素養、課程與教材—以數學為例
單維彰
民國105 年 1 月 14 日 摘要
「素養」一詞，中文本有。然而，素養作為教育的特定觀念而形成專門化的 定義，應該是在 21 世紀受西方（特別是歐洲）影響而發展成形的。就這個新意 義而言，它是 Competency 或 Literacy 的意思。雖然國內已經有不少探討或詮釋 素養的文章，而且在某種程度上已經形成了標準詮釋，但是本文為了探討所謂素 養導向之數學課程與教材，還是有必要從頭再摸索一次素養概念的脈絡，並嘗試 再詮釋素養的意義。
作者從人力資源管理領域，探索素養的一支源頭，簡述影響台灣教育界素養 概念的歐洲文件，藉此理解 Competency 或 Literacy 原本的實用意涵。然後，分 別在文化、教學和課程層面，提出素養觀念在華人世界的可能拓展；簡要而言，
它們分別是（一）在我國社會對於教育的傳統期望之中，素養不能只有實用的意 涵，望文生義還有「素質」和「修養」的意涵，（二）素養的主張不等於建構主 義、學生中心、或者專題導向的學習，作者援引「知、行、識」來分析素養教學 的元素，（三）十二年國教之數學課程，應從十八歲的終點素養目標回溯學習主 題，並一一按照學生的生活經驗或認知能力，發展出完整而連貫的脈絡。
素養導向的評量已經透過大型國際評量的形式而發揮影響力，論述者眾，國 內外的範例也多了起來。但是素養導向的教材則還在初萌的階段。我們在十二年 國教的數學主題中，抽出幾條一般讀者都能理解的脈絡，推薦幾項素養教材的範 例。
關鍵字：素養，數學素養，課程綱要，書面教材
壹、素養概念溯源
中文本來就有「素養」之詞，而且已經用在教育文件裡。例如民國 84 年之
《高級中學課程標準》，即有「提升高中生人文與科學素養」的說法（教育部，
2005，頁 599）。類似地，中國大陸在西元 1988 年頒佈的《九年義務教育全日 制初級小學數學教學大綱》裡，也寫著「掌握一定的數學基礎知識和基本技能，
是我國公民應當具備的文化素養之一」（黃友初，2013）。然而，「素養」作為 教育的特定觀念而產生專門化的定義，應該是外來的；海峽兩岸皆如此。換句話 說，素養被用來對應特定的外文之後，至少在教育領域裡，從普通名詞演變成專 有名詞了。
國科會委託洪裕宏於 2008 年完成的「界定與選擇國民核心素養研究」，以 及教育部國民素養辦公室委託李國偉等人於 2013 年完成的「數學素養研究」，
可謂國內討論一般教育領域之素養和特定教育領域之數學素養的最主要參照。前 者將 Competence 譯為素養，而後者採用 Mathematical Literacy 作為數學素養的原 文。兩份文件都將這一波探討素養的源頭，指向經濟合作與發展組織 (OECD:
The Organization for Economic Co-Operation and Development) 在 1997 年底委託 的「素養的定義與選擇」研究 (DeSeCo: Definition and Selection of Competencies)，
主要的資助單位是美國教育部和教育統計中心，而執行單位是瑞士的國家統計 局。
為什麼一個經濟組織會關心教育呢？簡單的說，經濟發展需要人力，而人 力需要教育來培植與訓練。Competency 可以直譯為「能耐」，它長期以來是人 力資源管理（HR: Human Resources，簡稱人資）領域中的用語；目前，維基百 科 (Wikipedia) 羅列了 Competence 在人資、法律、生物與地質等領域的專門解 釋，但是沒有教育領域的。而作者認為，在西方的「素養」相關文件中，Competence 始終是以人資領域的意義而言的，並不是教育的。（Competency 和 Competence 的意義略有不同，但本文暫且將它們視為同一個字的兩種寫法。）
國內的人資領域將 Competency 譯為「職能」，此概念是美國哈佛大學心理 學家 McClelland 於 1973 年提出的，原意是提出高等教育不應以智商作為甄選的 依據，而應更注重實際影響學習績效的能力 (competences)。後來，當企業「想 要了解表現優秀與普通工作者之間的差異，找出並確認哪些是導致工作上卓越績 效所需具備的知識、能力及行為表現，…都是參照 McClelland 提出的概念來進 行，提供了許多明確的方向和觀念供企業參考」(李嘉哲，鄭晉昌，2008)。所以 職能不只是智商，也不只是知識和技能，還有透過行為表現出來的態度。在這個 理解之下，再對照 DeSeCo 界定出（一）能使用工具溝通與互動、（二）能在異 質社群中進行互動與（三）能自主行動等三個核心範疇，每個範疇又分成三項指 標與內涵，以確保「個人的成功實現與社會的良好運作」(Rychen and Salganik, 2003)，我們應該更加相信：DeSeCo 所探討的 Competency 是從人資領域的脈絡 裡延伸出來的。
數學素養的原文 Mathematical Literacy 來自於國際學生能力評量計畫 (PISA: Program for International Student Assessment) 之中，對於數學評量內容的 定義。PISA 也是 OECD 主導的計畫，但是在描述數學的知識、技能和行為表現 時，卻不使用 Competence 而改用 Literacy，透露出主事者將數學視為一種語言。
Literacy 的原意是識字與讀寫能力。此概念不含聽與說的能力，因為它原指 母語而非外語，能流利聽與說的人可能是文盲，不能算是具備了 Literacy。將基 礎數學視為一種語言，作為一切學習的基本工具，促成英國在 1957 年創造了一 個新字 Numeracy，意指認識數字並具備關於數字的讀寫能力，簡要的解釋就是
「識數和計算能力」。英國和鄰近的蘇格蘭和愛爾蘭，常以 Literacy and Numeracy 當作其小學基礎教育的主題（例如 DfE，2003，或在 Google 搜尋上述英文字）。
由上可知，Numeracy 比較侷限在數與量的學習內容，這的確是小學基礎教 育的主要數學課題。但 PISA 的施測對象是即將完成國民共同教育階段的 15 歲
少年，而不是兒童，所以不能只具備數與量的數學知識和能力，還要認識形體、
變化關係、以符號代表數、資料處理與不確定性等數學內容，並具備關於它們的 讀寫（與實用）能力。作者認為，PISA 的主事者是在前述思考脈絡之下，選用 了 Mathematical Literacy 這個詞。
到這裡，我們或許可以看出來，不論 Competence 還是 Literacy，都是指「能 力」；前者較為綜合性與一般性（知識、技能與行為表現），而後者傾向於特指 基礎能力（識、讀、寫、算）。兩者都在「能力」之上，被賦予更高的原則，就 是以現世生活為目標的人力資源發展。於是，這些想法導致對於教育成效的務實 或實用觀點。在這個大原則之下，最早成形而且發揮影響力的例證之一，就是歐 洲語言共同參考架構 (CEFR: Common European Framework of Reference for Languages)。
歐盟理事會 (Council of the European Union) 在西元 2001 年公佈 CEFR，建 議不要將語言的學習視為知識 (knowledge) 的累積，而應強調其功能性
(functions)，亦即在真實情境下使用語言進行溝通的能力。CEFR 是一個以「能 做」描述 (“Can-do” Descriptors) 界定語言能力的參考架構；它建議（第二或外 國）語言的教學與評量，應該不要太專注於語言知識 (linguistic knowledge)，亦 即對語言系統的認識，例如字彙和文法等，而要重視語用能力 (pragmatic competence)，亦即對語言之功能性資源的熟悉度，例如語言的連貫性、對言談的 掌握、對各類體裁的理解等 (Council of Europe, 2001)。注意前面的語用能力是說 Competence，而不是 Literacy，因為這裡指的是運用第二或外國語言以進行溝通 的能力，包括聽說讀寫，是綜合性的能力而不是基礎能力。
對照 CEFR 和 PISA 測驗，讀者應該非常清楚地察覺它們的一致性：不要太 強調知識的本身，而要強調在現世生活中的應用。
舉一個 CEFR 的 A2 等級（六個等級中的第二級）閱讀「能做」描述為例：
Can understand everyday signs and notices: in public places, such as streets, restaurants, railway stations; in workplaces, such as directions, instructions, hazard warnings.
試譯作「能了解日常標誌及告示：在街道、餐廳、車站等公共場所，或者在工作 場合的指標、指引、警告標誌等」。相信國內讀者都能辨識出來，這不就是我們 的「能力指標」嗎？
可見「素養」和「能力」實在有點糾纏不清。或許因為如此，本期《教育脈 動》才會以這兩個名詞的排比當作主題。很多人自由心證而將它們各自解讀，例 如，嚴長壽提出了作為教育大目標的「三個素養、兩個能力」(2015)，就表現出 他個人對於素養和能力這兩個觀念的解讀。
本節的目標是在闡述：「素養」一詞的專門用法，源自人資領域，是西方實 用主義觀點的具體表現。限於篇幅，本節並沒有做完整的文獻探討。有興趣深入 閱讀的讀者，可以從洪裕宏 (2008) 和李國偉等人 (2013) 的結案報告裡，獲取
更多的文獻。據了解，在本文正式刊出之時，國家教育研究院將已經決定「素養」
的英文翻譯，請讀者留意。
貳、素養再詮釋
九年一貫說「能力」，十二年國教說「素養」，究竟是另起爐灶？還是換湯 不換藥呢？本文想要指出，它們其實是一脈傳承的。
根據前一節的闡述，希望讀者已經接受，不論 Competency 還是 Literacy 基 本上都是指能力；而且，以 CEFR 為典範例的相關文件也都以「能做」語句來描 述這些能力。可見「能力」概念非常貼近歐洲相關文件的原意，而「能力指標」
更直接對照歐洲的「能做」描述。然而「素養」的概念源頭，也是 Competency 和 Literacy。所以我們獲得的第一個結論，應該是：「素養」與「能力」系出同 源。
前面引述的國內學者，都指出歐洲文件裡所說的 Competency 或 Literacy 超 出了它們的普通字面含意。我們不在這個議題上多做推敲，只想要指出：不論西 方怎麼說，至少我國的教育學者對於單純的能力概念與全然的實用主義，並不滿 意，而想要改進。「素養」就是在文化與價值的驅動之下，對「能力」的回應。
用上述觀點來看，十二年國教課程的核心素養主軸，是順著九年一貫課程的能力 指標主軸發展出來的。臺灣依照自己的教育傳統與價值觀，將西方的教育實用主 義作品，先轉譯成能力指標，再進一步融入本土的精神，轉化成素養。
以下，作者就個人能力所及，試圖從文化、教學、課程三個層次，敘寫素 養比能力多了些什麼？以及十二年國教的數學課程企圖作了些什麼？
一、文化層次
教育當然有其經濟價值，但是在我們的文化裡，教育不純然是經濟活動。所 以，我國對於教育的傳統看法，不容易完全接納徹底的實用主義。素養一詞，望 文生義還有「素質」和「修養」的含意。進一步說，我國社會期望受教育者能擁 有知識與技能上的素質，再加上道德與智慧上的修養。更淺白地講，我國社會期 待受教育者「知道」一些「該知道的事」，在待人接物之際表現出某種道德水準，
而面對問題的時候，具有通盤而和諧考量的智慧。
知識與技能或許可以分科培訓，但是道德與智慧就必須是綜合性的教育。這 個信念反應在十二年國教的總綱，列舉「三面九項」核心素養，並責成各領域課 綱分進合擊地達成素養的教學目標。以數學領域為例，在道德上能做的（直接）
貢獻不多，但是在文化上，就有豐富的內容可以提供。
即使實用主義也只能呼籲著重於實用而不能捨棄知識，更何況素養概念內含 著文化的訴求。因此，素養導向的課程中，必然有知識性的內容，只是其取捨的 標準，不能全然考量職業上的需求，也不再著重學科本身的知識完整性，而是要 考量文化上的需求。
試舉一例，虛數 i 對大多數人來說，大概是最不可能「實」用的課題了。i
是滿足i2 的數，它應該「實際上」不存在而只存在於數學家「虛無飄渺」的1 想像裡。但是，獲得美國東尼「最佳劇本」獎的《Proof》（臺灣綠光劇團譯作
《證明我愛你》）或者獲得日本讀賣文學獎且搬上大螢幕的小說《博士熱愛的算 式》，都把 i 寫進故事裡，而 i 也在許多文化或文明的作品中出現。所以，為了 培育學生的素養，數學課程應該讓學生有機會認識 i。當然這個理由不能無限上 綱，在素養層次認識 i，並不等於要熟練它的四則運算，更不等於要解多項式的 共軛虛根。所以，培育素養的數學課程，應該要讓學生有機會認識虛數 i，但是 不應在共同必修的課程中，強調其計算的操作。
在國小、國中階段，可能沒有太多因為文化素養而引入數學課題的機會，但 是日常生活使用的基礎數學，提供非常多的機會，讓學童認識文化的差異並增進 國際視野。比如英文的數字命名很明顯不是（固有的）十進制，如果再得知法文 的數字命名就更有趣了。日常生活將數字寫成三位一節，我們跟隨英美習慣用逗 點隔開，但是德國用句點（小數點），而德國的逗點其實是小數點。至於三位一 節的理由，可以搭配英文課學習，是因為他們的語言習慣：譬如 23,373,517 英文 讀作 twenty three million, three hundred and seventy three thousand, five hundred and seventeen，也就是每一個逗點對應一個「數量詞」：thousand、million、billion 依此類推。當然此處很可能引發一個議題，就是上述的數字分節習慣，並不符合 華文的習慣啊！我國的「數量詞」應該習慣以萬、億、兆分段，因此，每四位數 一節才符合我們的語言。這是另一個議題，不在這裡討論了。
數學教材的前端，經常用一個故事來引起動機或題綱契領。這些「開卷」故 事不一定要僅限於生活情境或者如小說般編造的情節，還可以考慮文化方面的話 題和與數學直接關連的歷史事件，或者對學生的認知能力而言可理解的寓言或傳 說故事。例如建國中學曾俊雄和林信安老師設計的「二維數據之迴歸直線」教學 模組（鄭章華等人，2015），便是以「迴歸」這個名詞首度出現的真實事件，當 作「開卷」故事。當時討論的現象是：身材偏高的父母，通常子女的身材比父母 矮，身材偏矮的父母，通常子女的身材比父母高。統計數據支持上述命題。而研 究者提出一個「先驗」的解釋：因為個體的差異都將「迴歸」平均值，所以過高 的後代會變矮，過矮的後代或變高。
二、教學層次
前面已經指出，素養導向的課程包括「知道」和「能做」兩個向度，而且皆 應以「實用」作為判斷的規準；只是這「實用」的「實」不限於物質世界的真實
（亦即生活或就業所需），還包括人類創造的符號世界的真實（亦即文化或文明）。 雖然上述看法有助於我們抉擇教學內容的題材與深度，卻沒有對教學提出建議。
在這個問題上，林福來等人 (2013, p.31) 在數學領綱前導研究報告裡提出的「知、
行、識」數學素養培育架構（如圖一），仍然非常值得借鑑。
「知」和「行」的意思比較單純，就是前面說過的「知道」和「能做」兩個 向度，分別對應英文 to know 和 can do 的意思，而且潛在的主詞都是「學生」。
在教 要更 什麼 但是
快就 方式 少對
「剩
數學 數學
結的 識的 理解 to u 和 h
之外 在學 就不 童話
教學層面上 更細緻地指 麼」的敘寫 是影片教材
「是什麼 就把人帶到 式，嚴格地 對所有小學 剩餘幾個」
「知、行 學課題「是 學課題要用
「識」是很 的後設認知 的方面則是 解。即使限 understand 以
have an insi
我們認為 外，還能「識 學生能知的 不再符合素 話故事的範
上，「知」當 出，在教材
，但是「行」
材就可以）
麼」不一定比 到數學哲學的 回答上述問 學生都還算容 或「不夠幾
、識」的數 什麼」以外 來「做什麼 很難被翻譯
、以及對數 是「為什麼」
定在「理解 以外，還有
ight into（洞
為素養之導向 識」。而識 的範圍裡面進 素養的期待了 範圍裡，但是
當然是指學習 材層面上，
」則不僅是操
，更應該包 比「做什麼 的深處，而純 問題。相對而
容易，就是 幾個」。
數學素養培育 外，還要在實
麼」？
譯成英文的 數學價值的賞
」，包括「為 解」這一方面 有 make sens
洞察）的意
圖一 數 向與否，並不 識的媒介與深 進行，否則就 了。例如對小 是對中學生
習內容，而
「知」仍然 操作程序的 包括「做什麼
」簡單。例 純數學提供
而言「正整 是用來計算（
育架構，建 實用的規準
中國字。它 賞識態度。
為什麼要這 面，「識」
se of（使產 意思。
數學素養的 不在於教法 深度，仍然 就脫離了實 小學生講故 講故事，則
而「行」是操 然是大家熟悉
的陳列或示 麼」的敘寫 例如「正整數 供了一種公設
整數做什麼
（離散的）物
建議教材（和 準之下，注意
它的意思比較 對照知「是 這樣」、「為
仍然很難翻 產生意義）
的課程架構圖 法，而在於是 然以前面所說
實用的原則 故事，最好能 則歷史事件
操作技能。
悉的陳列知 範（平面教 寫。
數是什麼」
設取徑和一
」這個問題 物件對象「
和教師的教 意並經常反
較微妙，是 是什麼」、行
為什麼是這 翻譯；它除
、be aware
圖
是否在「知道 說的實用為
，變成了為 能在兒童的
、暢銷小說
可是，作者 知識，是為 教材不能示範
這個問題 一種集合取徑 題反而容易
「共有幾個
教學）除了注 反思，學習某
是關於理解和 行「做什麼 這樣」等問題 除了對應基本 of（意識到
道」與「能做 為依歸，同時 為學科而學習 的生活經驗或 說、電玩情景
者想
「是 範，
，很 徑的
，至
」、
注意 某個
和連
」，
題的 本的 到）
做」
時要 習，
或者 景、
可解釋清楚的專業環境，應該都能作為題材。
但是前述主張仍然是個概念而不是一個方法。根據客觀條件的支持或限制，
教師有許多熟知的方法，都有濟於「識」。編故事讓學生覺得數學有趣、設計例 題讓學生相信數學有用、讓學生互助合作討論數學的真相、在探索活動中引導學 生自行發現數學、甚至動用五色聲光讓學生受到數學之美的感召，都是可選用的 方法。而且，我們認為這些教法之所以有效，都是因為它讓學生有「識」於數學 了。反之，有些老師試行了上述方法，卻感慨耗費太多時間而效率不彰，可能是 因為那些教學上的努力，僅達成了基本的「知、行」目標，卻沒有達到「識」。
試舉一例：負數。七年級以上的學生該知道負數的記號、在數線上的位置、
正負數互為「相反數」。經過大約半年的陸續練習，多半學生也都能掌握（正負 混合）整數的加減乘除。在這個主題上，「知道」和「能做」並不特別困難。但 是，在「識」的層面，正和負賦予「數」方向的概念，而正負數被發明出來處理 有方向性的量，則呼應了「做什麼」的部份。
許多老師為「負負得正」的「生活化解釋」傷腦筋。如果把正、負數當作物 件來看，則相反數的對稱觀念，就可以用「相反的相反，就是還原」來解釋負負 得正。如果把正、負性當作方向來看（這就是為什麼數線都要畫一個箭頭），那 麼「負負得正」不過就是「向後轉再向後轉，就回到原來的方向」；這是每個學 童都可以親自操作的概念。
其次， 1 、 2 、3、…在數線上的位置，也就是正負數的「相反」性質，
不是「推論」出來的，而是「規定」的。這是一個數學文化層次的見識：數學家 堅持新舊觀念的相容性。數學不像自然科學，不（全然）是觀察世界而歸納的規 則，而是由人類的心智創造的。先人規定負數所在的位置，是為了使得整數的加、
減概念與正整數的加、減概念相容：加是向上數（朝箭頭方向），減是向下數。
而這個相容性，保證了一個更重要的性質：加減互逆。
上述的「識」其實可以用來協助「知、能」。利用加減和「相反」觀念，教 師可以輕易將整數混合加減計算，從一共九種，化約成小學就熟悉的兩種：正整 數相加，和大的正整數減小的。在熟練之後，如此的化約並不重要；但是對初學 者而言，舊經驗的連結應該是必須的。
熟練了混和計算之後，可以讓學生認識到：統合的「整數」整併了加減計算
（不再需要特別分辨加法和減法），在觀念上（以及「程式設計」上）大幅簡化 了演算法，而且促成了坐標幾何的建立（也就是幾何圖形與方程式的結合）。這 些也屬於「識」的範疇。
學生應該「識」得負數是被發明的；既然它是人的發明，就別怕，它是聽人 使喚來做事情的。學生將要學著識別負數的「用途」：只要被測量的對象有方向 性、有基準點、有單位，就能賦予正數和負數。例如測量溫度時，朝著熱的方向，
以水的冰點為基準，以攝氏為單位，就能使用正、負數；再如計算資產，以盈餘 的累積為方向，以「無」為基準，以千元為單位，也就能使用正、負數。而人們 既然發明了負數來「用」，當然有它的好處，學生最好能賞識負數的好用之處。
很多人質疑，即使不用負數，使用黑色或紅色的數字，或者在數字前面註明 收入或支出，還是能夠完整地處理財務算術。這是正確的。但是，設上個月的資 產是 M，這個月的營業淨利是 P，則本月結算資產時，根據 M 和 P 的盈虧和它 們（絕對值）的大小，一共有六種演算法。如果採用正、負數，也就是將數賦予 方向性，則演算法只有一個： M 。這樣一來，不但在概念上單純而簡潔，在P
「程式設計」上，也變得實用多了。
以上舉負數為例，建議可以如何參考「知、行、識」的架構來設計教材，並 以此教材引導教學。但是，我們並沒有設定特殊的教法。而「知、行、識」的架 構，就是本文對於數學素養在教學層次的具體建議。
三、課程層次
十二年國教的數學領域課程綱要，在總綱的整體規劃之下，以素養為設計的 主軸。數學領綱實踐其整體素養目標的方式之一，就是更精緻地銜接前後學習階 段，釐清了許多數學概念的發展脈絡，讓它們從小學到中學有著清晰的軌跡。對 於每一條學習的軸線，在各學習階段都有其專注的層次和各自的階段性目標，而 各學習階段之間，都應該有更明確的轉銜。這是素養理念賦予課程設計的一個理 念：希望教師更清楚地明白，自己負責的這一階段課程，並不是孤立的點，而是 在整個數學的學習脈絡中，有其特定的意義和目的。教師的清晰概念，應該有助 於學生在合理而平順的課程中學習與成長。
在此，我們舉林福來等人在數學領綱「前導研究」中特別關心的一條軸線為 例：空間概念（林福來等，2013）。
相對於平面，空間課題應該是更具體的學習對象。畢竟，我們生活在空間裡
（這裡說的空間是指三度空間），而數學所謂的平面，在生活經驗中其實是「不 存在」的。人們為了處理空間中的問題，將空間現象抽象化而且簡化成平面或直 線上的問題。所以，數學中的直線與平面幾何，其實是「依附」或「嵌含」在空 間之內的；直線和平面其實是從空間的經驗中抽象出來的。
從小學低年級（第一學習階段）開始，學生從自己的視覺和觸覺具體地認識 基本幾何形體，從這些實體物的面和稜抽出點、直線和平面的初步認識。在三年 級，帶領學童從展開圖製作正方體和長方體，而後又陸續認識柱、錐、球等基本 形體。學童先在化約到平面上的簡單環境中，認識直線的平行和垂直。然而，當 他們在生活環境中舉例的時候，卻直覺地將平面上的兩線平行或垂直關係，嵌入 了空間之中（例如指出鐵軌是兩條平行線）。到了五年級，將感官和語言直覺地 結合在一起，在一個長方體上，認識空間中兩平面的垂直和平行。接著，以長方 體的認識為基礎，在生活環境中指出互相平行或垂直的面。課綱可能還會建議一 種新的教具：空間中的直角板，作為測量垂直面的工具。
到了國中階段，學生應該進一步認識（直）柱體上的平行面或垂直面，在長 方體或柱體上辨識互相平行、垂直或歪斜的直線。我們也期望學生在這個階段能 認識直線與平面的垂直關係。藉由畢氏定理和直角三角形上的正弦、餘弦與正切
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、素養導 作者在今 學者 Stefan 科書：Math 後全新設計 理由是，這 我國的說法 者發現，許多 沒有進入實 06)。
觀察《數學 之間設計的 題，試舉此
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《數學新 理數那一章 他們是在平 師看來，他們 的確是向量 具體而且好 揮一艘軍艦 點依序抵達 令就是 ( |a 北向的移動
階段也把空間 年級，學生要 形的截面，並 的直角坐標系
直線與平面 年級的甲類
言，十二年國 到數學語言，
中階段則主 間幾何原理，
持 3D 動畫和 向的教材 今年 9 月訪問
Halversche hematik Neu 計的教科書，
這一套教材是 法，Stefan 教
多臺灣同儕 實驗階段，但
學新道》，
的綿密脈絡，
此教材的幾個
新道》在六年 章裡。最初，
平面的方格紙 們簡直就在 量，但是放在 好玩。學生的 艦（或海盜船 達幾個定點，
)
b ，其中 a 動；正數代表
間形體的認 要在長方體 並以三角關係
系（還是奠 面，以方程 類選修課程
國教數學課程
，使學生可以 主要是提升到
，另一部份學 和 3D 列印所 材參考
問德國哥丁 eid教授（正
ue Wege（數
，適用於文理 是按照 PISA 教授的推薦辭 儕在過去五年 但是已經被寫
除了欣賞其
，也是令人讚 個特殊設計
年級引入負數 負數就是用 紙上引進負 在教向量了 在一種如遊戲 的「任務」就 船）在海域中
，並且避開危 a 表示東西 表朝東或朝北
認知，從觀察 上識別「不 係做測量。
奠基於長方體 式或向量，
，繼續帶領
程的空間主 以運用數學 到測量層次 學生要做好 所需的數學
丁根 (Göttin 正在兼任系
數學新道）
理中學 (Gy A 想法而設
辭，可謂「
年之間曾經 寫在這套《
其個別教學 讚嘆的。本 計，供讀者參
數，而且它 用來表示位 負數。在臺灣
。雖然它的 戲般的情境 就是在方格
中航行；船 危險。而船 西向的移動，
北，負數代
察層次推進 不落在同一面
高中二年級 體），而 A
，處理垂直 領學生認識一
主題，在國 學性質，理性 次，一部份的 好進一步專 學原理，放在
ngen) 大學的 系主任）。訪
。Stefan 說 ymnasium) 設計的，有許
「這是一套素 經討論或嘗試
《數學新道》
學主題的新穎 本節僅以前面
參考。
它是放在 位移，而 灣的數學 的抽象觀 境裡，不 格紙上，
船必須從 船長下的
，b 表示 代表朝西
進到初步的測 面上」的三 級要認識一 A 類課程的學
、平行、以 一般形體的
中階段以前 性思考生活 的學生要了 業化學習的 在重要的考
的數學系，
訪談中，他 說這是唯一 的 5 至 10 許多令人欣 素養導向的 試的新想法
》裡面了
穎設計以外 面提過的負
測量層次。
三角形，換句 一般的兩面角 學生要進入 以及一般的測
的截面，以及
前，目的是將 活中發生的空 了解工業或商 的準備。課綱 考量上。
拜會了數學 他推薦一套數 一完全在 PIS
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或許 ller , 個年 兩個
或朝
的另 才發 在小 們希 題都 就是 意區 西南 平面
的位 所以 是後 的形 學生
減計 而且 面朝 而 a 是學
負）
二
朝南，課本 這項設計 另一項主張 發展代數層 小學階段非 希望新的十 都符合上述 是先以記號 區分平面和 南北（或上 面坐標系。
學生習得 位置。因為 以介紹數線 後者僅以「
形式出現；例 生指出關鍵
在這些記 計算。此時 且加減計算 朝前（右）
( 3) a 就是 學生的步長
乘和除則
）整數處理
、空間
本裡只用整數 計不僅恰好贊 張：每個數學 次，最後（
非常清楚，但 十二年國教數 述層次的發展 號的形式登場 和數線，反正 下左右）的
得負數記號之 為學生在五年 線之後，立刻 記號」的方 例如在坐標 鍵的點坐標。
記號層次的學
，《數學新 算就是沿著數
走 3 步，a 是朝後倒退 長，讓孩童親
則拖延到更後 理乘和除的計
數（在方格 贊同我們前 學課題的學
（如果存在的 但是從國中
數學課綱，能 展。《數學 場的。而且這 正在方格紙 的觀念，並不
之後，才發展 年級就非常 刻就介紹了 方式出現，而 標平面上畫
。
學習完成之 新道》採取的
數線的向前 3
a 是面朝 退 3 步。課本
親身練習。
後面，和有理 計算。
格的交點上行 前面所提的
習，都盡量 的話）才發 起就模糊了 能夠讓每一 學新道》的負
這份教材並 上，自然就 不需要真正
展它們在數 常熟悉方格紙
平面坐標系 而且還是以 一張小丑臉
之後，才開始 的說法和本 前走或向後走
朝後（左）走 本建議教師
理數一併處
行動）。
「方向」主張 量先從算術或 發展到函數層
了。我 一個主 負數，
並不刻 就有東 正引入
數線上 紙了，
系，但 以遊戲 臉，要
始做加
本文的主張一 走。教材把
走 3 步， a 師在黑板上畫
處理。也就是
張，而且也 或數值的記 層次。上述
一樣：把負 把a3解釋為
( 3) a 是朝 畫出數線，
是說，並不單
也恰好吻合課 記號引進，然 述的學習層次
負解釋為方向 為從 a 開始 朝前倒退 3
單位長大約
單獨針對（正 課綱 然後 次，
向，
始，
步，
約就
正、
同。
圖形 學新 動。
何物 後者 個學
道》
的數 關係 那些 每個 課程
要畫
前面看到
。同樣地，他 形在現實生 新道》的另一
。而整個德 五年級的 物件。他們 者刻意顯示 學習步驟，
另一項我
》的基本三視 數字表示那 係的天分，
些「學而知 個人的天分 程中，似乎
三視圖不 畫出從東、
到《數學新道 他們也不刻 生活中「並不
一項特色是 德國的數學課 的第一課就是 謹慎地解釋 示平行線。他
是我國課程
我國課程忽略 視圖教學目 那一堆的高度 無師自通；
之」的人，
分，而且現代 乎是說得過去
不僅於此。在 南、西、北
道》並不刻意 刻意分離空間 不存在」，它 是：大量使用
課程，也看 是空間形體 釋「透視圖 他們要求學生
程中長期忽
略的課題是 目標，是連結
度）。這或許
；這些人是 有學習和成 代生活和科技
去的。
在六年級，學 北方所看到
意分離數線 間形體和平 它們都是從 用方格紙，
看得出來特別 體，從日常生
」和「示意 生在方格紙 忽略的。
是立體圖形的 結左側的積 許像是智商
「生而知之 成長的機會 技工具需要
學生根據畫 到的視圖（給
線和平面坐標 平面圖形；如 從空間中被抽 設計了非常 別注重幾何 生活所見的 意圖」的差異 紙上練習繪製
的三視圖。
積木透視圖與 商測驗的題 之者」。但教 會嗎？所以
要這樣的能
畫在方格紙上 給定每塊積
標系，只是 如我們前面 抽象而簡化 常多在方格 何的操作活動
照片，化為 異：前者並 製幾何形體
同樣在五年 與右側的上 目，有些人 教育的目的
，既然這種 力，將它放
上的上視圖 積木的高度）
是學習的層次 面說過的，平 化形成的。
格紙上的學習 動。
為錐或柱狀的 並無平行線
體的示意圖
年級，《數學 上視圖（方格 人具備這種空 的，不就是幫 種空間觀念不 放在學校教育
圖（如下圖
）。
次不 平面
《數 習活
的幾
，而
。這
學新 格中 空間 幫助 不是 育的
），
視圖
跟著 五年
如下 方式
做三
一直
在七年級 圖所見的可
平面與空 著出現了。上 年級的數學
三視圖的 下的照片，
式。而學生
製作示意 三角柱、圓
德國的中 直是平面搭
級，則要根據 可能是經過旋
空間的混搭，
上圖之右是 學內容。
的練習一直逐 和其對應的 生此時要能處
意圖的能力也 圓錐、圓柱等
學生，在八 搭配著空間，
據透視圖（如 旋轉的同一
，也出現在 是經緯度的解
逐漸增加複 的透視圖和 處理複合形
也在逐漸發 等基本形體
八年級學習畢 這時候也不
如下圖之左 一堆積木。
圓和球：學 解釋，我國
複雜度與真實 和三視圖。這 形體的三視圖
發展。九年級 體的示意圖
畢氏定理，
不例外：下圖
左），描繪或
學了圓之後 國可能屬於地
實的程度，到 這是 3D 繪圖
圖（不再是
級有以下四角
。
，與我國一樣 圖中，學生做
或辨識某個
，可以應用 地理課程，
到了九年級 圖軟體裡常 是正方體積木
角錐的教學
樣。但是因 做的是平面
個面的視圖
用在球上的圓 它在德國屬
級，課本裡出 常見的畫面分 木的堆積）
學，然後學生
因為學習過程 面圖形的問題
，但
圓就 屬於
出現 分割
。
生要
程中 題，
但那 忘空 習，
如右 本的 中學 年級 式，
及空 備高 部分 內容 出的 它所 作為 我國 提出
那些 也塑 但是 有可
那個圖形鑲 空間的本質
，但是其實
球的體積 右圖。
空間課題 的空間課題 學生專注於 級，空間坐
，以及空間 空間向量，
高中畢業考 分的數學，
雖然前面 容，但是平面 的觀點：平面 所處理的問 為線性代數 國教師都對 《數學新 出負數和空
所謂「家家 些特殊的問 塑造了我們 是這些事實 可借鏡之處
鑲嵌在空間之 質，應該是一 實已經具備測
積與表面積，
題在十和十一 題在九年級完 於學習函數和 坐標才正式出 間向量，都在 是高中數學 考試（申請大 是選考的內 面說過，五年 面向量並沒 面向量在數 題都是普通 數的最基本範 對平面向量很 新道》處理平 空間這兩條課
家有本難唸 題是他們的 們的特殊問題 實並非本文的 處，但我們有
之中。像這樣 一舉兩得的
測量的內涵
，以相當「古
一年級大致 完成了。在 和基本的微 出現，而空 在那時候才 學教育最後 大學的依據 內容，並非 年級就出現 沒有正式出現 數學史上是不
通的解析幾 範例，並作為 很拿手，數 平面幾何和三
課程發展的 唸的經」，德
的制度傳統 題。外國的月 的要旨，只想 有自己的獨特
樣的練習，
。這些問題 涵。
古典」的方
致上中斷了 在十和十一年 微積分。在十 空間中的直線 才學習。空間 後期的內容 據）的專業化 非每個學生都 現了「類似」
現在德國課 不存在的。
幾何就能做的 為空間向量 數學課綱還是
三角函數的 的軸線，供讀
德國的教育 統與社會價值
月亮不一定 想在此簡單 特情況要處
，一面精熟平 題經過數學化
方式「說明」
，或者說，
年級，德國 十二（或十三
線與平面方 間的坐標幾
，也是學生 化內容。這 都要考。
」平面向量 課程裡。這個
。平面向量固 的，並沒有非 量的前置經驗
是包含了平 的方式也很值
讀者參考。
育現場也有許 值觀造成的 定比較圓，我
單地註明：環 處理，複製外
平面圖形的 化，看起來
」，
基 國的 三）
方程 幾何 生準 這一
量的
個現象也是 固然是個方 非學不可的 驗和簡單的 平面向量。
值得參考，
許多令他們 的，就如同我 我國課程也有
環顧國際的 外國課程是
的處理，一面 來是純幾何的
是本文作者常 方便的工具 的理由。但是 的類比，更何
但本文只打
們煩惱的問題 我們自己的傳 有自己的優 的數學教育 是不可行的
面不 的練
常提
，但 是，
何況
打算
題；
傳統 優點，
，都
。同
樣的道理，複製外國的觀念與制度，也是不可行的。
肆、結語
我國對於「素養」的期望不止於務實的職能觀，也不僅是讀寫算之基本能力，
應該可以在文化、教學與課程層面，發展自己的見解。本文提出「知、行、識」
之架構，作為發展數學素養之課程與教材的參考，盼各界指教。
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