局部體與大域體

局部體與大域體

李文卿 · ^余文卿

第一節. 局部體

設k是一具q個元素的有限體, 將有理函 數體k(T )表為F 。 設x是k上投影線P¹上的 一封閉點; 研究P¹上非零有理函數在x點附 近的表現, 即是想知道x 到底是f 的幾重零 點或極點; 而了解的方法是透過x 所滿足的 不可約多項式P (T )。 將f 表為 k(T ) 中兩多 項式 g(T ) 與 h(T )的商 (若x 是無窮遠點, 則以¹

T取代T )。 那麼f 在x 點之零位的重數 等於P 整除g的重數減去P 整除h的重數。 說 得更透澈一點, 以P表示k(T )中由P 生成的 理想; P (T )整除g(T )的重數是滿足g(T )落 在P^m的最高冪次m。 最後這一描述法可擴 充並適用於常數體是k的任意函數體K。 事 實上, 在這種情形K中的位 (place) 即 是k[T ] 或k[_T¹]之整閉包O的一最大理想P。

欲知K中非零有理函數在P的情況, 可先 將f 表為g/h, 其中g, h落在O。 這種表示法 可以做到是因為K是O 的商體。 g在P的重 數 (order) 記做ordpg, 是使得g ∈ P^m的最 高冪次m; 那麼f 在 P 位的重數是

ord_pf = ord_pg − ord_ph。

對k的每一位P, 利用重數ord_p可定 義K上一賦值 (valuation)| |_p如下:

 

 

 



|0|p = 0,

|f |_p= (NP)^−ordpf = (q^{−deg p})^ordpf

= |O/P|^−ordpf, f ∈ K^×。

在有理數體Q中, 整數環Z扮演的角 色就像k[T ] 在k(T )中的一樣。 Z的每一質 理想(p) = pZ即是Q的一有限位(finite place)。 若k是Q的有限 (代數) 擴充體, K即稱為數體(number field), 它的整數 環O(ring of integers) 是Z在K 中的整 閉包, O中的最大理想P即是K的有限位。

餘數體O/P是個有限體, 其元素個數NP稱 為P 的 norm。 類似於上面的方法, 我們可 定ordp, 以及由ordp定義K上的賦值| |_p為

 

 

 



|0|_p= 0,

|z|p = (NP)^−ordpz

= |O/P|^−ordpz, 若 z ∈ K^×. 上面定義在函數體或數體的賦值| |_p有 下列的基本性質: 設x, y ∈ K, 則

(1) |x|_p ≥ 0, 且|x|_p = 0 ⇔ x = 0, (2) |xy|p = |x|p|y|p,

(3) |x + y|_p ≤ max(|x|_p, |y|_p)。

注意到由性質 (3) 可導出

1

(4) 三角不等式:|x + y|p ≤ |x|p+ |y|p. 因此, | |p定義了K上的一量度 (met- ric)。 K對這量度的完備體K_p包含K當稠密 子體。 K_p 中的整數是在P沒有極點的元素;

由於 (1) 到 (3) 的性質, 使這些整數形成一 環, 稱為Kp的整數環, 以Op表之。 換句話說,

Op = {x ∈ Kp| |x|p ≤ 1}

O_p中的乘法可逆元素稱為P-adic 單位 (P- adic units), 形成一乘法子群Up, 故

U_p = {x ∈ K_p| |x|_p = 1}

而

Pp = Op − Up = {x ∈ Kp| |x|p < 1}

是O_p中的唯一最大理想且O_p中的非零理想 只是 P的某一冪次方, 而商O_p/Pp稱為K_p 的餘數體(residue field), 它與未完備前的餘 數體 O/P 是同構的。Pp是一主理想 (prin- cipal ideal) 由取值是最大值(NP)⁻¹的 任意元素 π_p 所生成; π_p 稱為在P的 uniformizer。K_p^× = U_p < π_p >, 更進一 步, 以S表示O_p中餘數體的所有代表, 則任 意O_p的元素可表成係數落在S以π_p 為冪次 的泰勒展開式, 其中常數項不落在P的元素 構成單位群 Up。 且任意−Kp的元素則可表成 係數落在S以π_p 為冪次的Laurent 級數。

例題 1: 設K = Q且P = (p), 可選πp = p及S = {i| 0 ≤ i ≤ p − 1}, 則

Op = Zp = {

X

∞ i=0

aipⁱ|0 ≤ ai ≤ p − 1}, Q∩ Zp = {m

n|m, n ∈ Z, p 6 |n}

Pp = pZp = {

^X

i=1

aiPⁱ|0 ≤ ai ≤ p − 1}, U_p = {

X

∞ i=0

a_ipⁱ|0 ≤ a_i ≤ p − 1, 且a₀ 6= 0}, Q_p = {

^X

i>−∞

aipⁱ|0 ≤ ai ≤ p − 1},

餘數體是Z_p/pZp ∼= Z/pZ。

習題 1: 在例題 1 中, 將−1與¹_r, 其中p 6 |r, 表示成係數在S變數為p的 Taylor 級數 例題 2: 設K = k(T )且P是次數為 1 的 位, 它對應點a ∈ k。 選定π_p = T − a以 及S = k, 則整數環是由係數在k之T − a的T aylor 級數所組成; Up是在 a不為零的 元 素所組成。 在P的餘數體與k 同構, 而完 備體K_p是形式冪級數k((T −a))所形成的體, 這體與k((T ))同構。

現 把Kp視 為 拓 樸 群 而 觀 察 其 拓 樸 結 構。 理想族{Pⁿ_p}n≥0 形成0附近的鄰近系統 (neighborhood system)。 故看成加法拓樸 群時, Kp 是局部緊緻且完全不連結 (即每一 點各自形成一連結分支)。 且Op (及Pⁿp, n ≥ 1) 既是開集也是緊緻, 而單位群Up上有自然 的 Filtration

U_p ⊃ 1 + P_p ⊃ 1 + P_p² ⊃ · · · ⊃ 1 + P_pⁿ ⊃ 在上面這系列中, 第一個商群和餘數體的乘 法群同構; 而其他剩下的連續商則與餘數體 的加法群同構, 群{1 + P_pⁿ}_n≥1形成1的鄰近 系統。 故乘法群K_p^×也是局部緊緻, 而U_p是 開 集 也 是 緊 緻。 注 意 到K_p^×上 的 拓 樸 是 承 襲Kp的拓樸而來。

上面所定義的賦值| |_p不具阿基米德性 質, 稱為非阿基米德賦值(nonarchimedean

valuation), 而 位P稱 為 非 阿 基 米 德 位(nonarchi- medean place)。 當K是函數 體時, 所有的賦值都是非阿基米德, 但K是數 體時, 也會有阿基米德賦值, 因而得出K的 阿基米德 (無窮) 位。 說得更精確一點;

設K是Q的n次擴充體, 則k = Q(ξ), ξ ∈ K。 ξ之 有 理 係 數 不 可 約 多 項 式 的 次 數 是n, 設ξ₁, · · · , ξr¹ 是這多項式的實根, 而 ξr1+1, ξ_r1+1, ξr1+2, ξ_r1+2, · · · , ξr1+r2, ξ_r1+r2 是這多項式的複數根。 在此n = r₁+2r2且ξ_j 是ξj的共軛複數。 則有n個從K到C的嵌入 (embedding) 如下:

σ_i : ξ → ξ_i, i = 1 · · · , r₁ τj : ξ → ξr1+j, 1 ≤ j ≤ r2

τj : ξ → ξ_r1+j,

故σ_i(K)是R的子體, 而τ_j(K), τ_j(K) 則 是C的子體。

把R或C上的一般絕對值限制到K嵌入 的映像, 則得到K上的賦值, 而這樣的賦值 完備體則是R或C。 另一方面, τ_j與τ_j得出 同一個賦值, 且σ1, · · · , σr1, τ1, · · · , τr2是K 中不等價的相異賦值, 稱為K的阿基米德位, 因每一位都具有阿基米德性質, 我們稱K有 r₁個實位(real place) 與r₂個複位(complex place)。

所謂的大域體(global field) 是指數體 或常數體為有限體的單變數函數體。 若v是 大域體K的一位, K對v的完備體以K_v表示, 稱為局部體(local field)。 故K_p, R與C都 是局部體, 其中R與C 是阿基米德局部體,

而Kp是非阿基米德局部體, 這二者都局部緊 緻(locally compact)。 K_v上的標準賦值定 義為

| |v =

 

 

 



| |p 若 Kv = Kp

| |R 若 K_v = R

| |C 若 K_v = C

在最後一種情形, C上的賦值是平方, 原因 是兩個複數嵌入只對應到一個位, 若| | 是 體K上的非阿基米德賦值, 則| | 任意正冪次 方也是K上的非阿基米德賦值, 但定出同樣 的拓樸結構, 我們稱這兩種賦值等價。 大域體 的每一非阿基米德位置對應到一賦值的等價 類, 每一類中取一定為標準賦值。 為什麼標準 賦值要這樣選取? 在下一節的討論中可看出 理由。 可以證明: 大域體上的任一非顯然賦值 一定等價於| |R, | |C 或標準的p-adic 賦值。

下述引理是非常基本且常用的

Hensel 預備定理: 設K是一非阿基米德局 部體, 其整數環是O且最大理想是P。 F (x) 是係數在O 的多項式, 假設在 modulo P後, F (x) 可分解成係數在餘數體O/P的 兩互質多項式g(x) 與h(x)的乘積; 則存 在有二係數在 O 的多項式 G(x), H(x), 分別是g(x)與h(x)的提升 (lifting), 使得 F (x) = G(x)H(x) 且 deg G(x) = deg g(x)。

證明: 我們使用連續逼進法把 F (x) 分解。 設 G0(x) 與 H0(x) 是 O[x] 的兩多項式, 分別 是 g(x)與h(x) 的提升且滿足

deg G0 = deg g, deg H0 = deg h, 那麼

F (x) − G₀(x)H₀(x) = πF₁(x),

其中π是P的 uniformizer 且F1(x) ∈ O[x]。

其次解同餘方程式

F (x) ≡ [G0(x) + πg1(x)][H0(x) + πh1(x)]

(mod P²)

其中g₁, h1 ∈ O[x]; 這相當於解

F1(x) ≡ g1(x)H0(x)+h1(x)G0(x) (mod P) 換句話說, 視為O/P[x]中的多項式, 它們滿 足

F1(x) = g1(x)h(x) + h1(x)g(x) 因g(x)與h(x)互質, 上面的方程式對g₁, h1

在 O/P[x]中有解。 選擇g₁, h1 使得deg g₁<

deg g, 則deg h1 ≤ deg F − deg g。

設g₁與h₁分別是g₁與h₁在O[x] 中的提 升且次數不變。

令 G1(x) = G0(x) + πg1(x) 且 H1(x) = H0(x) + πH1(x),

則 deg G1 = deg g, G = g, H1 = h, 且 F − G1(x)H1(x) = π²F2,

其中F2(x) ∈ O[x]且deg F2 ≤ deg F 。 解同餘方程式

F (x) ≡ (G1(x)+π²g2(x))(H1(x)+π²h2(x)) (mod P³)

仿照上面的方法繼續下去, 最後得出二系列 多項式

{G₀(x), G₁(x) · · · , G_m(x), · · ·}

與 {H0(x), H1(x), · · · , Hn(x), · · ·}

滿足

Gi+1(x) ≡ Gi(x)(mod Pⁱ⁺¹), Hi+1(x) ≡ Hi(x)(mod Pⁱ⁺¹)

deg G_i = deg g

且 F (x) ≡ Gi(x)Hi(x)(mod Pⁱ⁺¹)。

故兩數列都是 Cauchy 系列, 設其分別 收斂至G(x)與H(x)。 則deg G = deg G₀ = deg g, G = g, H = g。 從

F (x) ≡ Gn(x)Hn(x) (mod Pⁿ⁺¹), n ≥ 1。

取極限, 則得出F (x) = G(x)H(x)如所欲。

習題 2: 設K是一函數體, 其常數體是k。 設 v 是 K 的n次位。 對任意Kv的 unifomizer πv, 證明K與形式冪級數kn(|πv|) 同構。

第二節. 賦值的擴充

設 K 是一非阿基米德局部體, 其賦值是

| |_K, 設L是K的一可分離 (separable) 擴充 體, 次數為[L : K] = n; 則有n個L到K之 代數閉包K的嵌入σ₁, · · · , σn。 利用這n個嵌 入, 我們可定義L中的元素z的 trace 與 norm 為

(

T rL/K(z) = σ1(z) + · · · + σn(z), NL/K(z) = σ1(z) · · · σn(z).

可以證明:T rL/K是由加法群L到加法群K的 同態 (homomorphism) 且NL/K是乘法 群L^×到乘法群 K^×的同態。 更進一步, 若 M 是 L 中包含 K的子體, 則

T rL/K = T rM/K◦ T rL/M

且 NL/K = NM/K ◦ NL/M。

T rL/K(z), NL/K(z)與z之不可約多項式的 關係與有限體的無異, 見於有限體一文中的 定理 5 與習題 2, 細節留做習題。

現我們將K上的賦值| |_K擴充到L上的 賦值| |_L。 假設這可以做到。 那麼當L是K的 Galois 擴充時, z的所有共軛數應有一樣的取 值, 故

|z|ⁿ_L = |σ1(z)|L· · · |σn(z)|L

= |NL/K(z)|L= |NL/K(z)|K

這表示

|z|L = |NL/K(z)|^1/n_K .

而上式即使在L不是K的 Galois 擴充的情況 下也有意義。 這建議了下面的。

定理 1: 設K是一具賦值| |_K的非阿基米德 局部體, L是K 的n次可分離擴充體, 則| |_K 可唯一擴充到L 上的一賦值| |_L, 其定義為

|z|_L = |N_L/K(z)|^1/n_K , z ∈ L 更進一步, L對| |L是完備。

證明: 存在性。 對z ∈ L, 定義

|z|_L= |N_L/k(z)|^1/n_k 。

顯然地, 它滿足賦值的條件(1) 與 (2)。 剩下 要證的是對z, w ∈ L,

|z + w|L≤ max(|z|L, |w|L)。

由定義看來, 這等價於證明若 z ∈ L 滿足

|N_L/k(z)|_k ≤ 1, 則|N_L/k(1 + z)|_k ≤ 1。

考慮z在K中的不可約多項式f (x) = x^m+ a_m−1x^m−1+ · · · + a₀, 則

[a0(−1)^m]^n/m = NL/K(z)

故|a₀|_K ≤ 1。 換句話說, a₀落在K的整數 環OK 裡, 因

f (−1) = (−1)^mN_K(z)/K(1 + z)

= (−1)^m+ (−1)^m−1am−1+ · · · + a0,

若有辦法證出所有的係數a_i ∈ O_k, 則 NK(z)/K(1 + z)的係數也一樣落在Ok, 自然 地NL/K(1 + z)的係數也一樣, 而得出

|N_L/K(1 + z)|_K ≤ 1。

假設 不 然, 令j表示滿足|a_j|K ≥

|ai|K, i = 0, · · · , m − 1, 的最大指數, 則 有

|aj|K > 1, m − 1 ≥ j > 0 且對 i > j, |ai|K < |aj|K

以PK表示OK中的最大理想, 則有a⁻¹_j ∈ P_K且對m − 1 ≥ i > j, 均有a_ia⁻¹_j ∈ PK。 多項式a⁻¹_j f (x)落在OK[x] 中且mod- ulo PK後得出 a⁻¹_j f (x) = g(x)h(x), 其 中 h(x) = 1 且 g(x) = a⁻¹_j f (x) = x^j + · · ·是OK/PK[x]中次數為j的多項式。

注意到m > j > 0。 利用 Hensel 預備定 理, 得出

a⁻¹_j f (x) = G(x)H(x)

其中 G, H 是O_K[x] 的多項式, deg G(x) = j且

deg H > 0。 這與f 是不可約的條件矛盾, 從 而證明a_i ∈ O_K。 因此賦值的性質 (3) 成立。

唯一性: 視L是K上的n維向量空間。 賦 值| |_K 在L上的任意擴充賦值可定出L上的 norm k k。 對所有α ∈ K以及x ∈ L, 這 norm 滿足

kαxk = |α|Kkxk。

固 定一 組L對K 的 基 底{w₁, · · · , wn}, 把x寫成w₁, · · · , wn的K−線性組合:

x = α1w1+ · · · + αnwn, αi ∈ K。

定義

kxk0 = max

i |αi|K,

則 k k0 是 L 上的 norm。 假如兩個 normk k與 k k0 是等價的 (即它們定義出 相同的拓樸), 那麼任意兩個| |K在L 上的賦 值擴充也會等價, 從而得證出唯一性。 同時亦 證出L對| |_L的完備空間也是唯一的, 因這其 實是對k k0的完備空間。 故證出底下定理後, 本定理證明即完成。

定理 2: 設K是一賦值為 | |K 的局部體。 L 是 K 上的有限維向量空間。 則任意滿足 kαxk = |α|Kkxk, α ∈ K, x ∈ L 的 normk k等價於上面所定義的 normk k0。 更 進一步, L對於k k是完備空間。

證明: 我們必需證明存在有兩個正數µ與ν, 使得對所有x ∈ L,

kxk ≤ µkxk0 且 kxk0 ≤ νkxk 其中第一個不等式較容易導出。 設x = α₁w₁+ · · · + α_nw_n, 由三角不等式得出

kxk ≤ kα₁w₁k + · · · + kα_nw_nk

= |α1|Kkw1k + · · · + |αn|Kkwnk

≤ µ max

i |αi|K = µkxk0,

其中µ = kw1k + · · · + kwnk。 為了證明另 一不等式, 對x = α1w1 + · · · + αnwn ∈ L, αi ∈ K, 定義n個函數| |i如下:

|x|i = |αi|K

現只要證明存在有正數ν₁, · · · , νn使得|x|_i ≤ ν_ikxk即可。 在n = 1時顯然成立。 現歸 納n加以證明。 設V 是由w1, · · · , wn−1 所 生成之K上的向量空間, 且令k k^′是k k限 制 到V 上 的 norm, 由 歸 納 假 設, ν₁^′, · · · , ν_n−1^′ 存在, k k^′ 與k k^′₀在V 上等 價且V 具完備性。 若 νn 存在, 則 ν1, · · ·, νn−1 也跟著存在。 事實上, 將x記為x = x(V ) + αnwn, 其中x(V ) = α1w1 + · · · + αn−1wn−1。 則對1 ≤ i ≤ n − 1

|x|i = |x(V )|i ≤ ν_i^′kx(V )k^′

≤ ν_i^′(kxk + kαnwnk)

≤ ν_i^′(kxk + |x|nkwnk)

≤ ν_i^′(1 + ν_nkw_nk)kxk

故可選定ν_i = ν_i^′(1 + νnkwnk)(i = 1, · · · , n − 1)。 假設νn不存在, 則存在有一序 列{xj}j≥1 滿足|xj|n > jkxjk, 則xj 6∈ V , 注意到上不等式中, xj可換為非零的純量倍 數時, 不等式依然成立, 故可設

x_j = α_j1w₁+· · ·+α_jn−1w_n−1+w_n, α_ji∈ K。

由這得出kx_jk < ¹_j, 因此

j→∞lim xj = 0 且 lim

j→∞(xj− wn) = −wn。

另一方面xj − wn是封閉子空間V 中的元素, 這序列不可能收斂到V 外的元素, 因此νn確 實存在, 且ν1, · · · , νn−1跟著存在, 從而得所 欲證。

註記: (1) 以OL表示L中對賦值| |_L的 整數環, 在存在性的證明中已證明O_L的元 素是O_k上的代數整數。 反過來, 若x ∈ L是Ok上的代數整數, 則x的 norm 落 在Ok中, 因而由| |L的定義知x ∈ OL; OL是 由L中佈於K的整數所組合而成。 換句話說, 兩整數環合而為一。

(2) 若K是阿基米德局部體, 定理 1 也成立, 因

|z|C= |zz|^1/2_R , z ∈ C 是C上的一賦值, 且唯一性在C中成立。

設K, L, | |_K, | |L如定理 1 所示, 以 OK, OL 分別表示K, L中的整數環, 且 PK, PL 分別是 Ok, OL 中的最大理 想。 因OK ∩ PL = PK。 L中的餘 數體O_L/PL是K中餘數體 O_K/Pk的擴充 體。 設w₁, . . . , wf是O_L中的元素, mod- ulo PL後, w1. . . , wf 在OK/PK是線性 獨立, 那麼w1, . . ., wf在K中也是線性獨立。

若否; 設

^P

^f_i=1aiwi = 0為一非顯然的關 係式。 我們可假設所有ai ∈ OK, 但不全 在PK中, Modulo PL後得出 wi 在 OK/PK

的一非顯然線性關係式, 是為矛盾。 這證明 了OK/PK是OK/PK 的一有限擴充體, 且擴 充次數f ≤ n = [L : K]。 並且我們同時亦 證: OL中的任取f 個元素, 若在 modulo PL

後它們形成 O_L/PL在 O_K/PK 之上的基底, 則這f 個元素在K中線性獨立。 其次選定K中

的 uniformizer πK以及L中的 uniformizer πL因πK ∈ PL, 故可表πK = uπ_L^e, 其中e是 正整數且u是 UL 的單位。 亦即

|πK|L= |πL|^e_L,

稱 e 是 L 在 K 之上的分歧指數 (ramifica- tion idex)。

定理 3: 設K, L如定理 1 所述, 且e, f 如上面 所定。 則

[L : K] = n = ef 。

證明: 設S是餘數體O_L/PL在O_L 的任意 一組代表。 我們知道任意L中的元素皆可表 為π_L的 Laurent 冪級數, 而其係數落在S中。

此外因任意冪次 π_L^j 可表為 u_jπⁱ_Lπ_K^m, 其 中uj是單位, i, m 是整數且0 ≤ i ≤ e − 1, 故同樣步驟可把任意L中的元素表為

e−1

X

i=0

X

m>−∞

simπ_Lⁱπ_K^m, sim∈ S 設 S 是餘數體 O_K/PK 在 O_K 中的一組代 表, 且 w₁, . . . , wf是O_L的元素, 在 modulo PL 後形成

OK/PK上的一組基底。 則可選擇S為

 

 X

f j=1

sjwj | sj ∈ S

 



。

這證明了w_jπⁱ_L, 1 ≤ j ≤ f, 0 ≤ i ≤ e − 1 生成L在K上的所有元素。

剩下要證明的是w_jπ_Lⁱ在K中是線性獨 立。 假設不然則存在有一非顯然關係式

e−1

X

i=0

X

f j=1

aijwjπ_Lⁱ = 0

我們可假設 aij 都落在 Ok 中且某些 aij是 單位。 設i₀是最小的下標 m使得對某一j, amj是單位。 那麼對所有 i < i₀, 1 ≤ j ≤ f , 我們都有aij ∈ PK, 這證明了

X

f j=1

X

i6=i0

1≤i≤e−1

aijwjπ_Lⁱ ∈ P_Lⁱ⁰⁺¹,

因此

X

f j=1

ai0jwjπ_Lⁱ⁰ ∈ P_Lⁱ⁰⁺¹, 而這表示

X

f j=1

ai⁰jwj ∈ PL.

換句話說:modulo PL 後, 在 OL/PL 中,

P

f

j=1 a_i0jw_j = 0。 此為O_L/P_L中的非顯然 關係式, 與w₁, · · · , wf在O_K/PK上是線性 獨立的事實不符。 因此

wjπ_Lⁱ, 1 ≤ j ≤ f, 0 ≤ i ≤ e − 1 形成L在K之上的一組基底, 得證出[L : K] = n = ef 。

註記:L/K在e = 1時稱為無分歧(unramified) 擴張, 而在f = 1時稱為完全分歧(totally ramified) 擴張。

以q表示餘數體 O_K/PK 的元素個數。

設 | |_K 是 K 上的標準賦值滿足

|πK|K = q⁻¹.

以| |表示等價於| |K在L上的唯一擴充| |L的 標準賦值。 故

|π_L| = |O_L/P_L|⁻¹ = q^−f

現我們要表現出| |。 由定理3知

|πK| = |πL|^e = q^−ef = q⁻ⁿ= |πK|ⁿ_K 故| | = | |ⁿ_K, 這與定理 1 組合在一起, 得出下 面的推論。

推論 1 設K是一非阿基米德局部體, 上有標 準賦值| |_K。 設L是K 的n次可分離擴充體。

則L上等價於| |K在 L 上之唯一擴充 | |L 的 標準賦值| | 可表為

|x| = |NL/K(x)|K, x ∈ L.

習 題 3: 設K是一非阿基米德局部體 且L是K的 n次可分離擴充體。 設K的餘 數 體 有q個元素, L的餘數體有q^f個 元 素, L/K的分歧數為e, 則 n = ef 。

(1) 證明L含有1的q^f− 1次方根 (提示:

利用 Hensel 預備定理)。

(2) 設ξ是L中的1的原始q^f − 1次方根 且令M = K(ξ)。 證明M 是K的f 次無分歧 擴充, 且L是M的完全分歧擴充。

事實上, 任意K的無分歧擴充都包含 在M 中, 故M是K在L中的最大無分歧擴 充。

(3) 設π_L是PL的 uniformizer, 又 f (x) = x^r+ ar−1x^r−1 + · · · + a0

是π_L在M中的不可約多項式, 證明a_i ∈ PM, a₀ ∈ PM−P²M且r = e故L = M(π_L)。

設K是一體, L是K的n次擴充體, 並 設w₁, . . . , wn是L 在K上的一組基底, 則

wiwj =

X

n k=1

aijkwk (∗)

其中aijk ∈ K, 這組關係式決定L到同構階 段。

設A是包含K的一環, 則張量乘積 (ten- sor product)A ⊗K L 是由

^P

ⁿ_i=1ciwi, ci ∈ A所組成。 由代數觀點來講, 這環的加法是 各分量相加, 而乘法則由(∗)所決定。 注意 到A與L 都可嵌入 A ⊗_KL 中, 若 A 上有拓 樸結構, 則可在A ⊗K L藉由映射

(c1, · · · , cn) ∈ Aⁿ7→

X

n i=1

ciwi ∈ A ⊗KL 給出一個與Aⁿ上乘積拓樸同態的拓樸。

很容易驗證A ⊗_K L上的代數結構與拓 樸結構皆和L在K上的基底{w1, · · · , wn}的 選取無關。

定理 1 描述局部體上賦值擴張的情形, 下面定理則描述大域體上賦值擴充的情況;

前者有唯一性, 後者則不然。

定理 4: 設K是一大域體且L是K的n次 可分離擴充體v是K的一個位, 則L上至多 有n個位整除v, 即K上的賦值| |_v可至多擴 充為n個L 上的相異 (因此不等價) 的賦 值。 設w1, · · · , wr(r ≤ n) 是L上整除v的 位, 以K_v表示K在v的完備空間, L_wi表示L 在wi的完備空間, 則

K_v⊗_KL ∼= Lw¹ ⊕ · · · ⊕ L_wr (5) 為代數上的同構與拓樸上的同態, 此處右邊 是賦予乘積拓樸。

證明: 存在有L 中的元素ξ使得L = K(ξ)。 設f (x)是ξ在K 上的不可約多項式,

把f (x)分解成Kv中之不可約多項式fi(x)的 乘積:

f (x) = f1(x) · · · fr(x)。

因L是K的可分擴充體, 因子fi(1 ≤ i ≤ r)兩兩互質; 而顯然地, r ≤ n。 由代數方面 來看, 利用中國餘式定理, 則有下列同構

K_v⊗_KL ∼= Kv ⊗_KK[x]/(f (x))

∼= Kv[x]/(f (x)) ∼=

Y

r i=1

K_v[x]/(f_i(x))

在這裡, 每一Kv[x]/(fi(x))都是Kv的有限 代數擴充體, 稱為L_i。 在上面的同構中, 元 素ξ先對應到K_v[x]/(f (x))中的x + (f (x)), 而 再 對 應 到

^Q

^r_i=1Kv[x]/(fi(x))中的(x + (f1(x)), . . . , x +(fr(x))。 因此, 對每一1 ≤ i ≤ r, 函數

ξ 7→ x + (fi(x))

是K[ξ]到L_i = Kv[x]/(fi(x))的一非顯然同 態。 因K[ξ] = L是一體, 這表示L可嵌入每 一Li中, 以| |i表示Kv上賦值 | |v Li 的唯 一擴充。 因 K 在 K_v中具稠密性, K ⊗_L L在Kv ⊗KL也稠密, 故L在每一Li稠密。| |i

限制到L時對應於L中的位wi, 且Li是對| |i

的完備空間L_wi。

我們必需證明| |i(1 ≤ i ≤ r)兩兩相異, 且它們是| |v在L中的所有擴充賦值。 設| | 是 一| |_v在L上的擴充賦值。 則由連續性, | | 可 擴充為K_v⊗_K L上的實值函數並滿足

|αβ| = |α||β|

以及

 

 

 



|α+β| ≤ max(|α|, |β|), 若| |v是非阿基米德, 或

|α + β| ≤ |α| + |β|, 若| |v是阿基米德。

將| | 限制到L_i上。 若存在有元素α ∈ Li, 使得|α| 6= 0, 則對任意Li中的非零元 素β, 由關係式|α| = |β||αβ⁻¹| 6= 0得 出|β 6= 0; 故| | 限制到L_i是| |_v的擴充賦值, 利用定理 1, 它等於| |_i。 因| |在K_v⊗KL上非 零, 故在某一Li也非零, 這證明所有L上之| |v

的擴充賦值皆落在| |1, · · · | |r之中。 更進一 步, 若| |_i = | |_j, 選擇| | = | |_i = | |_j, 會得出| | 限制到L_i與L_j上皆不為零。設α ∈ L^×_i 且 β ∈ L^×_j , 視為Kv⊗KL的元素, 則有

αβ

= (0, · · · , 0, α, 0, · · · 0)(0, 0, · · · , 0, β, 0, · · · 0)

↑ ↑

第 i 位置 第 j 位置

= (0, · · · , 0) = 0

但0 = |0| = |αβ| = |α||β| 6= 0, 得出矛盾。

這證明了代數部份同構。

剩下需證明 (5) 是拓樸同態。 對 x = (x1, · · · , xr) ∈ Lw1 ⊕ · · · ⊕ Lwr, 定義

kxk0 = max

1≤i≤r|xi|i.

把 L_w1 ⊕ · · · ⊕ L_wr 視為 K_v上的向量空間, 則 k k0 是其上的 norm, 且這 norm 引導出 乘積拓樸。 另一方面由定理2知, K_v上之有限 維向量空間的 norm 都等價, 故k k0也引導 出K_v⊗KL上的張量乘積拓樸, 定理證畢。

推 論2:設K是 一 大 域 體 且L是K的 有 限 可 分 離 擴 充 體。 設v是K的 一 個 位

且w1, · · · , wr是L中整除v的位。 令ξ ∈ L。

則

NL/K(ξ) =

Y

r i=1

NL_wi/Kv(ξ) 且 T rL/K(ξ) =

X

r i=1

T rL_wi/Kv(ξ)

證明: 如上定理所述

X

r i=1

[Lwi : Kv] = n = [L : K], 故推論對ξ ∈ K成立。 其次設K(ξ) = L, 令 f (x) 與 f_i(x) 如上面證明所定, 則有

N_L/K(ξ) = (−1)ⁿf (0)

且 N_Lwi/Kv(ξ) = (−1)^[Lwi:Kv]f_i(0)

又

T rL/K(ξ) = −(f 的xⁿ⁻¹係數), 且 T rL_wi/Kv(ξ)

= −(fi(x)的x^[Lwi:Kv]−1係數)。

因 f (x) = f1(x) · · · fr(x), ξ 的大域 norm 與 trace 與局部的 norm, trace 的關係式如 推論所述。

最後討論當M = K[ξ]為一中間體的情 形。 設v1, · · · , vs 是 M 中的整除 v 的位, 則 w1, · · ·, wr是L中整除v1, · · · , vs的位, 固 定M中的一個位 v_i, 則有

Y

wj|vi

NL_wj/Mvi(ξ)

=

^Y

wj|vi

NM_vi/Kv ◦ NL_wj/M_vi(ξ)

= N_Mvi/Kv(ξ)

P

wj /vi[Lwj:Mvi]

= Nm_vi/Kv(ξ)^{[L:M ]},

故

Y

wj/vi

NLwj/Kv(ξ)

=

^Y

vi|v

Y

wj|vi

NL_wj/Kv(ξ)

=

^Y

vi|v

NM_vi/Kv(ξ)^{[L:M ]}

= NM/K(ξ)^{[L:M ]}= NL/K(ξ)。

類似方法可證T r_L/K(ξ) =

^P

^r_i=1T rL_wi/Kv(ξ)。

推 論 3:設K是 一 大 域 體 且L是K的 有 限 可 分 離 擴 充 體。 設v是K的 一 個 位 且w₁, · · · , wr是L中整除v的位。 以| |_v和| |_w 分別表示K_v和L_w的標準賦值, 則有

|N_L/K(ξ)|v =

Y

r i=1

|ξ|wi。

證明: 當v是非阿基米德時, 這由推論 2 與推 論 3得出。 當v是阿基米德時, 則可由推論2與 標準的阿基米德賦值定義得出。

在這一段裡, 我們考慮大域體中的非零 元素在每個位的賦值。

定理 5: 設K是一大域體, 令ξ ∈ K^×, 則除 有限多個位w外, |ξ|_w = 1。

證明: 若K = Q或有限體上的單變數函數 體, 這顯然成立。 若K是函數體, 但非有理 函數體, 則存在有一K的有理函數子體F , 使 得K是F 的有限可分離擴充體。 若K是一數

體, 則選F = Q, 於是K是F 的有限可分離 擴充體。

設

f (x) = xⁿ+ an−1xⁿ⁻¹+ · · · + a0

為ξ在F 的不可約多項式。 對每一a_i, 除有限 個F 的位外, 對其他位而言, 它都是整數; 故 存在有一F 中位置的有限集合S, 使得對v 6∈

S時, 則有ai ∈ Ov。 因a0 6= 0, 必要時可擴 充S,v 6∈ S時, |a0|v = 1。

設S是 由K中 整 除S的 位 所 構 成 的 集 合, 由定理4 知S是一有限集。 對任意K中 落在S之外的位w, 則有w整除F 中某一落 在S之外的位v, ξ是佈於O_v 上的整數, 故由 定理 1 後的註記知它落在Ow中, 更進一步, 由推論 1與 3, 得出

|ξ|w = |Nkw/Fv(ξ)|v ≤ 1 且

^Y

w|v

|ξ|w = |N_{k/F (ξ)}|v = |a0|^{[k:F (ξ)]}_v = 1 。

這表示w在S之外時, |ξ|_w = 1。 這證明了定 理。

當K為一函數體時, 上面的定理告訴我 們: 定義在有限體上之非奇異投影曲線上的 非零有理函數, 只會在有限多個封閉點上具 零位或極點。

定理 6: (乘積式) 設K為一大域體且ξ ∈ K^×。 又設

^P

是由K 的所有位所構成的集合,

則

Y

w∈Σ

|ξ|w = 1。

注意: 由定理 5 知無窮乘積

^Q

_w∈Σ|ξ|w事實上 只是有限乘積, 故定義上沒有收斂的問題。

證明: 情形 1. K = Q。 可設ξ = n非零整 數, 將n分解成質因數乘積,

n = ±p^e₁¹· · · p^e_r^r, ei > 0, p1, · · · , pr是 相異質數。

由賦值定義知|n|_pi = p^e_iⁱ(i = 1, · · · , r), 當p 6= p1, · · · , pr時, |n|p = 1;且|n|R= n, 故

Y

v∈Σ

|n|v = 1。

情形 2. K = k(T )是q個元素有限體k上的 有理函數體。 可設ξ = g(T )是k[T ]中的非零 多項式。 以∞表K中以_T¹當 uniformizer 的 位。 將g(T )分解成不可約多項式的乘積

g(T ) = ag₁(T )^e1· · · g_r(T )^er, 其中a ∈ k^×, e_i > 0, g₁, · · · , g_r相異, 以v_i表 示K中以g_i(T ) 當 uniformizer 的位。 則

|g(T )|_vi = q^−fiei

其中fi = deg gi; 而當v 6= vi, · · · , vr, ∞時,

|g(T )|_v = 1 且

|g(T )|∞= q

^P

^ri=1fiei,

這是因為g在∞的極點重數= deg g =

P

_r

i=1fiei, 且 ∞是一次位, 故有

Y

v∈Σ

|ξ|v = 1。

情形3: K是F = Q或k(T )的有限可分離擴 充體。 令

^P

^′表示F 中所有位的集合。 設ξ ∈ K^×,

Y

w∈Σ

|ξ|_w =

^Y

v∈Σ^′

Y

w|v

|ξ|_w

=

^Y

v∈Σ^′

|Nk/F(ξ)|v(由推論3)

= 1。

因N_k/F(ξ) ∈ F^×且定理對F 中的元素成立。

因N_k/F(ξ) ∈ F^×且定理對F 中的元素 成立。

在函數體的情形, 上面定理告訴我們:

非奇異投影曲線C 上的任意非零有理函數ξ, 重數照算的話, 其零位個數等於極點個數的 總和。 這裡個數的算法如下: 如封閉點x的次 數是f , 而x是ξ的重數為e的零位, 則ξ在x的 零位個數是ef 。

推論 4: 設K是常數體為k的函數體, ξ ∈ K^×。 若對K的所有位置w, ξ均落在Ow, 則ξ ∈ k^×。

證明: 因ξ沒有極點, 故也不會有零位。 換句 話說, 必是個非零常數。

第三節.Ad` eles 與 Id` eles

給定一定義在大域體K的代數群G, 我 們想研究大域點G(K) 與局部點G(Kv)之 間 的 關 係。 最 直 覺 的 想 法 是 考 慮 無 窮 乘 積

^Q

_vG(Kv), 其中v跑遍所有K的位。 不幸 地, 這無窮乘積沒有很好的拓樸性質。 取而代 之的想法是取G(K_v)的“限制乘積”。 在此我 們就開始引介限制乘積的基本概念。

設{Gv}v∈Σ是一族局部緊緻的拓樸群, 其指標集合是

^P

。 設

^P

₀是

^P

的有限子集合。

對每一v ∈ Σ −

^P

₀, 我們固定一Gv的緊緻開 子群H_v, 對每一

^P

中包含

^P

₀ 的有限集合S,

定義

GS =

^Y

v∈S

Gv

Y

v∈Σ−S

Hv,

且賦予GS乘積拓樸。 注意到GS還是局部緊 緻, 若S1與S2是兩個這樣的集合且滿足S1 ⊃ S2, 則GS1 ⊃ GS2且GS2 上的拓樸 是由G_S1上的拓樸限制下來的。 定義{G_v}對 於{H_v} 的限制乘積G為GS在包含關係下的 直極限 (Direct limit) 而S跑遍所有

^P

中包 含

^P

₀的有限子集合。G中子集合U是開集的 充要條件是: 對所有包含

^P

₀的有限子集合S, U ∩ G_S都是G_S 的開子集。 因此, G之單位元 素1的任何開鄰域 (open neighborhood) 都 會包含

^Q

_v∈SUv

Q

v∈Σ\SHv, 在此S是某一包 含

^P

₀的有限子集且Uv是Gv中包含1的開集。

所以G是一個局部緊緻拓樸群 (locally com- pact topological group), 其代數與拓樸結 構均與Σ₀的選取無關。

取一大域體K, 令Σ = Σ_K是K之所 有位所形成的集合且Σ₀ = Σ∞ 是K上的 所有阿基米德位 (若K是函數體, 這集合是 空集合)。 首先考慮G = G_a 為加法群的情 形。 對v ∈ Σ, G_v = G(K_v) = K_v且 對v ∈ Σ − Σ0, 令Hv = G(Ov) = Ov。 那 麼{Kv}v∈Σ對{Ov}v∈Σ−Σ0 的限制乘積在各 分量各自相乘與相加的運算下形成一環, 稱 為K的 ad`ele - 環(ring of ad`eles), 記為AK, 換句話說,

AK={(xv)∈

^Y

v∈Σ_k

Kv|對幾乎所有位v, xv ∈ Ov}.

定理 5 表示, 對幾乎所有K的位v, K的元素 都落在O_v 故可將K的元素對角嵌入A_K中, 亦即x 7→ (x, · · · , x, · · ·)。

考 慮K的 一n次 可 分 離 擴 充 體L。

設w₁, · · ·, w_n是L在K 上 的一 組 基 底, 且w₁, · · · , wr是L上整除v的位。 定理 4 告訴 我: 從代數上與拓樸上來看,

Kv⊗KL=Kvw1⊕· · ·⊕Kvwn∼=Lw1⊕· · ·⊕Lwr。 現我們要探討O_vw1⊕ · · · ⊕ Ovwn與O_w1 ⊕

· · · ⊕ Owr之間的關係。 很明顯地, O_w1 ⊕

· · · ⊕ O_wr是由K_v ⊗_K L 中O_v上的整數 所組成。 故除了有限個v之外, 由定理 5 知, w1, . . . , wn都是O_v的整數。 因此, 對幾乎所 有位v, O_vw₁ ⊕ · · · ⊕ O_vw_n包含在O_w1 ⊕

· · ·⊕Owr中。 反過來, 設β為K_ν⊗KL中Ov上 的整數, 將其表為

β = α1w1+ · · · + αnwn, αi ∈ Kv

設σ₁, · · · , σn是L到K之代數閉包K的n個嵌 入。 對K_v⊗KL中的元素x = x1w1+ · · · + xnwn, xi ∈ Kν, 以x^(j)表示

xiσj(w1) + · · · + xnσj(w1) ∈ Kν ⊗K K, j = 1, · · · , n.

那麼

X

n j=1

x^(j) = x1T rL/Kw1+ · · · + xnT rL/Kwn

=

X

n j=1

xj

X

r i=1

T rL_wi/Kv(wj)(推論 2)

=

X

r i=1

T rL_wi/Kv(x)。

現定義T r_L/K(x)為

X

n j=1

x^(j) =

X

r i=1

T rL_wi/Kv(x)。

因此若x是Ov上的整數 (integral over Ov) 則 T r_L/K(x) ∈ O_v。 關係式β = α₁w₁ +

· · · + αnwn 產生了下面的矩陣方程式



 



w₁⁽¹⁾ . . . w⁽¹⁾_n ...

w⁽ⁿ⁾₁ · · · w_n⁽ⁿ⁾



 





 



α₁ ...

αn



 



=



 



β⁽¹⁾ ...

β⁽ⁿ⁾



 



因 w₁, · · · , wn 是 K 一線性獨立, 故矩陣 w = (w_j⁽ⁱ⁾)的行列式值不為零, 利用 Cramer 法則, 解出

αi = detBi

detW (i = 1, · · · , n)

其中Bi是把W 的第 i 行元素以



 



β⁽¹⁾ ... β⁽ⁿ⁾



 



取代 而得。 到此為止, 我們對αi所知不多, 但對

α_i² = det(^tBiBi) det(^tW W ) 知道的卻不少。 這是因為矩陣

tW W = (T rL/Kwiwj)

中各行列元素均為Ov的元素, 且^tBiBi亦然。

更進一步, d = det(^tW W )是K中的非零 元素。 由定理 5 知, 對幾乎所有K 的位v而 言, 都有|d|_v = 1, 因此α²_i與α_i也落在O_v中;

此我們得證了: 對幾乎所有的位v, β ∈ Ovw1 ⊕ · · · ⊕ Ovwn 這證明了下面的預備 定理。

預備定理 1: 設L是大域體K 的n次可分離 擴充體, w₁· · · , wn是L在K 上的一組基底。

對幾乎所有K 的位v, 均有

O_vw₁⊕ · · · ⊕ O_vw_n= O_w1 ⊕ · · · ⊕ O_wr

其中w1, · · · , wr是L上整除v的位。

結合定理 4與預備定理 1, 得到

預備定理 2: 設L是大域體K的n次可分離 擴充體, 則從代數上與拓樸上而言, AK ⊗K

L與AL同構且同態, 並且L = K ⊗_K L可對 角嵌入AL中。

現我們已做好證明下面定理的準備工作 定理 7: 設K 是一大域體, 則K是A_K的 離散子群, 且AK/K在商拓樸 (quotient toplogy) 下是緊緻的。

證明: 設F 是Q或是常數體為k的有理函數 體, 使得K 為F 的n次可分離擴充體。 設w₁, . . ., w_n是K在F 上的一組基底, 則看成加法 群時,

AK = AF ⊗F K = AFw1⊕ · · · ⊕ AFwn. 假設我們可證明 F 是 A_F 的離散子群且有 一 AF 的緊緻集 Ω 使得 AF = F + Ω, 那 麼K是A_F ⊗F k = Ak的離散子群。 更進一 步令

Ω = Ωw

e

₁+ · · · + Ωw_n

則其為AK 上的一緊緻集, 並使得A_K = K +Ω, 從而

^e

A_K/K ∼=Ω/K ∩

^e

Ω

^e

是 一 緊 緻 集。 故 定 理 7 的 證 明 變 成 只 需 證K = Q與K = k(T )的情形。

情形一: K = k(T )。 令 Ω =

^Q

_v∈ΣKOv, 則 Ω 是 AK 中的開緊緻集。 對每一位 v, 選取在 v 的 uniformizer πv如下:

若v 6= ∞令π_v是k[T ]中在v為零的不可約多 項式。 若v = ∞, 取π_v = 1/T 。 選定v之餘

數體的代表Sv為k[T ]中次數小於 deg πv的 多項式, 則每一K_v的元素x_v可寫成

x_v =

^X

i>−∞

s_iπ_vⁱ, s_i ∈ S_v。

以hxvi表示

^P

_i<0siπ_vⁱ, 稱為xv的極 (polar) 部份。 給定一A_k中的元素x = (x_v)v∈Σk, 則只有有限個位v, hxvi才不為零, 且對所有 位w 6= v, hx_vi ∈ Ow 。 令

γ =

^X

υ

hxvi

則γ ∈ K且x − γ在所有都是整數, 這證 明AK = K + Ω。 更進一步, 由推論 4, 可 知K ∩ Ω = k是有限集。 故K在A_K中離散 且AK/K ∼= Ω/k是緊緻。

情形二: K = Q。 設Ω = [−¹₂,¹₂] ×

Q

pZ_p。 在Q的有限位置p, 選定 uniformizer πp = p且在p 的餘數體的代表Sp選定 為{0, 1, · · · , p − 1} 對xp∈ Qp, 定義xp的極 (polar) 部份hxpi如情形一所述。 對任意x = hxvi ∈ AQ, 都有對幾乎所有的p, hxpi = 0, 故γ =

^P

_phxpi是一有理數且對所有的p, x − γ ∈ Zp 。 最後, 有一整數n ∈ Z, 使得x − γ − n的絕對值落在[−¹₂,¹₂]。 這證明AQ = Q+Ω。 注意到(−¹₂,¹₂)×

^Q

_pZ_p是0的開一鄰 域且不包含其他的有理數, 故Q可嵌入AQ為 一離散子群。 最後AQ/Q ∼= R ×

^Q

pZ_p/Z

∼= (R/Z) ×

^Q

pZ_p是緊緻集。

其次取G為乘法群Gm。 同樣地令 Σ = Σk 且 Σ0 = Σ∞ 則對v ∈ ΣK, Gv = G(K_v) = K_v^×, 且對v ∈ Σ − Σ₀, 令H_v=

G(O) = Uv。 {K_v^×}對{Uv}的限制乘積稱為 Id`ele 群 (group of id`eles), 以IK表之, 因此 I_K= {(x_v) ∈

^Y

v∈Σk

K_v^×|對幾乎所有v, x_v ∈ U_v}.

注意到IK在代數上而言是AK的單位群, 但 其上之拓樸比由AK得來的限制拓樸還細。

習題 3: 證明在IK上的自同構x 7→ x⁻¹在限 制拓樸下並不連續。 事實上, 我們加在IK上 的拓樸是使IK成為拓樸群的最弱拓樸。

定理 5 顯示 K^×可以對角嵌入IK中。 商 群 IK/K^× 稱為 K 的 id`ele 類群 (id`ele class group)。 利用K在v之完備體K_v的標 準賦值| |_v, 我們定義從I_K到正實數群的函 數| |, 稱為I_K上之 norm 函數, 如下

|x| =

^Y

v

|xv|v, x = (xv) ∈ Ik。 因對幾乎所有的位υ,xv都是單位, 故上面的 乘積事實上是有限乘積。 注意到| | 是一連續 同態, 其核I_K¹是由 norm 是 1 的 id`eles 組合 而成。 對一數體K,| | 的映象都是正實數, 且 有

I_K = I_K¹ × (R^×_>0)_w ∼= I_K¹ × R^×_>0. 其中w是K的阿基米德位且(R^×_>0)w是K_w的 子群。 而對常數體是q個元素的函數體K, | | 的映象是R^×_>0的一無窮循環子群, 它由q的某 一冪次q^r所生成, 我們有

IK = I_K¹ × hxi ∼= I_K¹ × Z, 其中x是一 id`ele 滿足|x| = q^r。

乘積式 (定理 6) 顯示K^×是I_K¹的子 群。 由定理 7, 我們知道K是A_K的離散子

群。 又因IK上的拓樸比 AK的限制拓樸還強, 故K^×是IK的離散子群, 因而也是I_K¹的離散 子群。

定理8: 設K是一大域體, 則K^×是I_K¹的離散 子群且I_K¹/K^× 在商拓樸下是緊緻的。

現只剩下要證明第二個斷言。 為此, 我 們需要一幾何預備定理。 給定一 id`ele a = (av)。 定義“邊長是a的平行多面體”為

Pa= {x = (xv) ∈ Ak| |xv|v ≤ |av|v}.

則有Pa = aP1, 且P1是A_k的緊緻集, 因AK/K是緊緻集, 以µK表示AK/K上全 測度為 1的 Haar 測度, 令µ_K 為A_K的 Haar 測度, 使得其限制到K上得出 counting 測 度, 引出AK/K上的µK。 因此Pa的體積為有 限且滿足

µK(Pa) = |a|µK(P1).

下面預備定理告訴我們: 若P_a的體積足夠 大的話, 則P_a至少包含K 中的兩相異元素。

這是 Minkowski 定理的一個特殊情形, 以 ad`elic 語言表達出來。

預備定理 3: 存在有一常數c > 0, 使得對每 一 id`ele a滿足|a| > ¹_c, 都有P_a∩ K^× 6= φ。

證明: 選定K的 id`ele b = (bv)滿足

(

bv = 1 若v是非阿基米德位 bv = ¹₄ 若v是阿基米德位

則P_b − Pb ⊆ P1。 假設P_a∩ K^× = φ, 那 麼P_ab與K, A_k中的任意平移至多交於一次。

因若y1, y2 是(x + K) ∩ Pab的兩相異元素, 則α = y₁− x, β = y₂− x是K 的相異元素

且α − β落在Pab− Pab ⊂ Pa中, 與原先假設 矛盾。 以f, f分別表示P_ab, (Pab+ K)/K 上 的示性函數, 則有

µK(Pab) =

Z

A_Kf (x)dµK(x)

=

Z

AK/K

X

α∈K

f (x + α)dµ_K(x)

=

Z

AK/Kf (x)dµ_K(x) (因對所有x ∈ A_K, card((x + K) ∩ Pab) ≤ 1)

≤

Z

AK/KdµK(x) = 1

因此, 若c = µ(P0), 則有c|a| ≤ 1。 因此對 任意 id`ele a 滿足|a| > ¹_c,Pa∩ K^× 6= φ。

現我們證明定理 8。 設a0是滿足|a0| >

1

c的 id`ele, 則對任意a ∈ I_K¹, 則有

|a⁻¹a0| = |a0| > 1 c。

依據預備定理3, 存在有非零元素α ∈ K^×落 在P_a⁻¹_a0, 亦即αa ∈ P_a0。 更進一步, 因αa ∈ I_k¹, 存在有β ∈ K^×使得β(aα)⁻¹ ∈ Pa⁰, 組合後兩個敘述得出β ∈ P_a²₀。 另一方 面, P_a²₀∩ K同時是緊緻且離散, 故是有限集, 設為

P_a²₀ ∩ K = {0, γ1, · · · , γs}。

現已經證明aα ∈ Pa0且(aα)⁻¹ ∈

∪^s_i=1γ_i⁻¹Pa⁰, 定

B = Pa0 ∪ (∪^s_i=1γ_i⁻¹Pa0) 且 B^∗ = {x ∈ IK|x, x⁻¹ ∈ B}

存在有一K之位的有限集S使得在S之外的 位v, (a₀)v與(γ_i)v 都是單位, i = 1 . . . , s₀因 此B^∗是

^Q

_v∈SK_v^× 與

^Q

_v6∈SU_v乘積上之緊緻

集, 故亦為 IK 的緊緻集。 而我們已得出: 對 任意a ∈ I_K¹, 存在有α ∈ K^×使得aα ∈ B^×。 因為I_K¹/K^×是I_K¹ ∩B^∗ 的商, 所以必是緊緻。

定理證畢。

在此, 我們提出定理 8 的一些推論。

首先考慮K是函數體的情形。 由K之位所 生成的自由交換群 (free abelian group) 稱為K的除子群 (group of divisor), 以Div(K)表之。 除子D =

^P

nνV 的次數 定義為

deg D =

^X

ν

n_νdeg ν,

在此對幾乎所有的ν, nν = 0。 這次數函 數deg : Div(K) → Z 是一同態, 其 核Div^◦(k)是次數為零的除子子群, 我們將在 第五章第四節證明次數函數的值域是Z。

對ξ ∈ K^×, ξ的除子divξ =

^P

n_νν, 其 中nv是ξ 在ν的重數 (order)。 由定理 5 與 6 我們知道對幾乎所有的ν, nν = 0且

deg(divξ) =

^X

nνdeg ν = 0。

因 此divξ落 在Div^◦(K)中, 稱 為 主 除 子(principal divisors), 以P rin(K)表示由 主除子所形成的子群, 商群Div^◦(K)/P rin(K) 稱為K的 Jacobian, 以Jac(K)表之。

對I_k中的 id`ele x = (x_ν), 對應 divx =

^P

_ν (ordνxν)ν。 因對幾乎所有 的υ, xυ都是單位, 故有div x ∈ Div(K), 賦 予Div(K)離散拓樸, 則

div : IK 7→ Div(K)

是連續同態且為映成 (onto), 其核是

^Q

_vUv。 norm 是1的子群I_K¹ 映到子群Div^◦(K)且為

映成; 又K^×映成到P rin(K) 。 因此div函數 在代數與拓樸上引導出同構

I_K¹/K^×

^Y

v

U_v ∼= Div^◦(K)/P rin(K)

= Jac(K)。

由於I_K¹/K^×是緊緻, 我們發現Jac(K)同時 是緊緻且離散, 因而是有限, 這證明了下面的 推論。

推論5: 設K是一函數體, 則

Jac(K) = Div^◦(K)/P rin(K)

∼= I_K¹/K^×

^Y

v

Uv

是一有限群。

其次考慮K是數體的情形。 對每一K的 非阿基米德位v, 以 P_v 表示對應於 v 之 K 的整數環 O_K 的最大理想。 以J (k)表示 由O_K的最大理想們所生成的自由交換群且 以P rin(K) 表示由非零主理想所生成的自 由交換群。 因OK 的每一理想且在不考慮乘 積次序的前提下, 此唯一都可表為最大理想 的乘積, 故P rin(K)是 J (K) 的子群。 而 商群 J (K)/P rin(K) 稱為 K 的理想類群 Cl(K) (ideal class group)。

對一 id`ele x = (xv) ∈ I_K¹, 以I(x)表 示理想

Y

v:非阿基米德

P_v^ordvxv。

因對幾乎所有的位 v, x_v的次數是 0, 故 I(x) 是 J (K) 的元素, 函數I : I_K¹ → J (K) 將x送到I(x)是群同態。 給定一J (K)的元

素

^Q

ν:非阿

P_ν^nν, 現建構一 id`ele x = (xv) ∈ I_k¹使 得

^Q

ν:非阿

P_ν^nν, 如下。 在每一非阿基米德位v, 選擇一 uniformizer π_v 且令 x_v = (π_v)^nv, 則對幾乎所有 υ, x_v = 1。 固定一阿基米德 位w, 對其他的阿基米德位v 6= w時, 定xv = 1, 且令xw是Kw中的元素使得

Y

v:所有位

|xv|v = 1。

故x = (xv)具有所要的性質。 現賦予 J (K)離散拓樸, 則I是一連續同態且映成, 其核等於I_∞¹

^Q

v:非阿^{Uυ, 其中 I∞1 是由}

Q

v∈Σ^∞K_v^× 中滿足

^Q

_v∈Σ∞|xv|v = 1 的元 素組成。 更進一步, I 把 K^×映至 P rin(K);

因此引導出同構 I_K¹/K^×· I_∞¹

^Y

v:非阿

Uv ∼= J (K)/P rin(K)

因I_K¹/K^×是緊緻, 這證明J (K)/P rin(K) 是離散且緊緻, 因此是有限群, 從而得證下面 的推論。

推論6 (Minkowski): 設k是一數體, 則 Cl(K) = J (K)P rin(K)

∼= I_K¹/K^×· I_∞¹

^Y

v:非阿 Uv

是一有限群。

落在 K^×∩ I_∞¹

^Q

v:非阿 ^{Uv 的元素稱為} 數體 K 的單位。 Dirichlet 證明: 單位元素 所形成的子群是是由落在K中 1 的方根所成 的有限群與階數是r1 + r2 − 1 之自由交換 群的乘積。 在此, r₁與r₂分別是K的實位與複 位—個數。

對一定義在大域體 K 的一般代數群 G, 其 ad`ele 點 G(Ak) 即是 {G(Kv)}v∈ΣK 對 {G(Ov)}v∈ΣK−Σ0 的限制乘積。

參考資料

1. E. Artin and J. Tate: Class field theory, Harvard (1961)。

2. J.W.S. Cassels and A. Fr¨ ohlich: Al- gebraic Number Theory, Thompson, Washington (1967)。

3. S. Iyanaga: The theory of Numbers。

North-Holland,Amsterdam-Oxford (1969)。

4. A. Weil: Basic Number Theory,

Springer-Verlag, New York-Heidelberg -Berlin (1973)。

5. 李文卿: 有限體的理論, 數學傳播, 十七卷一 期, 82 年 3 月, 43∼54。

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本文作者分別任教於美國賓州州立大學 數學系及國立中正大學應數所

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