楊輝 《續古摘奇算法》 之聚五圖初探
梁培基
一、 楊輝 『聚五圖』
2017 年 10 月李信明教授發送郵件一則趣題 — 幻圖, 千奇百怪的圖形, 琳琅滿目。 其中 介紹了楊輝的 『聚五圖』, 但不知道這個聚五圖是 『非連續數』 所組成的。 此前, 在 1981 年到大 連拜謁梁宗巨教授時, 在梁教授那裏看到過楊輝的幻方及幻圖。 當時認為是絕對經典的著作, 奉 若神明, 不敢有絲毫疑惑與懈怠。 而且只顧研究 『和、 積幻方』(雙重幻方) 也未曾深入研究聚五 圖。 李教授郵件發送了楊輝聚五圖, 並且謙虛的說 : 『修改錯誤』。 這個聚五圖是他出版書籍中 所用的篇章, 這麼重要的事情, 交給了 『半路出家』 的無名之輩, 我誠惶誠恐, 不敢有絲毫謬誤。
所以重新開始認識、 研究 『聚五圖』。 這時, 才發現楊輝的聚五圖不是連續自然數所組成。 由於 年輪的增加, 現在對於文獻和經典書籍中所載的問題, 凡力所能及的都要探索一番, 以求真實, 不以訛傳訛, 不誤導後人。 古人曰 : 「學貴有疑, 小疑則小進, 大疑則大進。」
1275 年楊輝的 《續古摘奇算法》 成書, 至今已有七百多年的歷史, 楊輝在文中注 『21 子 作 25 子用』, 所使用的 21 個元素如下表:
楊輝聚五圖
1 2 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24
95
楊輝為什麼不用連續自然數呢? 筆者不便妄加揣測。
能不能用連續自然數 1, 2, 3, . . . , 21 構成這類圖, 並且滿足上述性質呢?
經過仔細揣摩, 造出 3 個聚五圖, 其幻和分別是 57、 55、 53 (圖 2、 3、 4)。
七百年來, 難道就沒有人發現嗎?
幻和 = 57 幻和 = 55 幻和 = 53
造出連續數聚五圖 (上面三個圖) 之後, 把這三個圖連同楊輝的聚五圖一併交給 『Z 君』 審閱, 求他找找 『毛病』, 提提意見。 『Z 君』 文學水準較高, 筆鋒犀利, 伶牙俐齒, 素以 『挑毛病』 為 樂趣。 發現報紙、 雜誌、 電視臺有錯別字, 立刻發函批評, 不留一點情面, 人送綽號 『挑毛病』 先 生。 筆者非常敬仰他一絲不苟、 不徇私情的認真精神, 素有往來。 遇到某些字句不理想的時候, 就找他挑毛病, 一般能如願以償。
二、 Z 君提出第一次建議
『Z 君』 在我的幻方氣氛薰陶下, 開始有些感染, 審核之後, 他提出, 楊輝聚五圖的中間行 與中間列關於中心點對稱的 4 個數之和都相等。 你的三個圖不具有這個性質。
很好! 能有人認真的提意見是非常難得的事情。
小時候很喜歡老師表揚, 很喜歡看老師批改作業的好批語。 而現在呢, 只想找人提出不同 的意見, 甚至相反的意見。 直到現在才體會到古人的至理名言 : 「道吾好者是吾賊; 攻吾惡者是 吾師!」 的深切含義。
於是, 把 3 個聚五圖, 修改為下面的圖 4、 圖 5、 圖 6。
這 3 個聚五圖的性質如下 : 1. 每圓上 5 個元素之和都相等。
2. 中間行、 中間列相對稱位置 4 數與中心數之和相等。
例如在下圖 (左) 中 : 14 + 20 + 7 + 13 + 3 = 57; 19 + 10 + 16 + 9 + 3 = 57。 圖中與圖右
也都具有這種性質。
3. 中心圓 (雙線所圍) 5 個元素都是奇數。
幻和 = 57 幻和 = 53 幻和 = 55
三、Z 君的第二次建議
Z 君真是知心好友, 知無不言, 並且提出非常尖銳的問題。 Z 君又提出 : 楊輝的聚五圖是 把 『5』 排列在 『中心點』 的位置上, 其餘的數字以 『5』 為中心而 『聚攏』, 具有 『朝拱』 之勢, 所以叫 『聚五圖』。 而你的圖沒有把 『5』 排列在中心點上, 是否與古賢聖典相悖呢? 或者說你 這個圖與楊輝 『聚五圖』 的定義不吻合。
好哇! 找到不足就是前進的動力!
根據連續自然數 1, 2, 3, . . . , 21 是不能構成 『5』 在中心點聚五圖的 (證明略), 所以楊輝 利用加大數字的方法得到 『聚五圖』, 難道楊輝的方法是唯一解嗎?
俗話說 : 「聽話聽音, 出 (挖) 樹刨根」。
於是, 開始第三次修改, 下面是 5 在中心的聚五圖。
幻和 = 57 再交 Z 君挑毛病。
四、 Z 君第三次建議
Z 君提出一個更加一般性的問題 : 既然 5 能在中心, 那麼 『1』 能否在中心呢?
再次修改。 得到 『1』 在中心點位置上的聚五圖。
幻和 = 58
掌握了這個方法, 任意元素都可以排列在中心點的位置上, 從而解決了中心點排放任意元素的 問題。
第 4 次交 Z 君挑毛病。
五、 Z 君第四次建議
能否用 21 個不從 1 開頭的連續數, 並且組成 『5 在中心點』 的聚五圖呢?
我們用 3, 4, 5, . . . , 23 構作聚五圖, 幻和為 67。
幻和 = 67
利用上述改變元素值的方法, 我們可以得到 21 個連續數 (不從 1 開始) 組成的任意元素 為中心點的聚五圖。
在這裏, 我們引入一個 『共軛聚五圖』 的定義 :
如果用一個數減去聚五圖 A 中的各個元素, 而得到另一個聚五圖 B, 我們稱 A 與 B 互 為『共軛聚五圖』, 下面兩個幻和分別是 56 與 54 的就是一對 『共軛聚五圖』。 用 22 減去 A 圖
的各個元素, 就得到對應的圖 B。 反之, 用 22 減去圖 B 的各個元素, 就得到 A。 所以稱這樣 的 A 與 B 互為 『共軛聚五圖』。 前面列出的各個聚五圖, 都可以用這個方法得到他們的共軛聚 五圖, 讀者不妨一試, 這是一種很簡捷的方法。 這就好像 『對偶解』 一樣, 找到一個就立馬得到 另一個。 也難怪, 我國古代聖賢幾千年前就指出 : 有陰必有陽, 陰陽不可偏廢。 『萬物負陰而抱 陽。』
六、 Z 君第五次建議
Z 君提出 : 除了連續數 1,2,3, . . . , 21 構成的 3 種幻和的聚五圖, 是否還有其他的解呢?
我們構作出幻和等於 56 的聚五圖, 中心點元素是 7 (下圖 A)。 它的共軛聚五圖的幻和等 於 54, 中心點元素是 15 (下圖 B)。
A B
幻和 = 56 幻和 = 54
七、 Z 君第六次建議
Z 君 : 據說質數在數論中的地位非常顯赫, 能否用質數構作聚五圖?
好一個 Z 君, 竟然進入數論中來了! 感謝您提出這個有趣的問題。 我們使用了 21 個連續 質數排列出兩個不同幻和的聚五圖如下。 另外, 左圖的幻和 193 也是質數。
A B
幻和 = 193 幻和 = 187 有興趣的讀者, 不妨排列出更多不同幻和的質數聚五圖, 祝你成功!
八、 Z 君第七次建議
Z 君說: 能否造出性質最多, 而且中心圓全部是 『5』 為尾數的元素?
要想解決這個問題, 就誕生了下面這個 『優化聚五圖』(性質最多的聚五圖)。
幻和 = 125
在上圖中有 5 個尾數是 5 的元素 : 5, 15, 25, 35, 45 被全部收入 『囊中』(中心圓)。
應當說明的是, 用 60 減去上圖各個元素所得到的共軛聚五圖, 同樣具有末位數是 5 的性 質, 並且具有與上圖相同的其他性質。 中心圓的 5 個元素分別是 : 55, 45, 35, 25, 15。 所不同 的是, 其幻和等於 175。
優化聚五圖的構造方法:
為便於敘述, 我們把下圖 4 個基本圓 (上, 左, 右, 下) 依次稱為 A, B, C, D 圓 (紅色字 母所示)。
T1 4 個基本圓的元素
A 1 9 5 51 59 125 B 2 8 15 47 53 125 C 3 7 35 38 42 125 D 4 6 45 34 36 125
T2 1 53 42 4 100
59 2 3 36 100
5 15 35 45 100
9 47 38 6 100
51 8 7 34 100
125 125 125 125 構造方法 :
步驟 1 : 填寫 4 行 5 列矩陣 T1, 使得每行 5 元素之和都等於定值 125。
步驟 2 : 變換 T1 元素的位置, 填寫 5 行 4 列矩陣 T2, 把 T2 的 1, 2, 3, 4 列上的元素, 填入 4 個基本圓 A, B, C, D 中。 使得關於 『中心點』 對稱的 4 元素之和都等於 100。
優化聚五圖的性質如下 :
性質1 : 4 個基本圓 A, B, C, D 各圓 5 元素之和都等於 125。
4 個基本圓的元素 和
A 1 9 5 51 59 125 B 2 8 15 47 53 125 C 3 7 35 38 42 125 D 4 6 45 34 36 125
性質2 : 從 A, B, C, D 每圓中各取 1 個元素, 這 4 元素之和都等於 100, 加上中心點元素 25, 其 5 元素之和都等於 125。 我們把 4 元素之和等於 100 的列出來。
每圓各選1 個元素
1 4 53 42 100
59 2 3 36 100
5 15 35 45 100 9 47 6 38 100
51 7 8 34 100
1 45 47 7 100 5 45 47 3 100 5 45 8 42 100 8 組
性質3 : 從 A, B, C, D 選取兩個圓, 從這兩個圓中各取 2 個元素, 這 4 元素之和等於 100, 加上中心點元素 25, 其 5 元素之和都等於 125。 我們把 4 元素之和等於 100 的列出來。
每圓各選2 個元素
9 51 34 6 100 9 51 36 4 100 47 8 7 38 100 47 8 3 42 100 53 2 3 42 100 53 2 7 38 100 47 15 34 4 100 47 15 35 3 100 47 2 45 6 100 42 7 45 6 100 8 15 35 42 100 1 59 36 4 100 53 2 3 42 100
13 組
性質4 : 由 5, 15, 25, 35, 45 組成的 『中心圓』 5 個元素, 全部由末位數是 5 的數字所組成。
至此, 已經滿足 25 組解, 25 × 5 = 125, 也就是說 21 子可以作 125 子用。
另外, 還有從 A (或 B) 圓中選 2 個元素, 再從其他 2 個圓中各選 1 個元素, 其 4 元素 之和等於 100, 加上中心點 25 之和等於 125 的例子 (略)。
九 、 Z 君第8次建議 : 平方和相等的聚五圖
Z 君; 據說有平方數組, 能否造出 5 個圓的和及平方和分別相等的聚五圖呢?
問題越來越 『刁鑽』, 難度越來越大。 那就試一試吧 : 我們利用 [4] 得到下面的聚五圖。
中心點元素都是 15, 它們的 1 次幻和 = 75; 2 次幻和 = 1499。
S5 = 75, S52 = 1499
在上面這個圖中, 除了五個圓的平方和相等之外, 還有 5 元 2 次平方數組, 但是只滿足兩 圈, 剩下 17, 11, 9, 13 與 15 的平方和不等於 1499, 實乃美中不足也。 這個問題留給有興趣的 讀者, 完成之後, 告訴我們, 將在 《幻方與幻圖》 一書中, 專題重點介紹。
十 、 Z 君第九次建議
看到你構作聚五圖非常輕鬆, 能否告訴大家到底這類聚五圖的謎底在哪裡?
聚五圖大揭秘
規律 : 其實楊輝聚五圖是由上、 下、 左、 右 4 個 5 元組與 1 個中心數所組成的。 中間圓的 5 個元素, 其外邊的 4 個數分別是上、 下、 左、 右 4 個圓的公用元素。
所以, 我們先求出楊輝聚五圖其 21 個元素的總和等於 231, 而 231 不能被 4 整除。 要想 滿足被 4 整除均分為 4 組的條件, 必須減去餘數, 有 5 種情形 :
1. (231 − 3) ÷ 4 = 57, 那麼, 3 就是中心數, 幻和是 57。
2. (231 − 11) ÷ 4 = 55, 那麼, 11 就是中心數, 幻和是 55。
3. (231 − 19) ÷ 4 = 53, 那麼, 19 就是中心數, 幻和是 53。
4. (231 − 7) ÷ 4 = 56, 那麼, 中心點數是 7, 幻和是 56。
5. (231 − 15) ÷ 4 = 54, 那麼, 中心點數是 15, 幻和是 54。
由於最大元素是 21, 所以只有這 5 種解。
1275 年楊輝的 《續古摘奇算法》 成書, 至今已有七百多年的歷史, 難道就沒有人發現嗎?
結語
寫完這篇文章之後, 感慨良多, 在 700 年前楊輝竟然做到這麼好的結果, 實屬不易, 況且 當時沒有電腦, 只有人腦和算盤, 楊輝真是偉大的數學家! 我們在此提出這個問題, 絲毫沒有吹 毛求疵, 貶低楊公的意思, 即使我們不提出這個問題, 日後一定會有人提出來, 所以既然發現了 就告訴大家, 並告慰遙居極樂世界的楊公之靈, 此問題已經找到了答案, 並在他的基礎上移動了 一步!
楊輝聚五圖真相大白
我們把楊輝聚五圖所使用的 20 個元素 (除了中心點元素之外, 剩下 20 個元素), 排列成 4 行 5 列的矩陣, 就立見分曉 :
中心數= 5 中心數= 20
12 19 6 20 8 65 共 13 6 19 5 17 60 4 21 23 1 16 65 軛 21 4 2 24 9 60 11 18 14 15 7 65 14 7 11 10 18 60 13 2 17 24 9 65 12 23 8 1 16 60 40 60 60 60 40 60 40 40 40 60
幻和 = 65 幻和 = 60
行文至此, 不禁想起兩個字 『方, 法』 :
君請看 : 把 20 個元素排列到上面的 『方』 陣裡, 辦 『法』 就出來了, 所以叫 『方, 法』 呀!
至此, 真相大白。
Z 君滿臉堆笑說 : 「哈哈, 受益匪淺, 承教了!」
看到 Z 君一反常態稀有的燦爛笑容, 筆者誠懇地說 : 「不敢當啊! 今後還有找您麻煩的時
候, 但願多挑毛病, 可不能打退堂鼓啊!」
Z 君高興的說 : 「挑毛病是我的老本行, 只要發現, 照 『挑』 不誤!」
附注: 李信明教授筆名李學數, 生於新加坡, 在馬來西亞和新加坡讀中、 小學, 高中進入中文學 校。 留學加拿大獲得數學博士學位, 又在美國哥倫比亞大學攻取電腦碩士學位, 1984 年獲得史 蒂文斯理工大學數學博士。 之後, 師從 20 世紀最偉大的數學家格羅滕迪克 (A.Grothendieck, 1928∼2014), 他的研究範圍橫跨數學、 電腦、 圖論、 數學史等各個領域, 學識淵博, 文理兼優, 才貫中西, 發表論文 200 餘篇。 李學數教授撰寫的 《數學和數學家的故事》, 1-10 冊(上海科學 技術出版社), 錄入了古今中外數學家攻克數學難題的故事, 並且深入淺出的介紹了數學家所使 用的方法、 技巧。 為後人持續研究架起了橋樑, 提供了線索。 是一本充滿正能量, 激勵後人從事 數學研究, 不可多得的好書。
參考資料
1. 梁宗巨。 世界數學史簡編。 遼寧出版社。
2. 梁宗巨。 數學家傳略辭典。 遼寧出版社。
3. 李學數。 數學和數學家的故事。 第 7 冊, 上海科技出版社 2017 年 5 月。
4. 梁培基、 顧同新。 平方幻方與雙重幻方的構造。 數學傳播季刊, 13(3), 65-69, 1989。
5. 梁培基。 奇妙的平方數與四季數。 數學傳播季刊, 41(3), 86-92, 2017。
6. 梁培基、 張忠輔。 雙重數組方程解。 數學通報, 中國數學會, 北師大 1993.3。
7. 梁培基、 張航輔、 張俠輔。 幻方的一種構作方法。 雲南大學學報 1989.4。
—本文作者任職中國河南省封丘縣科協—
