2

0 2

y a

x x b y k−

= ，代入Γ:b²x²+a²y² =l

HPM 通訊第九卷第六期第六版

y l a

x x b a k

x

b ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛ −

⇒

2

0 2

0 2 2

2

2

( )

0²

2 4 0 2 2 2

0 2 2

4b x y a k b x x la y

a + − =

⇒

( )

0²

4 2 2 0 2 2 2 2

0 2 2 0 2 2

2b a y b x x 2ka b x x a k la y

a + − + =

⇒ ---(1)式

設點E 和點 F 坐標分別E x y

(

1, 1

)

、F x y

(

2, 2

)

，則式(1)的兩根為 ，由根與係數的 關係可知

2 1, x x

( )

2 2

0 0

1 2

2 2 2 2 2 2 0

0 0

2 2 2

ka b x kx

x x

k x a b a y b x

+ = = =

+ ，

2 2

0 1 0 2

1 2

2 2

0 0

1

2 2

k b x x k b x x y y

a y a y

⎛ − − ⎞

+ = ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

( )

2 0

1 2

2 2

0 0

1 2 2

b x

k x x

a y a y

⎛ ⎞

= ⎜ − + ⎟

⎝ ⎠

2

0 1 2

2 2

0 0 2

b x x x k

a y a y

⎛ + ⎞

= − ⎜⎝ ⎟⎠

2 0

2 2 0

0 0

b x

k x

a y a y

= − ²₂ ⁰² ₀

0

a y y

= a y = 。因此，點 A 恰為線段 EF 的中點。若 ，直線 為一鉛直線，設L 和橢圓 的交點為 E、

F，則易得知點 A 為線段

0 =0

y L:b²x₀x=k Γ

EF 的中點。

另一方面，設橢圓Γ:b²x²+a²y² =l上兩點E x y

(

1, 1

)

、F x y

(

2, 2

)

， EF 的中點 A 為

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + , 2 2

2 1 2

1 x y y

x ，則點A 在相似橢圓Γ′：

2 2 2 1

2 2 2 1

2 2 2 2

2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

+ y y

x a b x

y a x

b 上。可

知過點A 的切線 L 方程式為

2 2 2 1

2 2 2 1

2 2 1

2 2 1

2 2

2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + y y

x a b x

y y a y

x x

b x ，切

線L 的法向量 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

, 2 2

2 2 1

2

2 1 y y

x a b x

n ，

(

_{1 2 1 2}

)

2 2 1

2

2 1 ,

, 2

2 y y x x y y x a

b x FE

n ⎟⎟⋅ − −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

⋅

( ) ( )

[

2²

]

2 1 2 2

2 2 1 2

2

1 b x −x +a y −y

=

[ (

2²

) ]

2 2 2 2 2

1 2 2 1 2

2

1 b x +a y − b x +a y

=

( )

0

2

1 − =

= l l 。因此，可知

切線L 與直線EF平行（或重合），又切線L 與直線EF同時包含點A，故直線EF與切線 L 重合。因此，若線段 EF 為橢圓Γ 上的弦，且點 A 為弦 EF 中點，則存在一相似橢圓 Γ′ ， 使直線EF為過橢圓Γ′ 上點 A 的切線。

伍、橢圓中平行弦的中點性質探討

HPM 通訊第九卷第六期第七版

在橢圓上畫一組平行弦，觀察其各弦之中點該是共線，而且過中心。我們寫成定理3 如下：

定理3：橢圓上任意一組平行弦的中點共線，且此直線會通過橢圓中心。設橢圓

，平行弦之斜率為m，則所有斜率為 m 之平行弦的中點連線方程式為

2 2 2 2 2

:b2x +a y =a b Γ

2 2

b my

x=−a 。（若為鉛直的平行弦中點連線，則恰為橢圓的對稱軸 ；若為水平的平行 弦中點連線，則恰為橢圓的對稱軸

=0 y

=0

x 。）

證明：設平行弦之方程式為y=mx+k，− a²m²+b² ≤k≤ a²m² +b² 。將y=mx+k代入

2，得

2 2 2 2

:b2x +a y =a b

Γ b²x²+a²

(

mx+k

)

² =a²b²

(

^{2 2+ 2}

)

^{2+2 2 + 2 2 − 2 2 =0}

⇒ a m b x a mkx a k a b 。

再設此x 的二次方程式的兩根為 ，x₁ x₂，則 _{2 2 2}

2 2

1

2 a m b mk x a

x

− + + =

， b k

m a

k m k a

x m x k mx k mx y

y +

− +

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ + +

+

= + +

2 2 2

2 2 2

1 2

1 2 1

2 2

2 。因此

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 1

2 1

2 1 2

b ma y

x b k

m a k b b m a

m y a

b m a

mk x a

y y y

x x x

=−

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

=

− +

=

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= +

= +

。因此，所有斜率為m 之平

行弦的中點連線方程式為 ₂

2

b my x=−a 。

陸、橢圓切線公式的幾何探討

在《HPM 通訊》第九卷第二、三期合刊第五版中，我們曾經發表一篇〈點與圓、球的 關係〉，以下定理是延續該篇的性質，將圓的性質推廣到橢圓，並且可以用在中點弦的計 算上；我們寫成定理4 如下：

定理4：設橢圓Γ:b²x²+a²y² =a²b²，點P

(

x₀, y₀

)

（其中

(

x y0, 0

) ( )

≠ 0,0 ），直線

2，則

2 0 2 0

:b2x x a y y a b

L + =

(1) 當點 P 在橢圓 上時，直線 L 為過點 P 且與橢圓Γ Γ 相切的切 線方程式。

R O A Q

B P

Γ

^L

(2) 如右圖（四），當點P(x₀,y₀)在橢圓Γ外時，

(a) 自點P作橢圓 的切線，得兩切點A、B，則直線L為過 切點A、 B的直線方程式。

Γ

圖（四）

HPM 通訊第九卷第六期第八版

(b) 設OP和橢圓Γ 、直線 L 分別交於點 Q、R，則OP×OR=OQ²。

(c) 若線段OP與橢圓Γ 相交於點 Q，且在線段OP上取一點R，使P−Q−R，且 OQ2

OR

OP× = ，則直線L 恰為以點 R 為中點的弦所在的直線方程式。

(3) 如右圖（五），當點 P 在橢圓 內時， Γ

L

O

R A Q

P B

(a) 直線 L 為一和橢圓不相交且平行以點 P 為中點弦的直 線方程式。

(b) 設射線 OP 和橢圓Γ 、直線 L 分別交於點 Q、R，則 OQ2

OR

OP× = 。

Γ

圖（五）

(c) 若射線 OP 與橢圓Γ 交於點 Q，且在射線OP 上取一點

R，使P−Q−R，且OP×OR=OQ²，則以點P 為中點弦所在之直線，即為自點 R 作橢圓Γ 切線的兩切點的連線。

證明：

(1) 直線 L 恰好為過橢圓上的點的切線公式，證明略去。

(2)(a)當點 P( , )x y_{0 0} 在橢圓Γb x^{2 2}+a y^{2 2} =a b^{2 2}外（∴b x² ₀²+a y² ₀² >a b^{2 2}）如圖（四），

自點P 作橢圓 的切線Γ PA和PB，設切點為A x y( , )_{1 1} 和B x y ，則過切點( , )_{2 2} 的切線

方程式為 ，因點P

1 1

( , ) A x y

2 2 2

1 1

b x x+a y y=a b² ( , )x y_{0 0} 在此切線上，可得 ---(1)。

2 2

1 0 1 0

b x x +a y y =a b^{2 2}

同理，過切點B x y 的切線方程式為 b x( , )_{2 2} ² ₂x+a y y² ₂ =a b^{2 2}，因點P( , )x y_{0 0} 在此切線 上，可得 b x² _{2 0}x +a y y² _{2 0} =a b^{2 2}---(2)。由(1)式和(2)式可知：點A x y( , )_{1 1} 和點B x y 在( , )_{2 2} 直線L:b²x₀x+a²y₀y=a²b²上，即直線L 為過兩切點 A、B 的直線方程式。

(b)設OP與橢圓Γ 、直線 L 分別交於點 Q、R，且OQ=tOP=(tx₀,ty₀)，點Q 在橢圓

HPM 通訊第九卷第六期第九版

Γ:b x^{2 2}+a y^{2 2} =a b^{2 2}上⇒b²t²x₀²+a²t²y₀² =a²b² ⇒ ₂ 1

0 2 2 0 2

2

2 2 <

= +

y a x b

b

t a 。（因

2 2 2 2 2 2）

0 0

b x +a y >a b

設OR=sOP=(sx₀,sy₀)，又點R 在直線 L 上⇒b²sx₀² +a²sy₀² =a²b²

⇒ ₂ 1

0 2 2

0 2

2

2 <

= +

y a x b

b

s a 。因此，可得

(

0²

)

^{2 2 2}

2 2 0 0 2 2 0 2

2 2

OQ OP

t y x y a x b

b OP a

OP s OR

OP + = =

= +

= 。

(c)若線段OP與橢圓 相交於Γ Q，且在線段OP上取一點 R ，使P Q− −R，且

OP OR× =OQ2。假設OQ=tOP=

(

tx ty0, 0

)

，OR=sOP=

(

sx sy0, 0

)

，利用OP OR× =OQ²， 可推得

2 2 2

2 2 2 2

0 0

t a b

b x a y

= + = 。由（a）部份可知，自點 P 作橢圓 Γ 的切線，得切點s A x y

(

1, 1

)

、

(

2, 2

)

B x y ，直線 為過切點A、 B 的直線方程式。將點 R

( )

^（其

中

2 2 0 2 0

:b2x x a y y a b

L + = sx sy₀, ₀

2 2

2 2 2 2

0 0

s a b

b x a y

= + ）代入直線L:b²x₀x+a²y₀y=a²b²的方程式，得

( )

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

b sx +a sy =s b x +a y 2 2^{2 2}2 2

(

^{2 02 2 02}

)

^{2 2}

0 0

a b b x +a y a b b x a y

= =

+

)

。因此，點R 在直線 L 上。

切點A x y

(

1, 1

)

、B x y

(

2, 2 同時在橢圓Γ: b x^{2 2}+a y^{2 2} =a b^{2 2}及直線L:b²x₀x+a²y₀y=a²b²上。

若當y₀ ≠0，利用 ^{2 2} ₂ ^{2 0}

0

a b b x x

y a y

= − 代入Γ: b x^{2 2}+a y^{2 2} =a b^{2 2} ，得

2 2 2 2

2 2 2 0 2 2

2 0

a b b x x

b x a a b

a y

⎛ − ⎞ + ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ ^{⇒a b y x4 2 02 2+a2}

(

^{a b2 2−b x x2 0}

)

^{2 =a b y6 2 02}

0 。 因 為此方程式的兩根，由根與係 數的關係可知A、B 中點的 x 坐標為

( )

2 2 2 2 2 2 2 4 4 6 4 6 2 2

0 0 2 0

a b a y b x x a b x x a b a b y

⇒ + − + = x₁, x₂

( )

4 4 2 2

0

1 2

0 0

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 0

0 0

2 2 2

a b x

x x a b

x sx a y b x

a b a y b x

+ = =

+ + = ，

HPM 通訊第九卷第六期第一○版

恰為點R 的 x 坐標。A、B 中點的 y 坐標為

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −

= +

0 2

2 0 2

0 2

0 2

1 0 2

0 2 2

1 2

1 2

1

y a

x x b y b y a

x x b y y b

y ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

= 2

2 1 0 2

0 2

0

2 x x

y a

x b y b

0 0 2

0 2

0 2

y sx a

x b b −y

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

− +

= ₂

0 2 2 0 2

2 2

0 2

2 0 2

0 2

x b y a

b a y

a x b y b

2 0 0 2 2 0 2

2 0 2

0 2

sy x b y a

y a y

b =

= + 。因此，點R 的 y 坐標亦為 A、B 中點 的y 坐標。因此，點 R 恰為兩切點 A、B 的中點，也就是直線 L 恰為以點 R 為中點的弦所 在的直線方程式。

另一方面，若當y₀ =0,則x₀ ≠0，點P x

(

0,0

)

，點R

(

0

)

²

0

,0 a ,0

sx x

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

（

2 2 2

2 2 2 2 2

0 0

a b a

s=b x a y = x

∵ +

0

），直線

2

2 2 2

0

0

: a

L b x x a b x

= ⇒ = x 與橢圓 的交

點A、B 為

2 2 2 2 2 2

: b x a y a b Γ + =

2 2

2

0 0

, 1

a a

x b x

⎛ ⎞

± −

⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟，可得 A、B 的中點恰為點 R。因此，直線 L 恰為以點 R 為中 點的弦所在的直線方程式。

(3)(a)當點 P( , )x y 在橢圓_{0 0} Γ：b x^{2 2}+a y^{2 2} =a b^{2 2}內（∴b²x₀² +a²y₀² <a²b²），如圖（五）。 設 AB 為以點 P( , )x y 為中點的弦，其中：點_{0 0} A x y( , )_{1 1} 和點B x y 在橢圓( , )_{2 2} ：

上。因此， ---(1)， ---(2)，(1) 式減(2)式得

Γ

2 2 2 2 2 2

b x +a y =a b b²x₁² +a²y₁² =a²b² b²x₂²+a²y₂² =a²b²

0 ) (

)

( ₁² ₂^{2 2} ₁² ₂²

2 x −x +a y − y =

b ⇒b²(x₁+x₂)(x₁−x₂)+a²

(

y₁+y₂

)

(y₁−y₂)=0---(3)，因 AB 為以點 P( , )x y 為中點的弦，得_{0 0} x₁+x₂ =2x₀,y₁+y₂ =2y₀代入(3)式，可得

( )

2 ( ) 0。 )

)(

2

( _{0 1 2} ² _{0 1 2}

2 x x −x +a y y −y =

b

若y₀ ≠0，線段AB 的斜率

0 2

0 2

2 1

2 1

y a

x b x

x y

m y =−

−

= − 和直線 的斜率相

同，故直線L 為一平行以點 P 為中點的弦的直線。

2 2 0 2 0

:b2x x a y y a b

L + =

考慮橢圓Γ: b x^{2 2}+a y^{2 2} =a b^{2 2}及直線L:b²x₀x+a²y₀y=a²b²的聯立方程，利用

HPM 通訊第九卷第六期第一一版

2 2 2

0 2

0

a b b x x

y a y

= − 代入Γ: b x^{2 2}+a y^{2 2} =a b^{2 2} ，得

2 2 2 2

2 2 2 0 2 2

2 0

a b b x x

b x a a b

a y

⎛ − ⎞ + ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

。

( )

²

4 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2

0 0

a b y x a a b b x x a b y

⇒ + − = ₀

0

4 4 2 2 2 2 2 4 2 2

0 0 0

4a b x −4 a y +b x a b −y

( )

2 2 2 2 2 2 2 4 4 6 4 6 2 2

0 0 2 0

a b a y b x x a b x x a b a b y

⇒ + − + =

此方程式的判別式為

( )( )(

⁰

)

^{=4a b x4⎡}_⎣ ^{4 02−}

(

^{a y2 02+b x2 02}

)(

^b2−y02

)

^⎤_⎦

( )

4 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

4a y a y b x a b 0

= + − < （∵b x² ₀²+a y² ₀² <a b^{2 2}，y₀ ≠ ）。因此，若0 ，直線 L 為一和橢圓不相交且平行以點 P 為中點的弦的直線方程式。

0 0

y ≠

若y₀ =0（則x₀ ≠ ）， AB 為以點 P0 為中點的弦，由(3)式可知直線 為通過點

P 的鉛直線。直線

( ,0)x0 AB

2 2 0

0

: a

L x x a x

= ⇒ = x ，與橢圓中心^O

( )

^{0,0 的距離為 2}

0

a a

x >

（∵0< x₀ <a）。所以，此時直線L 為一與橢圓Γ 不相交且平行以點 P 為中點弦的直線方 程式。

(b)與 2(b)證法相同，故省略。

(c)若射線 OP 與橢圓 交於點 Q，假設Γ OQ=tOP=

(

tx₀,ty₀

)

，則 ₂ 1

0 2 2 0 2

2

2 2 >

= +

y a x b

b

t a 。

在射線 OP 上另取一點 R，使P−Q−R，設OR=sOP=

(

sx₀, sy₀

)

，且點R 滿足OP×OR=OQ²

（ t OP sOP

OP OP t OP

OR=OQ = = =

∴ ²

2 2 2

2 0 2 2 0 2

2 2 2

y a x b

b t a

s= = +

⇒ ）。因點P( , )x y 在橢圓_{0 0} Γ ：

內，所以點R

(

在橢圓外。

2 2 2 2 2 2

b x +a y =a b

)

)

0 0, sy sx

由(2)(a)中可知：自點 R

(

sx₀, sy₀ 作橢圓Γ 切線的兩切點的連線（設為 ）方程式為

。設線段

L′

2 2 0 2 0

2sx x a sy y a b

b + = AB 為以點 P( , )x y 為中點的弦，其中_{0 0} A

(

x₁, y₁

)

、B

(

x₂, y₂

)

， 由(a)部分的證明可得直線AB的斜率

0 2

0 2

2 1

2 1

y a

x b x

x y

m y =−

−

= − ，直線 L′ 的斜率

HPM 通訊第九卷第六期第一二版

0 2

0 2

0 2

0 2

y a

x b sy

a sx m −b =−

= ，可知直線AB與直線L′ 平行或重合（若y₀ = ，則易看出兩者皆鉛直0

線）。直線L′的方程式為b²sx₀x+a²sy₀y=a²b²（其中 ₂

0 2 2

0 2

2 2

y a x b

b s a

= + ）。將點P( , )x y 代_{0 0}

入得

( ) (

0²

)

^{2 2}

2 2 0 2 2 0 2 2

0 2

2 2 2

0 2 2

0 2 0 0 2 0 0

2 b x a y a b

y a x b

b y a

a x b s y sy a x sx

b ⋅ + =

= + +

=

+ ，故點P 在直

線L′上。因此，直線L′和直線AB皆過點P，故直線 L′ 即為以點 R 為中點弦所在的直線。

柒、實例應用

根據以上的結果，我們重新回到前言中所提到的問題，逐一以不同的方法解題，一併 展現這些定理的美妙應用。

設點 為橢圓 內的一點，一直線過點P 且交橢圓 於兩點 A,B，若 點P 為線段

( )

2,1

P Γ:x²+4y² =16 Γ

AB 的中點，求直線AB的方程式。

解法 (1)：設過AB的直線方程式為y=mx+k（先驗證AB不為鉛直線），代入 16，得

4 : ²+ ² =

Γ x y x² +4

(

mx+k

)

² =16⇒

(

^1+4m2

)

^{x2+8mkx+4k2 −16=0。再設點}

A(x₁,y₁)，點B(x₂,y₂)，已知P

(

2,1

)

為^{AB 的中點} 4 4 1

8

2 2

1 =

+

= − +

⇒ m

x mk

x ，

，將兩式聯立

(

_{1 2}

)

2 4 2 2

2

1+y =m x +x + k = m+ k =

y

⎩⎨

⎧

= +

−

=

⇒ +

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + + =

−

1 2

2 4

1 2 2 4

4 4 1

8 ₂

2

k m

mk m

k m

m

mk ⇒1+4m² =−2m

(

1−2m

)

2 2 1

4 4

1+ ² = ²− ⇒ =−

⇒ m m m m ，

。因此，直線 2

2 1− =

= m

k AB的方程式為x+ y2 =4。

解法 (2)：設點 A(x₁,y₁)，點B(x₂,y₂)，A、B 在橢圓Γ 上 ，

，將兩式相減得

⇒ x₁² + y4 ₁² =16 16

4 ₂²

2

2 + y =

x

⇒

=

− +

− ) 4( ) 0

(x₁² x₂² y₁² y₂² (x₁−x₂)

(

x₁ +x₂

)

+4(y₁ −y₂)

(

y₁+ y₂

)

=0，又點P 為 AB 的中 點，得x₁+ x₂ =4, y₁+ y₂ =2。因此，上式可化為(x₁−x₂)⋅4+4(y₁−y₂)⋅2=0 ⇒ 直線AB的

HPM 通訊第九卷第六期第一三版

斜率 2

1

2 1

2

1 =−

−

= − x x

y

m y 。可得直線AB的方程式為

2 1 2 1=−

−

− x

y ⇒x+2y=4。

解法 (3)：根據定理 2，點 為橢圓 內一點，則存在一相似橢圓

，使的點P 在相似橢圓

( )

2,1

P Γ:x²+4y² =16 k

y

x + =

Γ′: ² 4 ² Γ′ 上，且直線AB即為過點P 的切線方程式。因P

( )

2,1 在橢圓Γ′:x² +4y² =k上，得k=2²+ ⋅ =4 1² 8。故橢圓Γ′:x²+4y² =8，且直線AB即為過 點P

( )

2,1 的切線方程式2⋅x+4⋅1⋅y=8⇒x+2y=4。此即為補教秘方的作法；因此，定理2 就是該學生所須"知其所以然"的道理所在。

解法 (4)：根據定理 4，設射線 OP 交橢圓Γ 於 Q，再設OQ=sOP=

(

2s,s

)

，點Q 在橢

圓Γ:x²+4y² =16上⇒4s² +4s² =16⇒s= 2。在射線OQ上找一點R，使OP×OR=OQ²

。根據定理4(3)(c)，可得直線 的方程式為以點R(4,2)代入 定理4 中之直線 L 方程式，即得

⇒^{OR=s OP2 =2 2,1}

( )

^{=(4, 2) AB}

4 2 16

2 4

4⋅x+ ⋅ ⋅y= ⇒x+ y= 。 捌、結論

在本文中，我們主要以高中生較易理解的方法提出論述。當然，中點弦還是可以引用 隱函數微分的方法來處理，但那是高中生較難理解的工具，我們不打算推薦。其實，本文 的方法，多少可以呼應Richard Skemp 有關學習系統的觀點。在他的《數學學習心理學》

(1995) 中，Skemp 曾提到學習心理學中的理論系統，可分為視覺系統與言辭系統。其中，

言辭系統不只包含口中發出的聲音，還包含寫在紙上或黑板上的字。而視覺系統最好的例 子，則是畫圖形、動畫、影像。若能結合此兩種系統，將會使學生對數學學習產生意想不 到的興趣，更能加強學生的深刻印象。

在本文所提供的定理中，我們先畫出圖形結構給學生『感覺』，真的可能會有如此的 結果。接著，再進一步說明如何證明由圖形得到的『感覺』，最後再完成證明過程。難怪 諾貝爾獎得主Bragg 在八十歲生日時說：「我自己總是對事物先有視覺上的影像，然後才 產生新靈感。」這些定理我們在課堂上都已經講解過，大多數學生皆能得到深刻的體會。

學生在市面上的多元學習，常會遇見『知其然而不知其所以然』的情形，這是數學學習上 的重大不足。現在，藉此一問，能為學生釐清一些疑惑，且以淺白方式，提出有助於引導 學生解題方法與思考方向的策略，這是我們在數學教學上應該努力強化的工作。

HPM 通訊第九卷第六期第一四版

π案叫絕論劉徽

台師大數學系四年級 林德政、王懷智

一. 前言

中國數學史上有許多優秀的數學家，其中最令人稱道的，當推西元三世紀的劉徽。劉 徽注解《九章算術》，在一般人認為以實用為主的中國社會裡，對於許多已知的數學公式 給予理論的証明。譬如，他提出圓面積公式的証明，並因此發展出了求圓周率的方法。因 此，少了劉徽的注解部份，《九章算術》或許將顯得微不足道。

劉徽當然不是求圓周率的第一人，其後也有許多人求得比他更精確的圓周率近似值，

然而，劉徽所提出的方法，卻讓中國數學進入一個新的階段，也讓後代的人在求圓周率時 有更好的依靠。因此，在本文中，我們希望探討劉徽注解《九章算術》的目的及其背後意 函，從而對『割圓術』更進一步闡述，並說明它對於後世數學家造成的影響。

二. 劉徽與九章算術

《九章算術》於東漢成書，內容是有關當時官員所需要的計算知識。在重視實用知識 的中國，劉徽的作法無疑是跨越了一道鴻溝，把中國的數學知識，推到了理論發展的階段。

或許因為劉徽研讀《九章算術》時，獲得了深刻的體驗：『觀陰陽之割裂，總算數之根源，

探賾之暇，遂悟其意。」同時，「算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，其 能窮纖入微，探測無方。至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。」可惜，

『當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。』在劉徽眼裡，《九章算術》

是極為重要的學問，然而，他當時身處三國亂世，時人對於算學並不重視，因此，激起他 為《九章算術》作注解的想法。

探討劉徽的割圓術，要先知道他如何確信圓周率是一個常數。原來，《九章算術》（作 者不詳）已經提供了圓面積的計算公式，也可以知道中國人相信『周三徑一』這個事實由 來已久。在劉徽之前，劉歆、張衡等人都做過圓周率的研究，也因此劉徽確定知道圓周率 是一個定值是不容置疑的，他也知道圓周率取三是為了計算上的方便。劉徽既然希望透過

「析理以辭，解體用圖」的方法，來為《九章算術》做注解，那麼，圓周率的更加精密求 法，也就成了他無法避免的問題。

三.『以圓出方』及割圓術

在《九章算術》的『圓田術』中，出現了四個圓面積公式，分別是：1. 半周半徑相乘 得積步；2. 周徑相乘四而一；3. 徑自乘，三之，四而一；4. 周自相乘，十二而一。趙 爽及劉徽也都在《九章算術》看到了「圓出於方」以及「周三徑一」這些事實。然而，趙 爽只是對圓出於方做一個形式上的演示，並且接受圓周率為三這個事實。而劉徽注解《九 章算術》，則說明圓面積公式，成了注解『圓田術』第一步。事實上，劉徽利用了所謂的

『割圓術』，證明圓面積公式為「半周乘半徑」，也發現了『周三徑一』是不夠精密的：「若 夫觚之細者，與原合體，則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁

HPM 通訊第九卷第六期第一五版

之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。此以周徑，謂至然之數，非周三徑一之率也。

周三者從其六觚之環耳。」

劉徽為圓面積的算法及圓周率求法做了完美的注解，也在中國數學史上寫下美麗的篇 章。他的割圓術，也隱含了「無限」的概念：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於 不可割，則與圓合體無所失矣。」將劉徽的註解與歐幾里得、阿基米德的圓面積證明做比 較，可以看到非常相似的方法。只是歐幾里得跟阿基米德都不敢走到『無限』這一步，這 與東西方的數學發展過程有極大的關係。Zeno 的悖論使得西方數學家一直不敢碰觸無限這 一個觀念，也使得歐幾里得、阿基米德的圓面積公式無法走到最後一步。然而，在中國的 戰國時期末年，名家公孫龍就曾提出這樣一個有趣的命題：「一尺之棰，日取其半，萬世 不竭」，可以看出無限的概念，其實是被中國人所接受的。

至於劉徽如何割圓呢？他從圓內接正六邊形出發，割六邊形為十二邊形，以至於二十 四邊形、四十八邊形、九十六邊形最後做到一百九十二邊形，劉徽用了極大的篇幅在介紹 割圓的方法，可見，他對於割圓術的重視(也或許對於自己創見的自得)。對於劉徽說明割 圓術的過程，因篇幅過多這裡就不多作介紹了。不過，劉徽的割圓術中用到的數學知識倒 是可以討論的。

劉徽的割圓術運用了四個個重要的數學方法：

‧圓內正六邊形每邊長與半徑相等；

‧箏形的面積為兩對角線相乘積之半；

‧商高定理；

‧設S_n，S_2n為圓內接正n 邊形及正 2n 邊形之面積，S 為圓面積，則 　 S_2n＜S＜S_2n＋（S_2n−S_n）。

圓內接正六邊型邊長與半徑相等，是劉徽做出六觚之冪的先決條件，也是劉徽割圓術的開 端。至於劉徽如何知道這件事實，在他的注解裡並沒有請楚的寫出。割六觚以為十二觚，

「以六觚之ㄧ面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪。」即是運用箏形面積為對角線乘積之 半，將圓內接正十二邊形式為六個箏形，則得出圓內接正十二邊形之面積。接著利用商高 定理求出正十二邊形的邊長，由此再運用前一方法求出二十四觚之冪，最後求出一百九十 二觚之冪。然而其中最令人驚艷的，是劉徽由圓內接正一百九十二邊形及圓內接九十六邊 形面，找出圓面積的範圍：

得冪三百一十四寸、六百二十五分寸之六十四，及一百九十二觚之冪也。以九十六觚 之冪減之，於六百二十五分寸之ㄧ百五，謂之差冪。倍之，為分寸之二百一十，即九 十六觚之外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪於九十六觚之冪，得三百一 十四寸、六百二十五分寸之ㄧ百九十六，則出於圓之表矣。

劉徽用此方法求出圓面積介於3.141024 與 3.142704 之間，如此相較於阿基米德用圓內接 正多邊形與圓外切正多邊形去逼近圓面積，顯得更加簡單了。

四. 劉徽、祖沖之、趙友欽

要想談論這三位數學家，就必須讓我們回溯到被認定成書於東漢的《九章算術》。現 在，就讓我們再討論一下劉徽注解《九章算術》的背後意涵！劉徽被認定為第三世紀中國