t = V0 ω t + φ v （電壓訊號）或 i ( t

有關 PHASOR

Phasor 的定義

Phasor 是用來簡化交流訊號的計算，特別是對於線性電路行為的討論。

對於一角頻率為ω的單頻交流訊號，我們可以寫為

)

cos(

)

( t = V

ω t + φ

v

i ( t ) = I

cos( ω t + φ )

其中 V₀（I₀）是振幅（為一正實數），φ是相角 v(t)的 phasor 定義：

φ = ∠ φ

= V ₀ e ^j V ₀ V

V 為一複數，在複數空間中為一向量，如下圖

Phasor 的加法即複數的加法，也就是在複數空間中向量的加法。

已知一訊號的 phasor 表示，如何求真正的訊號呢？

這裡要特別說明一下，要將 phasor V 還原為時間的函數，必須要知道所討論訊 號的頻率ω，然後

{ } { ^Re } ^{cos( )}

Re )

( t = e

= V

e

e

= V

ω t + φ

v V

[例題]

(1)

A t A t  → A e

→ A ∠ − ° → − j A



 

  −

→

90

cos 2

sin ω ω π

(2)利用 phasor 求

sin ω cos t + ω t





 

  −

 =

 

 

→ 

→ +

−

→ +

−

−

cos 4 2 2

Re

2 1 cos

sin

4

4

ω π ω

ω

ω π

π

t e

e

e j

t t

t j j

j

V₀ φ

實部 虛部

Phasor 的微分與積分

交流訊號對時間的微分，相當於對應的 phasor 乘一個 jω

( )

[ ] {

} [ ^{V e}

^e

] { ^{j V e}

^e

}

dt e d

e dt V

t d dt V

d

cos ω φ Re

Re

= Re ω

 



 

= 

= +

V j ω V dt

d =

交流訊號對時間的積分，不考慮啟始條件的話，相當於對應的 phasor 乘 1/jω

阻抗的複數表象 電阻

電阻的電流電壓關係為 v(t)=i(t)R

假如只考慮某個頻率的訊號，v(t)=V₀cos(ωt+φ)，則 i(t)=(V0/R)cos(ωt+φ)，

電流電壓的相位相同，即 V=IR，Z=V/I=R。

電容

電容的電流電壓關係為 i(t)=Cdv(t)/dt 寫成 phasor，I=jωCV，Z=V/I=1/jωC。

電感

電感的電流電壓關係為 v(t)=Ldi(t)/dt 寫成 phasor，V=jωLI，Z=V/I=jωL。

阻抗 Z=|Z|e^jθ為複數，代表通過該元件的電流與其端電壓有相差θ。或說 V 比 I 落後θ。（想一想？？什麼叫落後？看看下圖！）

取 phasor

I

2π ωt

V

ωt 2π

+θ

θ

阻抗的組合

不同被動元件的並聯和串聯後整體的阻抗求法和電阻的組合類似。

串聯：Z=Z₁+Z₂

並聯：Z=Z₁//Z₂=Z₁Z₂/(Z₁+Z₂) [例題]

=jωL+R

C R L j

j

C R L j

j

C R L j

j

+ +

+

=

+

=

1 ) (

1 ) (

//

1 ) (

ω ω ω ω ω ω

用複數函數表示之轉換函數(Transfer Function)

一 般 雙 埠 線 性 系 統 （ 例 如 放 大 器、 濾 波 器 等 ） 之 轉 換 函 數 可 以 寫 為 H(s)

=V_out(s)/V_in(s)，其中 s=jω。

( )

[

] [

]

( )

ω ω

ω

ω

ω ^φω

+

∠

=

∠

=

=

) ( )

( )

( ) ( ) (

) ( ) (

in out

in

out j j j j j

e j

j ^j

V V

V H

V

H H

[例題]

低通濾波器之轉換函數可以寫為

sRC R

sC s sC

= +

= +

1 1 /

1 / ) 1 ( H 或

RC j R

C j

C j j

ω ω

ω ω

= +

= +

1 1 /

1 / ) 1 ( H

( )

( )

RC j

ω ω

φ ω ω

1

2

tan 1 ) 1 (

−

=

= +

假如某一低通濾波電路 RC=1 ms，輸入一訊號如下 )

1000 cos(

10 ) 10 cos(

10 )

in(t t t

v

= +

輸出如何計算？

jωL R

R

1/jωC jωL

1/jωC R

對 v_in中第一項，ω1為 10 rad/s，ω1RC<<1，故|H(jω1)|~1，φ(ω1)~0，對應的輸出 為v_out1(t)

=

對 v_in中第二項，ω₂為 1000 rad/s，ω₂RC=1，故|H(jω₂)|= 2 ，φ(ω₂)=-π/4，對應

的輸出為 )

1000 4 2cos(

) 10

out2(

−

=

t v

全部的輸出則為上面兩者之合，即

( )

1000 4 2cos(

10 10 cos 10 )

out(

−

+

=

t v