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✐ 數學傳播 46 卷 2 期, pp. 3-5
Kerala 邦的簡介與圓周率的研究
莫宗堅 · 黃 蘋
Chera 的另一寫法是 Keralaputra, 今之 Kerala 邦, 它名列西元前三世紀的阿育大王刻 石, 也出現在希伯來文聖經。 在更早的時候, 西元前三千年起, 它是傳統的香料產地, 古兩河流 域的人稱之為 「香料花園」。 古希臘、 古羅馬都有這個地方的記錄。
特別值得一提的是, 這裡出產歐洲人與阿拉伯人珍視的肉桂 (cinnamon)。 此地一直有阿 拉伯人、 猶太人及羅馬人居住。
各文化區的數學程度是其科學發展的指標, 本書作者認為以下兩項可用作比較各文化區數 學程度的共同尺度: (1) 畢氏定理的表敘、 證明及應用, 這是數位與圖形的關係; (2) 圓周率的 近似值及其取得的方法。
關於印度文化區在 (1) 的造詣, 請見第 38 節 [註 1], (註: 這是我們預定發表的 《南海指 南與遠洋風光》 的章節), 以下我們來討論 (2)。
西元前二千年, 巴比倫人用 3 作圓周率, 《聖經》 索羅門王的故事裡的圓周率等於 3, 西元 前一世紀中國的 《周髀算經》 也有 『徑 1 周 3』。 約西元前 1900∼1680 年, 巴比倫人開始用 3.125 作圓周率。 西元前 1650 年, 埃及的 《萊因德草紙 (Rhind Papyrus)》, 人類現存的第一 本數學書, 有圓周率等於 3.1605。 人類第一次有計算圓周率的理論及方法是在西元前 287∼212 年, 古希臘的阿基米德 (Archimedes) 用么圓 (註: 半徑為 1 的圓) 的內接正多邊形和外切正多 邊形的面積來趨近圓周率, 反覆應用畢氏定理後, 得出圓周率在 31
7 與 310 71 之間。
中國的 《隋書 · 律暦志》 記載南朝的祖沖之 (西元 429∼501 年) 有:
3.1415926 < 圓周率 < 3.1415927
及 『密率 : 圓徑一百一十三, 圓週三百五十五。 約率: 圓徑七, 圓週二十二』。 今世的學者研究 這一段話, 應用類似阿基米德的理論, 僅用內接正多邊形, 憑藉劉徽的割圓術 『所割越多, 所失 越少』, 猜測祖沖之應該是計算了 24576 (= 6 × 212) 邊正多邊形的面積 (或邊長), 反覆應用畢 氏定理, 開平方根 24 次, 自乘 23 次, 算出圓周率非常接近 355
113 = 3.141592 . . .。 每次開平方 根都可能把以前的誤差放大, 整個過程的複雜度超乎想像。 古代用 「算籌」 算得出如此精確的結
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✐ 4 數學傳播 46 卷 2 期 民 111 年 6 月
果, 是幾乎不可能的, 著實令人佩服。 另有一說法, 由於清代以前的書籍從未提過祖沖之的 「密 率」 355
113, 故而此結果或是清代印刷的 「武英殿聚珍版本」 的 「四庫全書」 插入的。 當時 「乾嘉 學派」 的戴震 (註: 即戴東原, 《清史稿》 有傳, 出版過股算圖書 《策算》 及 《勾股割圓記》) 任職 四庫全書纂修及分校官, 印刷 《隋書》 時, 可能師心自用地加入了小數點以下七位數和這句 『密 率 : 圓徑一百一十三, 圓週三百五十五』。 之所以這樣推測, 是因為在 「武英殿版本」 印刷以前, 歐洲人已求出圓周率的小數點以下 35 位。 又有, 在西元 1585 年, 荷蘭數學家 A. 安東尼茲 (Adriaan Anthonisz) 的兒子追述其數學成果時, 介紹 『他的圓周率是圓徑 113, 圓周 355』, 傳說就是這麼直白的一句話。 彼時這些知識已傳入中國, 負責排印 《隋書》 的 「乾嘉學派」, 十分 迷信西學是中學傳去的, 極有可能在 《隋書》 裡竄入了這些關於圓周率的話。 是非曲直, 我們可 以參考別的文字:《隋書 · 律曆志》 的作者李淳風, 也對 《劉徽注本九章算術》 做了一些註釋, 他 認為劉徽所計算的 157/50 的圓周率不確, 真正的密率應該是 22
7 , 這就表示了李淳風完全不知 道祖沖之的 355
113 的密率, 因而有人說清代出版的 《隋書 · 律曆志》 中的那一段, 根本不是李淳 風所寫, 而是清代人添加的。 當然, 也可能李淳風先寫了 《劉徽注本九章算術》 的註釋, 彼時他 還不知道祖沖之的 355
113 的密率, 在寫 《隋書 · 律曆志》 時才知道。 但是 《隋書》 光照四方、 舉 國皆知, 如果有祖沖之的結果, 那麼為何以後千年的日子裡, 中國數學家們有如盲人, 在黑暗中 摸索圓周率, 用一些粗糙的數字當圓周率, 例如宋代用 3.162, 明代用 3.1525, 3.1425, 3.126, 3.0588, 3.125, 到了清代的康熙朝用 3.162? 進一步說, 用小數點下七位的圓周率, 加上正實 數化為連分數 (continued fraction) 的計算, 立馬可得密率及約率。 例如,
3.1415926 = 3 + 0.1415926
= 3 + 1 1 0.1415926
= 3 + 1
7 + 0.06251598
此時如把小數 0.06251598 棄去, 則得 3 +1 7 = 22
7 = 約率。 繼續如次,
= 3 + 1
7 +
1 1 0.06251598
再算兩歩, 把小數 0.0041066 棄去, 即得密率 355/113。 但是, 連分數的理論是中國古算學的 空白點。 祖沖之是如何得到密率及約率的? 當然, 這也可以證明祖沖之懂得連分數。 總之, 各種
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✐ Kerala 邦的簡介與圓周率的研究 5
議論, 莫衷一是。 我們需要古本的 《隋書 · 律曆志》。 真相如何, 有待後賢了。 此後多年, 關於圓 周率的研討沉寂下來, 直到南印度人走出石破天驚的新路。
西元十四世紀, Kerala 有了著名的 Madhava 數學學派, 研究無窮級數及無窮小值。 例 如, Madhava 應用 arctan(x) 的無窮級數展開式,
arctan(x) = x −x3 3 + x5
5 − · · · + (−1)n x2n+1
2n + 1+ · · · , 以 1 代入 x 就得出
45度角 = arctan(1) = 1 − 1 3 +1
5 −1
7 + · · · , 利用已知角的兩種度量法的關係式,
360度角 = 半徑為1 的圓周 = 2 · 圓周率,
於是, 45 度角=圓周率/4。 Madhava 導出了千古奇文 (後世誤以為這是西元十七世紀的歐洲 大數學家、 微積分學的創造者之一的萊布尼茨 (Leibniz) 發現的, 所以稱之為萊布尼茨公式, 現 已改稱為 Madhava-Leibniz 公式):
圓周率 = 4 1− 4
3 +4 5 −4
7 +4 9 − 4
11+ · · ·
算出它的 9 位近似值為 3.141592653 . . .。 理論上, 只要有足夠時間, Madhava 學派可以計算 出圓周率的任意精確度的近似值。 他們的微積分學的研究也早於歐洲約三百年。 此地的數學家 十分出色, 但似乎沒有把這一套數學傳到他方。
因為圓周率不容易計算, 有一個討巧的人猜測圓周率的第一百萬位是 5。 原以為這個問題 會為難人類一陣子, 這猜測可使他得萬世名, 但他未料到南印度的數學及現代的電腦。
使用家用電腦及無窮級數 arctan 公式, 人們毫不費力地算出了圓周率的千位小數値。 這 兒僅列出圓周率的百位小數值,
圓周率 = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592 3078164062862089986280348253421170679 . . .
應用超級電腦及其它無窮級數, 人類已算出圓周率的 62.8 兆 (兆=百萬×百萬) 位小數值, 它 的小數一百萬位竟然真的是 5!
西元 1403 年, 鄭和船隊經過此地, 在馬歡的 《瀛涯勝覽》 中記載此地的算術頗有根基 :
「彼之演算法無算盤, 但以兩手並兩腳十指計算, 分毫無差」, 現在還是如此。
在西元 1498 年, 伽馬 (Gama) 繞過好望角, 到了印度洋, 就直奔此國。 以後荷蘭人、 法 國人及英國人都陸續而來。 印度獨立後, Kerala 邦有三千三百萬人口, 它是印度第二富庶的邦 區, 其識字率超過 95%。
—本文作者莫宗堅、 黃蘋任教美國 Purdue 大學—
