數理實作測驗數學領域試卷

97學年度國立台南女子高級中學學術性向資賦優異數理類學生鑑定

數理實作測驗數學領域試卷

— 作答注意事項 —

考試時間：80 分鐘

測驗說明：

一、 本測驗為數學領域。妳可以使用試題本空白處計算，但不得毀損試題本，

違者以違反試場規則論處，該科不予計分。 請注意 ，一定要核對答案卡 上准考證號碼是否正確，若作答錯誤，該科不予計分。

二、 本測驗試題共 10 題，每題 10 分， 請依題號將計算過程及答案或證明過 程填入答案卷 ，答案請寫於明顯可見之處，不得修改題號，弄錯題號者 該題不計分。

祝考試順利

國立台南女子高級中學資優教育工作小組

97年數理資優鑑定 第1頁 數學考科實作試題 共3頁

- 1 - 1. 數列：8，7，6，2，2，4，……。

其中從第三項開始，每一項都是前兩項乘積結果的個位數字。

試求第 2008 項數字。

2. 試證明

2008 1 1007

1 1006

1 1005

1 2008

1 2007

1 6

1 5 1 4 1 3 1 2 1 1

1− + − + − +LL+ − = + + +LL+ 。

3. 想要計算1×2+2×3+3×4+LL+99×100之值，有一個方法如下：

利用

( ) (

)

3 4 1 3 2 3 5

4 1

3× = × − × × = × × × − × × ，我們可以將下式改寫成

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

)

3 2 1 1 0 101 100 3 99

1

100 99 98 101 100 3 99

4 1 3 2 5 4 3 3 3 1 2 1 4 3 3 2 2 1 1 0 3 2 3 1 1

100 99 4

3 3 2 2 1

=

×

×

−

×

×

×

=

×

×

−

×

×

×

=

×

×

−

×

×

× + +

×

×

−

×

×

× +

×

×

−

×

×

× +

×

×

−

×

×

×

=

× + +

× +

× +

×

L L L

L

試用類似的方法解出1×2×3+2×3×4+3×4×5+LL+98×99×100之值。

4. 已知a a a₁, ₂, ₃,L,a₂₀₀₈均為正數，又P=(a₁+ + +a₂ L a₂₀₀₇)(a₂+ + +a₃ L a₂₀₀₈)，

1 2 2008 2 3 2007

( )( )

Q= a +a + +L a a + + +a L a ，試比較 P 與 Q 之大小順序。

97年數理資優鑑定 第2頁 數學考科實作試題 共3頁

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5. 證明： 3 ， 7 ， 11不可能是一個等差數列的某三項。

6. 若 p 與 q 為兩正質數，且x²−px+ = 有兩相異的正整數根，試求 p 與 q 之值。 q 0

7. 求半徑為 1 之圓的內接正十邊形的邊長。

8. 在ΔABC中，∠ =A 80^o，D 與 E 分別為AC與BC上之點，且 AE 為 A∠ 之角平分線，若 AE 交 BD 於點 H ，且AH HE: =3 :1，BH HD: =5 : 3，試求∠C之度數。

97年數理資優鑑定 第3頁 數學考科實作試題 共3頁

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9. 在凸四邊形ABCD中，已知AD=DC=CB=1，AC=BD= AB，試求 AB 之長。

10.

以下是某年的南一中和南女的升學狀況：

自然組 社會組 整體

人 數

台 大

比 例

人 數

台 大

比 例

人 數

台 大

比 例 一

中 500 20 4% 勝 100 28 28% 勝 600 48 8%

女

中 300 6 2% 300 60 20% 600 66 11% 勝 在自然組部份，男校以 4%的比例略勝女校的 2%。

在社會組部份，男校以 28%的比例大勝女校的 20%。

兩組合併計算之後，男校竟以 8%的比例輸給了女校的 11%，試解釋其原因。