試題說明：

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國立成功大學數學系 108 學年度

學士班申請入學 數學學科筆試

個人申請編號：

姓名：

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試題說明：

1. 本試題含九大題，總分一百分。

2. 測驗時間：150 分鐘

3. 請在每一試題所屬頁面作答，若使用試題背面， 請標示 清楚。

4. 請完整寫出解答過程。

5. 本考試卷總共有 12 頁(含封面與空白頁面)。

題號 滿分 得分 1 10

2 10

3 15

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 15

總分

3

1. (10 分)有n 個人受邀參與擲骰子遊戲，每個人擲三個六面公正骰子(點數 1- 6)。令 A 表示以下事件：至少有一人擲出點數「666」。試問 n 至少要多少才 會讓「 ( ) 0.3P A  」成立，此處 ( )P A 表示事件 A 的機率。

log 20.3010, log 30.4771, log 43 1.633

4

2. (10 分)假設n 是自然數，試計算

0

1

(2 )!(2 2 )!

n

k_ k n k



提示：可考慮(1x)²ⁿ。

5

3. (15 分)假設數列

 

2 1

, 1

n k k

a n n

 k

 



試計算

1 n

k k

a





6

4. (10 分)令 1 2 0 1 A  

  

   。

(a) 試求出所有滿足方程式

x x

A c

y y

   

   

    的解





(b) (加分題)計算A²⁰¹⁹。

7

5. (10 分) (a) 若 a

， b

為不平行的非零向量，試證明以_{a b}^{ }_, 為兩鄰邊的平行四邊形面

積^{A a b 2 2}





(b) 承上，若a( ,a a_{1 2})

，b( ,b b1 2)

且 ^{1 2}

1 2

= a a b b

 ，試證明 A   。

8

6. (10 分)給定空間中三點 (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1)A B C  ，試求出 ABC 的垂 心。

9

7. (10 分)假設x x x₁, ₂, ₃為三次方程式x³ax²(a1)x110的三個根，其中 a   。

(a) 請寫下以x x x x x x_{1 2}, _{2 3}, _{3 1}為三根的三次方程式。

(b) 找出a 使得x₁²x₂²x₃²為最小。

10

8. (10 分)假設A和B為三位數正整數且 550B600。若 log B 尾數是 log A 尾 數的兩倍，則A  ?

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9. (15 分)考慮平面上以O 為圓心，半徑為R的圓及其一內接正 n 邊形

1 2 n

A A A 。在射線上OA₁

上取一點P使得A₁落在 O 與P之間，如圖所示。

試證明

1 2

n n

PA PA PAn  PO R

提示：可考慮複數 n 次方根。

12

(本頁空白)