109 學年度北二區(新竹高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 (數學科筆試一參考答案)
問題一 ：如下圖，一大正方形 ABCD 內有一小正方形 EFGH，延長 EF，FG，GH，
HE 與大正方形 ABCD 依序交於 P,Q,R,S 點，求証PR ⊥ SQ且PR = SQ 。
【証明】
(1). 設 O 為正方形 ABCD 中心，
且設𝑅
𝑂,90°為以 O 為旋轉中心，旋轉
90°之旋轉變換。
(2). 另S
′= 𝑅
𝑂,90°(𝑆), 𝑄
′= 𝑅
𝑂,90°(𝑄), 則S
′, Q′分別在 AB,CD 上，且 PS′//RQ′。
(3). 令E
′F
′G
′H
′= 𝑅
𝑂,90°(𝐸𝐹𝐺𝐻)，則 H′E′//𝐸𝐹，F′G′//𝐺𝐻，
(4). 𝐸𝑃//H′S′且𝐺𝑅//F′Q′且PS
′= RQ′。
(5). PS
′Q
′R為平行四邊形，故𝑃𝑅//S′Q′且𝑃𝑅 = S′Q′。
(6). SQ ⊥ S
′Q
′且SQ = S
′Q
′，故PR ⊥ SQ且PR = SQ。
問 題 二：
今 有 兩 種 拼 片 可 使 用： 由 三 個 單 位 正 方 形 構 成 的 L 形 拼 片， 以 及 2×2 的 正 方 形 拼 片。 拼 片 皆 可 以 任 意 旋 轉 或 翻 轉， 但 不 能 重 疊， 兩 種 拼 片 數 量 皆 足 夠。 已 知 選 用 了 一 些 拼 片 恰 好 可 拼 滿 7×9 的 矩 形， 其 中 2×2 的 拼 片 使 用 了 n 個 (n≥ 0)。1. 試 找 出 n = 3 的 一 種 拼 法。
2. 求 出 所 有 可 能 的 n 值。
(16 分)
【證】 n = 0,3.
Color the rectangle in 4 colors like this:
121212121 343434343
...
121212121
We have 20 1’s, 16 2’s, 15 3’s, 12 4’s. Let x, a, b, c, d be respectively number of: 2x2 tiles and Ltiles which don’t contain a field with color 4, 3, 2, 1. First, it’s easily seen that 3| x.
Now, x + a + b + c = 20, x + a + b + d = 16, x + a + c + d = 15, x + b + c + d = 12. This means that
a + b + c + d = 21−4x 3 , hence d = 21−4x3 − 20 + x = 1 −x3, so we see that x≤ 3.
It’s easy to construct examples for x = 0 and x = 3 (for x = 3, put 2× 2 next to each other in one row, starting from a corner for example).
問 題 三：
設 a1, a2, . . . , an為 n 個 均 大 於 1 的 實 數， 試 證：a21
a2− 1+ a22
a3− 1+ a23
a4− 1+··· + a2n−1
an− 1+ a2n
a1− 1 ≥ 4n.
(17 分)
【證】
(1) 首 先 證 明 對 於 x > 1 的 實 數， 恆 有 √x
x−1 ≥ 2 。 證 明 如 下: 利 用 x2− 4x + 4 = (x − 2)2≥ 0， 可 推 導 得 到
x2≥ 4(x − 1) =⇒ x ≥ 2√
x− 1 =⇒ x
√x− 1 ≥ 2, ∀x > 1.
其 中， 當 x = 2 時， 等 號 成 立。
(2) 由 (1) 可 知， 當 ak> 1 時， 恆 有 √ak
ak−1 ≥ 2 且 ak= 2 時， 等 號 成 立。 利 用 此 式 與 算 幾 不 等 式 可 推 得
a21
a2− 1+ a22
a3− 1+ a23
a4− 1+··· + a2n−1
an− 1+ a2n a1− 1
≥ nn vu ut
a21 a2− 1
a22 a3− 1
··· a2n−1 an− 1
! a2n a1− 1
≥ nn
s a1
√a2− 1
a2
√a3− 1
···
an−1
√an− 1
√ an
a1− 1
2
≥ nqn
(2)(2)···(2)(2)2
= nn q
(2n)2
≥ 4n.
當 a1= a2=··· = an= 2 時， 等 號 成 立。
由 (1), (2) 得 證 上 述 不 等 式 成 立。
