勾股定理證明-G160
【作輔助圖】
1. 以BC 為邊長向內作正方形 CBDE ，以 AC 為邊長向外作正方形 ACFG .
2. 在直線 ED 上取一點 K 點，使得 EK AC b，以 EK 為邊長作正方形 EKRH . 3. AB 與 ED 相交於 P 點.
4. 過 A 點作垂直 AB 的直線，交 FG 於Q點。
5. 過Q點作垂直 AQ 的直線，交 FC 於T 點.
6. 過 R 點作垂直直線 AB 的直線，交 EH 於S點。
7. 分別作過 K 點, H 點垂直 SR 的直線，分別交 SR 於 N 點, O 點。
8. 在 HR 上取一點 L 點，使得 RLAP. 9. 過 L 點作垂直 SR 的直線，交 SR 於M 點。
A B
H
C
K D
E G
F
R N
M P Q
S
L
T
O
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的 CB 為邊長向內作正方形 CBDE ，以 AC 為邊長向外作正方形 ACFG ，再以 EK 為邊長向外作正方形 EKRH ，證明正方形 EKRH 所切割出的所有 區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定 理的關係式。
1. 首先證明三角形 RHO 與三角形 ABC 全等：
設 CAB x, CBA y，且已知xy 90。因為AB HO ，所以//
SHO CAB x
，可推得RHO90 SHO90 CAB CBA y，又
90
ROH ACB
, RH c AB，因此 RHO ABC
(AAS 全等).
2. 利用第 1 點證明三角形 RML 與三角形 AEP 全等：
因為 RHO ABC，所以 ORH CAB，可推得 MRL EAP，又 RL AP, 90
RML AEP
，故
RML AEP
(AAS 全等).
3. 利用第 1、2 點證明四邊形 MLHO 與四邊形 EPBC 全等：
因為 RHO ABC, RML AEP，所以
MLHO EPBC
四邊形 四邊形 .
4. 證明三角形 HSO 與三角形 BPD 全等：
因為 RHO ABC，所以 HOBC a BD，又
90 90
SHO OHR CBA PBD
, HOS 90 BDP，因此 HSO BPD
(ASA 全等).
5. 證明三角形 ABC 與三角形 KRN 、三角形 AQG 皆全等：
因為KRN 90 ORH 90x CBA, KNR90 ACB, KR c AB， 所以
B KRN A C
(AAS 全等).
又因為GAQ90 QAC CAB, AGQ90 ACB, KR c AB，所以 B
AQG A C
(ASA 全等).
故
. KRN ABC AQG
6. 證明四邊形 SEKN 與四邊形TQAC 全等：
因為EKN 90 NKR90 CAB QAC, KNR90 ACB, 90
SEK TQA
, SNK 90 TCS，所以 SEKN TQAC
四邊形 與四邊形 的四個內角都對應相等。
因為AQG A CB ，所以 QA c EK。因為KRN A CB ，所以 KN b AC。 因此
. SEKN TQAC
四邊形 四邊形
7. 再證明三角形 QFT 與三角形 AEP 全等：
因為 QFQFGQ b a AE, FQT 90 AQG90 ABC EAP, 90
QFT AEP
，所以
QFT AEP
(ASA 全等).
8. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
EKRH RML MLOH HSO KRN
SEKN
AEP EPBC BPD AQG
TQAC
四邊形 四邊形
正方形 面積 面積 面積 面積 面積
面積
面積 面積 面積 面積
四邊形 四邊形
面積
( (
)
QFT EPBC BPD AQG
TQAC
EPBC BPD QFT AQG
TQAC
四邊形 四邊形
面積 面積 面積 面積
面積
面積 面積) 面積 面積
四邊形 四邊形
面積
正方形CBDE正方形ACFG面積。
得到
2 2 2
, AB CB CA 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他想 到的。
2. 心得：此證明的證法滿直觀的，先將正方形 EKRH 切割成若干個區塊，接下來 只要證明這些區塊的面積等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 ACFG 的面
積，最後就能得到三個正方形的面積關係，進而推導出勾股定理的關係式。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 補充：
(1) 此證明在魯米斯的書中所提的作圖是錯誤的，書上畫的是 AR 而不是 SR ，事實 上，直線 AR 並不會垂直 AB ， S 點與 A點應該是不同的點。
(2) 此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：
