積木結構的計算複雜性理論

積木結構的計算複雜性理論

王則柯

1981 年的 《美國數學會通報》 (Bull.

AMS) 上, 發表了伯克利加州大學教授斯梅 爾 (S. Smale) 的論文 「代數基本定理與計 算複雜性理論」, 討論用牛頓方法計算多項式 零點的計算複雜性問題。 斯梅爾的結果可以 有條件地簡述為: 用牛頓方法為任一 n 階複 係數多項式找到一個零點的成本 (以牛頓疊 代次數衡量), 隨著多項式階數 n 的增長而 增長的速率不超過 n

⁹

/µ

⁷

, 這裡 µ 是允許論 斷失敗的概率, 0 < µ < 1。

兩年以後, 1983 年 4 月, 筆者應斯梅爾 教授的邀請, 在伯克利加州大學報告了下述 結果: 用庫恩 (Kuhn) 方法算出任一 n 階 複係數多項式一個零點的成本 (以多項式計 值次數衡量), 隨著多項式階數 n 的增長而 增長的速率不超過 n

²

log(n/ε), 這裡 ε > 0 是零點數值計算的精度要求。

數值計算方法的計算複雜性問題, 是應 用數學當今令人矚目的發展。 本文以斯梅爾 的論文和我們的 n

²

log(n/ε) 的工作為主, 介紹計算複雜性討論的若干進展。

代數基本定理與計算複雜性問題

大家知道, 形如 f (z) = C

_n

z

ⁿ

+ C

_n−1

z

ⁿ⁻¹

+ . . . + C

1

z + C

0

的函數, 稱為 n

階複係數多項式, 這裡 n 是自然數, z 是複變 量, C

0

, . . . , C

n

都是複常數, 並且 C

_n

6= 0。

如果一個複數 ξ 使得用 z = ξ 代入這個多 項式後多項式的值為 0, 即 f (ξ) = 0, 就說 z = ξ 是多項 f (z) 的一個零點, 或一個根。

在尋求零點或計算零點的時後, 我們可 以先用 C

n

6= 0 除整個多項式, 所得的多項 式 g(z) = z

_n

+ (C

_n−1

/C

n

)z

ⁿ⁻¹

+ . . . + (C

1

/C

n

)z + (C

0

/C

n

) 的零點與原來多項式 f (z) 的零點一致。 因此, 今後我們只討論形 如

f (z) = z

n

+ a

_n−1

z

ⁿ⁻¹

+ . . . + a

1

z + a

0

的所謂首一多項式 (monic polynomial), 其 中 z 是複變量, a

0

, . . . , a

_n−1

都是複常數。 自 然數 n 仍是多項式的階。

代數基本定理說, 任一 n 階複係數多 項式必有一個複零點。 或者採用更強的形式:

任一 n 階複係數多項式, 正好有 n 個複零 點。 數學史上有一些經典的論題, 它們雖然已 經被解決, 卻仍然一再喚起人們的熱情, 去從 事溫故而創新的工作。 代數基本定理就是這 樣一個論題。 大家知道, 天才的德國數學家高 斯, 從1799年到1850年前後相距達半個世紀

3

的時間裡, 曾經提出代數基本定理的四個證 明。 更早, 還可以追溯到牛頓、 麥克勞林、 達 朗貝爾、 歐拉和拉格朗日。 但是必須指出, 即 使是高斯的證明, 在嚴格的意義上說來, 也是 有缺陷的。

近幾十年來, 人們致力於代數基本定理 的構造性的證明 (constructive proof), 取 得了很大的成功。 庫恩算法 (見本刊第 17 卷 第 3 期 「多項式方程求根的魔術植物栽培算 法」) 就是一個例子。 構造性是什麼意思呢?

以判斷“有沒有零點”的所謂零點存在性問題 為例, 構造性的討論方法是: 具體 (設計一種 方法) 找出零點來, 說明它是存在的。 非構造 性的討論方法則往往是“反證法”: 假定零點 不存在, 然後引出與已知事實的矛盾。 打個比 方: 面對 3 隻雛雞, 閉著眼睛你也可以判斷 其中至少有 2隻是同性的, 否則會與雞只有雌 雄兩個性別的事實矛盾。 這樣一個判斷過程 就是非構造性的。 倘若你是一個辨認雛雞性 別的行家, 實際辨認出其中有 2 只是雄的, 並 由此得出存在一對同性雛雞的結論, 這樣一 個判斷過程就是構造性的。 反證法在邏輯上 常常非常漂亮, 但是帶給人們的信息較少。 相 反, 構造性的工作雖然有時比較繁複, 卻不但 肯定了“存在”的事實, 還指示怎樣把這個“存 在”找出來。 所以, 隨著社會和科學的發展, 各 方面對數學的要求, 越來越傾向於構造性的 解決辦法。 面對我們的多項式零點問題, 構造 性的工作就是要提出尋求或計算零點的一種 方法或一種算法。

既然我們強調構造性工作的實際應用價 值, 那麼, 算法的效率如何, 就是一個十分重

要問題。 如果有人提出一種算法, 並且在數學 上證明了按照這種算法一定可以找到問題的 解, 但是可能要在最新的電子計算機上花費 10

¹⁰

年的時間, 你對這種樣子的算法, 有什 麼感覺呢? 說不定會啼笑皆非。

時間就是成本。 所以算法效率的討論, 也就是計算成本的討論。 一種算法, 通常是 對於某種類型的問題提出來的。 問題的規模 有大有小。 問題的規模越大, 解決問題的成 本一般也越高。 按照計算複雜性理論 (com- putational complexity theory), 如果計算 成本隨著問題規模的增長而增長的關係是多 項式的 (exponentially), 這種算法就被認為 是實際上難以接受的。 如果計算成本隨著問 題規模的增長的關係是多項式的, 這種算法 將被認為是實際可行的, 並被稱作多項式時 間算法 (algorithm of polynomial time)。

以當前世界上電子計算機對付得最多的線性 規畫 (linear programming) 問題為例, 單 純形方法 (simplex method) 是一種人們 樂於採用的方法。 但是有人舉出例子, 說明 在最壞的情況下, 單純形方法的計算成本是 指數式增長的。 1978 年, 蘇聯數學家哈奇安 (Khachian) 提出線性規劃問題的一種多項 式時間算法, 一時成為 「紐約時報」 的頭版新 聞。 不久, 斯梅爾教授宣布, 概率地說 (prob- abilistically), 即除去一部分最壞的和很壞 的情形以外, 單純形方法的計算成本隨問題 規模增長而增長的關係是線性的。 大家知道, 線性關係, 是最好的一類多項式關係。 又過了 不久, 旅美印度數學家卡馬卡 (Karmarkar) 提出在許多情況下會比單純形方法優越的內

點算法。 這些都是計算複雜性理論方面令人 驚嘆的進展。

牛頓方法與逼近零點

牛頓方法 (Newton method) 是一種 廣泛使用的零點計算方法。 對於複平面上函 數 f (z) 的零點計算問題, 牛頓方法可以很簡 單地表述為: 在複數平面上取定一點 z

0

, 歸 納地定義

z

k+1

= z

k

− f(z

^k

)/f

^′

(z

k

), k = 0, 1, 2, . . . . 每算一個 z

_k+1

, 就叫做一次牛頓疊代 (New- ton iteration), 而原來的 z

0

, 叫做牛頓方法 的初值。

面對零點的數值計算, 人們常常首先想 到是否可以用牛頓方法, 這至少有兩個原因:

第一, 牛頓方法已經有三百年的歷史, 似已在 數學家和數值計算專家的頭腦中生根。 人們 對牛頓方法有過大量研究, 雖然情況至今未 能說完全令人滿意。 人們在使用牛頓方法方 面積累了豐富經驗, 雖然失敗還是常常會發 生。 第二, 牛頓方法的表述特別簡單, 入門也 就顯得特別容易。 只要懂得一點一元函數微 分學的概念, 一個從未接觸過牛頓方法的人, 也可以馬上用牛頓方法取得他的第一批計算 結果。

牛頓方法的表述固然簡單, 但它的計算 收斂性 (convergence) 討論卻相當麻煩。 例 如, 算到某一步, 得到的 z

k

使 f

^′

(z

k

) = 0, 疊代就做不下去了。 至於初值 z

0

的選取, 更 是一個嚴重的問題。 初值選得好, 計算就收斂 得快。 初值選得不好, 收斂就慢, 甚至根本不

收斂。 所以, 牛頓方法又是一種難以把握的方 法。

重要的是找到一個足夠好的初值。 什 麼叫足夠好的初值? 斯梅爾提出了逼近零點 (approximate zero) 的概念: 如果 z

0

使得 牛頓疊代對所有 k = 0, 1, 2, . . . , 都有意義, z

0

, z

1

, z

2

, . . . 收斂到 f (z) 的一個零點, 並 且對所有 k 都成立 |f(z

^k+1

/f (z

k

)| < 1/2, 就稱 z

0

是 f (z) 的一個逼近零點。 換言之, 逼近零點的意思是, 從這點開始牛頓疊代收 斂到函數的一個零點, 並且每次疊代使函數 值的絕對值衰減一半以上。 可見, 逼近零點真 是比較好的初值。 當用牛頓方法進行零點計 算的時候, 一旦找到了逼近零點, 剩下的工作 就不多了。

概念明確了, 接下去就要確立達到逼近 零點的條件, 並設計首先把逼近零點找到的 方法。

拿多項式來說, 使得多項式 f (z) 的導 函數 f

^′

(z) 的值為零的點, 稱作多項式的臨 界點 (critical point), 這點的多項式值, 稱 作多項式的臨界值 (critical value)。 把 n 階 多項式的所有 n − 1 個臨界值的絕對值按大 小排列起來, 取最小的一個, 記作 ρ = ρ(f ), 不妨稱作多項式 f (z) 的表徵值。 運用單複變 函數中與比勃巴赫–德布蘭傑 (Bieberbach- De Branges) 定理有關的結果, 斯梅爾證明 了:

如果|f(z

⁰

)| < ρ(f)/13, z

⁰

就是多項 式 f (z) 的一個逼近零點。

這就給出了判別逼近零點的一個充分條 件。 這個條件要能起作用, 必須 ρ(f ) > 0。

根據 ρ(f ) 的定義, ρ(f ) > 0 是多項式沒 有重零點 (重根) 的特徵。 另一方面, 如果某 點多項式值為 0, 這點就已經是多項式的零點 了。 對於一個沒有重零點的多項式 f (z), 從 複數 z 到複數 w 平面的變換 w = f (z), 在 每個零點附近都是近似線性的。 所以 w 平面 上由 |w| < ρ(f)/13 確定的圓域的原像, 是 z 平面上以多項式 f (z) 的 n 個零點為中心 的 n 個小的近似圓域。 由此可見, 斯梅爾的 充分條件, 是在 z 平面上確定以多項式零點 為中心的 n 個近似圓形的快速收斂區, 見圖 1。 一旦進入了快速收斂區, 牛頓方法的收斂 速度就會很快。

.. .. . .. .. . . .. . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. . . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . ...

ξ

1

. .. . .. . .. . . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . .. . . .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. ...

ξ

2

. .. . . . .. . . .. . .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . ...

ξ

_n

.. ... . ..

. ... .. .

.. .. . . .. .. ...

圖 1. 快速收斂區

斯梅爾的主要結果

現在考慮如何具體把逼近零點找出來。

設想把牛頓疊代的步長適當縮小, 變得 精細一些, 可望有所幫助。 斯梅爾在牛頓疊代 公式中引入一個步長參數 h, 0 < h ≤ 1。 從 複平面的一點 z(0) 開始, 歸納地定義 z(k+1) = z(k)−h · f (z(k))

f

^′

(z(k)), k = 0, 1, 2, . . . 希望因為適當選取步長參數 h, 經過從 z(0) 開始的若干步參數 h 的牛頓疊代, 可以到達 多項式的一個逼近零點。

這樣一來, z(0) 又是一種初始點。 z(0) 選得好, 可以較快找到逼近零點, 即可以較快

進入快速收斂區。 z(0) 選得不好, 說不定一 直找不到逼近零點。 怎樣表徵初始點 z(0) 與 多項式 f (z) 的關係的好壞呢? 斯梅爾引進 參數 K, 在個別次要的技術限制之下, 定義 K 為各個臨界值與初始點多項式值 f(z(0)) 之比的幅角的最小絕對值。 這個 K 當然是 同時依賴於 f (z) 和 z(0) 的, 即 K = K(f, z(0))。 我們將要知道, 如果 ρ(f) 和 K(f, z(0)) 都大於 0, 初始點 z(0) 對於多 項式 f (z) 來說, 就是不錯的。 事實上, 斯 梅爾在進一步引進參數 ζ = ζ(f, z(0)) = 13|f(z(0))|/ρ(f) 之後, 證明了

定理: 若多項式 f (z) 和初始點 z(0) 符 合 ρ(f ) > 0 和 K(f, z(0)) > 0 的條件, 則 取

h = sin(K/2)

4(3 sin(K/2) + log ξ),

從 z(0) 開始的以 h 為步長參數的參數牛頓 疊代都有意義, 並且在

s = 4(3 + log ζ sin(K/2))

²

步之內到達多項式 f (z) 的一個逼近零點。

面對一個業已確定的多項式, 可以討論 某個初始點取得好還是不好。 反過來, 面對 一個業已固定的初始點, 可以討論某個多項 式 (與這個給定的初始點匹配得) 好還是不 好。 上面講過, 我們只須討論首一式多項式。

一個形如 f (z) = z

ⁿ

+ a

_n−1

z

ⁿ⁻¹

+ . . . + a

1

z + a

0

的首一多項式被 n 個複常數 a

0

, a

1

, . . . , a

_n−1

完全確定。 反過來也一樣。

因此我們可以把由所有 n 階首一多項式組 成的空間, 與複 n 維歐氏空間 C

ⁿ

等同看

待, 稱為 n 階複係數多項式空間 (space of monic polynomials of degree n)。 斯梅 爾取定 z(0) = 0, 即老是以原點為初始點, 然後利用代數幾何和積分幾何的知識, 給對 於這個初始點來說是最壞的和較壞的多項式, 在整個多項式空間中所佔的體積作一個估計。

全空間的體積無窮, 比較難以把握。 但是由

|a

⁰

| < R, |a

¹

| < R, . . . , |a

n−1

| < R 所 確定的複 n 維圓柱 P (R) 的體積是一個有 限數 (πR

²

)

ⁿ

, 就容易把握得多。 這個 n 維圓 柱由所有係數的絕對值都小於 R 的一切多項 式組成。 把最壞的和較壞的多項式從所考慮 的空間 (複 n 維圓柱) 中挖去。 最壞的當然 要挖去。 較壞的多項式挖去越多, 剩下的多項 式就越好, 這樣從 z(0) = 0 開始的參數牛 頓疊代就可以越快進入快速收斂區, 即可以 越快到達一個逼近零點 (圖2)。 若挖去部分的 體積與全空間 (複 n 維圓柱) 的體積之比為 µ, 0 < µ < 1, 那麼如果對剩餘的部分得到 一個一致的結論 A, 我們也可以說結論 A 對 空間中任一多項式成立的概率 (probability) 為 1 − µ。 正是這樣的考慮, 引導斯梅爾得到 他的主要結果:

.

... .

.. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ...

. .. .. .. .. .. ...

. .. . . . . .. .. ...

z (0) = 0

.. ...

... . . .. .. . .. . . .. . .

牛頓疊代

參數牛頓疊代

ξ

z 0

圖 2. 斯梅爾方案

定理: 給定 n 及 0 < µ < 1。 取

σ = (µ/150)

^{3 /2}

/(n + 2)

²

。 對複 n 維圓柱 P (R) 中的任一多項式 f (z), 以下事實成立 的概率至少是 1 − µ: 只要適當選取步長參 數 h, 就可以保證從 z(0) 開始的參數牛頓疊 代在

s = 4

^

3 + log(15/σ)8R σ

²

 ²

步之內達到 f (z) 的一個逼近零點。

定理中的 s 的表達式頗為複雜。 對 R = 1 情況作耐心的換算, 可以得到 s = (100(n + 2))

⁹

/µ

⁷

的結果, 即: 給定 n 和 0 < µ < 1, 對於係數 a

0

, a

1

, . . . , a

_n−1

的絕 對值小於 1 的 n 階首一多項式, 從 z(0) = 0 開始的步長適當的參數牛頓疊代在 s = (100(n + 2))

⁹

/µ

⁷

步內進入多項式的快速收 斂區的概率至少是 1 −µ。 這就是本文開始時 以簡要形式介紹的斯梅爾的結果。

斯梅爾曾因微分拓樸學方面證明高維的 邦加萊猜測而在 1966 年獲得國際數學界的 最高榮譽菲爾茲獎。 隨後, 他和其他學者一 起開創動力系統 (dynamical systems) 的 研究。 近年來, 他從微分拓樸和動力系統的高 度, 最初是基於數理經濟學 (mathematical economics) 問題的背景, 致力於計算方法和 計算複雜性理論的研究, 連續發表了一系列 引起純粹數學界、 應用數學界和數理經濟學 界注意的論文。 上述 「代數基本定理與複雜性 理論」, 是其中很有份量的一篇。

庫恩多項式零點算法

庫恩多項式零點算法, 只有二十年的歷 史。 鑒於本刊十七卷三期已有詳盡介紹, 現在

我們只作簡單的複述。 算法的敘述, 由以下三 部分組成:

1. 半空間 C[−1, +∞) 的一種單純剖分 記 C 為複數平面, C

_k

= C × {k}, k = −1, 0, 1, 2, . . .。 記 z = x + iy, 而

Z

為整數集。 用四族平行直線 {z ∈ C : x = p, p ∈

^Z

} {z ∈ C : y = p, p ∈

^Z

}

和 {z ∈ C : y = (2p + 1) ± x, p ∈

^Z

} 分割 C

₋₁

平面, 而對 k = 0, 1, 2, . . . , 用四 族平行直線

{zǫC : x = 2

^−k

p, p ∈

^Z

} {zǫC : y = 2

^−k

p, p ∈

^Z

} 和 {zǫC : y = 2

^1−k

p ± x, p ∈

^Z

} 分割 C

k

平面。 在這個基礎上, 將每兩層平面 之間的空間, 分割成一個個四面體。

C

₋₁

的方格和 C

0

的方格上下相對, 它們所界定的方塊被分成 5 個四面體。 對於 k = 0, 1, 2, . . . , C

k

的一個方格和 C

_k

+1 的 4 個方格上下相對, 它們所界定的方塊被分成 14 個四面體。 這些方塊將稱為基本方體。

2. 整數標號法

對於 k = 0, 1, 2, . . . , C

k

上的格點 z 的整數標號 l(z) 由

l(z) =



 

 

 



 

 

 



1, 若 f (z) = 0 或

−

^π 3

≤arg f(z)≤

^π 3

, 2, 若

^π ₃

< arg f (z) ≤π, 3, 若 −π <arg f(z)<−π/3,

確定, 這裡, 非 0 複數幅角取值範圍規定為 (−π, π]。 對於 C

−1

上的格點, 用 z

ⁿ

代替 f (z) 按上式標號。

3. 同標號頂替算法

取 m 為不小於 3(1 +√

2)n/4π 的最 小整數。 在 C

₋₁

平面上以原點為中心的邊長 2m 的方塊 Q

n

的邊 ∂Q 上, 按照逆時針方 向, 正好有 n 條稜其端點標號由 1 到 2。 從這 n 條 (1,2) 稜出發, 向方塊 Q

n

裡面走, 按照 遇到 (1,2) 稜就穿過去的規則, 可以找到 n 個頂點標號為 (1,2,3) 的完全標號三角形。

從 C

₋₁

上這 n 個完全標號三角形出發, 計算同處於四面體的第四個頂點的標號, 算 出是什麼標號, 就用它頂替同標號的那個頂 點。 這樣計算下去, 就可以找到多項式 f (z) 的全部 n 個零點。 算法敘述可看本刊十七卷 三期的圖, 那裡還給出證明大意。

如果說庫恩算法的敘述不像牛頓方法那 麼簡單, 它的使用卻方便得多。 不管需要計算 零點的首一多項式是怎樣的, 只要把多項式 的階數 n 和複係數組 a

0

, a

1

, . . . , a

_n−1

以及 零點計算的精度要求 ε 輸入機器, 算法就可 以按照精度要求把多項式的 n 個零點逐一算 出來。

積木結構的成本估計

算法效率的討論, 不是事後的計算成本 核算, 而是在算題之前, 預先估計計算成本是 多少。

牛頓方法的效率, 用所需的牛頓疊代的 次數來衡量。 庫恩算法的效率, 可以用所需的 同標號頂替的次數衡量。 每次頂替, 算一次

f (z)。 因此, 也可以說是用多項式 f (z) 計值 次數為尺度, 討論庫恩算法的效率。 這裡要注 要, 每次牛頓疊代, 包含 f (z) 和 f

^′

(z) 兩個 多項式計值。

圖 3. 計算一個零點的四面體塔 從 ∂Q 的 (1,2) 稜開始的庫恩算法計 算, 在方塊 Q

_n

內平面搜索到完全標號三角 形後, 就向“空中”發展, 在四面體中穿行, 每 穿過一個四面體, 就要計一次 f (z), 做一次 同標號頂替。 我們知道, 每個四面體只允許計 算路徑通過一次。 所以, 計算的進行, 可以看 作是四面體的不斷堆砌。(圖 3) 如果是成本核 算, 那麼只要數一下這 n 座四面體體塔由多 少四面體組成。 但是現在要做的是成本估計, 那麼可以先把計算可能走到的範圍確定下來, 然後數一下在這個範圍之內, 四面體的數目。

這是成本討論的指導思想。

按照上述思想, 庫恩證明了

引理1. 記 a = max{|a

⁰

|, |a

¹

|, . . . , |a

n−1

|}, 記 r = max{3√

2(2+π)n/4π, 1+na/(n−

1)}, 再令 R = r +√

2, 那麼完全標號三角 形和原點軸 {0} × [−1, +∞) 的距離都小於 R。

按照上述思想, 我們證明了

引理2: k ≥ 0 時, C

^k

平面上完全標號三角 形任一頂點與多項式某個零點的距離不超過

−√

2(1 + 3n/4)/2

^k

。

因為計算經過的四面體都由兩個完全標 號三角形張成, 所以依照上述兩個引理, 計算 可能經過的四面體, 全在一個半徑為 R 的底 座圓台和 n 座圓台階梯 (可以相重) 之內, 每 一節圓台階梯的半徑是 √

2(1 + 3n/4)/2

^k

。 n 座四面體塔都在這個由一個底座圓台和 n 座圓台階梯所組成的算法的可能區域內。

圖 4. 算法的可能區域

做到現在, 剩下只須把算法可能區域中 的四面體 (不管計算是否經過) 的數目算出來 就可以了。

底座圓台的體積是 πR

²

, 頂多包含 πR

²

個 C

₋₁

和 C

0

之間的基本方體, 而每個基本 方體被分割成 5個四面體, 所以底座圓台所包 含的四面體的數目不超過 5πR

²

。

在 C

k

和 C

k+1

之間的一節階梯圓台的 體積是 π(√

2(1 + 3n/4)2

^−k

)

²

, 相應層次的 基本方體的體積是 2

^−2k

, 而每個方體被分割 成 14 個四面體, 所以每節圓台包含的四面體 的數目是 14π(√

2(1 + 3n/4)2

^−k

)

²

/2

^−2k

= 28π(1 + 3n/4)

²

。這裡 k 消失了, 是因為階 梯圓台越少, 基本方體和四面體也越小, 比例 完全一樣。

ε 是零點計算的精度要求, 那麼按照引 理 2, 記 K = ⌈log

²

(√

2(1 + 3n/4)/ε)⌉ 為 不小於 log

2

(√

2(1 + 3n/4)/ε 的最小整數, 知道圓台階梯在平面 C

k

截斷即可。 這時算 得的完全標號三角形的任一頂點與多項式的 零點的距離在

√2(1 + 3n/4)/(√

2(1 + 3n/4)/ε) = ε 之內, 已經達到精度要求。 這樣, n 座高 為 K 的圓台階梯所包含的四面體的數目不 超過

n28π(1 + 3n/4)

²

⌈log

²

(√

2(1 + 3n/4)/ε)⌉。

總結以上, 我們得到

定理: 用庫恩算法按精度要求 ε 算出 n 階首一多項式 f (z) 全部 n 個零點所需要的 多項式 f (z) 計值次數不超過

π[5R

²

+ 28n(1 + 3n/4)

²

⌈log

²

(√

2(1 + 3n/4)/ε)⌉。

如果問算出一個零點的平均成本, 那麼 上式應當除以 n。 當 R = 1 即 |a

⁰

|, |a

¹

|, . . . , |a

n−1

| 都不超過 1 時, 上式可以換算成 63(n + 1)

²

⌈log

²

(n/ε)⌉。 這就是本文開頭說 的 n

²

log(n/ε)。

引理的初等證明

上述兩個引理的證明極其初等, 值得向 非專門家介紹。 首先, 注意複數的幅角關係, 畫圖就可證明:

命題: 規定複數幅角取值範圍為 (−π, π]。

那麼, 若複數 w 符合 |w| < 1, 就必有

| arg(1 + w)| ≤ (π/2)|w|。

引理1 的證明: 因為三角形稜長不超過

√2, 所以有一頂點與原點距離超過 R 的三 角形, 三頂點與原點的距離都要超過 r。 下面 只須證明這樣的三角形不是完全標號三角形。

我們不討論 n = 1 的平凡情形。

頂點均可表成 (z, k), k 是不小於 −1 的整數。 設 (z

1

, k

1

), (z

2

, k

2

) 是上述三角形 的兩個頂點。 若 k

1

, k

2

> −1, 兩點都由 w = f (z) 計算標號。 改寫

f (z) = z

ⁿ

(1 + a

_n−1

z + . . . + a

1

z

ⁿ⁻¹

+ a

0

z

ⁿ

)

= z

ⁿ

(1 + g(z))。

因為 |z

¹

| > r, |z

²

| > r, 就有

|g(z

²

)|

≤ |a

n−1

|/r + . . . + |a

¹

|/r

ⁿ⁻¹

+ |a

⁰

|/r

ⁿ

≤ a(1/r + . . . + 1/r

ⁿ⁻¹

+ 1/r

ⁿ

)

< a/(r − 1) ≤ (n − 1)/n,

|g(z

¹

) − g(z

²

)|

≤ |a

n−1

| |1/z

¹

− 1/z

²

| + . . . +|a

⁰

||1/z

^{n 1}

− 1/z

^{2 n}

|

≤ a|z

¹

−z

²

|(1/r

²

+2/r

³

+. . .+n/r

ⁿ⁺¹

)

<√

2a/(r − 1)

²

≤√

2(n − 1)/n(r − 1)

≤√

2(n − 1)4π/3n√

2(2 + π)(n − 1)

= 4π/3(2 + π)n,

  

g(z

1

)−g(z

²

) 1+g(z

2

)

 



≤ 4π

3(2+π)n

.

(1−n − 1 n )

= 4π

3(2 + π) < 1。

於是, 記 w

1

= f (z

1

), w

2

= f (z

2

), 由命題 得

 



argw

1

w

2

 



=

  

arg f (z

1

) f (z

2

)

  

=

  

argz

ⁿ 1

(1 + g(z

1

)) z

ⁿ 2

(1 + g(z

2

))

  

≤

  

argz

ⁿ 1

z

ⁿ 2

| +

  

arg(1 + g(z

1

) − g(z

²

) 1 + g(z

2

) )

  

≤ n

  

arg z

1

z

2

  

+π

2

  

g(z

1

) − g(z

²

) 1 + g(z

2

)

  

≤ n√ 2 3√

2(2+π)n/4π+π 2· 4π

3(2+π)=2π 3 。 當 k

1

和 k

2

有一個或兩個都是 −1 時, 更容 易得

  

arg(w

1

/w

2

)

  

< 2π/3, 這是因為可以 用 w = z

ⁿ

代替 w = f (z)。

既然三頂點在 w 平面的像, 兩兩之間對 原點的張角小於 2π/3, 那麼依標號法, 三角 形不是完全標號三角形。

引理2 的證明: 因為 C

k

平面上三角形 任兩頂點的距離不超過 √

2/2

^k

, 我們只須證 明完全標號三角形必有一頂點與多項式某零 點的距離不超過 3nδ/4, 這裡 δ 就是等腰直 角三角形的斜邊長, δ =√

2/2

^k

。 亦只討論 n > 1 的情形。 改寫 f (z) = (z − ξ

¹

) · (z − ξ

²

) · · · (z − ξ

n

),

這裡 ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

是由代數基本定理 保證的 n 個零點。

設 C

_k

平面上某三角形 {z

¹

, z

2

, z

3

} 三 頂 點 與 多 項 式 所 有 零 點 的 距 離 都 大 於

3nπ/4, 那麼對 j = 1, . . . , n, 有

  

z

2

− z

¹

z

1

− ξ

^j

 



< δ

3nπ/4 = 4 3n < 1。

於是按照前述命題, 記 w

i

= f (z

i

), i = 1, 2, 3, 就有

 



arg w

2

w

1

 



= | argf (z

2

) f (z

1

)

  

=

  

arg (z

2

− ξ

¹

) · · · (z

²

− ξ

ⁿ

) (z

1

− ξ

¹

) · · · (z

¹

− ξ

ⁿ

)

  

≤

  

arg z

2

−ξ

¹

z

1

−ξ

¹

 



+. . .+

  

arg z

1

−ξ

ⁿ

z

1

−ξ

ⁿ

  

=

  

arg(1 + z

2

− z

¹

z

1

− ξ

¹

)

  

+ . . . +

  

arg(1 + z

2

− z

¹

z

1

− ξ

ⁿ

)

  

≤π 2

  

z

2

− z

¹

z

1

− ξ

¹

 



+ . . . + π 2

  

z

2

− z

¹

z

1

− ξ

ⁿ

  

< nπ 2

4 3n = 2

3π。

同樣, | arg(f(z

³

)/f (z

2

))|<2π/3,

| arg(f(z

¹

)/f (z

3

))| < 2π/3。 可見, f(z

¹

), f (z

2

), f (z

3

) 在 w 平面上兩兩對原點的張 角都小於 2π/3, 所以 {z

¹

, z

2

, z

3

} 不可能是 完全標號三角形。

庫恩算法與逼近零點

斯 梅 爾 關 於 牛 頓 方 法 的 成 本 估 計 是 n

⁹

/µ

⁷

, 我們關於庫恩算法的成本估計是 n

²

log(n/ε)。 美中不足的是參數不完全一致, 分別為 n, µ 和 n, ε。 為使參數完全一致, 我 們令庫恩遷就牛頓, 試用庫恩算法為多項式 先尋找逼近零點, 雖然逼近零點的概念對於 庫恩算法原來並無意義, 因為庫恩算法是任 何情況下一定成功的算法。

逼近零點概念是為牛頓方法而建立的, 只對沒有重零點的多項式有效。 如果有重零 點, ρ(f ) = 0, 那麼按照

  

f (z

0

)

  

< ρ(f )/13 確定的快速收斂區根本不存在。 因此, 必須不 顧 ρ(f ) = 0 和 ρ(f ) 太小的情形。 對於剩下 的 ρ(f ) 不太小的多項式, 設有常數 ρ

0

> 0 使得 ρ(f ) ≥ ρ

⁰

總是成立。 按照斯梅爾的充 分條件,

  

f (z

0

)

  

< ρ(f )/13 就是逼近零點 了。 既然庫恩算法可以任意接近精確零點, 何 愁在一定時刻之後不會進入快速收斂區? 按 照這個想法進行從 µ 到 ε 的換算, 可以由上 述定理推出新的

定理: 對於所有係數的絕對值均不超過 1 的 n 階首一多項式, 以下事實成立的概率 至少是 1 − µ: 利用庫恩算法, 頂多經過

200(n + 2)

³

log

2

(n/µ)

次多項式計值, 就可以為多項式找到一個牛 頓算法所需要的良好初值。

現在, n

³

log(n/µ) 和 n

⁹

/µ

⁷

, 就是參 數完全一致的比較了。 但是, 決不能因此而低 估斯梅爾的工作的意義。 我們討論的是具有 良好拓樸幾何結構的庫恩算法, 而斯梅爾對 付的是難以駕馭的牛頓方法。 牛頓方法在壞 的情形連收斂性都談不上, 更何況成本估計?

斯梅爾巧妙地排除壞的和比較壞的情況, 得 出一個出色的概率估計。 這是計算複雜性討 論從傳統的最壞情形分析進入到嶄新的概率 情形分析的開創性工作。

一定要說有什麼未臻人意的地方的話, 那就是斯梅爾設計的用參數牛頓疊代尋找逼 近零點的方法, 在徹底的意義上不完全是構

造性的。 問題在於參數 h 的選取。 不錯, 斯 梅爾給出了 h 的表達式, h 可以由 ζ 和 K 確定, 但是 ζ 和 K 又依賴於 ρ(f), 後者要 算 f (z) 的臨界值才知道, 而 f (z) 的臨界點 就是 f

^′

(z) 的零點。 這樣, 為了構造性地解決 尋找 f (z) 零點問題, 先要找出另一個多項式 f

^′

(z) 的零點。 所以, 這種構造性在邏輯上不 徹底。

另一方面, 對庫恩算法的成本估計, 仍大 有可以進一步精確化的餘地。 在圖 4 的可能 性區域內, 計算真正走到的, 只是很小一個部 分。 如何利用多項式的特性, 進一步改善已有 的結果, 仍然值得努力。

庫恩算法的優點是保險成功, 牛頓方法 的長處則是進入快速收斂區後收斂很快。 看 來, 兩種方法配合使用, 有可能把二者的長處 結合起來。 事實上, 採用庫恩算法先把零點的 位置大致確定, 然後改用牛頓方法迅速向精 確零點靠近, 這在理論分析和實際計算中都 是很有希望的方案。

參考文獻

1. Kuhn, H. W., in: Fixed Points: Algo- rithms and Applications,(ed. Karamr- dian, S.), Academic Press, 1977, 11-40.

2. Smale, S., Fundamental Theorem of Al- gebra and Computational Complexity Theory, Bull. AMS, 4(1981), 1-36.

3. 王則柯, 計算的複雜性, 湖南教育出版社, 1993

4. Wang Z. et al., Algebraic Systems and Computational Complexity The- ory, Kluwer Acad. Publ., 1994.

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本文作者任教於中國廣州市中山大學數學 所

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