若干機率論與分析學的關連與互動

若干機率論與分析學的關連與互動

謝南瑞

1. 前言

中山大學黃文璋教授囑筆者寫些有關 機率論的可讀之文。 坊間有關趣味機率論之 書藉多矣, 不勞我再添一筆。 或許寫些 進級的東西吧!? 機率論自1933 年由 A.

N. Kolmogonov 提出植基於測度論的公 設體系以來, 不到 60 年間其已密切關連於 各數學分枝; 豈不見 隨機分析、隨機幾何、

隨機微分方程式等之名乎。 另一方面, 機率 論之應用層面亦大有進展; 豈不見隨機微 分方程在金融之應用乎。 在此短文中, 筆者 簡略談些機率論與函數論的一些關連。 雖是 個研究級的主題, 但不須太多的術語即可領 會。

在上下文中, 我們有多處使用 號。

這或者代表是某些 (自認) 幽默的用語, 或者 代表是某些須嚴格定義的數學名詞, 等等。

2. 處處不可微分的連續函數

在高微教程中, 我們都習知可利用三 角級數造出 Weierstrass 函數。 這是個處 處不可微分的連續函數。 顯然, 這是個相 當病態的函數。 如果 Newton 不幸知道這個

函數的話, 或許他會落入邏輯迷陣中, 而無微 積分的創見了。 我們不禁會問:

有無其它處處不可微分的連續函數? 利 用機率論的一個經典結果, 我們可以答曰:

有, 且有許多。

定理(L´evy, Paley, Wiener, Zygmund,. . .):

幾乎每條Brown 路徑 W_t(w)都是處處不 可微分。 我們甚至有更強的結果: 幾乎每條 Brown 路徑Wt(w)都滿足

lim sup

0<s<t≤1 t−s=h↓0

|W_t(w) − W_s(w)|

(2h ln(1/h))^1/2 = 1。

或許你會不以為然地反問: 何以你我 要沈溺於病態的函數中!? 容我敘述 B.

Mandelbrot 的觀點: 由自然現象之研究中 所得的曲線與圖形, 絕大多數是病態的(在微 小尺度下)。 這個觀點, 也就是 碎形幾何學的 濫觴。 後者則是混沌學說的基礎; 誠所謂 What a mass 是也。

3. 由 Brown 運動至 L´ evy 過程

英國植物學工作者 Robert Brown, 於 18- 28 年發表有關懸浮於水中之花粉的不規

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則運動的觀察論文。 從而我們有 Brwon 運 動這個物 理名詞。 它的數學建構是什麼? 附 帶一提, 愛因斯坦憑其智慧, 不須嚴密的數 學, 即已推導出 有意義的有關Brown 運動 之物理結果。 以X(t),t ∈ [0, ∞), 表時 軸 [0, ∞)中某個時刻t之質點 (例, 花粉) 位 置。 顯然, 我們只能視X(t)為 隨機的; 亦 即, 我們只能談X(t)的 機率分佈而無法標 示其至某個精確值(否則, 花粉就不是附有精 靈似地活動, 引Brown 原文之用語)。 我們 以 X(t, w)或X_t(w),w ∈ (Ω, F , P )表此 隨機性。 視Xt(w)為一隨機運動 (隨時間t而 演化), 則為所謂 隨機過程矣。 當我們固定 w, 而考慮t → Xt(w), 則我們得到 一條樣本路徑。 對每個[0, ∞)之子區間I = [a, b], 我們以X(I)或X[a, b]表增量X(b) − X(a)。

假定: 1^◦ 對任意k (k ≥ 2) 個不重疊 的I1, . . . , Ik,X(I1), . . . , X(Ik)為獨立的。

2^◦ X[a, b]與X[0, b − a]有相同的機率 分佈。

我們聲明: 上述的假定多少是自然且合 理的 —以物理眼光思之。 2^◦ 表示增量 X[a, b] 之機率分佈不因時間的推移而改變, 所謂 定常也。1^◦ 表示質點運動純由外在介質 而引發, 而質點自身全無貢獻 (無精靈附體) 也。

定理 (Ito, L´evy,. . .): 若隨機過 程X(t)滿足上述兩假定且每條樣本路徑皆為 連續, 則增量X[a, b]為 Gauss 分佈。

我們知道, 任一 Gauss 分佈皆由 其期望值與變異數所決定。 當上述定理中

之X[a, b]為期望值 0 且變異數b − a時, 我 們得到所謂Wiener 過程, 此為 Brown 運動 的數學模型 (N. Wiener 於1923年首先研究 此模型, 故名之以紀念)。

一般而言, 任一滿足上述兩假定的隨機 過程, 我們皆可設定其樣本路徑為 右連續且 左極限存在之函數; 且名之為L´evy 過程, 以 紀念偉大 (但不幸) 的法國機率學派開山祖師 Paul L´evy。 除了某些特殊情形 (例,Wiener 過程與 Poisson過程) 外,L´evy 過程的樣本 路徑之不連續點集是可數但處處稠密的。 這 又獲得了? 多病態的函數。

4. 局部時

我們將 Witner 過程的樣本路徑稱之 為 Brown 路徑。 考慮一種情況的 Brown 路徑 Wt(w) 的平準集Lx(w) = {t ∈ [0, 1]|Xt(w) = x},x ∈ R。

定理 (L´evy,. . .): 幾乎每條 Brown 路 徑的每個平準集都是一個完美 (即, 自我稠密 之閉集) 且其 Lebesgue 測度為 0。

我們知道, 在函數論中 Cantor 集 是個零測度的完美集。 由上述定理, 我們獲

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定理中之水平集的 Hausdorff 維度為1/2, 是以其不同於 Cantor 集。 客我再敘述一 次:B. Mandelbrot 視病態的函數與病態的 點集為新科學(碎形與混沌) 的基石。

我們將[0, ∞]視為時軸,Lebesgue 測度 是上面最自然的時測 (就分析學眼光)。 但, 上 述定理卻告訴我們,Lebesgue 測度並非測量 有關 Brown 路徑之行為的精良時計。

定理 (L´evy, Trotter,. . .): 固定 x ∈ R; 對幾乎每條 Wt(w), 我們有 惟一的加性泛函 ℓ_x( t, w )。 此泛函於時刻 t 增值若且唯若 W_t(w) = x。 再者, 可取 成ℓx(t, w)對(x, t)為連續。

ℓ_x(t) 即 P. L´evy 所謂的 局部時。 其也 證明了

ℓx(t, w) = lim

ε↓0

1 2ε

Z

0 1{|W^s(w)−x|≤ε} ds。

局部時是典型的隨機時計; 亦即, 我們在每條 樣本路徑上都附上一個時計以測度其行為!

對一般 L´evy 過程的局部時問題, 則涉 及了相關於 L´evy 過程的 機率位勢理論。 直 到前些年, 劍橋大學的M. Barlow 才多少完 整地解決此問題。

5. 路徑的自交

我們考慮平面或空間中的 Brown 路徑, 且問道: 它會自我打結 (自交) 嗎? 若 有 k個時刻 t1, . . . , tk使Wt₁(w) = . . . = Wtk(w) = x, 則稱x為一個路徑的k – 重點。

如圖:

定理 (Dvoretzky, Erd¨os, Kakutani, Taylor, . . . ): 幾乎每條平面 Brown 路徑 都有k – 重點 (任意k ≥ 2), 幾乎每條空間 Brwon 路徑都有兩重點但不可能有三重點。

與前幾節不同的是, 我們極容易地畫出 (造出) 有自交的函數 (路徑)。 因之, 上述定 理似乎只是 純機率的樂趣了。 不然, 上述50 年代的結果到了 60 與 70 年代卻有了內涵。

在從事長鏈聚合物的研究中, 化學工作者習 慣將此種聚合物鏈算成一個 Brown 路徑。

但上述定理卻告訴我們, 這種看法是有問題 的—空間中的同一位置不能被兩個碳原子佔 用; 亦即, 鏈必須是不打結的!解決的方法

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是: 考慮 自我迴避的Brown 路徑而非尋常 Brown 路徑。 這項研究, 至今仍是一個尖端 問題。

一般 L´evy 過程的自交問題, 也是到前 幾年才有令人滿意的結果, 筆者個人在這方 面有些許貢獻。

6. 後語

在分析學 (函數論) 中, 我們著重函數 的規則性, 例如可微分性與囿變性。 一些病態

的函數與集合, 例如前述的Weierstrass 函數 與 Cantor 集, 都被視為反例 (=末流) 而 已。 在機率論中, 我們考慮隨機過程的樣本路 徑, 卻儘多是病態的, 或應云, 成常態的了!對 分析學工作者為病態, 對機率論工作者為常 態, 兩態的位相遷移一直是筆者興趣所在。 碎 形理論與混沌理論之發展, 提示我們這非僅 是數學的品味而實在是兼及實用的層面。 莘 莘學子, 亦有興趣乎!?

—本文作者任教於國立台灣大學數學系—