版本 穩定狀態的敘述

附錄

表一：「88 課綱」各版本教科書對馬可夫鏈穩定狀態的說明

版本 穩定狀態的敘述

三民版

如果一機率向量

1 2

n

x X x

x

 

 

 

 

 

 

 

 為轉移矩陣 A 的固定機率向量，即 X 滿足

AX  X，則稱此一馬可夫鏈產生穩定的狀態 X 。不一定每一個馬可 夫鏈都會產生穩定的狀態，必須在極限值lim ^{k (0)}

k A P

 存在，即

( ) 1

( )

( ) (0) 2

( ) k

k

k k

k n

p P A P p

p

 

 

 

  

 

 

 

 ，數列 p₁^{( )k} 、 p₂^{( )k} 、…、 p_n^{( )k} 都有極限，

纔有穩定的狀態。因為當lim ^{k (0)}

k A P

 存在時，就有lim ^{k (0)}

k A P X

  ，且

AX  X 。

最後再說明初始狀態不影響穩定狀態。解題方法中，有利用二階的例 題，展示用極限求穩定狀態，以及用 AX X 求穩定狀態這兩種方法。

南一版

由例題與隨堂練習中可知：不管開始觀察那一天是晴天或是雨天，五 天後，每天是晴天的機率約為 0.603，是雨天的機率約為 0.397。因此 該市一年中雨天的天數大約為 3650.397≒145 (天)。

馬可夫（Andrei Andreyevich Markov，俄國，1856~1922）曾經證明：

若 A 是一個n階轉移矩陣，且 A 或 A 的某一次方的所有的元都是正 數，則對於任意的X ，當₀ n趨近無限大時，X_n  A Xⁿ ₀會趨近一個行 矩陣 X 。這個 X 滿足下列兩個條件：(i) (A I _n)X  ； (ii) X 的O 各元之和為 1。

翰林版

只有在某個例題中，從第一天 ₁ 0.5 X  0.5

  

 開始，算到X₈ AX₇，其 中 0 0.25

1 0.75

A  

  

 。然後寫道：「我們觀察到當n愈大時，X 愈接近_n

1

0.2 X 0.8

  

 ，換言之，許多天以後，吳偉雄在甲自助餐店用餐的機率 約為 0.2，在乙自助餐店用餐的機率約為 0.8。」

正中版

在課本例題中，只求到A₁₈ P A¹⁸ ₀，其中 P 為轉移矩陣。在求P 時，ⁿ 是利用計算機取近似值到小數點後第四位，故求到P ，就說¹⁸

18 19 20

P P P 。

龍騰版

在課本例題中，最多只求到X₄ P X⁴ ₀，其中 P 為轉移矩陣。不過，

在習題中有一題：「假設台北市每年有 3%的人口移居台北縣，而台 北縣每年有 2%的人口移居台北市。若台北縣市人口仍都不變，試求 兩地人口之比例。」

康熙版

表二：「95 暫綱」各版本教科書對馬可夫鏈穩定狀態的說明

版本 穩定狀態的敘述

南一版

與「88 課綱」的版本一樣，都用晴天、雨天機率的例子來呈現機率 會越來越接近定值，也並未出現「馬可夫鏈」與「穩定狀態」這兩個 名詞。不過，這版本刪除了馬可夫證明過的定理。

翰林版

例題 8：有互相連通的大、小水池各一個，兩水池中的魚總數是 1400 條，每天由小水池游向大水池的魚量占小水池魚量的 40%，而從大 水池游向小水池的魚量占大水池魚量的 30%。如此日復一日，大水 池與小水池的魚量都不變，求大水池與小水池的魚量。

習題第 6 題：棲息在 A、B 兩小島的某種鳥類總數是 5400 隻，每年 A 島上的鳥 80%會留在島上，而 20%移居到 B 島； B 島上的鳥 75%會 留在島上，而 25%移居到 A 島。假設每年依這種方式遷移，兩個島 上的鳥數量都保持一定，求 A 、 B 兩島上的鳥數量。

《教師手冊》：這類問題最有趣的是找出穩定狀態，即求 lim ⁿ

X n P X

  ，這 X 其實是滿足 X P X ，是 P 的一個固有向量，在

這個例子中，

3.33 4.71 1.96 X

 

 

  

 

 

。

龍騰版

只列結果沒有證明：

設 A 是一個n階轉移矩陣，且 A 或 A 的某一次方之所有元都是正實 數，則對於任意一個所有元都是非負的實數，且各元的和是 1 的n1 階矩陣X ，當₀ k趨向無限大時，X_k A X^k ₀會趨近唯一的矩陣 X 。而 這個矩陣 X 就是滿足

(1) AX  X ； (2) X 中各元的和為 1 的n1階矩陣。

例題 8：……(3) 長期而言此選手的投籃命中率為？

有不會呈現穩定狀態的例子： 0 1 1 0 B  

  

 

康熹版

像這樣的矩陣T 稱為轉移矩陣。令

1

1 1

1

a X b c

 

 

  

 

 

，其中a 、₁ b 、₁ c 皆為₁

非負實數，且a₁   ，又令b₁ c₁ 1 X_n1 TX_n，即X_n1T Xⁿ ₁。若

n

n n

n

a X b c

 

 

  

 

 

，則a 、_n b 、_n c 皆非負，且_n a_nb_nc_n  （證明留作習1

題）。在大部分情況下，可以證明X 會趨於穩定，假設_n

a

X b

c

  

  

   是其

穩定狀態（a、b、c非負，且a b c  1），即TX  。……值得X 注意的是穩定狀態a、b、c的解存在且唯一，它只與轉移矩陣T 有 關，而與初始值a 、₁ b 、₁ c 無關。 ₁

全華版

在例題中求到P⁽⁸⁾  A P^{8 (0)}後寫道：「事實上，根據馬可夫的理論（請 參閱附錄三），甲、乙兩家石油公司的市占率會趨於固定的值（甲公 司的市占率 60%，乙公司的市占率 40%），然而，並非所有的轉移矩 陣皆會使值趨於固定的值，如：轉移矩陣 0 1

1 0 A  

  

 ，……，除非 1

a  ，否則是不會有固定的值。」 b 2

附錄三：「……此定理的證明已超出本書範圍，因此我們僅將定理敘 述如下：

若 A 是馬可夫鏈的n階轉移矩陣，且其所有元都是正數，則必存在唯

一的矩陣

1 2

n

x X x

x

 

 

 

  

 

 

 

 ，其中 0x_i  ，1 i1, 2,, n，且

1 2 _n 1

x x x  ，使得 AX X 。定理中的矩陣 X （滿足 AX  X ），我們稱 X 為此馬可夫鏈的穩定狀態矩陣。」

泰宇版

如果機率向量 X 是轉移矩陣 A 的固定機率向量，即 AX  ，那麼在X 一些條件下可以證明：當k  時，P^{( )k} X ，此時我們稱此一馬 可夫鏈產生穩定狀態 X 。值得一提的是：此穩定狀態與初始狀態P⁽⁰⁾ 無關。」舉例說明之後，「最後要提醒的是，並不是每一個馬可夫鏈

都會產穩定狀態，例如

0 0 1 1 0 0 0 1 0 A

 

 

  

 

 

，……

表三：「99 課綱」各版本教科書對馬可夫鏈穩定狀態的說明

版本 穩定狀態的敘述

南一版

在例題 6 及其隨堂練習之後寫道：「事實上，設機率矩陣 X 為 a

X b

c

  

  

  

  甲 乙 丙

，轉移矩陣

0.5 0.4 0.3 0.2 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 P

 

 

  

 

 

，若 PX  （ X 經 PX

轉移後仍是 X 本身），則稱 X 為”穩定狀態”。由 PX  X得……

0.40625 0.25000 0.34375 X

  

 

 

  

 

甲 乙 丙

。」除此之外，例題或習題之中，都沒以求穩定

狀態的題目。

翰林版

由例題 1 及其隨堂練習可以觀察出：住在市區的人口比例在四年前有 逐年下降的趨勢。我們不禁想要問：如果人口遷移的轉移矩陣一直沒 有改變，則在許多年後，市區的人口會一直下降至零嗎？關於這個問 題，數學家馬可夫證明了一個理論，說明最終市區及郊區人口的比例

會趨近於一個穩定狀態。此理論超出高中課程範圍，但是我們仍然在 此介紹當作補充，以完整呈現轉移矩陣的應用。

馬可夫定理¹

設 A 是一個n階轉移矩陣，且 A 或 A 的某一次方之所有元都是正 實數，則對於任意一個n1階的機率向量X ，當₀ k逐漸增大時，

0 k

Xk  A X 會逐漸趨近唯一的n1階矩陣 X ，而這個矩陣 X 滿足 (1) AX X ，(2) X 中各元的和為 1（即 X 也是機率向量），特 別地，我們將 X 稱為穩定狀態時的矩陣。

其中(1)的 AX X ，即代表：若此時的狀態以機率向量 X 表示，則下 一時刻代表狀態的機率向量亦為 X ，也就是說這個狀態是穩定不動 的。

龍騰版

在例 1 中，……，觀察發現：甲瓶的水量由 0.6 公升逐漸增加，乙瓶 的水量由 0.4 公升逐漸減少。在此狀況下，如果長時間持續下去，那 麼乙瓶的水量會繼續減少，甚至成為「空瓶」嗎？事實上，當k趨向 無限大時，k輪後的水量分布矩陣X_k  A X^k ₀會趨近唯一的矩陣 X ， 而且這個矩陣 X 就是滿足(1) AX X ；(2) X 中各元的和為 1 的

2 1 階矩陣（這證明超過本書範圍，故省略）。現在我們利用這個結 論來求矩陣 X ……

康熹版

在課本中提到利用電腦算出X₁, X₂,, X₁₀的 6 位小數近似值，並一

一列出，其中X_n1 TX_n，T 為轉移矩陣，

n

n n

n

a X b c

 

 

  

 

 

，然後寫：「觀

察表 3-3，可見X₉  X₁₀，進而會得到X₁₀  X₁₁  X₁₂ 。根據理論，

n增大時，X 會趨於穩定，即_n a 、_n b 、_n c 都會趨於穩定，由表 3-3_n 的數據可知：a 的穩定值 0.505495_n  51%，b 的穩定值 0.274725_n 

27%，c 的穩定值 0.219780_n  22%。由此可見，長期來看（約 9 週後 即顯現）， A、B 、C三種套餐的占有率會趨於穩定，依序約為 51%、

27%、22%。」

1 這個定理在此首度被冠上「馬可夫」的大名，也僅有在這個版本中做如此的稱呼，這並非是該 定理通用的名稱。

全華版

基本上在「95 暫綱」的版本上略做改變，文字敘述或有不同，但本質 上是一樣的。不過，在「95 暫綱」的版本中，「穩定狀態」是放在附 錄之中，到了此版本，則正式在課文內容中介紹「穩定狀態」：

一般而言，設 A 是一個轉移矩陣，若存在一個行矩陣 X 滿足 AX  ，且 X 的各元的和為 1，則稱此行矩陣 X 為轉移矩陣 A 的X 穩定狀態。……然而，並非所有的轉移矩陣街會使值趨於穩定，

如：轉移矩陣 0 1 1 0 A  

  

 ，……，除非 1

a  ，否則是不會有b 2 固定的值。

泰宇版

若有一個狀態 X 滿足 AX X ，則稱 X 為此馬可夫鏈的穩定狀態 (stable state)。在前例中，……若該城裡與郊區人口遷移情形不變的 話，那麼經長時間改變後，會趨於一個穩定狀態，此時城裡人口（約）

占 25%，而郊區人口（約）占 75%。

三民版

以例題 1 做說明，在求出X 、₅ X 、₆ X 、₁₀

20

20 0

0.3332 0.6668

X P X  

   

 、……、 ₃₀ ³⁰ ₀ 0.3333 0.6667

X P X  

   

 後寫道：「我 們發現隨著n越來越大，X 漸趨穩定：逐漸變成一個固定的狀態矩陣_n X ，使得 PX X 。因為 X 表示長期以後母群體屬於各狀態的比率，

所以 X 的元素和必為 1。……以上長期而言的穩定現象，對於有n種 狀態的情況也都成立，但是其證明超出高中課程範圍。」