談 Stirling 公 式的改 良

談 _Stirling 公式的改良

蔡永裕

壹. 緣 起

從學生時代接觸到 Stirling 公式後, 就 被它深深吸引–利用一個簡單的計算式, 三招 兩式下就能求得原來必須反覆計算才能求解 的數據。 但除非 n 階乘的 n 真的夠大, 大到 遠遠超乎我們的實用範圍, 否則其精確度始 終令人不太敢恭維! 例如相對誤差只要求萬 分之一, n 竟然就要高於 800, (此時 n! 的值 是幾乎是 10 的 2000次方)。 在現代, 個人電 腦如此普及的情況下想算得 n! 精確一點的 數據, 難道還是這麼可望而不可及嗎? 在一 次偶然的機緣中找到了其改良式, 原已準備 發表, 卻因為搬家而造成了論文資料遺失 (包 含文件失蹤、 磁片發霉、 電腦故障等三衰齊 至)。 因為筆者個性隨緣, 便也隨匆匆歲月而 淡忘此事。 最近失蹤已久的文件忽重現江湖, 在賢妻的督促下, 遂配合電腦重新撰寫本文, 順便為本刊 66 期蔡聰明先生大作 「談 Stir- ling 公式」 做一補充。

貳. Stirling’s formula

n! = e⁻ⁿnⁿ√

2πn + h (1)

= e. ⁻ⁿnⁿ√

2πn; (2) n = 1, 2, 3, . . .

註:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 . . .

π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399...

(0 < h n! < 1

12n)

使用 (2) 式在所謂 「大的 n 值」 時, 會 得到 n! 的漸近相等值。 但是 n 值究竟要大到 多少, 代入式子中才會有令人滿意的結果呢?

100? 500? 1000? . . ., 經過驗算後, 雖然這 些數據已大到幾乎超越一般工程運算所能使 用到的範圍, 卻總有幾分美中不足之憾。 也就 是說–

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1. 「n 值如果不夠大」 (例如小於 70), 則以 一般工程用計算機直接將答案按出即可, 就算再大些, 使用 Microsoft 的視窗軟 體工具 「小算盤」 等類似工具, 亦可算到 170!, 使用 Stirling 公式的誤差太大, 幾 乎無使用的必要;

2. 「稍大些的 n 值」 (如 70 ∼ 1000, 或 171 ∼ 1000), 使用 Stirling 公式的誤 差勉強可以接受, 但若需要較精確的數值 就必需自行撰寫程式 (務必要考慮計算機 的捨位誤差), 並耗費一些 「可感受到」 的 運算時間;

3. 「更大些的 n 值」 (如大於 1000), 使用 Stirling 公式的誤差已更小, 直接套用 已較無問題。 但如果對數值的要求嚴苛些 (例如相對誤差是 10 的 −8 次方, 甚至

−10 次方), 不自行撰寫程式都不行, 但 所需的運算時間就顯得有些可怕了。

參. Stirling 公式的改良構想

民國 78年 6 月, 某日面對著自然對數的 底數 e 時, 靈機一動— e 是由 n! 而來:

e = 1+1+1 2!+1

3!+· · ·+ 1

n!+· · · (3) e 和 n! 兩者互相有密切關係。 在計算 e 時 要使用到足夠大的 n! , 為什麼在反算 n!

時, Stirling公式的 e 就要用精確值去代入 呢? 為何不配合 n 值去作一些修正呢? 也許 用一個由 e 的漸近相等值 E, 就能提高 Stir- ling 公式的精度!

如果這個假設可行, E 值如何求得呢?

我們所先假設

n! .

= E⁻ⁿnⁿ√

2πn (4)

此時 (4) 式是一個比 (2) 式更逼近的式子,

由 (4) 式知

表一. n!之精確值

n n!之精 確 值

1 1

2 2

3 6

4 ( 1)2.4000 00000 00000 00000 5 ( 2)1.2000 00000 00000 00000 6 ( 2)7.2000 00000 00000 00000 7 ( 3)5.0400 00000 00000 00000 8 ( 4)4.0320 00000 00000 00000 9 ( 5)3.6288 00000 00000 00000 10 ( 6)3.6288 00000 00000 00000 11 ( 7)3.9916 80000 00000 00000 12 ( 8)4.7900 16000 00000 00000 13 ( 9)6.2270 20800 00000 00000 14 ( 10)8.7178 29120 00000 00000 15 ( 12)1.3076 74368 00000 00000 16 ( 13)2.0922 78988 00000 00000 17 ( 14)3.5568 74280 96000 00000 18 ( 15)6.4023 73705 72800 00000 19 ( 17)1.2164 51004 08832 00000 20 ( 18)2.4329 02008 17664 00000 21 ( 19)5.1090 94217 17094 00000 22 ( 21)1.1240 00727 77760 76800 23 ( 22)2.5852 01673 88849 76640 24 ( 23)6.2044 84017 33239 43936 25 ( 25)1.5511 21004 33309 85984 26 ( 26)4.0329 14611 26605 63558 27 ( 28)1.0888 86945 04183 52161 28 ( 29)3.0488 83446 11713 86050 29 ( 30)8.8417 61993 73970 19545 30 ( 32)2.6525 28598 12191 05864 100 ( 157)9.3326 21544 39441 52682 200 ( 374)7.8865 78673 64790 50355 300 ( 614)3.0605 75122 16440 63604 400 ( 868)6.4034 52284 66238 95262 500 (1134)1.2201 36825 99111 00687 600 (1408)1.2655 72316 22543 07425 700 (1689)2.4220 40124 75027 21799 800 (1976)7.7105 30113 35386 00414 900 (2269)6.7526 80220 96458 41584 1000 (2567)4.0238 72600 77093 77354

表二. 精確 E 值與 ln E

n E 值 ln E

1 2.5066 28274 63100 9 0.9189 38533 20467 6

2 2.6626 70727 60078 7 0.9793 29652 02229 8

3 2.6933 18360 88386 3 0.9907 74024 77166 9

4 2.7041 89756 59509 3 0.9948 02331 97406 1

5 2.7092 47881 20767 4 0.9966 71061 76203 8

6 2.7120 02554 12123 8 0.9976 87311 86282 3

7 2.7136 65950 48671 2 0.9983 00470 00773 2

8 2.7147 46535 24112 2 0.9986 98591 84225 5

9 2.7154 87825 95273 6 0.9989 71615 31303 4

10 2.7160 18289 49752 5 0.9991 66943 65666 5

11 2.7164 10892 21282 1 0.9993 11484 04655 2

12 2.7167 09566 99279 8 0.9994 21429 99106 8

13 2.7169 42047 01586 1 0.9995 07000 44707 8

14 2.7171 26538 22987 2 0.9995 74902 13480 5

15 2.7172 75392 73487 9 0.9996 29684 42987 1

16 2.7173 97230 14727 9 0.9996 74521 50502 7

17 2.7174 98213 45642 1 0.9997 11682 59127 1

18 2.7175 82843 64824 4 0.9997 42824 79170 6

19 2.7176 54469 87901 1 0.9997 69181 03951 6

20 2.7177 15625 88010 6 0.9997 91684 01540 2

21 2.7177 68257 08273 1 0.9998 11049 79911 5

22 2.7178 13877 22573 6 0.9998 27835 54234 5

23 2.7178 53678 40086 3 0.9998 42479 99023 3

24 2.7178 88609 70967 5 0.9998 55332 44237 7

25 2.7179 19434 36195 7 0.9998 66673 77453 3

26 2.7179 46771 71300 3 0.9998 76731 91430 7

27 2.7179 71128 61467 1 0.9998 85693 38212 7

28 2.7179 92923 07552 5 0.9998 93712 00059 0

29 2.7180 12502 31309 3 0.9999 00915 53923 1

30 2.7180 30156 66737 4 0.9999 07410 83567 7

100 2.7182 59176 28036 8 0.9999 91666 69444 5

200 2.7182 76165 38252 7 0.9999 97916 66840 5

300 2.7182 79311 53352 9 0.9999 99074 07441 9

400 2.7182 80412 68793 1 0.9999 99479 16677 8

500 2.7182 80922 36538 0 0.9999 99666 66671 3

600 2.7182 81199 22727 5 0.9999 99768 51854 1

700 2.7182 81366 16629 5 0.9999 99829 93198 7

800 2.7182 81474 51614 5 0.9999 99869 79167 5

900 2.7182 81548 80044 8 0.9999 99897 11934 6

1000 2.7182 81601 93558 1 0.9999 99916 66667 1

表三. 精確 F 值

n F 值

1 ( 1)1.2336 31760 60574 9 2 ( 1)4.8378 47921 47062 8 3 ( 2)1.0838 96255 13974 0 4 ( 2)1.9239 39726 44941 8 5 ( 2)3.0039 60808 27324 5 6 ( 2)4.3239 72540 54607 6 7 ( 2)5.8839 79715 27135 3 8 ( 2)7.6839 84413 71925 4 9 ( 2)9.7239 87654 36968 8 10 ( 3)1.2003 98998 21986 2 11 ( 3)1.4523 99170 98818 9 12 ( 3)1.7283 99302 69785 7 13 ( 3)2.0283 99405 38068 4 14 ( 3)2.3523 99486 97786 1 15 ( 3)2.7003 99552 87762 5 16 ( 3)3.0723 99606 87099 6 17 ( 3)3.4683 99651 64858 2 18 ( 3)3.8883 99689 19798 6 19 ( 3)4.3323 99720 98875 4 20 ( 3)4.8003 99748 15001 8 21 ( 3)5.2923 99771 55859 9 22 ( 3)5.8083 99791 80778 4 23 ( 3)6.3483 99809 51790 9 24 ( 3)6.9123 99825 02531 8 25 ( 3)7.5003 99838 79495 5 26 ( 3)8.1123 99850 92987 9 27 ( 3)8.7483 99861 77095 9 28 ( 3)9.4083 99871 58102 5 29 ( 4)1.0092 39988 02525 5 30 ( 4)1.0800 39988 81740 7 100 ( 5)1.2000 04000 08573 9 200 ( 5)4.8000 04005 08813 4 300 ( 6)1.0800 00402 33843 2 400 ( 6)1.9200 00410 43678 4 500 ( 6)3.0000 00417 24662 6 600 ( 6)4.3200 00419 54011 9 700 ( 6)5.8800 00491 13662 1 800 ( 6)7.6800 00490 87222 1 900 ( 6)9.7200 00419 50472 1 1000 ( 7)1.2000 00062 18239 5

log(n!) .

= −n × log E+n log n + log√

2πn

= −n × log E+(n+0.5) log n + log√

2π (5)

log E .

= ((n+0.5) log n + log√ 2π

− log(n!))/n (6) E=10. ((n+0.5) log n+log√

2π−log(n!))/n(7) 註:

log√

2π = 0.39908 99341 79057 52478 25035 91507 69595 02099 34102 92128 . . .

運用 log 的目的是因為 「n 的 n 次方」 和

「n!」 數值太大, 不借助對數無法處理, 況且 表一 「 n! 之精確值」 是以科學記號表示, 在 運算過程中若有訛誤很容易發現。 將表一中 數字代入 (7) 式計算可求得 「精確之 E 值」

如表二。

既然 E 是 e 的漸近相等值 —

1. 它必隨著 n 值的變大而趨近, 很自然的, 我們可以聯想到:

「令 E 是一個以 e 的次方之 n 的函 數」 應可達到此目的。 而 「e 的次方」 之 大小, 採用工程型計算機或個人電腦程式 之函數簡易可算。

2. 「ln E = e 的次方」, 由 「精確之 E 值」

可得到 「精確之 e 的次方」(即 ln E), 數 值見表二。

3. 因為 n 趨近於無限大時, E 值與 e 相等, 所以 「e 的次方」 此次方必定趨近於 1。

4. 「e 的次方」 的函數必定可以 「1 減掉 ((n 的函數) 之倒數)」 來表示之。 因為隨著 n 的增大, 就可以滿足前面的條件。

5. 令 F (n) 為此 「e 的次方」 的函數, E = exp(1 − 1

F (n)) (8) 若能找到這個 F (n) 函數即可得到 E 值。

F (n) = 1

1 − ln E (9) 利用表二與 (9) 式, 可得到 F 值, 如表三。

如以數值迴歸之方法, 配合現有 「答案」, 反 求 F (n) 並不困難。

肆. F 值的迴歸

1. 以 n 的一次式線性迴歸, 得 F = −318191.7395697517

+9897.928907936050n (10) 相關係數 R²_a= 93.50455516468915%

相關係數 R²_a 不夠趨近 1, 不理想!

2. 以 n 的一次式和二次式線性迴歸, 得 F = 0.397466374596547

−0.000073247773528n +12.0000002309n² (11) 相關係數 R²_a= 100.0000000000001%

相關係數 R²_a 趨近 1 (略大於 100%是由 於計算機誤差所造成), 式子可用。

3. (11) 式與 (10) 式相比較, 不過是增加 n 的二次式, 就讓 「相關係數R²_a」 顯著提 高, 也許是因為二次式的相關性比一次式

強很多, 所以考慮僅以 n 的二次式來線 性迴歸, 或許既能實用且較 (11) 式簡潔。

F = 0.394555101297897

+12.000000147908039n²(12) 相關係數 R²_a= 100.0000000000000%

相關係數 R²_a 等於 1 (實際上是計算機和 程式的不夠精確!), 很幸運的, 我們終於 尋獲所要找的函數。

4. 將 (12) 式, 修正為 (13) 式後, 簡潔、 好 記, 並且精確度尚能令人滿意!

F = 0.4 + 12n² (13) 5. 比較 (12) 式與 (13) 式計算所得 F 值,

詳表四。

伍. 計算式的改寫

由 (8) 式 與 (13) 式, 得 E = exp(1 − 1

F (n))

= exp(1− 1

0.4+12n²) (14) 以 E 值去代替 e, 代回 (4) 式, 發現— 增加 的計算時間微乎其微, 過程不困難, 但精確度 卻有十分顯著的提升。 隨即將 (4) 式改良為 (15) 式

n!=. nⁿ√ 2πn

(exp(1 − 0.4+12n^{1 2}))ⁿ (15)

表四. 計算之 F 值

n (12)式之^F 值 ₍₁₃₎式之^F 值

1 ( 1)1.2394 55524 92059 4 ( 1)1.2400 00000 00000 0 2 ( 1)4.8394 55569 29300 6 ( 1)4.8400 00000 00000 0 3 ( 2)1.0839 45564 32470 3 ( 2)1.0840 00000 00000 0 4 ( 2)1.9239 45574 67826 5 ( 2)1.9240 00000 00000 0 5 ( 2)3.0039 45587 98998 9 ( 2)3.0040 00000 00000 0 6 ( 2)4.3239 45604 25987 3 ( 2)4.3240 00000 00000 0 7 ( 2)5.8839 45623 48791 9 ( 2)5.8840 00000 00000 0 8 ( 2)7.6839 45645 67412 4 ( 2)7.6840 00000 00000 0 9 ( 2)9.7239 45670 81849 1 ( 2)9.7240 00000 00000 0 10 ( 3)1.2003 94569 89210 2 ( 3)1.2004 00000 00000 0 11 ( 3)1.4523 94572 99817 1 ( 3)1.4524 00000 00000 0 12 ( 3)1.7283 94576 40005 6 ( 3)1.7284 00000 00000 0 13 ( 3)2.0283 94580 09775 6 ( 3)2.0284 00000 00000 0 14 ( 3)2.3523 94584 09127 4 ( 3)2.3524 00000 00000 0 15 ( 3)2.7003 94588 38060 7 ( 3)2.7004 00000 00000 0 16 ( 3)3.0723 94592 96575 6 ( 3)3.0724 00000 00000 0 17 ( 3)3.4683 94597 84672 1 ( 3)3.4684 00000 00000 0 18 ( 3)3.8883 94603 02350 3 ( 3)3.8884 00000 00000 0 19 ( 3)4.3323 94608 49610 0 ( 3)4.3324 00000 00000 0 20 ( 3)4.8003 94614 26451 4 ( 3)4.8004 00000 00000 0 21 ( 3)5.2923 94620 32874 3 ( 3)5.2924 00000 00000 0 22 ( 3)5.8083 94626 68878 9 ( 3)5.8084 00000 00000 0 23 ( 3)6.3483 94633 34465 1 ( 3)6.3484 00000 00000 0 24 ( 3)6.9123 94640 29632 8 ( 3)6.9124 00000 00000 0 25 ( 3)7.5003 94647 54382 2 ( 3)7.5004 00000 00000 0 26 ( 3)8.1123 94655 08713 2 ( 3)8.1124 00000 00000 0 27 ( 3)8.7483 94662 92625 9 ( 3)8.7484 00000 00000 0 28 ( 3)9.4083 94671 06120 2 ( 3)9.4084 00000 00000 0 29 ( 4)1.0092 39467 94919 6 ( 4)1.0092 40000 00000 0 30 ( 4)1.0800 39468 82185 3 ( 4)1.0800 40000 00000 0 100 ( 5)1.2000 03960 34181 7 ( 5)1.2000 04000 00000 0 200 ( 5)4.8000 04004 71422 9 ( 5)4.8000 04000 00000 0 300 ( 6)1.0800 00407 86682 5 ( 6)1.0800 00400 00000 0 400 ( 6)1.9200 00418 22038 8 ( 6)1.9200 00400 00000 0 500 ( 6)3.0000 00431 53211 1 ( 6)3.0000 00400 00000 0 600 ( 6)4.3200 00447 80199 5 ( 6)4.3200 00400 00000 0 700 ( 6)5.8800 00467 03004 1 ( 6)5.8800 00400 00000 0 800 ( 6)7.6800 00489 21624 7 ( 6)7.6800 00400 00000 0 900 ( 6)9.7200 00514 36061 4 ( 6)9.7200 00400 00000 0 1000 ( 7)1.2000 00054 24631 4 ( 7)1.2000 00040 00000 0

表五. n! 之計算

n Stirling式 Stirling之改良式

1 0.9221 37008 89578 9 0.9995 83781 13810 8

2 1.9190 04351 48898 3 1.9999 63236 52624 7

3 5.8362 09591 34586 4 5.9999 84106 42766 7

4 ( 1)2.3506 17513 28933 0 ( 1)2.3999 98436 84752 2

5 ( 2)1.1801 91679 57590 0 ( 2)1.1999 99739 41378 7

6 ( 2)7.1007 81846 42185 0 ( 2)7.1999 99365 53589 5

7 ( 3)4.9803 95831 61246 3 ( 3)5.0399 99793 29351 1

8 ( 4)3.9902 39545 26567 0 ( 4)4.0319 99914 85103 0

9 ( 5)3.5953 68728 41948 1 ( 5)3.6287 99957 35872 6

10 ( 6)3.5986 95618 74103 7 ( 6)3.6287 99974 77189 5 11 ( 7)3.9615 62505 05774 9 ( 7)3.9916 79982 74403 3 12 ( 8)4.7568 74864 72776 7 ( 8)4.7900 15986 58301 7 13 ( 9)6.1872 39475 19271 5 ( 9)6.2270 20788 30071 1 14 ( 10)8.6661 00174 05986 3 ( 10)8.7178 29108 68486 6 15 ( 12)1.3004 30722 19946 4 ( 12)1.3076 74366 79725 2 16 ( 13)2.0814 11441 52231 6 ( 13)2.0922 78987 40573 0 17 ( 14)3.5394 83286 66100 4 ( 14)3.5568 74279 20889 2 18 ( 15)6.3728 04626 19431 2 ( 15)6.4023 73703 35879 5 19 ( 17)1.2111 27865 92293 7 ( 17)1.2164 51003 74471 2 20 ( 18)2.4227 86846 76114 0 ( 18)2.4329 02007 64476 1 21 ( 19)5.0888 61732 55095 5 ( 19)5.1090 94216 29561 5 22 ( 21)1.1197 51494 62823 7 ( 21)1.1240 00727 62497 8 23 ( 22)2.5758 52537 05292 9 ( 22)2.5852 01673 60736 7 24 ( 23)6.1829 79270 22795 4 ( 23)6.2044 84016 78690 9 25 ( 25)1.5459 59483 46911 8 ( 25)1.5511 21004 22190 2 26 ( 26)4.0200 09930 60952 6 ( 26)4.0329 14611 02837 9 27 ( 28)1.0855 31517 03195 7 ( 28)1.0888 86944 98870 0 28 ( 29)3.0398 23262 43342 7 ( 29)3.0488 83445 99307 8 29 ( 30)8.8163 92105 37750 7 ( 30)8.8417 61993 43781 8 30 ( 32)2.6451 70959 22965 7 ( 32)2.6525 28598 04545 0 100 ( 157)9.3248 47625 26955 3 ( 157)9.3326 21544 39367 2 200 ( 374)7.8832 93286 44157 1 ( 374)7.8865 78673 64752 1 300 ( 614)3.0597 25080 78967 2 ( 614)3.0605 75122 16418 6 400 ( 868)6.4021 18371 33524 0 ( 868)6.4034 52284 66293 6 500 (1134)1.2199 33486 82611 0 (1134)1.2201 36825 99102 2 600 (1408)1.2653 96554 51468 0 (1408)1.2655 72316 22528 9 700 (1689)2.4217 51803 82196 2 (1689)2.4220 40124 75071 2 800 (1976)7.7097 26975 00648 9 (1976)7.7105 30113 35283 9 900 (2269)6.7520 55001 76879 3 (2269)6.7526 80220 96212 0 1000 (2567)4.0235 37292 03474 7 (2567)4.0238 72600 76974 3 10000 (35659)2.8462 35962 18333 0 (35659)2.8462 59680 90759 0 100000 (456573)2.8242 27054 56058 0 (456573)2.8242 29407 85623 8 1000000 (5565708)8.2639 30995 12457 2 (5565708)8.2639 31686 26631 9 10000000 (65657059)1.2024 23380 75934 5 (65657059)1.2024 23401 38763 5 100000000 (756570556)1.6172 03942 80194 8 (756570556)1.6172 03942 80194 8

陸. n! 之計算與比較

改寫 (2) 式為 (16) 式 (Stirling 公式 的對數形式)

log(n!) .

= log√

2π + (n + 0.5) log n

−n × log e (16) 改寫 (15) 式為 (17) 式 (改良式之對數形式)

log(n!)= log. √

2π+(n+0.5) log n

−n× log(exp(1− 1

0.4+12n²) (17) 註:

log e = 0.43429 44819 03251 82765 11289 18916 60508 22943 97005 80367 · · ·

利用個人電腦 (AcerPower 560h, In- tel Pentium-60 CPU), 分別計算以上 (16), (17) 兩式, 求得 n! 之計算結果如表五。 有興 趣的朋友可再連同表一 「n! 之精 確值」 做一 比較。

相對誤差比較, 如表六。 以改良式推估 2!的相對誤差 (−1.83817E − 05) 即小 於原 Stirling 公式推估 1000!的相對誤差 (−8.33299E − 05), 兩式逼近真實值之速度 不可同日而語。 如果當 n ≤ 3 時, 以心算即 可算得 n! (如 3! = 3 × 2 × 1), 不必借助任 何近似之計算式; 當 n ≥ 4, 使用本文所提之 改良式求解 n! , 就能將相對誤差降到百萬分 之一以下; 當 n ≥ 10 時, 甚至已將相對誤差 降到億分之一以下, 可見其實用性甚高。

表六. 計算 n! 時, Stirling 公式與其改良式 分別之相對誤差

n Stirling公式 改良式

1 -7.78630E-02 -4.16219E-04 2 -4.04978E-02 -1.83817E-05 3 -2.72984E-02 -2.64893E-06 4 -2.05760E-02 -6.51314E-07 5 -1.65069E-02 -2.17155E-07 6 -1.37803E-02 -8.81200E-08 7 -1.18262E-02 -4.10132E-08 8 -1.03573E-02 -2.11183E-08 9 -9.21276E-03 -1.17508E-08 10 -8.29596E-03 -6.95219E-09 11 -7.54507E-03 -4.32298E-09 12 -6.91879E-03 -2.80103E-09 13 -6.38850E-03 -1.87879E-09 14 -5.93370E-03 -1.29793E-09 15 -5.53933E-03 -9.19761E-10 16 -5.19412E-03 -6.66388E-10 17 -4.88940E-03 -4.92317E-10 18 -4.61846E-03 -3.70051E-10 19 -4.37596E-03 -2.82468E-10 20 -4.15765E-03 -2.18619E-10 21 -3.96009E-03 -1.71327E-10 22 -3.78045E-03 -1.35791E-10 23 -3.61641E-03 -1.08746E-10 24 -3.46600E-03 -8.79178E-11 25 -3.32761E-03 -7.16885E-11 26 -3.19984E-03 -5.89342E-11 27 -3.08152E-03 -4.87976E-11 28 -2.97164E-03 -4.06906E-11 29 -2.86932E-03 -3.41431E-11 30 -2.77382E-03 -2.88256E-11 100 -8.32983E-04 -7.975 E-14 200 -4.16580E-04 -4.876 E-14 300 -2.77739E-04 -7.211 E-14 400 -2.08312E-04 8.530 E-14 500 -1.66653E-04 -7.188 E-14 600 -1.38879E-04 -1.126 E-13 700 -1.19041E-04 1.817 E-13 800 -1.04161E-04 -1.325 E-13 900 -9.25883E-05 -3.649 E-13 1000 -8.33299E-05 -2.971 E-13

柒. 結論

1. 要改良 Stirling 公式可由修正 「自然對 數的底數 e」 著手。

2. 比較兩者之相對誤差, 改良式遠小於 Stirling 公式, 所以改良式非常適合取 代原來的 Stirling 公式。

Stirling 公式的改良式 n! .

= nⁿ√ 2πn (exp(1 −_0.4+12n^{1 2}))ⁿ 3. 誤差範圍因為筆者並非數學科班出身,

「非不為也, 實不能也!」 寄望本文讀者 能予以求得, 以彌補本文之缺陋!

捌. 參考文獻

1. 岩波數學辭典第 3 版。

2. McGRAW-Hill, Dictionary of Physics and Mathematics.

3. Mathematical Tables for Scientists and Engineers.

4. CRC Standard Mathematical Tables (v.28th).

5. Handbook of Mathematical Fuctions (1967).

6. 蔡聰明, 談 Stirling 公式, 數學傳播季刊 66 期 p.24-31。

—本文作者任職於亞洲聚合公司儀電課_—