從立體幾何到坐標幾何
一 一兼談三垂線定理
張海潮 · 鍾 伊婷
引言
公元前 300 年出版的 《幾何原本》(以下簡稱 《原本》), 前 6 章 (或前 6 卷) 討論平面幾何, 其內容大致已融入國中的幾何課程。 第 7, 8, 9 章討論基本數論, 第 10 章討論一些特殊的無理 數, 這 4 章均與幾何無關。 11 章開始討論立體幾何, 本章立下許多立體幾何的基礎。 12 章討論 錐體、 球體的體積, 最後在 13 章討論了五種正多面體。
在歐幾里得的時代, 沒有坐標/向量幾何, 但是對平面幾何而言, 引入坐標軸 x 與 y, 以坐 標關係輔助幾何關係是很自然的事。 這裡最重要的是平行公理, 亦即當互相垂直的 x 和 y 軸架 好之後, 平面上一點的坐標必須靠 (平面幾何的) 平行公理來界定。(註 1)
類似的情形發生在立體幾何。 如果我們要為空間建立三維坐標系, 那麼下面這個定理 (《原 本》11 章命題 6) 就是成功架構坐標的關鍵:
命題6: 如果 (空間中) 兩直線和同一平面成直角, 則兩直線平行。(註 2) 讀者不難發現上述命題 6 在平面幾何有類似的陳述:
如果平面上兩直線和同一直線成直角, 則兩直線平行。(註 3) 本文的目的如下:
(一) 定義空間中平面的法線, 並仿 《原本》 證明法線的存在。 基本上重現了 《原本》 的 11 章命 題 4 和命題 5 (註 4) 並指出在證明中, 三垂線定理自然呈現。
(二) 仿 《原本》 證明 11 章命題 6, 即一平面的所有法線均互相平行。(同註 2) (三) 獨立給三垂線定理一個現代版的簡單證明。
(四) 對三垂線定理的評論。
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第一節 法線之存在
《原本》 在 11 章一開始就把平面的法線定義為一條與平面相交於一點的直線 P , P 與平 面上所有過此交點的直線垂直, 《原本》 的用詞是“P 和平面成直角”。 如圖 1 所示。
圖 1
一.1. 在證明法線 P 的存在前, 《原本》 先證明命題 4 (同註 4) 如圖 2:
圖 2
平面上三線段 AB, CD, GH 在平面上交於點 E, EF 同時垂直 AB 和 CD, 我們想要 證明 EF 也垂直 GH。
不妨假設 AD⊥GH, 以 G 為垂足。 先利用畢氏定理來看圖中諸線段的長度關係。
在 △F AD 中,
AF2−AG2 = EF2+ AE2−AG2 = EF2+ GE2. (1) 同樣在 △F AD 中,
DF2−DG2 = EF2+ DE2−DG2 = EF2+ GE2.
與 (1) 式相等。 因此圖 3, 在 △F AD 中, AF2−AG2 = DF2−DG2, 亦證 F G⊥AD,
並且
AF2−AG2 = DF2−DG2 = F G2. (2)
圖 3
由 (1), (2) 可得 F G2= EF2+GE2 , 再由畢氏逆定理, 知 EF ⊥GE 或 EF ⊥GH。(註 5)
所以如圖 2, 如果要證明過平面 P 上一點 E, 存在法線, 就要找一條直線 EF 同時與 AB 和 CD 垂直。
證明的方式是反其道而行, 即先對任一直線如 AB, 作一平面過 E, 並以 AB 為法線, 稱 為 AB 的法平面。
一.2. 過 E存在 AB 線的法平面, 如圖 4,
圖 4
我們宣稱, 過 E 而與 AB 線垂直的所有直線構成 AB 的法平面。 今取任三條直線 p, q, r 均 過 E 而與 AB 垂直。 我們要證 q 在 p, r 決定的平面 H 上。 如果 q 不在 p, r 決定的平面, 考 慮 AB 與 q 決定的平面 H′, 並設 H′∩H = q′。 則根據一.1, AB 與 q′ 垂直, q′ 過 E, 但 q 也過 E 並與 AB 垂直, 亦即在平面 H′ 上, 過 E 而與 AB 垂直的直線有 q 又有 q′, 此為矛 盾。 我們因此證得過 E 與 AB 垂直的所有直線構成線 AB 的法平面, 此即 《原本》 的 11 章命 題 5。(同註 4)
一.3. 過平面 P 上一點 E, 存在 P 之法線。
在平面上過 E 作二直線 AB 及 CD, 並過 E 作兩者之法平面, 則此二法平面之交線必 同時垂直 AB 與 CD, 由一.1 之證明, 此交線是 P 過 E 之法線。
第二節 平面之法線互相平行
如圖 5
圖 5
D, B 在平面 P 上, CD 和 AB 分別是過 D 和 B 的法線, 我們要證 AB 與 CD 平行, 連 DB, 我們其實只要證 CDBA 共平面即可。
連 AD, 並在 P 上過 D 作 BD 之垂線 DE, 則由三垂線定理 (同註 5) (AB 是法線, BD⊥AB, DE⊥BD) 得 AD⊥DE。
現由以上一.2 《原本》 命題 5 之結論, 因為 DE 同時與 CD (法線)、 AD (三垂線定理) 及 BD 三線垂直, 因此 CD, AD, BD 共平面, 此平面當然包含 AB, 所以在 CDBA 平面中 AB 與 CD 均垂直 BD, 亦即兩法線平行。
此一定理保證了空間坐標的建立。 如上圖, 先在 (水平面) P 上建立平面坐標, 過平面上每 一點都“長出”一條數線與平面 P 垂直, 並以平面上的點為數線原點, 如果平面 P 上建立的是 x, y 坐標, 則利用過 (x, y) 的法線 (數線) 來建立 z 坐標。(註 6)
第三節 獨立證三垂線定理
前兩節的證明都出現三垂線定理, 我們將在此節利用畢氏定理直接來證三垂線定理。
如圖 6
圖 6
AB 是平面 P 的法線, BD 和 DE 都在平面 P 上, BD⊥AB, BD⊥DE。 三垂線定理 是說 AD⊥DE。 要得到這個結果, 其實只要證明 A 到 DE 線的最短距離是 AD。
任取一點 DE 上的點 Q, 連 QA, QB 則
QA2 = AB2+ QB2 = AB2 + BD2+ QD2 = AD2+ QD2 > AD2, 定理得證。
(也可以利用畢氏逆定理, 從 QA2 = AD2+ QD2, 得出 AD⊥QD。)
第四節 對三垂線定理的評論
目前的高中數學在教空間坐標之前, 需先教三垂線定理, 但是三垂線定理並不正式出現在
《原本》, 只是很自然地出現在 《原本》11 章命題 4 和命題 6 的證明中 (見本文第一、 二節)。 當 其出現時, 《原本》 仍然規規矩矩地證明它的正確。 其實三垂線定理要說的不過是下面這個現象, 如圖
平面 P 上有一直線 OX, 點 Q 在 P 之外, 則點 Q 先向平面 P 投影得點 Q′, 然後再向 OX 做投影得 Q′′, 而 Q 直接向 OX 投影, 一樣得到點 Q′′。 這件事, 在坐標幾何是顯而易見 的。
但是, 在 《原本》 中, 三垂線定理在無坐標幾何之下, 幫助證明了命題 6, 即平面之法線均 互相平行, 也幫助了將來 (2000 多年之後) 建立三度空間的坐標。
今日回頭來看, 公元 300 年前, 在沒有坐標幾何的概念下, 能夠證明三垂線定理及命題 6, 奠定坐標幾何, 非常難得。(註 7)
註1: 在平面上用兩條互相垂直的數線分作 x 和 y 軸, 如圖
則從 P 點分別作 x 軸和 y 軸的垂線, 可以決定 P 點的坐標。
註2: 我們現在稱與平面成直角或垂直的直線為法線。《原本》 在 11 章定義法線為一條與平面相 交的直線, 並與平面上過其相交點的所有直線均垂直。 11 章命題 6 等於是說任一平面的所有法 線均互相平行。
註3: 這是現在小學四年級對平面上兩線平行的定義。
註4: 《原本》 命題 4 和 5 原文如下:
命題 4: 如果一直線在另兩條直線交點處都成直角, 則此直線與兩直線所在平面成直角 (參考本 文註 2)。
命題 5: 如果一直線過三直線的交點且與三直線交成直角, 則此三直線在一個平面內。
註5: 此處的重證精簡化 《原本》 的證明, 並且基本上得到三垂線定理。 三垂線定理是說, 如圖, 如果 EF 是過平面 P 上一點 E 的法線, EG⊥AD, G 為垂足, 則 F G⊥AD。 本文第三節會 另給一個簡潔的證明。
註6: 如此定出的坐標系統是否“合格”, 尚需請讀者做一點功課。
註7: 此處, 抄錄 《原本》 11 章命題 1∼6 供讀者參考:
命題 1. 一條直線不可能一部分在平面內, 而另一部分在平面外。
命題 2. 如果二條直線彼此相交, 則它們在同一平面內; 並且每個三角形也各在一個平面內。
命題 3. 如果兩個平面相交, 則他們的交跡是一條直線。
命題 4. 如果一直線在另兩條直線交點處都成直角, 則此直線與兩直線所在平面成直角。
命題 5. 如果一直線過三直線的交點且與三直線交成直角, 則此三直線在同一個平面內。
命題 6. 如果兩直線和同一平面成直角, 則兩直線平行。
以上參考台北九章出版社, 歐幾里得幾何原本。
—本文作者張海潮為台大數學系退休教授, 鍾伊婷為大直高中數學老師—
