完全數與梅仙尼質數

完全數與梅仙尼質數

黃文璋

1. 完全數

由自然數 (又稱正整數)、 整數、 有理 數、 實數至複數, 數學中所討論的問題往往 與數有關。 而其中數字的諸多優美及特異的 性質, 一直吸引著許多職業及業餘數學家去 探討。 這探討可歸於數學中的整數論, 或者說 數論的問題。 數論起源甚早, 與幾何學的發展 相當, 但數論的題材似乎是取之不盡的, 影響 也較深遠。 數論中的優美及豐富的內容, 不知 傾倒多少數學家, 許多中學生著迷數學, 也往 往是喜歡數論。 數學家 Gauss(高斯, 1777- 1855, 有史以來三大數學家之一。 另兩位為 Archimedes(阿基米德, 西元前 287-212 年) 及 Newton(牛頓, 1642-1727)) 曾說“數學 是科學的皇后, 而數論是數學的皇后 (Math- ematics is the queen of the sciences and the theory of numbers is the queen of mathematics)”。 至於 Gauss 則被稱為數學 王子。 數論中的有些結果, 後來發現有其實際 的用途。 如同餘數及質數的分解, 可用在編碼 及解碼上。 不過大部分的時候, 去探討數論中

的問題, 只是數學家純粹覺得有趣, 追求心智 上的滿足。 本質上十個阿拉伯數字0, 1, · · · , 9 所衍生出的問題, 與音樂中七個音階所組合 出的各種曲調, 都能帶給人們在不同方面的 喜樂。 古希臘時代, Pythagoras(畢達哥拉 斯, 約西元前 580-500 年) 門生極多, 稱為畢 氏學派 (the Pythagorean school), 他們研 究的範疇主要為幾何、 算術、 天文及音樂, 而 這些研究均以數字為其基礎。 古希臘的大哲 學家 Aristotle(亞里斯多德, 西元前384-322 年) 曾說“Pythagoras 認為宇宙是由音階和 數相輔相成”。

愛看武俠小說的人, 對金庸在其武俠小 說中, 將數字運用的極為熟練應留下深刻印 象。 例如, 在射雕英雄傳 (金庸 (1984)) 第二十九回“黑沼隱女”中, 隱居中的瑛姑何 以排除孤寂? 乃是在解各種數學問題, 如求 55,225 的平方根, 求 34,012,224 的立方根, 求3 × 3的魔方陣之解等。

英國大數學家 Hardy (1887-1947), 曾藉下述故事 (見 Hill(1987/88)), 來說 明印度的傳奇數學家 Ramanujan (1887- 1920, 其部分事蹟可見曹亮吉 (1984) 不

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按牌理出牌一文), 能以各種難以想像的方式 來記住各個數字。 當 Ramanujan 因病在 Putney 休養時, 在西元 1919 年 1 月, 有一 次 Hardy 乘坐計程車去看他, 車牌號碼為 1729。 Hardy覺得這是一個沒什麼特性的數 字。 Ramanujan 馬上說“恰恰相反, 這是 一個很有趣的數字, 它是能以兩種不同的方 式, 表示成二整數的立方和的最小正數”。 讀 者能試將此兩種表示法寫出嗎?Hardy 接著 又問 Ramanujan 是否知道四次方和的對應 解? Ramanujan想了一下回答說“我給不 出答案, 但此最小正整數若存在一定是很大 的”。 日後 Hardy 在傳述此故事時, 指出瑞 士數學家 Euler(歐拉, 1707-1783) 曾給出 此數為158⁴ + 59⁴ = 134⁴ + 133⁴。 此數當 然是很大的, 所以不能怪 Ramanujan 一時 想不出。 Hardy 的長期合作者, 也是英國大 數家 Littlewood (1885-1977) 曾說過“每一 正整數皆為 Ramanujan 的密友”。

古希臘時, 有些數字令人覺得具有特別 的象徵及神秘的意義。 例如, 畢氏學派在一些 數字中, 看到一完美的性質: 這些數等於小於 它的所有因數 (即真因數) 之和。 他們稱這 種數為完全數 (perfect number, 事實上稱 呼完美數也許較恰當, 不過約定俗成, 我們仍 採用完全數)。 6 是第一個完全數 6=1+2+3。

6也確實與宗教裡的一些完美性相關連。 在西 方聖經裡記載, 上帝在六天內創造了世界, 因 此古代人認為6是一個很完美的數字。 中國人 說六六大順, 顯然對6也有偏好。 28是第二個 完全數, 28=1+2+4+7+14。 婦女擔負著傳 宗接代的神聖使命, 月經為其間的樞紐, 而月 經之每周期約 28天, 這是巧合或有意的?

Euclid(歐幾里得, 約在西元前 375-330 年) 寫過原本 (Elements), 也被稱為幾何原 本, 後來成為中學幾何學的基礎 (九章出版社 有出譯本)。 在原本的第九卷, 亦為討論算術 的第三卷也是最後一卷, 此卷除包含質數有 無限多個的證明, 其最後一命題 (命題 36), 即為完全數的討論。 古希臘哲學家 Plato(柏 拉圖, 約西元前 428-347年) 在其所著共和國 (Republic) 一書中, 也提到完全數。

古希臘時代只知道四個完全數, 在原本 第九卷的最後一句話寫著“6, 28, 496, 8, 128 等皆是完全數”。 Euclid發現 (只有希臘神才 知道他怎麼發現的), 這四個完全數皆可表示 為2ⁿ⁻¹(2ⁿ− 1)的型式, n分別為2, 3, 5, 7:

n= 2, 2¹(2² − 1) = 2 · 3 = 6, n= 3, 2²(2³ − 1) = 4 · 7 = 28, n= 5, 2⁴(2⁵ − 1) = 16 · 31 = 496, n= 7, 2⁶(2⁷ − 1) = 64 · 127 = 8, 128。

Euclid也看出當n = 2, 3, 5, 7時, 2ⁿ− 1皆為 質數 (一大於 1 之整數, 若除了 1 與本身外無 其他因數, 便稱為質數 (prime number 或 prime) 否則稱 為合成數 (composite num- ber))。 這項觀察使他在原本裡, 證明了下述 定理。

定理1: 若2ⁿ − 1為一質數, 則2ⁿ⁻¹

·(2ⁿ− 1)為一完全數。

證明: 設p = 2ⁿ− 1 為一質數, 則2ⁿ⁻¹ (2ⁿ− 1)= 2ⁿ⁻¹p 之因數有1,2,2²,· · ·,2ⁿ⁻¹,

p, 2p, 2²p,· · · , 2ⁿ⁻¹p。 因此2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1) 之 所有真因數之和為

1 +2 + 2²+ · · · + 2ⁿ⁻¹+ p + 2p +2²p+ · · · + 2ⁿ⁻²p

= 2ⁿ− 1 + p(2ⁿ⁻¹− 1)

= p + p(2ⁿ⁻¹− 1) = 2ⁿ⁻¹p

= 2ⁿ⁻¹(2ⁿ− 1)。

證畢。

我們又有下述定理。

定理2: 對每一正整數n, 若2ⁿ− 1為一 質數, 則n為質數。

證明: 設n不為質數, 令n = pq, p >

1, q > 1。 則

2ⁿ− 1 = (2^q)^p− 1

= (2^q− 1)((2^q)^p−1+ (2^q)^p−2 + · · · + 2^q+ 1)

= A · B。

因 p > 1 且 q > 1, 故 A, B 皆大於 1, 因此 2ⁿ−1 不為質數, 與假設不合。 故得證 n 為 質數。

由上定理立即可看出為何首四個完全數 對應的n = 2, 3, 5, 7皆為質數。 試看 n = 4, 則2⁴⁻¹(2⁴−1) = 120。 而120的真因數和為 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 30 + 40 + 60 = 216 6= 120, 故120不 為一完全數。

首四個完全數分別為一位數、 二位數、

三位數及四位數。 讀者是否猜測第五個完全

數為五位數? 結果是不對的。 又定理 2 之逆 不真, 因第五個質數為 11, 但在西元 1536 年 Regius 證明2¹¹− 1 =2,047= 23 · 89並不 為質數。 事實上2¹⁰(2¹¹− 1) =2,096,128的 確不是一個完全數。 但定理1並未指出當2ⁿ− 1不為質數時, 2ⁿ⁻¹(2ⁿ− 1)是否為一完全數, 此問題我們稍後再回答。 古希臘人亦看出, 首 四個完全數, 其個位數為6, 8交替 (約在西元 前一世紀, Nicomachus 在其著作中雖也只 列出首四個完全數, 但他指出偶完全數的個 位數不是 6 就是 8。 且當個位數為 6 時, 十位 數必為奇數, 當個位數為8時, 十位數必為2)。

後來證實第五個完全數的個位數的確是 6, 不 過第六個完全數的字尾仍為 6, 這便打破了 6, 8 交替的型式。 不過已知的完全數, 其個位數 皆為 6或 8。

定理 1 給出了找偶完全數的充分條件, 但是否尚有其他偶完全數呢?Euclid 之後約 兩千年, Euler在一篇他去世後才發表的論文 中, 給出了下述找偶完全數的必要條件, 至此 偶完全數的型式便完全決定了。

定理3: 偶完全數必呈2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1)的型 式, 其中n為一正整數, 且2ⁿ− 1為一質數。

證明: 設A為一偶完全數, 則A可表示 為A = 2ⁿ⁻¹p, 其中n ≥ 2為一整數, p為一 奇數。 則A的所有因數和為 (證明留在習題)

2s(A) = (2ⁿ⁻¹的所有因數和)

·(p的所有因數和)

= (2ⁿ− 1)(s(p) + p), (1) 其中 s(A) 及 s(p) 分別表 A 及 p 之所有真 因數之和。 因 A 為一完全數, 故 s(A) = A,

即

(2ⁿ− 1)(s(p) + p) = 2A = 2ⁿp。

由此即得

p= (2ⁿ− 1)s(p)。 (2) 由上式知 s(p) 為一 p 的因數 (以 s(p)|p 表 之)。 又 2ⁿ− 1 > 1, 故 s(p) 為一 p 的真因 數。 但 s(p) 為 p 之所有真因數之和, 由此便 得 s(p) = 1。 而 s(p) = 1 又導出 p 為一質 數。 故由 (2) 知, p = 2ⁿ− 1 為一質數。 證 畢。

第五個完全數, 是在西元 1461 年左右, 於一份前人留下的文稿中發現的, 其位數達 到八位, 即33,550,336。 第六個質數為13, 由 定理 3知, 欲檢驗2¹²(2¹³−1) = 33,550,336 是否為一完全數, 只須檢驗2¹³− 1 =8,191 是否為一質數。 在初等數論中, 有下二關於質 數的檢驗定理。

定理4: 每一大於 1 之整數必有一質因 數。

定理5: 若整數A為一合成數, 則A必有 小於或等於√

A 之質因數。

但即使有上二定理, 在那計算不發達 的時代, 檢驗質數仍是一件艱辛的工作。 由 於√8,191 = 90.5 · · ·, 必須驗證 24 個 小於 91 的質數是否能除盡 8,191。 早期數學 家可能沒有去嘗試。 在西元 1588 年, 針對 13 的下兩個質數 17 及 19, 義大利數學家 Cataldi(1548-1626) 證明2¹⁷−1 =131,071

及2¹⁹ − 1 =524,287 皆為質數。 因724 <

√2¹⁹− 1 < 725, 欲檢驗2¹⁹ − 1 為一質 數, 他先建立一小於 725之質數表。 然後證明 其中總共的 128 個質數皆無法除盡2¹⁹ − 1。

這是一不小的工程。 他也因此得到第六個完 全數2¹⁶(2¹⁷− 1) =8,589,869,056, 及第七 個2¹⁸(2¹⁹− 1) =137,438,691,328。 他亦宣 稱當n = 23, 29, 31 及 37(19的下四個質數) 時, 2ⁿ− 1皆為質數。 在西元 1640 年, 法國 大數學家 Fermat(費馬, 1601-1655, 他是 一位職業律師, 但在現代數論中, 扮演著極重 要的角色) 證明n = 23及 37 時, 2ⁿ − 1皆 非質數。 Euler 在西元 1738 年證明 Cataldi 對n = 29亦犯了錯。 不過後來在西元 1772 年 (一說 1750年),Euler 證明2³¹− 1確為質 數, 因而得到第八個完全數。 距上一個完全數 之發現已近兩百年。

有了定理 3, 決定偶完全數, 本來成為 了決定2ⁿ − 1是否為質數的問題。 但由於計 算工作愈來愈大, 即使願做如 Cataldi 的苦 工, 也不可行了。 除非有更好的檢驗質數的 方法, 否則雖知道該如何去找完全數, 但卻 不易產生新的完全數。 十七世紀法國數學家 Descartes(笛卡兒, 1596-1650) 曾預言: 能 找出的完全數是不會太多的, 好比要在人類 中找到完人 (perfect man), 亦非易事。

2. 梅仙尼質數

在 Cataldi 之後, 下一階段尋找完全數 工作的重心, 便轉移到法國。 找偶完全數與檢 驗2ⁿ− 1是否為一質數, 是等價的。

型如 2ⁿ − 1 的質數 ( n 當然須為一 質數), 最早以 Descartes 的好朋友, 法國神

父 Mersenne(梅仙尼, 1588-1647) 最有興 趣, 故後來對一質數p, 便稱M_p = 2^p−1為一 梅仙尼數 (Mersenne number), 且當Mp為 質數時, 稱此為一梅仙尼質數 (Mersenne prime)。

Mersenne經常與那時的法國著名的數 學家通信, 討論的問題包含完全數及型如 Mp

的質數。 但為何這種質數以他的名字命名, 則 不是很清楚。 因他並未得到任何顯著的結果, 而只做了一個有名的斷言。 不過那時的數學 家倒是常受到 Mersenne 的鼓舞, 而去研究 他所提出的問題。

Mersenne在西元 1644 年說: 若p為一 不超過 257 的質數, 則當p =2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257時, 2^p− 1為質數, 否則為合成數。

對p ≤ 257 之梅仙尼數M^p,Mersenne 已去掉許多不為質數的M_p, 如M23, M₂₉等。

但他仍犯了一些錯: 多列了兩個, 即p = 67, 257, 少列了 3 個, 即p = 61, 89, 107。

此因如前所述, 當p大時, 欲檢驗Mp是否為質 數, 便很困難。 所以 Mersenne 留給後世此 一以他名字命名的他在質數方面唯一的斷言 也是錯的。 正確地說, 在2到257間共有12個 梅仙尼質數, 其對應的p 值為

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127。

這就是人們只用紙筆所得的全部十二個梅仙 尼質數。 雖然Mersenne 在其宣稱中犯了錯, 但在沒有電子計算機的幫助下, 而當p大時, M_p又是極巨大, 能有此成果, 已是很驚人的 成績了 (換一個觀點來看, 在 2 到 257 間共

有 55 個質數, 若對每一個其間的質數p, 皆 問M_p是否為質數, Mersenne說對了 50 個)。

一直要到西元 1947 年, 對p ≤ 257時, M^p為 質數的名單才完全確定。

雖對首四個質數p = 2, 3, 5, 7, Mp皆為 質數, 但由在 257 之前共有 55 個質數, 卻只 產生 12 個梅仙尼質數, 你大約可以猜出許多 梅仙尼數並非質數。 事實上底下我們會看到 梅仙尼質數之稀少, 遠超出我們的想像, 且 當p愈大,Mp愈不易為質數。

由定理 5知, 欲檢驗A是否為一質數, 只 要用不超過√

A的質數去除A 即可。 但即使 如此, 當p很大時, 便需要做許多次除法, 並 不易檢驗出Mp是否為一質數。 於是又有下述 定理。

定理6: 設p為一質數, 則Mp的質因數必 為ap + 1的型式, 其中a為一正整數。

證明: 設Mp = 2^p − 1有一質因數ℓ = ap+b, 其中1 ≤ b ≤ p−1, a為一正整數。 在 此由 Fermat 小定理 (Fermat’s Little The- orem, 即對任一質數q及正整數m, q|(m^q − m)) 知, p

∤

(2^p− 1),故b 6= 0。 因ℓ|(2^p− 1), 故

2^ℓ−1− 2^b−1= 2^ap+b−1− 2^b−1

= 2^b−1((2^p)^a− 1) (3) 為ℓ之整數倍。 因ℓ 6= 2, Fermat 小定理又導 出ℓ|(2^ℓ−1− 1) 。 故由 (3) 式得ℓ|(2^b−1− 1)。

現設b > 1。 因p為質數, 且p > b >

b− 1 > 0, 故p與b − 1互質。 故存在二正整 數α, β,使得

αp= β(b − 1) + 1 或 α(b − 1) = βp + 1。

當αp = β(b − 1) + 1時, 因2^b−1− 1為ℓ之倍 數, 且

2^αp = 2^β(b−1)+1 = ((2^b−1− 1) + 1)^β· 2, 故2^αp除以ℓ餘 2。 但由2^αp = ((2^p− 1) + 1)^α 又得2^αp除以ℓ餘1。 同理當α(b−1) = βp+1 亦導至矛盾。 故得b = 1。 本定理證畢。

有了定理 6, 檢驗M_p是否為質數的工 作當然減輕不少。 尤有進者, Fermat在西元 1640年時向 Mersenne 提出法 (一): 當p >

2時, Mp的質因數必為2kp+1 的型式 (Euler 在西元 1747年利用二項式定理證明此結果)。

例如, 當p = 11時, 2kp + 1 = 22k + 1, k = 1可得質數 23, 且23|M¹¹ = 23 · 89, 又 89 = 22·4 + 1 亦為一質數; 當 p = 23 時,2kp + 1 = 46k + 1, k = 1 得質數 47, 且 47|M²³; 當 p = 29 時,2kp + 1 = 58k + 1, k = 1, 4皆使此數為質數, 但59

∤

M₂₉, 而 233|M29= 536, 870, 911 。 所以只需做 一次除法, 即檢驗出 M₂₃ 為一合成數; 只 需做兩次除法即檢驗 M₂₉ 為一合成數。 同 理, 對p = 37, 41, 43, 47, 53, 59, 甚至對一 些很大的質數p, 如p =16,035,002,279(對 此p, q = 2p + 1為質數, 且q|Mp), 皆可利 用此法檢驗出M_p為合成數。

若 Cataldi 知道法 (一), 則只需檢 驗 6 個小於 725, 且為38k + 1型式的質數 (即191, 229, 419, 457, 571及 647), 是否能 除盡M₁₉即可, 工作量顯然大幅度地減輕。 不 過對於M₃₁, 就要將 157 個62k + 1型的質數 去除M₃₁。 因此 Euler 又提出下述法 (二):

M_p的質因數可寫成8n + 1或8n − 1的型式。

例如,

M₁₁= 23 · 89 = (8 · 3 − 1)(8 · 11 + 1)。

結合法(一) 及法(二) 將使 M_p 所可能具有 的質因數又減少很多。 例如, 對 M₁₉ 現只 需檢驗 191, 457 及 647 等三數, 能否除盡 M₁₉ 。 而 M31 的質因數必為 248k + 1 或 248k + 63 的型式, 可使檢驗 M₃₁ 的除法 減少至 84 次。 Euler也因此於西元 1772 年證 明 M₃₁ =2, 147, 483, 647 為 M19 的下一 個梅仙尼質數。 雖距 M19的發現已隔了近二 百年, 但若無前述這些好方法, 顯然要隔得更 久。 早期尋找梅仙尼質數的工作, 至此告一段 落。

附帶一提, 那時的數學家持續地在研究 判斷一梅仙尼數是否為質數的方法。 Euler尚 有下述檢定法, 我們稱之為法 (三): 若p = 4m + 3, m ≥ 1, 為一質數, 且q = 2p +1 亦為一質數, 則 q|M^p , 因此 Mp 為一合 成數。 諸如 p =11,23,83,131,179,191,239, 251等, 皆為這類質數。 再度地, 亦有一些很 大的這類質數, 如 p = 16,035,002,279 及 16,188,302,111 (對此二 p, M_p 的位數約有 5 · 10⁹位)。

西元 1876年, 法國數學家 Lucas(1842 -1891) 發現一個可很快地測出一梅仙尼數是 否為質數的方法。 利用該法他發現 M67 不為 質數 (不過他無法給出其因數), 且M₁₂₇ 為 質數。 M₁₂₇ 位居最大質數的時期長達近四分 之三世紀。 至於 M₆₁, 則是在西元 1883 年由 Pervushin 證明為質數。 M89 及 M₁₀₇ 則分 別在西元 1911 年及 1913 年, 由 Powers 及 Fauquembergue 證明為質數。

Lucas證明當 p 為型如 8k − 1 的 質數時, 則 p|M(p−1)/2。 這結果可用來檢 驗出許多 M_p 為合成數。 例如, 47|M23, 167|M83, 263|M131, 359|M179, 383|M191, 479|M²³⁹。 雖然有這些方法來減少檢驗時的 負擔, 但對 p 很大時, 檢驗的工作並非易事。

如雖知 M₁₀₁= 2¹⁰¹−1 的質因數為 202k+1 型式, 但 M101 的質因數並不易找出 (顯 然k很大)。 西元 1930 年, Lehmer改良 Lu- cas 的方法, 提出了底下定理 7 所謂 Lucas- Lehmer 質數測試法, 並於西元 1932 年證明 M₂₅₇ 為質數 (梅仙尼質數名單的最後一個錯 誤)。 不利用 Lucas-Lehmer 法, 後來那些梅 仙尼質數是無法發現的。

定理7: 令u1 = 4, 且對n ≥ 1, 令uⁿ⁺¹

= u²_n− 2。 則對每一大於2之質數p, M^p為質 數的充要條件為M_p|up−1。

定理 7 之證明可參考 Bruce(1993)。 在 定理 7 中數列 un 之前四項為 4, 14, 194, 37,634, 增加快速, 檢驗似乎也不易。 不過 由定理 7 不難導出 M_p|up−1 之充要條件為 r_p−1 = 0, 其中 r1 = 4, 而對 n ≥ 1, 令 r_n+1 為 r²_n − 2 除以 M^p 之餘數。 顯見每 一 r_n ≤ M^p− 1。 所以我們把一成長很快的 數列, 降成每一項皆不超過Mp的數列, 對計 算上方便許多。 例如, 若p = 5, M5 = 31, 則r₁ = 4,r2 = 14,r3 = 8,r4 = 0, 故M5為 一質數。 又M₁₀₁有 31 位, 而因r₁₀₀ 6= 0, 故 得M101為一合成數。 諸位是否留意到自定理 6 以來, 我們數次提到餘數? 事實上同餘 (即 只考慮餘數) 為數論中一重要的概念, 不過在 此我們不擬討論。

有人進一步猜測, 若Mn為一質數, 則 M_Mn 也是一質數 (真是一群狂熱的數學 家)。 對首四個梅仙尼質數(3, 7, 31, 127),此 猜測是對的, 但對第五個梅仙尼質數, 即M₁₃

= 8, 191, 西元 1953 年, Wheeler 證出 M_M13 = 2^8,191 − 1 有 2,466 位) 為一合成 數, 所以此猜測是錯的。 此事之驗證 (仍藉 助 Lucas-Lehmer 法), 花了那時計算機一 百小時之久 (但並未找出其因數)。 後來又發 現M_M17 為合成數, 且有質因數 1,768(2¹⁷− 1) + 1, 而MM19亦為合成數, 並有質因 數120(2¹⁹− 1) + 1。 除此之外, 尚有一些其 他的猜測, 我們就此打住。

西元 1952 年, 美國的 Robinson 以 SWAC 計算機 (這是人類首度以計算機來尋 找梅仙尼質數), 找出第十三至第十七等五個 梅仙尼質數:M521, M607, M1,279, M2,203, M_2,281。 西元 1957 年 Riesel 利用瑞典計算 機 BESK 花了五個半小時找出第十八個梅 仙尼質數M_3,217。 西元 1961 年, 美國數學家 Hurwitz 利用 IBM7090計算機找出 M_4,253 及 M_4,423 兩個。 接著在西元 1963 年, 美國 伊利諾大學 (University of Illinois) 的教 授 Gillies 找出下三個M_9,689, M9,941 及 M_11,213。 其中M_11,213共有 3,376 位。 伊利諾 大學對此發現很高興, 就在該校加蓋郵資戳 記的機器上加進“2¹¹²¹³− 1 IS PRIME”一 句。 於是這句話就出現在該校寄出的每一封 郵件上。

第二十四個梅仙尼質數M19,937, 是由紐 約的 Tuckerman 於西元 1971年找到的。 七 年後, 西元 1978 年 10 月, 兩位美國加州十 八歲的高中學生 Nickel 及 Noll 合找到第 二十五個梅仙尼質數M_21,701。 他們利用當地 大學的計算機, 以 Lucas-Lehmer 法 (雖 他們並不太了解其中所包含的數學), 花了 450 個小時找到的。 當時美國所有的大新聞 通訊社都報導此消息, 連 CBS 著名的主播 Cronkite 也在晚間新聞中報導。 西元 1979 年 2 月, Noll單獨找到下一個M_23,209。 同年 4 月加州的 Slowinski 設計了一計算機程式, 在 Nelson 協助下, 找到第二十七個梅仙尼 質數M_44,497, 有 13,395 位。 Slowinski雖在 該年 2 月 23 日找到第 26 個梅仙尼質數, 不過 後來他才知道 Noll 早他兩周已得到此結果。

第二十八個梅仙尼質數M86,243亦為 Slowin- ski 於西元 1983 年所發現。 他在 Cray 研究 實驗室, 利用 CRAY-I 超級電腦, 單是檢 驗此數確為一質數就花了 1 小時 3 分鐘又 22 秒。 不過提出此數之前的計算工作 (譬如對 從 44,497 之後的質數p, 皆要檢驗M_p是否為 質數), 便花了數個月。 下一個發現的梅仙尼 質數, 其p值為 132,049, 這仍是 Slowinski 於西元 1984 年, 在 Cray 電腦上, 花了一 周後得到的。 再下一個梅仙尼質數, 則是西 元 1985年 9 月依然是由 Slowinski 以 Cray 電腦發現的, 為M216,091, 其位數達到 65,050 位。

有趣的是, 有幾年的時光, 上段中最 後二質數, 分別被視為第二十九個及第三十 個梅仙尼質數。 直到西元 1988 年 1 月 29 日,

Colquitt 與 Welsh 在 Houston Area Re- search Center 發現第二十九個梅仙尼質數, 其p值為 110,503, 他們所用的機器為 NEC SX^∗2 超級電腦。 他們並證實M132,049確為第 三十個梅仙尼質數。 但在p介於 139,268 與 216,090 間是否有梅仙尼質數Mp則未知。 又 他們也確定在p介於 216,092 與 349,914 間, 無任何梅仙尼質數Mp。

附帶一提, 在一封寫給 Ribenboim (Ribenboim(1996) 的作者) 的信中, Slow- inski 還明確地指出 M132,049 已被他們證實 為第二十九個梅仙尼質數。

在西元 1992 年四月號的 The Amer- ican Mathematical Monthly, 登了一 則短聞, 標題為“The Latest Mersenne Prime”。 永不停止的 Slowinski 與 Gage 宣 佈他們找到了最新的梅仙尼質數, 此第 32 個 已知的梅仙尼質數為2^756,839− 1, 有227,832 位。 Slowinski與 Gage 用他們自己寫的程 式, 在位於英國 Didcot 的 Harwell 實驗室 的 CRAY-2計算機上, 證明此數為一質數。

Slowinski 與 Gage 仍利用 Lucas- Lehmer 法來檢驗質數。 經由一些巧妙的方 法, 要求一數之很大的次方是可能的。 但對 一位數超過二十萬位的數, 即使只是求其平 方也很不容易。 Slowinski和 Gage 利用他 們實驗室的同事 Kuba 所發展出來的快速 的 Fourier 轉換 (fast Fourier trans- form) 的演算法 (algorithm)。 但第一次檢

驗M756,839為質數, 仍花了許多小時的計算機

時間。 後來在一台有 16 個處理器 (proces- sors) 的計算機上再度檢驗時, 只需 20 分鐘。

在M_216,092與M756,839之間是否有其他 梅仙尼質數? 沒有人能肯定 (不過檢視梅仙 尼質數出現的頻率, 我們猜測極可能是有的)。

在 Harwell 實驗室的計算機, 只檢驗了85個 質數, 便得到此新的質數。 這位尋找梅仙尼質 數的老手 Slowinski 說“我們碰到了難以置 信的好運”。

尋找梅仙尼質數的工作是否會停止呢?

沒有, 一直持續地進行。

在 Cray 公司工作的 Slowinski(他在 Wisconsin 州的 Chippewa Falls 廠) 說服 許多世界各地的 Cray 計算機的使用者, 利 用他們計算機的多餘時間 (spare time) 來 協助尋找梅仙尼質數。 雖 Slowinski 承認他 們的尋找並不是很有系統, 但他們仍在西元 1994 年 1 月找到下一個梅仙尼質數, 其p值 為 859,433。 此質數位數有 258,716 位。 接 著在西元 1996 年 9 月 3 日, Slowinski 與 Gage(他在位於 Minnesota 州 Eagan 城的 Cray 公司總部工作) 利用 CRAY T94系統, 發現了目前所知最大的梅仙尼質數

2^1,257,787 − 1

其位數達到 378,632 位。 事實上在幾個月前 他們便發現了這個數, 不過如同以往, 在公佈 之前, 他們請各地的研究人員協助檢驗是否 正確無誤。

雖然梅仙尼質數的找尋有如大海撈針 (needle-in-a-haystack), 但由於有好的程式 及極快速的計算機, 提高了找到的機會。 目前 最大的八個梅仙尼質數就有七個是在 Cray 研究實驗室發現的。 每當他們找出一個新質 數, 就會令世界各地的其他找尋者唉嘆不已。

介於最大及第二大的梅仙尼質數間的範 圍, 大部分仍未被檢驗過, 在可預見的將來 也不會去檢驗。 依目前計算機的速度, 去檢驗 為數眾多的介於最大的幾個梅仙尼質數之間 的梅仙尼數, 所需耗費的時間是難以想像的。

Cray 公司一直鼓勵大家加入尋找的行列。 不 過p ≤365,000 之Mp皆已檢驗過, 且大部分 的p ≤472,000 之Mp 也檢驗過。

欲知最新的梅仙尼質數的資料可透過網 路查詢, 網址為

http://www.utm.edu/research/primes /mersenne.shtml 。

3. 討論

曾有人問英國登山專家 George Leigh Mallory 為什麼要去攀登聖母峰 (Mount Everest), 他答“因為它就在那兒 (Because it’s there)”。

西元1811年, 英國的 Peter Barlow, 針 對 Euler 在西元1772年所發現的M31(這是 那時所知的最大的梅仙尼質數, 下一個要到 西元 1876 年才出現), 曾說“此為目前所知之 最大的完全數, 今後很可能不會發現更大的 了。 此因這種尋找只是好奇心的驅使, 在沒有 用途之情況下, 是沒有人有興趣去找下一個 的”。

我們知道此預言當然是錯的, 因自那時 起, 又出現了二十六個完全數。 先不要管繼續 找更大的完全數有什麼用, 對科學家而言, 這 種嘗試就如同去攀登一座一座的高峰, 或田 徑選手追 求更快的速度及更遠的投擲, 以及

其他的許多只是好奇而沒什麼用的工作。 在 十九世紀時, 人們自然預想不到現代計算機 的威力, 就如我們無法預測五十年後會有什 麼樣的機器一樣。

有幾個問題至今仍未解決, 我們只列舉 兩個如下。

1. 有沒有奇完全數? 到目前為止沒有 人找到一奇完全數, 也沒有人證明奇完全數 不存在。 僅有的成果都只是說明在某個範圍 內沒有奇完全數。 例如, 若有奇完全數存在 的話, 則其值必大於10²⁰⁰, 且必須滿足一些 條件: 若n為一奇完全數, 則n = q^4α+1N², 其中α為一非負整數, q為一型如4m + 1的 質數, N為一奇數且q不能除盡N。 又n至少 有 8 個相異質因數, 至少有 29 個質因數, 其 最大者超過 300,000, 第二大的必超過1,000。

另外, 若一奇完全數不為 3 的倍數, 則它必至 少有 11 個相異的質因數。 若一奇完全數除以 12, 必餘1, 除以36, 必餘9。 一個奇完全要滿 足的條件越多, 它似乎就越不容易存在。

你會不會覺得相當有趣? 一方面我們可 以完全決定偶完全數, 且判斷法看似很簡單, 只需檢驗2^p − 1是否為一質數, 其中p為一質 數。 但這檢驗卻是一極艱鉅的工作。 另一方面 我們無法回答是否有奇完全數, 雖然我們知 道奇完全數若存在, 便得要滿足一大堆的條 件。

2. 是否有無限多個完全數? 我們也可問 類似的問題: 是否有無限多個偶完全數? 此 答案很可能為肯定的。

有人認為上述二未解決的問題在數學上 並不是很重要。 探討此二問題的過程中, 也

不像對 Fermat 最後定理 (Fermat’s Last Theorm, Fermat 宣稱當n ≥ 3為一整數, xⁿ + yⁿ = zⁿ 無非零整數解) 的研究, 能 引出數學上不少重要的結果。 因此就數學本 身而言, 此二問題的解決與否並不重要。

近年來, 由於在密碼學 (cryptogra- phy) 及計算機系統的安全性, 用到很多數論 中的結果, 特別是質數的性質, 所以很多大 的電信公司, 如 IBM 及 Bell Telephone Company投入許多經費於質數的研究。 而質 數尋找的過程便已產生許多效益。

例如, Slowinski 與 Gage 所發展出 來的找質數的程式, 便被 Cray 公司採用來 檢驗超級電腦的品質保證 (quality assur- ance, 曾有一度此工作是藉求圓周率π來完 成)。 此程式中一主要的部分是將一數反覆地 平方, 因此繼續下去, 便是在執行將很大的數 自乘。 這種工作就彷如對計算機做折磨的檢 定: 從處理器的邏輯, 至主機的記憶, 編譯 器, 操作系統, 及多元工作系統追蹤資料之能 力的一很好的檢定。

Slowinski說 CRAY T94 系統, 花了 6 個小時在一個中央處理器上檢定這最新發現 的質數, 而若一機器能完成此艱鉅的工作, 我 們便相信它能完成任何工作了。

Slowinski又說改進找尋質數程式的技 術, 也可用來強化現實世界中, 諸如天氣預測, 汽車的安全設計, 及石油的找尋所需的程式。

在研究質數找尋的程式中, 他們學到如何加 速某些數學運算的新技術。 這些操作, 往往是 那些最需耗費大量計算的軟體程式中的主要 部分。

梅仙尼質數的找尋可說已成為計算機品 質的水準基標 (benchmark)。 Cray公司 在一新的機器出廠前, 都會先在該機器上 做梅仙尼質數的檢驗。 Cray公司的發言人 說“Slowinski 與 Gage 找得很有樂趣 (a lot of fun), 但他們的確對公司幫助很大”。 不錯, 尋找巨大的質數對科學家而言, 主要的動機 是好奇心, 但此找尋的過程卻產生了很多實 際的用途。

在西元 1992 之前, 曾有一陣子世上所 知之最大質數並非梅仙尼質數, 而是 John Brown 及其在美國加州 Amdahl Corpora- tion 的工作夥伴合找出來的

391,581 · 2^216,193 − 1。

不過通常一個梅仙尼質數的誕生, 往往也是 已知最大質數的一個里程碑。 對數學家而言, 自Euclid 時代起, 便知質數有無限多個。 但 質數在自然數中的分佈情況, 本身便是一極 有趣的問題。 無人可回答下一個質數在何處。

對比較小的數, 例如, 在 20 之前有 8 個質 數:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 但在較大的數裡, 質數的出現, 便沒那麼頻繁了。 但卻又無規 律, 可以有任意大的間隔 (見習題), 也可很接 近。 例如, 在質數 370,261 之後, 接著 111 個 合成數。 另一方面, 存在很多孿生質數 (twin primes), 在 1,000,000 之前便有超過 8,000 對。 在此所謂孿生質數表兩個相差為 2 之質 數, 如 3, 5, 及 5, 7 皆是。 Parady et al.(1990) 給出三個很大的孿生質數:

663, 777 · 2^7,650± 1, 571, 305 · 2^7,701± 1,

1, 706, 595 · 2^11,235± 1,

可見即使在很大的數中, 仍可有二最接近的 質數。 事實上, 數學家猜測整數中存在無限多 對孿生質數, 但此為一極難且尚未解決的問 題。

對這些題材有興趣的讀者可參考 Scourfield(1979/80),Stewart(1987/88) 及 Piper (1988/89) 等文, 及 Ribenboim (1996) 一書, 有一些相關的材料可供進一步 參考。 在此必須一提, 在數學上 (當然指也藉 助計算機), 檢驗一數是否為質數, 比將一數 分解容易多了。 換句話說即使我們檢驗出一 數不為質數, 但若要將其寫成質因數的連乘 積, 就困難很多。 直到西元 1988 年左右, 最 好的方法也只保證 80 位以內的數能分解。 此 並不表示更大的數便不可能分解, 只是需要 更多的好運氣。 分解因數牽涉到很多困難, 不 只是與其位數多少有關。 這也是為什麼在前 面我們提到過 Lucas 雖在西元 1876 年檢驗 出M₆₇非質數, 但卻沒給出其因數。 一直到西 元 1903 年, 在美國數學學會的一會議中, 一 美國哥倫比亞大學 (Columbia University) 的教授 Cole 震驚了數學界, 在一篇“有關大 數字的因數分解法”之報告, 他走上講台, 一 聲不響地在黑板上寫下

2⁶⁷−1=193,707,721 · 761,838,257,287 。 寫完後他又一言不發地回到座位, 聽眾給他 如雷的掌聲, 沒有人問他問題。 事後 Cole 說 他花了三年的星期日才完成此分解工作。 今 天, 利用計算機, 我們當然可做得比 Cole 還

好。 例如,

2²⁵⁷−1 = 535,006,138,814,359

·1,155,685,395,246,619, 182, 673, 003

·374,550,598,501,810,936, 581, 776, 630, 096, 313, 181, 393,

見 Riesel (1985)。 這個令人看了眼花的分 解, 是由 Penk 及 Baillie 在 1979 所分解 成功的。 目前最大的完全被分解的梅仙尼合 成數為

M_3,359 = 6,719 · P 1,008,

其中 P 1,008 表一有 1,008 位之質數 (見 Ribenboim(1996), p.67)。 此數不但只有 二質因數, 且其中 6, 719 = 2·3,359+1

是M_3,359所可能有的質因數中之最小者。 至

西元 1992 年 2 月, 最小的尚未被分解出來的 梅仙尼數為M₄₆₇。 由於一般而言 , 若一數為 幾個很大的質數的乘積, 其分解極困難, 此 性質可應用在密碼學上。 此方面的討論我們 留在“同餘及質數在密碼學上的應用”一文再 談。

註: Frank Nelson Cole 曾長期任美國數 學學會的秘書 (1896-1920), 並當過美國數 學學會的刊物 Bulletin 之主編長達 21 年。

經由他自己及美國數學學會會員的捐款設立 了 Frank Nelson Cole Prize in Algebra 及 Frank Nelson Cole Prize in Number Theory, 西元1928年首次頒獎, 每五年一次, 為代數及數論方面的大獎。

4. 尾聲

結束本文之前, 我們再給一些有趣的性 質。

首先, 所謂三角數 (triangular num- ber) 即為自 1 開始連續整數之和 (這是為何 命名為三角數的原因)。 而每一偶完全數皆為 三角數 (性質 (i))。 如

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

+8 + · · · + 31。

證明就留給各位自己去完成。 尚有一些其他 的性質, 其證明皆留在習題。 設 A = 2^p−1

·(2^p− 1) 為一偶完全數, 則

(ii) A > 6時, A為自 1 起若干個連續奇數 的立方和。 如 28 = 1³ + 3³, 496 = 1³+3³+5³+7³,8,128= 1³+3³+· · ·+15³, 其中連續奇數的個數 (如 28 有 2 個, 496 有 4 個) 為2^(p−1)/2。

(iii) A = 2^p−1 + 2^p + · · · + 2^2p−2。 如 6 = 2¹ + 2²,28 = 2² + 2³ + 2⁴, 496 = 2⁴+ 2⁵+ 2⁶+ 2⁷+ 2⁸。

(iv) A 之所有因數 (含本身) 之倒數和為 2。

如

A = 6, 1 1+ 1

2+ 1 3+ 1

6 = 2, A = 28,

1 1 +1

2 +1 4 +1

7 + 1 14 + 1

28 = 2。

其次, 那些巨大的完全數, 究竟有多大你 能想像嗎? 以第三十四個為例, 其位數超過 七十五萬位, 若將此數以 A4 紙來書寫, 1 公 分約可寫 5 個數字, 就算一頁可寫四千位, 需

要 188 頁 A4 紙。 此數字總長約 1,500 公尺。

再以另一種方式來看。 六個十元銅板其厚度 約一公分。 若有人要你在一象棋盤 (共 64 個 空格) 第一個空格放一個 10 元, 第二個空格 放2¹個 10 元, 第二個空格放2²個 10 元, 餘類 推。 總共有幾個銅板? 不難算出有2⁶⁴− 1個。

將這些銅板疊起來, 你猜有多高? 100 公 尺?100,000 公尺? 答案是超過 30 兆公里。

此距離又是多少呢? 太陽距地球約有 1.496

·10⁸ 公里, 所以約為太陽與地球間距的 20萬 倍。至於將2^1,257,786(2^1,257,787− 1)個十元銅 板疊起有多高? 就更不用去想像了。

你對這些質數有何看法呢? 念質數之悠 悠, 獨愴然而涕下, 或余學完全數, 想見其奧 妙? 是心嚮往之, 亦或避之惟恐不及?

求一數之因數, 其用途是很容易理解的 (你能列出一些嗎?)。 但一數之所有真因數的 和, 代表的意義就不是很清楚了。 至於重視真 因數的和等於該數, 你可以說其實毫無道理。

但古希臘人由此引進完全數, 後來轉化為梅 仙尼質數的尋找; 由做苦工似的硬算, 進而 發展出一些較有效的方法, 再來是藉助計算 機, 最後回饋到計算機品質的檢驗。 不但將一 看似毫無道理的偏愛, 變成許多人的嗜好, 且 居然與現代科技相輔相成。 而歷經兩千多年, 卻又只產生區區 34 個, 完全數在自然數中密 度這麼地低, 古希臘人的珍惜, 想來真是有道 理。

Plato說“數是事物之永恆連續的保證 (Number is the bond of the eternal con- tinuous of things)”。 數字的優美或有趣的 性質俯拾即是。 順手拈來, 我們介紹親和數

(amicable number)。 Pythagoras 說“朋友 是你靈魂的倩影, 要像220與284一樣親密”。

這是什麼意思呢? 原來 Pythagoras 發現, 在自然數 220與 284間有一很特殊的關係。

220 的真因數為 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 其和為 284。 而 284 之真因 數為1, 2, 4, 71, 142,其和為 220。 二數之真因 數和恰等於對方 (完全數是真因數和等於自 己), 此二數真是親密無比。 具有這種性質的 二數便稱為一對親和數。 220與284是人類所 知的第一對親和數, 也是最小的一對。 當然, 你一定很納悶, 怎麼連這種性質都留意到? 古 希臘人可說玩弄數字於股掌。

親和數在古代也被賦予神秘的色彩, 人 們有時將一對親和數分別寫在兩個護身符上, 而佩帶這種護身符的兩個朋友, 被認為因此 能友誼長存。

經過漫長的一段時間, 第二對親和數 17,296 和 18,416 是 Fermat 在西元 1636 年發現的。 兩年後 Descartes 也發現了一 對, 即 9,363,584 和 9,437,056。 十八世紀中 葉, Euler 有系統地研究親和數, 在西元1750 年發表了 64 對親和數 (但其中兩對後來發現 是錯的), 其中包括2,626和2,924及5,020和 5,564等。 不過令人感到意外的是, 西元1867 年, 一位十六歲的義大利中學生 Paganini 發 現 1,184和 1,210也是一對親和數。 這一對在 自然數中第二小的親和數, 竟然不在 Euler 的名單中。

不少數學家試圖找出能表示出所有親和 數的公式 (彷如能表示出所有偶完全數的公 式)。 下述公式只能找到某些親和數。 西元九

世紀, 阿拉伯數學家提出: 設n ≥ 2為一整 數。 令

A= 3 · 2ⁿ− 1, B = 3 · 2ⁿ⁻¹− 1, C = 9 · 2²ⁿ⁻¹− 1。

若A, B, C均為質數, 則2ⁿAB和2ⁿC為一對 親和數。 舉例來看。 取n = 2, 則

A= 3 · 4 − 1=11, B =3 · 2 − 1=5, C = 9 · 8 − 1=71

皆為質數, 故2² · 11 · 5 = 220和2² · 71 = 284為一對親和數。 另外, 取n = 7, 可找到另 一對親和數, 但直至n ≤ 200 再也不能找到 其他對了。

還有一些其他公式我們便不提了。 西元 1923年 Madachy 與 Lee 發表1,095對親和 數, 同年荷蘭的 Riele 給出一對有152位的親 和數。親和數顯然較完全數多許多。 當然也有 一些未解決的問題, 如 (你可能也猜得到) 是 否存在無限多對親和數? 現已找出的每一對 親和數, 皆同為偶數或同為奇數, 但是否有一 奇一偶的親和數? 不讓你頭痛了, 我們就此 打住。

數學家對數字的愛好, 是否令你嘆為觀 止呢? 介紹最後一題材給你。 所謂階乘數 (factorion) 為一數等於其各位數字之階乘 和。 例如, 因

145 = 1! + 4! + 5! ,

故 145 為一階乘數。 此處“!”為階乘 (facto- rial) 記號, 即

n! = n(n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1, n ≥ 1, 但將0!定義為 1。 尚有兩個很小的階乘數, 即

1 = 1!, 2 = 2!。

目前所知之最大的階乘數為

40,585=4! + 0! + 5! + 8! + 5!, 為 Dougherty 在西元 1964年利用計算機找 出來的。 這四個也就是現今所知的四個階乘 數。 你是否眼睛一亮, 聯想到古希臘時代只知 四個完全數, 而躍躍一試?

我們不得不澆你一盆冷水, 這就是僅有 的四個階乘數, 證明真的不難, 就留給你自己 完成好了。若實在做不出, 請參考 Pickover (1995/96)。 看來要成名並不容易。

5. 附錄: 已知之三十四個完全 數表

由定理 1知, 對一質數p, 若M_p = 2^p − 1為一梅仙尼質數, 則2^p−1M_p 為一完全數。

前面我們依序提到已知的三十四個梅仙尼質 數, 因此已知的三十四個完全數也就確定了。

為了讀者方便, 我們仍列出此三十四個完全 數, 其中年代皆為西元。

序數 完全數 位數 發現年代 發現者 1 2¹(2²− 1) 1 不詳 不詳

2 2²(2³− 1) 2 不詳 不詳 3 2⁴(2⁵− 1) 3 不詳 不詳 4 2⁶(2⁷− 1) 4 不詳 不詳 5 2¹²(2¹³− 1) 8 1461 不詳 6 2¹⁶(2¹⁷− 1) 10 1588 Cataldi 7 2¹⁸(2¹⁹− 1) 12 1588 Cataldi 8 2³⁰(2³¹− 1) 19 1772 Euler 9 2⁶⁰(2⁶¹− 1) 37 1883 Pervushin 10 2⁸⁸(2⁸⁹− 1) 54 1911 Powers

11 2¹⁰⁶(2¹⁰⁷− 1) 65 1913 Fauquembergue 12 2¹²⁶(2¹²⁷− 1) 77 1876 Lucas

13 2⁵²⁰(2⁵²¹− 1) 314 1952 Robinson 14 2⁶⁰⁶(2⁶⁰⁷− 1) 366 1952 Robinson

15 2^1,278(2^1,279− 1) 770 1952 Robinson

16 2^2,202(2^2,203− 1) 1,327 1952 Robinson

17 2^2,280(2^2,281− 1) 1,373 1952 Robinson

18 2^3,216(2^3,217− 1) 1,937 1957 Riesel

19 2^4,252(2^4,253− 1) 2,561 1961 Hurwitz

20 2^4,422(2^4,423− 1) 2,663 1961 Hurwitz

21 2^9,688(2^9,689− 1) 5,834 1963 Gillies

22 2^9,940(2^9,941− 1) 5,985 1963 Gillies

23 2^11,212(2^11,213− 1) 6,751 1963 Gillies 24 2^19,936(2^19,937− 1) 12,003 1971 Tuckerman 25 2^21,700(2^21,701− 1) 13,066 1978 Noll and Nickel 26 2^23,208(2^23,209− 1) 13,973 1979 Noll

27 2^44,496(2^44,497− 1) 26,790 1979 Nelson and Slowinski 28 2^86,242(2^86,243− 1) 51,924 1982 Slowinski

29 2^110,502(2^110,503− 1) 60,530 1988 Colquitt and Welsh 30 2^132,048(2^132,049− 1) 79,502 1983 Slowinski

31 2^216,090(2^216,091− 1) 130,100 1985 Slowinski

? 2^756,838(2^756,839− 1) 455,663 1992 Slowinski and Gage

? 2^859,432(2^859,433− 1) 517,430 1994 Slowinski and Gage

? 2^1,257,786(2^1,257,787−1) 757,263 1996 Slowinski and Gage

習題 :

1. 試將 1,729 之兩種立方和的表示法寫出。

2. 試找出可以兩種方式表示成二正整數平 方和之最小整數, 並試給一找出可以兩 種方式表示成二整數平方和之整數的方 法。 註: 這種整數必非質數 (見林聰源譯 (1976)p.38)。

3. 試證定理 5。

4. 試證偶完全數的個位數字必為 6 或 8。

5. 試證 (1) 式成立。

6. 試證 (2) 式成立。

7. 試證質數有無限多個。

8. 試證M23及M₂₉皆為合成數。

9. 試證 M31 的質因數必為 248k + 1 或 248k + 63 的型式。

10. 試證任二梅仙尼數皆無公因數。

11. 設一梅仙尼質數之位數有 13,395 位。 求 其p值。

12. 試證偶完全數的性質 (i) 至 (iv)。

13. 令 s(n) 表正整數 n 之所有真因數的和, 若 s(n) < n, 則 n 稱為一虧數 (defi- cient); 若 s(n) > n, 則 n 稱為一盈 數 (abundant)。 完全數恰為介於虧數與 盈數間。 試證 (i) 若p 為一質數, 則對每 一正整數 α, p^α 為一虧數;(ii) 首 6 個盈 數為 12, 18, 20, 24, 30, 36, 而 1 至 39 間 除了此 6個數及二 完全數 6, 28 外, 皆 為虧數;(iii) 第一個奇的盈數為 945。

14. 設k為一正整數, 令A = (k + 1)!。 試 證2|(A+2), 3|(A+3), · · · , (k+1)|(A+

k+ 1), 即有連續k個整數皆非質數。 本例 顯示二相鄰質數之間隔可任意遠。

15. 試證 17,296 與 18,416 為一對親和數。

16. 試證僅有四個階乘數。

誌謝 :

本文之完成得到同事官大智、 李良修、

羅春光及羅夢娜等四位教授協助提供資料, 王秀英小姐及蔡菁秤小姐也幫了不少忙, 非 常感謝他們。

後記 :

本文完成後, 又發現一新資料。 目前所 知最大的梅仙尼質數為

2^1,398,269− 1,

其位數達到420, 921 位, 對應的完全數則 有841, 842。 西元 1996 年初, Woltman 發 起了一共同尋找梅仙尼質數的組織 (The Great Internet Mersenne Prime Search, 簡稱 GIMPS), 提供可在個人電腦上使用的 找巨大質數的軟體給同好。 Armengaud 便 是這數百位搜尋者之一, 西元 1996 年 11 月 13 日, 他找到上述第三十五個目前已知的梅 仙尼質數。 而 Slowinshi 已證實此數確為一 質數。

參考資料

1. 林聰源譯 (1976)。 整數論的問題。 楓城出版 社, 新竹。

2. 金庸 (1984)。 射雕英雄傳。 遠景出版社, 台 北。

3. 曹亮吉 (1984)。 談數學。 科學月刊社, 台北。

4. 藍紀正、 朱恩寬譯 (1992)。 歐幾里得幾何原 本。 九章出版社, 台北。

5. Bruce, J. W. (1993). A really trivial proof of the Lucas-Lehmer test. The American Mathematical Monthly 100, 370-371.

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8. Pickover, C. (1995/96). The loneliness of the fractorions. Mathematical Spec- trum 28, 64-65.

9. Piper, F. (1988/89). Cryptographic uses of large numbers. Mathematical

Spectrum 21, 1-7.

10. Ribenboim, P. (1996). The New Book of Prime Number Records. Springer- Verlag, New York.

11. Riesel, H. (1985). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization.

Birkh¨auser, Boston.

12. Scourfield, E. J. (1979/80). Perfect numbers and Mersenne primes. Math- ematical Spectrum 12, 84-92.

13. Stewart, I. (1987/88). Factorizing large numbers. Mathematical Spectrum 20, 74-77.

—本文作者任教於國立中山大學應用數學 系_—