《數》與《筭數書》：跨越兩千年的漢簡數學書 洪萬生 台灣師範大學退休教授

HPM 通訊第十六卷第六期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系退休教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）

編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）

黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中）

陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）

王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘（台北醫學大學）謝佳叡（台灣師大數學系）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

《數》與《筭數書》 ：跨越兩千年的漢簡數學書

洪萬生

台灣師範大學退休教授 一、前言

目前在全世界的古代出土文物中，超過兩千年的數學文本，可以說是鳳毛麟角。近 二十年來，在中國發現的秦簡《數》與漢簡《筭數書》，就是極珍貴的例子，它在世界 文化遺產上，有著不可或缺的價值與意義。

在公元2000 年之前，我們對於中國兩漢先秦數學的理解，都是依賴《九章算術》

這一部被認為是漢代的數學經典。顧名思義，這本算經共有九章，不過，目前存世的最 早版本 － 南宋版 － 卻僅存前五章。無論中國古代歷史文獻之傳承如何可靠，這部算 經終究不是原版，何況目前看起來，它的首度問世在時間上可能稍晚於《數》與《筭數 書》。因此，我們在說明後兩部竹簡時，運用比較系統化的《九章算術》作為參照點，

的確相當便利。不過，要想真正體會「第一手」的中算文本，那麼，最佳的切入點當推

《數》與《筭數書》無疑！現在，經由這兩部第一手的竹簡，我們多少可以掌握得以分 享兩千多年前的「數學實作」－ 譬如，如何形成問題？如何解題？甚至如何抄寫講義 以流通或傳承數學知識？等等，從而當時的「說算者」進行跨時空的對話。

一、《數》

《數》是湖南大學嶽麓書院於2007 年從香港古董市場收購的一本中國古代竹簡算 書。本書包含了許多與社會、經濟、政治、法律和軍事有關的計算，對於研究其它歷史 問題也十分重要。《數》書的編定時間下限或為公元前212 年（秦始皇三十五年）。也就 是說，這本竹簡保留了至少2230 年前的數學真實活動內容。

本書編號簡236 枚，無編號簡 18 枚，簡文字數約有 6300 字。至於竹簡的形制，則 大多數簡長約27.5 釐米，少數完整簡長約 27.0 釐米。完整的簡約寬 0.5-0.6 釐米。簡文

 《數》與《筭數書》：跨越兩千年的 漢簡數學書

 高觀點看數學～生手教師指導科展 的探究

 指導科展心得分享

HPM 通訊第十六卷第六期第二版

字數約有6300 字。又，此一簡書有三道編繩。這些形制在西漢初的《筭數書》也出現。

不過，有別於《筭數書》，《數》的挖掘現場已經無從重建，因此，原始簡序已經難以復 原。好在數學文本有其「內在的」知識邏輯性（史家喜歡稱之為「內在理路」），因此，

我們對於本書內容之探索，也大致可以說出個所以然來。

以《九章算術》的九章「方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程，

以及句股」為參照，《數》在九類中，缺乏「方程」與「均輸」算題。儘管《數》有兩 個算題與《九章算術》均輸章類似，但都不是運用均輸算法解出。如按數學知識內容來 分類，本書約可分為如下：土地面積測算、農作物產量與租稅計算、倉儲物資管理、工 程土方計算、物資交換和商品貿易有關計算，以及與軍事有關之計算等六類。其中軍事 算題雖然只有一題，卻未見諸於《筭數書》與《九章算術》，因此，我們在此稍作說明。

《數》的「營軍之術」題如下：

營軍之術曰：先得大卒數而除兩和各千二百人而半棄之，又令十而一，三步置戟，

即三之，四置戟，即四之，五步置戟，即五之。令卒萬人，問延幾何里？其得袤三 里二百卌步，此三步置戟也。

這是一個有關構築營壘，布置軍陣的術文。最後一句是給定條件（三步置戟）下的答案

（三里二百卌步）。本算題提供了一個軍陣營壘的實例，營壘為長方形，若其中一個邊 長為給定，另一個邊長則可根據人數和置戟的間距（如本題有三步、四步與五步三種置 戟之間距）計算出來：

長方形軍陣營壘的兩對邊延伸之長度＝〔大卒數扣除兩倍的一千二百人，先半棄之，

再除以十，最後乘上置戟之步數〕 10000 (1200 1200) 1

= 3 1140

2 10

    

即三里二百卌步（一里 三百步）。

《數》還包含有《筭數書》所沒有的句股算題：

有圓材埋地，不知小大，斲之，入材一寸而得平一尺，問材周大幾何。即曰：半平得 五寸，令相乘也，以深一寸為法，如法得一寸，有又以深益之，即材徑也。

意思是說：有一根埋在地下的圓形木材，不知大小，如果用鋸子鋸下深一寸（「入材一寸」），

則鋸口交木材圓形截面之弦長一尺（「平一尺」）。（參考圖一）根據題意，我們可以將 本題求解這根圓材周長的方法，「翻譯」成如下現代算式：

+ =

 半平 半平

深 深 材徑^。以半平=5 寸代入，得 ^{5 5 1 26} 1

  

寸 寸

寸 寸

寸 。

圖一

HPM 通訊第十六卷第六期第三版

事實上，本題幾乎與《九章算術》勾股章第9題:：

今有圓材，埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺。問徑幾何？答曰：

材徑二尺六寸。

術曰：半鋸道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材徑。

如果不考慮問題的情境及語言表達的差別，只看給定條件，則這兩個問題幾乎一致，唯一 差別，乃在於《九章算術》最終要求的是圓的直徑，而秦簡《數》則是求圓的周長。

二、《筭數書》

不同於《數》簡，《筭數書》出土過程完整。它在公元一九八四年初，出自中國湖 北省張家山漢墓第247 號。墓主名可能是新，或許姓張，據考古學家推測，是西漢初地 方政府小吏。這部竹簡問世不會晚於西漢呂后二年，亦即公元前186 年，也就是說，它 是距今（2013 年）至少 2199 年抄寫的一部竹簡。

《筭數書》出「土」時，竹簡失去了完整的捲束狀態，使得它的編次，變成了現代 考古學家與數學史家的「還原」的最大挑戰。所幸，正如《數》書一樣，文本有其「內 在的」邏輯性，因此，我們針對這份文本校勘時，顯然多了關鍵的憑藉或參考。換句話 說，即使前後兩枚竹簡（或上下文）還原連綴後可以讀得「通」，但是，卻明顯地違背 了算理，那麼，我們就必須放棄而另尋他途。

《筭數書》竹簡共有一百九十枚，簡長29.6-30.4 厘米，寬 0.6-0.7 厘米。編線三道，

上中各一道。全書編成一卷。至於文字都以毛筆書寫於竹黃那一面，只有書名「筭數書」

例外，它寫在全書第一題的末簡（第六支）竹簡背面，頂端還塗上黑色方塊，以作為標 誌用。上編線之上如有文字，則屬於本書的「題名」，如第一題的「相乘」。正文寫在上、

下編線之間。至於下編線之下所出現的「楊」、「王」、「楊已讎」或「王已讎」，或許指 楊某或王某的兩人曾擔任抄寫或校對工作，但是，也有史家懷疑這是竹簡製作工序完成 之後，檢核品質之工人所留下的紀錄。

本書分為69 題，如上所述，每個題名都寫在上編線上，體例一致，可見抄寫者遵 守了抄算書的某種規則。至於算題內容則包括了方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、

盈不足等七類，而相較於《九章算術》，則顯然少了方程與句股二類。

最後，茲引述「約分」（第7 題）與「方田」（第 68 題），略見《筭數書》之趣味於 一斑：

約分術曰：以子除母，母亦除子，子母數交等者，即約之矣。……二千一十六分之 百六十二，約之百一十二分之九。

本題「約分術」實質上是一個「輾轉相除法」，其更成熟形式見諸於《九章算術》，但未 見於《數》簡。不過，請注意這些分子、分母的唸法，譬如2016 讀作「二千一十六分 之百六十二」，其中「零」的數學意義尚未出現。其實，同樣情形也在《數》簡中出現，

HPM 通訊第十六卷第六期第四版

譬如在它的體積類算題中，就有數詞「四千九十六」，這即表示4096，同樣也不唸作「四 千零九十六」。

方田題如下：

方田：田一畝方以幾何步？曰：方十五步卅一分步十五。术曰：方十五步不足十五 步，方十六步有徐（餘）十六步。曰：并贏（盈）、不足以為法，不足子乘贏（盈）

母，贏（盈）子乘不足母，并以為實。復之，如啟廣之术。

本題乃是利用「贏（盈）不足術」來解。不過，在「後見之明」的對照下，這是求平方 根 240 近似值的一種方法。由於

16 16 15 15

240 ²   ² ， 根據「盈不足術」，

31 1515 15

16

15 16 16

240 15 







 

 并盈、不足

不足母 不足子乘盈母并盈子乘

。

此一近似值恰好是利用割線

15 16

15 16 15 15



 



 x y

逼近二次曲線y x²240的結果。只是此一公式如何「想像」得到，還真是耐人尋味呢。

三、結論

《數》與《筭數書》非常具體地反映了中國古算的實用基調。不過，有關它們的研 究仍然方興未艾，尤其是它與可能稍後問世的漢代算經《九章算術》之關係，更是引人 注目。無論如何，我們通過這些文本，可以和兩千多年前的「數學知識活動參與者」

（mathematical practitioner，中國古稱「說算者」）對話，分享他們的數學關懷。這是 現代人的福份，值得我們好好珍惜。

參考書目

洪萬生、林倉億、蘇惠玉、蘇俊鴻 (2006).《數之起源》，台北：台灣商務印書館。

劉金華 (2008).《張家山漢簡《算數書》研究》，香港：華夏文化藝術出版社。

蘇意雯等(2012), 〈《數》簡校勘〉，《HPM 通訊》第 15 卷第 12 期。

HPM 通訊第十六卷第六期第五版

高觀點看數學～生手教師指導科展的探究

林益弘

國立台北科技大學 技術及職業教育研究所研究生

科展，一個在台灣菁英教育的下的一環，幾乎所有設有資優班的高中學生都會經歷 的一個活動。第51 屆全國科展中，數學科有一組來自新竹高商的學生。在印象中，較 少高職的學生參與數學科科展，而該組學生雖於全國科展一獎未得，但卻在五個月後的 國際科展，獲得一等獎，其中的作品上出現什麼改變，又或者指導教師在這個歷程上，

對於作品做了什麼努力？在訪問過指導老師林典蔚後，筆者感覺這個歷程十分艱辛，但 卻也十分鼓舞有志於從事科展研究的生手教師，因此，特別針對本作品如何與高觀點看 數學進行連結，撰寫本文跟讀者分享我的心得。

一、作品簡介

在此，筆者只列出這份作品的原題與結果，至於其細節，請參閱第51 屆全國科展 或2012 年臺灣國際科展作品「峰迴路轉 — 等比繞行的秘密」。

原題：

坐標平面上一機器瓢蟲由原點出發，先向東移動1 單位，停在P₁點，再往北移動4

5^單位，

停在P₂點，接著又向西移動 4 2

5

  

  ^{單位，停在}P³點，再向南移動 4 3

5

  

  ^{單位，停在}P⁴點，

再依序向東、向北、向西、向南、…繼續不斷（如下圖一），每次移動距離都是前一次 的4

5，則這隻機器瓢蟲最後幾乎停止於P點，則P點的坐標為何？已知瓢蟲於P 、₁ P 、₂ P 、…時均需轉變行進方向，故瓢蟲轉變行進方向3 k次後會來到點P_k1，當k 且此 瓢蟲行進公比 ^{1 2 2 3}

1 1 2

P P r P P

OP P P

  … ¹

-1 k k

k k

P P P P

  …，0 r 1時，此瓢蟲最終會幾乎停止於某

一個點P。而當瓢蟲來到點P 、₁ P 、₂ P 、…時，原始行進方向與下個行進方向的夾角(以₃ 下簡稱轉向角)均為 ，則此瓢蟲最後均會停止於各點(以下簡稱收斂點)，而這些收斂點 P 於坐標平面上所成的軌跡為何？

y

P P

P

P

x P

O

HPM 通訊第十六卷第六期第六版

結論：

一、當機器瓢蟲的轉向角為³⁶⁰





N

   時，各收斂點均位於圓上C。

（圓

C

2 2

2

2 2

1

1 1

x y r

r r

     

     

    ）

二、當機器瓢蟲的轉向角 為任意角時，各收斂點 P 恰形成圓C。

三、當瓢蟲從原點O行走至第一個轉向點P 時，若瓢蟲以轉向角 θ、行進公比₁ r 進行運 動，則我們只要先畫出圓C（圓心為 1 ₂

1 r , 0

 

  

 ，半徑為 ₂ 1

r

r ），並繪出以C與P 為₁ 焦點， ₂

1 r

r 為長軸長的橢圓Γ，若自P 以有向角 射出一光線，當此光線射到橢₁ 圓Γ 後，反射光的相反射線與圓C的交點就是瓢蟲的收斂點。

四、當瓢蟲以行進公比 r、轉向角為行進時，各轉向點P nn





式為 , ¹ ₂

1 2 cos

R m r m OP

r r









    

  ，定角為cot (_^{1 ln}r)

 之等角螺線上。

二、教師指導歷程的訪談內容

Q1：請教一下老師您當初是怎麼找到這個題目跟這群學生的？

A：當初是學生參觀過 2011 年國際科展後「主動」找我指導，題目則是由學生當年高一 課後發問時所提出的問題。由於我沒帶過科展，學生也非資優體系的學生，對於課 外延伸的題材涉獵不多，因此，學生能想到將課內的教材做點延伸已十分難得。

Q2：在第一次全國科展的歷程中是否有經歷過什麼困難？

A：當初參加北二區科展比賽的時後根本沒想過會得獎，只想著將事情做好而已。要說 有沒有經歷過什麼困難，我想應該是軟體的選擇吧！當初學生提出這個題目我們只 想到要「紙上談兵」，也沒想過要用動態幾何軟體呈現，而到了要交件的前一個月，

才由我研究所的老師提醒可以用幾何軟體GSP 呈現，而軟體的注入使得很多的臆測，

得以不需計算的即時驗證。所以，個人覺得選擇恰當的數學軟體，是進行數學科展 活動的首要工作。其次，是學生的書面溝通能力，由於學生大多懂得證明，但僅僅 給出證明而缺乏兩證明間的論述，會使得科展缺乏「故事性」，因此，教師對於書面 的潤飾工作就顯得重要。最後就是口語溝通，兩位學生至少講過50 次以上才去參賽，

而講解的場合，也從講給指導老師聽，講給學弟妹聽，到講給路人聽，個人認為膽 量的訓練，也是科展的重要一環，唯有放膽的「臨場學習」才能在最終展現得落落 大方，也就更能暢所欲言。

HPM 通訊第十六卷第六期第七版

Q3：老師您在第 51 屆全國科展一獎未得時，當時的想法為何？又之後的國際科展作品 上有什麼改變之處？

A：能從北二區脫穎而出，當然對於全國賽也會有所期待。但回頭來看，我個人倒是覺 得這一跤跌得很值。因為跌倒，才讓我看出自己作品的最大問題－「數學的舞台選 錯」，整個作品基本上應建構於「複數平面」而非「實數平面」，實數平面上的收斂 點 p 之坐標為

2

2

1 cos 1 2 cos

sin 1 2 cos x r

r r

y r

r r









  

  

 

  



，但換到複數平面上卻只剩下 1

1 z ，兩者從數學的「表徵」上 來看，簡潔度就有差。而全國科展後，我與學生決定改由複數重新出發，也確實發 現原本需要寫一頁A4 的證明，只剩下 5 行就完成，這也是在後續指導工作上，一 件讓我很驚豔的事情。此外，當時學生正值高三，一個緊鄰學測的階段下，學生還 能進行後續的研究，也讓我感受到該生對於數學的熱愛與執著。

三、結語

看待林老師的作品，筆者想到數學家克萊因《高觀點下的初等數學》（1908）所闡述的 數學教育思想：從大學數學來看待初等數學，從而進行一個垂直面上的連結與統整（vertical connection and integration），來提升中學數學教師的宏觀視野。本作品的創作正符應這樣的 概念，以下，我分幾個面向來談這個作品。

1. 數學的垂直（縱深）架構：

學習階段 相關數學內容 收斂點 P 的數學表徵

高中數學 三角函數

無窮等比級數 P

2

2

1 cos 1 2 cos

sin 1 2 cos x r

r r

y r

r r









  

  

 

  



大一

線性代數 仿射變換

1 cos 1

sin 0 P T r

r





    

    

   ，

其中^{T }





sin cos

R  

 

  

  

 

大二

高等幾何 位似旋轉變換 PO PP: 1 x²y² :





複變數函數 Mobius 變換

 





f z z z 1 z r i

z  

      

 

HPM 通訊第十六卷第六期第八版

簡略的說明後面二個學習階段：

（1） 線性代數觀點：本作品的收斂點 P 之坐標可寫成

   





^

^

cos sin sin cos

R  

 

  

  

 為平面上的旋轉矩陣，經計算可知矩陣^{T }





個保角矩陣，也就是說在²上給定兩非平行單位向量

 

，則

,

, T u T v

u v T u T v

   

   

    

   

   

   

     





 

 

 為圓上一點，故經過保角變換下

的圓仍為圓。¹ 

（2）位似旋轉觀點：由於PO PP: 1 x²y² :





 

 

跡方程式為

2 2

2

2 2

1

1 1

x y r

r r

     

     

    。

（3）複變數函數觀點：複變函數

 

f z z z 1

     z

  ，^zr





身為一個Möbius 變換，又該 Möbius 變換為保角變換 (conformal mapping)，

因此，保角變換下的圓仍為圓。

身為一個教育研究者，我常思考著何以一個任教於高中的教師，至少需要經過大學四 年數學基本功的洗禮。Bruner (1969) 認為教師要教授某一學科的基本結構，必須注意下 列四要點：

‧了解學科的基本觀念

‧提供教材結構形式

‧了解基本原則與觀念

‧檢視基本知識與高深知識之關係

上述的第四點，也就是數學教師需具有教材內縱向連結的能力。而透過該科展作品，我們 就可以看出，身為高中教師，若具有更廣泛與更高觀點的數學素養，則也就更能有洞察單 一問題背後本質的能力。簡單來說，一個教師當然可以以一個高中生的數學基礎，給予適 當的數學工具，但若教師具有多重解決問題能力的高觀點素養，則單一作品也會有更多元 的價值。而林老師所指導的作品從全國科展到國際科展所呈現結果的不同，也驗證了上述

1 參閱林義雄、黃文達、洪萬生，《線性代數導引》，台北市：森大圖書，1979。

HPM 通訊第十六卷第六期第九版

的說法。

2. 數學的橫向（統整）架構

科展的精神，除了激發學生對科學研習之興趣與獨立研究之潛能外，也提升了對於數 學問題的解決能力。²以往高中數學所呈現各單元的教材，往往顯得孤立而缺乏連結，而該 作品融合了高中數學的以下單元：等比級數（有限與無窮）、複數、二次曲線（拋物線、

圓、橢圓、雙曲線）、三角函數，因此，我們可以說該作品對於高中數學的諸多單元，進 行了學科內的橫向連結。

現今高中的科展作品中，多數為延伸閱讀後所得到的研究成果，但對於技職體系的 學校來說，能從課內問題出發，向上延伸而連結到大學層次的結構已屬難得。而這樣的 活動也讓我了解到，若高中教師具有垂直地連結與統整中學數學與大學數學的能力，則引 領學生的過程中也就能以一個宏觀的角度來看待數學知識，也更能順利地引領學生之數學學 習與數學思維。³

2 參閱朱楠賢，《臺灣國際科展會 10 週年的回顧與展望專輯》，台北市：國立科學教育館。2011。

3 參考黃俊瑋，〈《高觀點下的初等數學》第一卷算術‧代數‧分析之評論〉，《HPM 通訊》13(9): 4-10。

1. 為節省影印成本，本通訊將減少紙版的的發行，請讀者盡量改訂 PDF 電子檔。要訂閱請將您的大名，

地址，e-mail 至 suhui_yu@yahoo.com.tw

2. 本通訊若需影印僅限教學用，若需轉載請洽原作者或本通訊發行人。

3. 歡迎對數學教育、數學史、教育時事評論等主題有興趣的教師、家長及學生踴躍投稿。投稿請 e-mail 至 suhui_yu@yahoo.com.tw

4. 本通訊內容可至網站下載。網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng/letter/hpmletter.htm 5. 以下是本通訊在各縣市學校的聯絡員，有事沒事請就聯絡

《HPM 通訊》駐校連絡員

日本：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group) 、李佳嬅（東京大學）

德國：張復凱（Mainz 大學）

基隆市：許文璋（南榮國中）

台北市：英家銘（台北醫學大學）楊淑芬（松山高中）杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍（成功高中）

蘇俊鴻（北一女中）陳啟文（中山女高）蘇惠玉（西松高中）蕭文俊（中崙高中）

郭慶章（建國中學）李秀卿（景美女中）王錫熙（三民國中）謝佩珍、葉和文（百齡高中）

彭良禎（師大附中）郭守德（大安高工）張瑄芳（永春高中）張美玲（景興國中）

文宏元（金歐女中）林裕意（開平中學）林壽福、吳如皓 (興雅國中) 傅聖國（健康國小）

李素幸（雙園國中）程麗娟（民生國中）林美杏（中正國中）朱賡忠（建成國中）

新北市：顏志成（新莊高中） 陳鳳珠（中正國中）黃清揚（福和國中）董芳成（海山高中）孫梅茵

（海山高工）周宗奎（清水中學）莊嘉玲（林口高中）王鼎勳、吳建任（樹林中學）陳玉芬

（明德高中）羅春暉 (二重國小) 賴素貞（瑞芳高工）楊淑玲（義學國中）林建宏 （丹鳳國中）

莊耀仁（溪崑國中）、李建勳（海山國中）

宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中）吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）林宜靜（羅東高中）

桃園縣：許雪珍、葉吉海（陽明高中）王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學）

洪宜亭、郭志輝（內壢高中） 鐘啟哲（武漢國中）徐梅芳（新坡國中） 程和欽 (大園國際高中)、

鍾秀瓏（東安國中）陳春廷（楊光國民中小學）王瑜君（桃園國中）

新竹市：李俊坤（新竹高中）、洪正川、林典蔚（新竹高商）

新竹縣：陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）

苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)

台中市：阮錫琦（西苑高中）、劉雅茵（台中二中）、林芳羽（大里高中）、洪秀敏（豐原高中）、李傑霖、

賴信志、陳姿研（台中女中）、莊佳維（成功國中）

南投縣：洪誌陽（普台高中）

嘉義市：謝三寶（嘉義高工）郭夢瑤（嘉義高中）

台南市：林倉億（台南一中）黃哲男、洪士薰、廖婉雅（台南女中）劉天祥、邱靜如（台南二中）張靖宜

（後甲國中）李奕瑩（建興國中）、李建宗（北門高工）林旻志（歸仁國中）

高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）林義強（高雄女中）

屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）黃俊才（中正國中）

澎湖縣：何嘉祥 林玉芬（馬公高中）

金門：楊玉星（金城中學）馬祖：王連發（馬祖高中）

附註：本通訊長期徵求各位老師的教學心得。懇請各位老師惠賜高見！

HPM 通訊第十六卷第六期第一○版

指導科展心得分享

林典蔚 新竹女中

一、楔子

還記得 95 年大學畢業前，我給自己立下了一個人生的階段目標：考上老師、帶一 次科展、帶學生參加數學奧林匹亞競賽。我高中的時候沒有接觸過科展，以舊有的印象 來說，我認為科展就是老師做好、學生接收老師的全部作品，然後發表的無聊過程。但 歷經一次科展的洗禮後，我發現這趟旅程顛覆了我過往的印象，也奠定了我日後對於科 展的熱情與努力。

民國96 年實習完後，我順利的在當年考上新竹高商成為正式教師。平凡的教書 5 年，直到100 年的 2 月，在某位老師的安排下，我帶著綜合高中部的學生到科學教育館，

參觀2011 年台灣國際科展。參觀後的心情並不平靜，因為我想起當年立下的第二個目標：

帶科展。好巧不巧，我的二年級學生孫宏奇回來後，就問我能否指導他做一次科展，也 因此開啟了後續的科展旅程。

二、有關孫宏奇二三事

說實話，我的學生孫宏奇並非是別人眼中明星學校的資優生。當時的我曾懷疑，一 個考不上新竹高中而到新竹區第4 志願的新竹高商綜合高中部就讀的學生，對於數學能 有多大的能耐，但後續的過程卻也讓我了解，這個孩子對於數學的敏銳度，絕對不亞於 第一志願的孩子。

孫宏奇就讀新竹高商普通科，簡單的說，他所接受的教育跟一般高中的孩子是相同 的。據他本人透露，當年基測時因為社會科考糟了，因而才到新竹高商就讀。孫宏奇在 高二上學期時才由我任教，而我對於這個學生一開始印象就很深刻，因為他總會在上課 時，問我很多特別且難以回答的問題。如：為何1

x不是多項式？最讓我印象深刻的是某 一次數學考卷出了一道題目：

已知x x x x 均為整數且₁, ₂, ₃, ₄ x₁  x₂ x₃ x₄  ，試依下列各小題求出此方程式有8 多少組解？

（1）非負整數解。

（2）非負偶數解。

對於第一小題在重複組合的單元中應屬基本題型，而緊接著，當我告知全班第二小 題的精神在於“非負偶數”等於“正偶數或零”的時候，孫宏奇突然舉手告知：老師，

HPM 通訊第十六卷第六期第一一版

非負偶數也可能是負奇數或零或正整數。在此，我才意識到這個題目本身敘述上有模糊 地帶，也再三的佩服這個學生對於數學的敏銳度。

三、找題目

回到科展主題。當孫宏奇提出要我指導科展的當下，我想起高一時我的某位學生曾 問了我一個問題：

坐標平面上一機器瓢蟲由原點出發，先向東移動 1 單位，停在P₁點，再往北移動4 5

單位，停在P₂點，接著又向西移動 4 2

5

  

  ^{單位，停在}P³點，再向南移動 4 3

5

  

  ^{單位，停在} P4點，再依序向東、向北、向西、向南、…繼續不斷（如下圖），每次移動距離都是前 一次的4

5，則這隻機器瓢蟲最後幾乎停止於P點，則P點的坐標為何？

當時該學生問我，倘若瓢蟲走的是三角形、五邊形、六邊形、…、n 邊形瓢蟲也會 有個收斂點，則這些收斂點的坐標要怎麼求（如下圖），

y

P

P

P

P

x P

O

HPM 通訊第十六卷第六期第一二版

由於學生正值高一上學期，尚未學習三角函數，因此，當時我只告知學生由於工具 不足尚無法處理這個問題。之後，孫宏奇來找我指導科展時，我當下就將這個問題拋給 他，並要他回去思考看看是否有些有趣的性質，兩節課過後，這個孩子開心的將計算成 果跟我分享，其結果如下：

瓢蟲的轉向角為³⁶⁰





N

   時，收斂點坐標為

 

 

1

1

cos 360 1 sin 360 1

N k k

N k k

x S k

N

y S k

N





     

  

   

    

  







由於孩子的態度非常積極，當下也就確立了這個問題研究的可行性。但時間是否來 得及則是我緊接得考量的重點，當時是2 月 27 日，科展說明書繳交日期是 4 月 1 日，

也就是說我只剩一個月得從無到有，原本想說乾脆報名隔年的地區科展，但在學生的熱 情驅使下我也決定賭上這一回。

四、研究歷程

說起來很特別，當研究題目確立後很多靈感都會油然而生。收斂點有了，緊接著就

是這些收斂點間的關係了，由於收斂點坐標可化簡成

 

 

1

1

1

1

cos 1 sin 1

n n

n n

x r n

y r n





 



 



  



  







弗定理整理後坐標可化簡為

2

2

1 cos 1 2 cos

sin 1 2 cos x r

r r

y r

r r









  

  

 

  



，而以Excell 繪圖後發現各收斂點存在

於一個圓心在 ¹ ₂ 1 r

 

  

 ，0，且半徑為 ₂ 1

r r

 

  

 的圓上。印象中發現這個圓的時候，我興奮 到半夜三點還睡不著覺。而後我研究所的授課教師陳創義提醒我該作品可以以GSP 呈現 後，學生以此軟體又陸續在三個星期內發現如下性質⁴：

（1） 當瓢蟲以行進公比 r、轉向角為 行進時，各轉向點P nn





程式為 , ¹ ₂

1 2 cos

R m r m OP

r r









    

  ，定角為cot (_^{1 ln}r)

 之等角螺線上。

（2） 當轉向次數k2時瓢蟲行進之終點坐標

2

3 2

1 cos cos 2 sin sin 2

x r r

P

y r r

 

 

   



 

 的軌跡為一蚶

4 詳細證明請參閱中華民國第 51 屆全國科展作品或 2012 年台灣國際科展作品。

HPM 通訊第十六卷第六期第一三版

線，且其經平移後的極坐標方程式為R r 2r²cos。

（3） 已知C為圓心在C 1 ₂ 1 r , 0

 

  

 ，半徑為 ₂ 1

r

r 的圓，假設瓢蟲轉向角為時，其收 斂點為 P 。當改變時，P P_{1 2}

與CP

之交點 S 的軌跡形成一個橢圓，且此橢圓的焦 點為C 1 ₂

1 r , 0

 

  

 與P1

 

作品順利的在4 月 1 日交出，而後每天都將宏奇留到近晚上 11 點，訓練口說跟海報 製作，然後送宏奇回家，約午夜12 點才回到我家。對於宏奇願意全心全意的投入，我 雖然累，但心裡卻是開心且滿足的。

五、心情如洗三溫暖的得獎歷程

4 月 30 日比賽完後成績公布，孫宏奇的作品得到北二區(桃竹苗區)的特優，並獲得 參加七月底在苗栗舉辦的全國科展資格。第一次指導學生科展就能有這樣的成績，說真 的很滿足，但也在在證明了，只要有心且孩子在這方面有天分，即便是非明星高中的學 生，也可以表現得一樣好。

能進入全國賽，對學生與老師來說無非是一個莫大的鼓舞。但自得意滿的我，卻忽 略了地區賽評審所給的建議，而拿著同一套作品參賽。在七月的全國賽中，學生跟我嚐 到了最大的挫敗 － 一獎未得。這對於科展結果滿心期待的孩子，心情瞬間從天堂掉入 地獄，而身為老師的我固然難過，但也只能安慰孩子重點在於過程，而非結果。

北二區科展照片

HPM 通訊

六、開 時 學測將屆 我們決

數學 而不 線 上各

透

原本收斂

寫後只剩 計算同

七、國 隔年 年台灣 賽後曾俏 時有顆

訊第十六卷第六

開啟數學新 間來到同年 屆而拒絕我 定依照全國 學科展重視 不是實數。

」，而蚶線 各事都可以 過複數的引

斂點 P 的坐

剩下 1 1 z 時展現了數

國際科展、

年(2012)參 國際科展的 俏皮地問教 鍥而不捨的

六期第一四版

新舞台－複 年的九月，

我，但經我再 國賽科展評 視數學思維

。整個等比 線、圓之內 以透過高一 引入我們發

坐標在直角

，也因此整 數學在複數

、峰迴路轉 參加國際科展

的第一名，

教授為何選 的心，外加

獲得國際

版

複數的引入 我詢問孫宏 再三的鼓勵

審的建議，

維及數學方法 比繞行現象就 內擺線等都可 一所學的複數 現，舞台一

角坐標平面上

整篇文章改寫 平面這個舞

轉

展，學生一路 同時獲選同 他？據教授 作品在複數

際科展一等 入

宏奇參加20 勵後，孩子也

，做後續作 法。以本作 就在展示「

可視為由幾 數來表達。

一旦選對，數

上的表徵為

寫後，大約 舞台的美感

路過關斬將 同年度美國 授的說法是 數平面上的

獎(左為林典

012 年國際 也決定重披科 作品的修正 作品而言，其

複數幾何級 幾何級數之和

數學的表徵會

為 ¹

1 n n

n n

x r

y r

 



 



 



 





約省略了1 3篇 感。

將進入前四強 國國際科技展 是因為孫宏奇 的表現夠簡潔

典蔚老師，

際科展的意願 科展的戰袍

，以下為評 其基本的數 級數之部份 和所形成的

會變得相當

 

 

1

1

cos 1 sin 1

n

n









篇幅的計算

強，最後更脫 展覽會的國 奇對於數學 潔因而選他

右為孫宏奇

願，起初孩 袍繼續奮鬥 評審所給的建 數學舞台是複 份和所形成的 的複數曲線

當簡潔，舉例









，但透過

算式，大大的

脫穎而出獲 國手。我的學 學有極高的熱 他。

奇)

孩子因為

。因此，

建議：

複數 的折

。以

例來說：

過複數改

的簡化了

獲得2012 學生在比 熱愛，同

HPM 通訊第十六卷第六期第一五版

八、指導後的心得

整個指導過程只有四個字可以形容 － 峰迴路轉，受益最大的應屬過程中的大量閱 讀。在此過程中，我跟學生閱讀了至少30 本(篇)以上的書或文章，從《毛起來說 e》到

《毛起來說三角》，甚至是複變數函數論，我也再次拿起來溫習一次。因此，得獎固然 開心，但過程中邂逅高等數學，則是從事科展中最讓人振奮的事。舉例來說，透過直角 坐標化簡收斂點 P 可寫如下：

收斂點的坐標 ^{1 cos} ₂ 1 2 cos x r

r r





 

  、 ^sin ₂

1 2 cos y r

r r



 

 

將兩式平方和得x²y²

   

 

2 2

2 2

1 cos sin 1 2 cos

r r

r r





 

  

 

2 2 2 2

2 2

1 2 cos cos sin 1 2 cos

r r r

r r

  



  

  

 

2

2 2

1 2 cos 1 2 cos

r r

r r





 

   ²

1 ...

1 2 cosr  r

   ○¹

2

1 cos 1 2 cos x r

r r





 

   ^x





_{ }

2 1 r x x

r x

 ^{ }

 

 ○² 將○² 代入○¹ 得x²y²

 

2

2

1 1 2 1

2 1 r x x

r r

r x

     

2 2 2

1

2 1 2 2 2 2 2 1

x r x x r x r

x

       

  

 

2

1 1 2 1

r x

  

  

 

2

2 1 1

x r

 

 ^{2 2}

2 1

1 1

x

r r

 

 



2 2

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

2 1 1 1 1

x x y

r r r r

     

               自由時報對於孫宏奇的報導

HPM 通訊第十六卷第六期第一六版



2 2

2

2 2

1

1 1

x y r

r r

     

     

   

若改以複變數函數來看，則證明或可簡寫如下

假設 S1 = C(1，r) 令 f₁(S₁) = 1

= z S

 z

  

 

 ， ，則 S₁的方程式為 z1² r²

(z1)(z 1) r²  z z   z z 1 r²  1 1 1 ² 1 r



^{   }  若r 1

 ₂1 ₂1 ₂1

1 1 1

r r r  

    1 ₂ 1 ₂ 1₂ 1 r 1 r 1 r

     ^

  

 1 ₂ 1 _{2 2} ² ( )( ) ( )

1 1 1

r

r r r

  

    1 _{2 2}

1 1 r

r r

 

 

f₁(S₁) 為一個圓心為 1 ₂

1 r ，半徑為 ₂ 1

r

r 的圓。

簡單來說，從複變數函數的角度來看，若zre^i(0  ，則 z 為半徑 r 的圓上一r 1) 點，

接者我們使 z 通過複函數

 

f z 1

 z

 後，由於 1

1 z 為Möbius 保角變換，故圓通過此變 換也就理所當然是一個圓。

解題的捷徑或許就在身邊，但沒有歷經繞一大圈的麻煩處理過程，或許也就無法感 受捷徑所帶來的簡潔與美感。在此，謹以此篇拙文鼓勵所有有志於從事科展的教師，也 期待這樣的歷程，能為高中職生跳脫既有的升學框架，讓數學能得以活用。