「轉移矩陣」二三事(1)：高中課本中穩定狀態1的求法

(1)

HPM 通訊第十七卷第五期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系退休教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）

編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）

黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中）

陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）

王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘（台北醫學大學）謝佳叡（台灣師大數學系）

創刊日：1998 年 10 月 5 日每月 5 日出刊網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

「轉移矩陣」二三事(1)：

高中課本中穩定狀態

¹

的求法

林倉億 國立台南一中 1.

前言

現行的高中課本中，轉移矩陣基本上只有二階、三階兩種情形，四階以上的轉移矩陣，無論是在課本中還是考試測驗中，幾乎都見不到，目的不外乎是避免過於複雜的討論與計算。筆者從實際的高中教學經驗得知，轉移矩陣及馬可夫鏈的教學有兩個大挑戰。

第一個是依據題意寫出轉移矩陣，這對許多學生來說，是一道非常困難的關卡，但至少 所需要的工具皆已俱備，只要從二階的情形慢慢引導，筆者大部分的學生都能夠理解。

至於第二個就麻煩多了，那就是馬可夫鏈的穩定狀態之說明。首先，在現行的課程架構下，學生在學習馬可夫鏈之前，並沒有極限的概念，所以，嚴謹的數學定義在這裡是派不上用場的！教師們只能在黑板上「腳踏實地」地多寫出幾項，再輔以「舌燦蓮花」，

讓學生「用眼觀察、用心體會」。至於穩定狀態的解法就是利用 a b x x c d y y

     

     

     或

a b c x x

d e f y y

g h i z z

     

     

     

     

，其中 a b c d

 

 

 、

a b c d e f g h i

 

 

 

是轉移矩陣，再加上x y 1或

1 本文所稱的「穩定狀態」是：設 A 是一個n階轉移矩陣，對於任意一個n1階的狀態矩陣X₀（各元均非負且總和為 1），若當k趨近於無限大時，A X^k ₀會趨近唯一的n1階矩陣 X ，就稱 X 為轉移矩陣 A 的

「穩定狀態」。

 「轉移矩陣」二三事(1)：

高中課本中穩定狀態的求法

 由圓的切點弦方程引發的思考：

再談計算圓錐曲線切線的方法（II）

 推薦毛爾的《毛起來說無限》

(2)

HPM 通訊第十七卷第五期第二版

1

x  y z 這個條件，求出穩定狀態 x y

  

 、 x y z

  

  

 

。上述的解法在台灣的高中數學課本中

已行之有年了，大家也都習以為常了。不過，上述的解法背後牽涉到兩個值得探究的問題：

(1) 為什麼 a b x x c d y y

     

     

     與

a b c x x

d e f y y

g h i z z

     

     

     

     

一定是無限多解？

(2) 在沒有穩定狀態的時候，利用上述的解法，依然可以求出 x y

  

 、 x y z

  

  

 

，這又是為什麼？

關於問題(1)，早年筆者都是存著僥倖的心態：如果有學生問就回答；沒問，就船過 水無痕。可是，生不從師願，每次都有學生問這個問題，所以，這幾年筆者就化被動為主動，直接在課堂上拋出這個問題，並徵求解答。或許有讀者會好奇，如果在列式時就 少用一個未知數，那問題(1)不就不存在了嗎？以三階為例，若將 z 改寫成1 x y  ，再

利用

1 1

a b c x x

d e f y y

g h i x y x y

     

     

     

         

     

求出x、 y 之值，那此種解法面臨的問題將會是：

從上述的等式中可列出三個二元一次方程式

(1 )

(1 ) 1

ax by c x y x dx ey f x y y

gx hy i x y x y

    

     

       



，為什麼它們

恰有一組解？為什麼不會有無解或無限多解的情形？

不同的穩定狀態求法衍生出不同的問題，但兩者是等價的。筆者個人認為問題(1)不僅比 較好回答，而且可以應用學生剛學過的內容來回答，詳情容筆者在後文說明。

如果說問題(1)是「普通級」或「輔導級」的問題，那問題(2)絕對是「限制級」的！

現行的課程並不包含判斷是否會產生穩定狀態，所以，課本例題、習題都是在有穩定狀態的前提下，才會要學生去求出穩定狀態。久而久之，就容易忽略此解法背後更深刻的數學意義。高中老師不妨比較一下各版本教科書關於穩定狀態的內容，然後很可能就會陷入「究竟要教給學生多少」的疑惑，因為，差異實在是不小！²

2 關於各個教科書中「馬可夫鏈穩定狀態」內容的比較，筆者將另文討論。

(3)

HPM 通訊第十七卷第五期第三版

無論是問題(1)還是問題(2)，都可歸結於矩陣的特徵值、特徵向量。或許有些讀者已 經淡忘特徵值、特徵向量了，筆者先利用下一節做簡單的介紹（熟悉此主題的讀者可略過此節），然後在第三節中再用特徵值、特徵向量來說明問題(1)與問題(2)。最後一節，

則是筆者教學上的回答方式，可以取巧地迴避特徵值、特徵向量這兩個名詞的出現。

2.

矩陣的特徵值與特徵向量

³

讓我們先從簡單的二階方陣看起。給定方陣 1 4 3 2 A  

  

 ，哪些 2 1 階矩陣 ¹

2

X x x

   

 會滿足A X   X，其中是實數，而非矩陣？方程式A X   X的意義就是 X 在乘以 A 之後，會變成原來的倍。找法很簡單，算就對了，只不過借助一個小技巧，就是

X I X

    ，其中 I 是單位方陣：

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 4 1 0 0 1 4 0 0

3 2 0 1 0 3 2 0 0

x x x x x

 

  

         

           

           

           

                     

1

2

1 4 0

3 2 0

x x



 

    

       

若 1 4 3 2



  

  

 是可逆方陣，那

1 1

2

1 4 0 0 0 3 2 0 0 0 x

x



        

  

          

  。因此，如果我們

希望找到的 ¹

2

0 0 x

x

   

   

   ，那 1 4 3 2



  

  

 一定要不可逆才行，即其行列式值

1 4

det 0

3 2



  

  

  ，由此可得：

(1)(2) 3 4   0 2310 0 5 或 2。

 5時， ¹ ₁ ₂

2

4 4 0

3 3 0 0

x x x

x

 

   

    

    

      ，取 1

1

  

 作代表，即 1 4 1 1 3 2 1 5 1

      

     

     

 2時， ¹ ₁ ₂

2

3 4 0

x x x

x

     

    

   

      ，取 4

3

 

  作代表，即

3 本節內容摘自筆者〈從特徵值、特徵向量到凱萊─漢米爾頓定理、矩陣的對角化〉一文。

(4)

HPM 通訊第十七卷第五期第四版

1 4 4 4 3 2 3 2 3

 

     

   

     

     

也就是說，只要 X 是 t t

  

 或 4 3

t t

 

 

 ，那就會滿足A X   X，其中分別是 5 和 2 。 因此，我們就稱 5 和 2 是方陣 1 4

3 2 A  

  

 的「特徵值」(eigenvalues)， 1 1

  

 和 4 3

 

  分別 是特徵值 5 和 2 所對應的「特徵向量」(eigenvectors)（以此兩個作為代表，事實上只要

是 t t

  

 或 4 3

t t

 

 

 均可），至於產生特徵值的方程式det ¹ ⁴ 0

3 2



  

  

  ，就稱為「特徵

方程式」(characteristic equation)。以下，我們給出一般化的定義：

A 為n階方陣， det(AI)0就稱為 A 的「特徵方程式」，其解_i (i1 ~ )n 就稱為 A 的

「特徵值」，滿足A X _iX的 X ，就稱為特徵值_i所對應的「特徵向量」。

3.

轉移矩陣必有特徵值 1

我們想知道任意n階轉移矩陣 A 一定有特徵值 1，其實不需要正面去求其特徵方程 式，可以從其轉置矩陣A （每一列之和均為 1）下手。令^t J為每個元均為 1 的n1階矩陣（即行矩陣），則A J^t   J 1 J ，即A 有特徵值 1。而^t A 與 A 有相同的特徵方程式^t

det(A^tI)det(AI)0，故 1 亦為 A 的特徵值。例如：

二階轉移矩陣 a b A c d

 

  

 ， 1 1

1 1 1

t a c a c

A J J J

b d b d

        

                  ，且

det( ^t ) a c a b det( )

A I A I

b d c d

 

 

    

  ，故 1 是A 與 A 的特徵值。 ^t

既然 1 是任意一個轉移矩陣的特徵值，那麼就可以找到對應的特徵向量 X 滿足 1

A X  X，而由第 2 節的介紹可知 X 並非唯一，而是代表一組平行的向量，⁴也就是說，有無限多個平行向量都滿足A X  1 X。

讓我們回到本文第 1 節的問題(1)：「為什麼 a b x x c d y y

     

     

     與

a b c x x

d e f y y

g h i z z

     

     

     

      一定是無限多解？」答案顯而易見！該求法其實等同於求轉移矩陣特徵值 1 所對應的特

4 當 1 是特徵方程式的重根時，則可找到不只一組的平行向量。

(5)

HPM 通訊第十七卷第五期第五版

徵向量，當然會有無限多個平行向量滿足！課本中穩定狀態的求法，只是求這無限多個 平行向量中，分量均非負且總和是 1 的那一個！⁵再者，求特徵向量的過程，根本無關於馬可夫鏈是否會有穩定狀態，也就是說，不管轉移矩陣所形成的馬可夫鏈是否有穩定狀

態，我們都可以用課本中的解法求出 x y

  

 或 x y z

  

  

 

，而這也就說明了本文第 1 節的問題(2)。

4.

如何在高中課堂中回答問題(1)與說明問題(2)

從矩陣的特徵值、特徵向量來回答問題(1)與問題(2)，雖然簡單，但卻不好在高中課 堂上呈現。然而，既然高中教材中只有二階及三階轉移矩陣，那我們可以用簡單的計算 方式來介紹「轉移矩陣必有特徵值 1」這個性質，當然，不提及「特徵值」這名詞。

性質一： a b A c d

 

 

 

= 是轉移矩陣， I 是二階單位方陣，則^det



^{A I}^



^⁰^。

證明：^det

 

¹ ⁽ ¹⁾⁽ ¹⁾ ⁽ ⁾⁽ ⁾ ⁰

1

a b

A I a d bc c b bc

c d

           

 。

性質二：

a b c

A d e f

g h i

 

 

 

= 是轉移矩陣， I 是三階單位方陣，則^det



^{A I}^



^⁰^。

證明：

 

1 1

det 1 1

1 1 1 1

a b c a b c

A I d e f d e f

g h i a d g b e h c f i

 

    

         

1

1 0

0 0 0

a b c

d e f



  

有了性質一與性質二後，我們就可以回答問題(1)了。以下以三階轉移矩陣為例作說明：

5 並不是每一個特徵值都可以找到分量均非負的特徵向量。例如在本文第 2 節的 1 4 3 2 A 

 

 ^{，其特徵值2}

就沒有分量均非負的特徵向量。事實上，在轉移矩陣中，只有特徵值為 1 時，才有非負的特徵向量，這一點在馬可夫鏈是否有穩定狀態的判別上，扮演著至為關鍵的角色！筆者在此略去說明，請讀者自行查閱相關資料。

 1

(6)

HPM 通訊第十七卷第五期第六版

1 0

a b c x x a b c x

d e f y y d e f y

g h i z z g h i z

          

           

         

          

         

，這相當於齊次方程組

( 1) 0

( 1) 0 a x by cz dx e y fz gx hy i z

   

    

    



，由性質二可知係數所成之行列式 1

1 0

1

a b c

d e f

g h i



 



，

故x、 y 、 z 有無限多組解。

上述的說明過程還用到了學生剛學過的三元一次聯立方程組的解的判別，因此，不僅向學生解釋了為什麼，還讓學生看到了數學知識間的內在連結，一舉兩得！⁶

至於問題(2)，本質上就是馬可夫鏈穩定狀態的判別，這並非高中課程內容，要完整 的回答它，必須用到更多的線性代數知識，更不適宜在一般高中課堂中呈現了。因此，

筆者採取的方式就是舉例說明，例如：

0 1 1 0 A  

 

 

= ，我們可以利用 0 1 1 0

x x

y y

    

    

    及x y 1求出 0.5 0.5 x

y

   

   

   。然而，對 A 來 說，如果初始狀態 



  

 不是 0.5 0.5

 

 

 ，那 A 所成的馬可夫鏈就是

   

   

       

   

       

        ，永遠在 



  

 與 



  

 之間跳動，並不會穩定！

這個例子提出之後，許多學生第一時間就會問：「那我們怎麼知道求出來的是不是穩定狀態？」好奇心是學習的最佳動機，只可惜我們無法在高中課堂上滿足學生的好奇心。

筆者只能安撫學生，待他們到了大學學了更多矩陣的知識後，就能找出馬可夫鏈是否有穩定狀態的判別方法。並不忘再次保證，出題老師不會「白目」到要學生求不會穩定的 穩定狀態。這雖是緩兵之計，卻也是不得不的做法！

5.

後記

在現行的高中數學課本中，有的版本會介紹馬可夫鏈是否有穩定狀態的判別方法，

並冠以「馬可夫定理」的名稱，以下是翰林版的「馬可夫定理」：

設 A 是一個n階轉移矩陣，且 A 或 A 的某一次方之所有元都是正實數，則對於任

6 其實性質二的證明也提供了另一種代數操作的說明（證明）方式，就是齊次方程組的第三個方程式可以寫成前兩個的線性組合，也就是說，在解方程式時，它是多餘的，由此可知這個齊次方程組必定是無限多組解。這樣子的代數操作，還可延伸至幾何解釋，也就是平面族（系）：有共同交線的平面。雖然平面族

（系）已不在高中課程之中，但教師若能由此延伸，讓學生看到數學在不同表徵（代數方程式與幾何圖形）

間的轉換與連結，亦是美事一樁！

(7)

HPM 通訊第十七卷第五期第七版

意一個n1階的機率向量X ，當₀ k逐漸增大時，X_k  A X^k ₀會逐漸趨近唯一的n1 階矩陣 X ，而這個矩陣 X 滿足：(1) AX  X，(2) X 中各元的和為 1（即 X 也是 機率向量），特別地，我們將 X 稱為穩定狀態時的矩陣。⁷

筆者通常不會主動提及這個定理，主要理由是，就算呈現這個定理，仍無法向學生解釋為何這個定理會成立。除非學生很想知道到底有什麼方法可以判別，筆者才會提及這個定理。根據筆者的經驗，學生聽了這個定理之後，疑惑更大了！因為，一般在做矩陣的 乘法時，我們是喜歡有 0 的，而且是 0 越多越容易計算，⁸但這個定理告訴我們不能有 0！

因此，在直觀上很難想像這個定理何以成立！再者，這個定理的逆定理並不成立，

1 1 A 0 0

  

 就是一個簡單的反例，其任意次方A 都是^k 1 1 0 0

 

 

 ，0 永遠都在，但它所形成 的馬可夫鏈有穩定狀態 1

0

  

 。最後，「馬可夫定理」並非是這個定理的通用名稱，似乎只有在台灣少數版本的課本中才這樣稱呼。習慣在課堂上使用這名稱的老師，最好能跟 學生提醒一下。

誌謝：

感謝國立台南二中邱靜如老師及台北市立成功高中陳彥宏老師給予本文初稿的諸 多建議與指正。當然，筆者要承擔一切文責！

參考資料

林倉億 (2013). 〈馬可夫生平與馬可夫鏈〉，《HPM 通訊》16(1)，頁 1-8。

游森棚主編 (2013). 《普通高級中學數學 4》，台南：翰林。

7 引自游森棚主編 (2013)，頁 194。

8 有些矩陣的元都不是 0，但乘法卻也很容易計算，例如

1 3

2 2

3 1

2 2

1 1 1 1 A

  

 

 

 

 

  或，其任意次方都很容易求出。但這些元都不是 0 的矩陣對學生來說，比較像是矩陣乘法中的特殊例子。

(8)

HPM 通訊第十七卷第五期第八版

由圓的切點弦方程引發的思考：

再談計算圓錐曲線切線的方法（II）

靳衛軍

山西省長治市華北機電學校圖書館 (續前一期)

2.5 兩種不同方法的比較

我們知道「根據判別式等於零求切線的斜率k」比較繁瑣，那麼，求出切點座標的方 法是否同樣繁瑣？我們通過一個比較普遍的例子可以說明問題。

題目四：求過點M(1,1)且與二次曲線x²2xy y²2x2y0相切的切線方程。

解法一：設M₁(x₁,y₁)為二次曲線x²2xy y²2x2y0上的一點。過M₁的切線方程為l：(x₁y₁1)x(x₁ y₁1)y(x₁ y₁)0①，又因為點M(1,1)在l上，所以有

0

1 2

1 y  

x 。又因為點M₁(x₁,y₁)在二次曲線上，所以得方程組：















0 2

0 2 2 2

1 1

1 1 2 1 1 1 2 1

y x

y x y y x x

解之得兩組解：









 , 2 , 0

1 1

y

x 或









 . 0

, 2

2 2

y

x 分別代入①所對應的切線方程、即代入

0 ) (

) 1 (

) 1

(x₁ y₁ x x₁y₁ y x₁y₁  ，可得所求的兩條線方程為3xy20，或 0

2 3  

 y

x 。

解法二：設二次曲線外一點M(1,1)的切線方程為l：y1k(x1)，即ykxk1。因為l：ykxk1與二次曲線x²2xyy²2x2y0相切，聯立方程組根據判別式等於零可以求得k。

不難看到把y kxk1與yx2代入x²2xyy² 2x2y0中，解法二（判 別式法）的計算量遠比解法一（求出切點座標）的大。我們就不詳細演算了。

題目五：在橢圓 1 12 16

2 2



 y

x 上求一點，使這點到直線l：x2y120的距離最短，

並求出這個距離。

簡單分析：所求點必然是與已知直線x2y120平行、且與橢圓相切的兩切點之一。

設與已知直線平行且與橢圓相切的直線為：x2yb0，由判別式法求出兩切點座標，

即可解出題目。方法自然簡單只是計算量略微大些。利用直接求切點座標的方法略微簡單點。

(9)

HPM 通訊第十七卷第五期第九版

設所求切點座標為M(x₀,y₀)，因為過圓錐曲線上一點M(x₀,y₀)切線的斜率為：

2 1 4 3

0 0 



 y

k x ，所以過切點M(x₀,y₀)的切線方程為： ( ) 2

1

0

0 x x

y

y   。又因為M(x₀,y₀)

在橢圓 1

12 16

2

2  y 

x 上，所以聯立方程組可以求得兩切點座標(2,3)、(2,3)。經過計算知

橢圓上點(2,3)到直線l的距離最短，所以最短距離為 5

5 4 。

我們對高中知識解決曲線切線方程的方法做了進一步思考，用高中知識可以解決〈如 何計算圓錐曲線的切線？〉中的例題（例8除外）。雖然我們的探討為解決圓錐曲線切線 方程中的具體問題，提供了一套行之有效的方法，但是，沒有得到該文中簡單、深刻、優 美的「切線準則」。

在此值得提及一點的是，學生熟知、常用的是判別式法。求切點座標的方法鮮為人知 但是其具有計算簡單、應用更為範圍廣泛的特點，值得在教學中提倡。

2.6 求過圓錐曲線外一點的切線公式及應用

求過點M(x₀,y₀)並與二次曲線ax²2bxycy²2dx2ey f 0（* *）相切的切線 方程。

從我們的方法原理上看能夠推導過二次曲線外一點M(x₀,y₀)切線方程的公式。方法為：

設M₁(x₁,y₁)為二次曲線上的一點。則過點M₁的切線方程為l： 0

) (

)

(ax₁by₁d x bx₁cy₁e y dx₁ey₁ f  （* * *），又因為點M(x₀,y₀)在l上，

所以有(ax₁by₁d)x₀(bx₁cy₁e)y₀ (dx₁ey₁ f)0。又因為點M₁(x₁,y₁)在二次曲線上，所以得方程組：

(II)













. 0 ) (

) (

, 0 2

2 2

0 0 1 0 0 1 0

0

1 1 2

1 1 1 2 1

f ey dx y e cy bx x d by ax

f ey dx cy

y bx ax

只需要求出切點M₁(x₁,y₁)的座標，把M₁(x₁,y₁)的值代入（* * *）即可求得所求的切 線方程。當方程組（Ⅱ）有兩組解、一組解或無解就決定了切線是兩條，一條或沒有切線。

如何求切點的座標成為了問題的核心，雖然思想方法比較簡單但是我們遇到計算比較繁瑣甚至會感到陷入變數符號太多太長、複雜難以處理的窘境。是否可以得到求過圓錐曲線外 一點的切線方程的公式？

楊學枝在他的〈圓錐曲線的切線公式〉（《數學通報》2009 年第 7 期）中，指出「要 求過圓錐曲線外一點的圓錐曲線的切線方程，筆者未見到現成公式，此時求圓錐曲線的切線方程往往較麻煩。為應用方便，本文給出求過圓錐曲線外一點的圓錐曲線的切線方程的公式，所給公式形式優美，容易記憶，應用方便。事先說明，文中的圓錐曲線不含 其退化情況」。

該文的開頭和我們的探討比較相似，但是，並沒有求切點的座標卻給出了切線方程公式。如果有興趣的話可以參閱一下原文。順便提及，本文與〈如何計算圓錐曲線的切線？〉

(10)

HPM 通訊第十七卷第五期第一○版

所呈現的切線公式不盡相同，所以，在解題應用上亦各具特色。下面我們引述〈圓錐曲線 的切線公式〉中的例3、4。

例3. 設圓錐曲線為C:( , )x y ax² 2bxycy²2dx2ey f 0,求曲線C的兩條互 相垂直的切線的交點的軌跡方程。

例4. 設圓錐曲線為C:( , )x y ax² 2bxycy²2dx2ey f 0其中acb² 0(即 為有心圓錐曲線)，直線l₁//l₂，斜率為k，且為曲線C的兩條切線，求到l₁與l₂距離相等的 點的軌跡方程。

2.7 平凡、樸實的解法（2009年高考江西數學文科第22題第二問的簡單解法）

如圖，已知圓G:(x2)²y² r²是橢圓

2

2 1

16

x y  的內接△ABC的內切圓, 其中 A 為橢圓的左頂點。

（1）求圓G的半徑 r 。

（2）過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓於E，F兩點，

證明：直線 EF 與圓G相切。

第一問的解答略，我們先看一下下面的解法：

(2) 設過點M(0,1) 與圓 ² ² 4 ( 2)

x y 9相切的直線方程為l：y 1 kx (1)

則 2

2 1 2

3 1 k

k

 

 ,即32k²36k 5 0 (2) 解得 ₁ 9 41 ₂ 9 41

16 , 16

k   k  

 

將(1)代入

2

2 1

16

x y  得(16k²1)x²32kx0,則異于零的解為 32₂ 16 1 x k

  k

 設F x k x( ,₁ _{1 1}1),E x k x( ,₂ ₂ ₂1)，則 ₁ ₂¹ ₂ ₂²

1 2

32 32

16 1, 16 1

k k

x x

k k

   

 

於是直線 FE 的方程為 :

2

1 1

2 2

1 1

32 3 32

1 ( )

16 1 4 16 1

k k

y x

k k

   

  即 3 7

4 3

y x ，則圓心 (2, 0) 到直線FE 的距離

3

 2

d ，故結論成立。

x

y

A

B

0

C M

E

F G ．

(11)

HPM 通訊第十七卷第五期第一一版

上面的解法雖然精心地迴避了求點F x k x( ,₁ _{1 1}1)、E x k x( ,₂ ₂ ₂1)座標不必要的計算，

運算量還是相當大。能否有簡便的方法？第二問的解答關鍵是求直線 FE 的方程。因為

ME、MF 為圓G的兩條切線，這與求圓的切點弦方程極其類似。我們是否還可以幸運、

簡單地解決問題？

設E(4sin,cos)，F(4sin,cos)。又M(0,1)，則直線 ME 的方程為 0

sin 4 sin 4 ) cos 1

(    y   

x ，同理可得直線 MF 的方程為：

0 sin 4 sin 4 ) cos 1

(    y    

x 。到此，我們沒有求圓的切點弦方程那麼幸運，可以根

據「兩點定線」原理，直接得出直線 ME 的方程。看來必須求E(4sin,cos)， )

cos , sin 4

(  

F 的座標了。

因 ME 與圓 G 相切，所以有

3 2 s i n 16 ) cos 1 (

sin 4 ) cos 1 ( 2

2 







 。

化簡整理得：



)² 36(1 cos )sin 36sin² (1 cos )² 16sin² cos

1 (

9       

即2(1cos)² 9(1cos)sin5sin² 0 0

) 7 cos 3 sin 9 )(

cos 1

(     

∵1cos 0，從而得：9sin3cos70 ①。到此題目的解決方法

上述解法是簡單的，直接解方程①求出 E 點座標即可。只是感覺計算上有點麻煩。有沒 有更好的方法？

但直覺告訴我們：同理，由直線 MF 與圓 G 相切可得：9sin 3cos70 ②。

我們不必急於匆忙解三角方程、還是先看看這一直覺能告訴我們什麼再說。

在此，我們卻再次發現可以根據 “ 兩點定線 ” 的原理直接得出 )

cos , (sin ), cos ,

(sin    兩點在直線9x3y70上。這離我們的目標 — 求直線 FE 的方程 — 已經非常近了。

又因為 4sin 3cos 7 0 4

9    ③ 4s i n 3c o s 7 0 4

9     ④

所以由 ③ 、 ④ 知， E 、 F 兩點在直線 7 0 4

9xy  上。即直線 EF 的方程為

0 28 12

9x y  ，圓心G(2,0)到直線 EF 上的距離為

3 2 ) 12 ( 9

28 2 9

2

2 







 

d ，故直線 EF

與圓 G 相切。

返過頭來重新回顧一下整個反思歷程是耐人尋味的。筆者曾經對題目二、求圓的切點弦方程的解題思路做了詳盡的剖析，或許有些人不以為然甚或會認為小題大做了。確實，

從數學研究的角度看這些初等的小問題微不足道，幾乎不值一提。或許只有從數學教育的 角度看，才能凸顯出問題的意義與價值。從我們通篇文章的觀點看2009年高考試題的這一 解法平凡與樸實，簡單到可以毫不費力地就能看懂，看完後甚至有些令人感到失落。一些學生為什麼想不到呢？筆者想探討的問題之一，是通過對題目的反思學生能夠有什麼收穫？

或者說如何才能具備舉一反三的能力？

(12)

HPM 通訊第十七卷第五期第一二版

2.8. 求二次曲線外一點M(x₀,y₀)切線方程思想方法的進一步應用

雖然利用求切點座標的方法求過二次曲線外一點M(x₀,y₀)的切線方程的方法僅僅是一種演算法無法得到簡單、深刻、優美的「切線準則」，這一簡單的方法在討論過三次函數圖像外一定點M(x₀,y₀)切線條數的問題時卻能顯出其威力。如設過M(x₀,y₀)與函數圖形相切的直線方程為：yy₀ k(xx₀)，由直線方程與函數聯立方程組，根據相切條件討論，計算比較繁瑣，甚至會感到陷入變數符號太多太長、複雜難以處理的窘境。用求切點座標的方法探討問題，可以擺脫這種窘境。在討論切點個數時問題歸結為一元三次方程解的情況。雖然中學生沒有學習三次方程求根公式，但是，借助於導數工具可以得到三次方程解的判別條件與法則。有了思想方法，從技術上來說得到判別條件只是一個耐心與細緻的工作，雖然有文章做過探討，但是，完美地做好還是有一定的難度，讀者可在刊物上尋找相關資料，自行閱讀、剖析，並做進一步推演。三次函數切線的問題比圓錐曲線的切 線複雜，如何尋求容易掌握、計算量小，以及統一的方法，值得進一步探討。

3.教學啟示

我們從求圓的切點弦方程開始，由淺入深、由此及彼地對一些問題做了反思。從數學理論上看，本文的內容僅僅是高中生常見的一般解題過程中存在的問題，不登大雅之堂。

從數學教育的觀點看，面對這些問題教師應該如何引導學生積極思考、如何反思貫穿於整個教育的全部過程。小問題的學習、反思過程是生動鮮活的。教育是極其平凡而又漫長艱辛的過程，不會有立竿見影的神奇效果，在傳授知識的過程中，需要長期堅持不懈、從點點滴滴中，培養學生對待真理的態度、理性探索精神，才能結出豐碩的果實。在某種程度 上，對待真理的態度比發現更為重要。

科學絕不是，也永遠不會是一本寫完了的書。每一項重大的成就，都會帶來新的問題。

任何一個發展隨著時間的推移，都會出現新的問題。通過對小問題艱苦的探索過程，或許可以讓學生會能夠體悟到點滴進步來之不易，而懂得珍惜。在學習、探索過程中，他們不 僅掌握了知識、學會欣賞與鑒別，而且知道珍惜美好事物而懂得感恩。這正是教育的目標。

參考資料

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HPM 通訊第十七卷第五期第一三版