圓內接奇數邊形與偶數邊形的幾點差異
吳 波
在文 [1] 中李輝濱先生證明了“圓內接奇數邊多邊形的正弦定律”。 由於表述起來較複雜, 下面僅以圓內接五邊形為例 (本文中的多邊形都是凸多邊形):
命題1(見 [1]): 如圖 1, 對半徑為 R 的圓的內接五邊形 A1A2A3A4A5 有:
A1A2
sin(A3+ A5) = A2A3
sin(A1+ A4) = A3A4
sin(A2+ A5) = A4A5
sin(A3 + A1) = A5A1
sin(A4+ A2) = −2R.
圖1 文 [1] 還提到, 對圓內接偶數邊形, “尚未被發掘出有相
同類型的比例式”。
本文中我們先給出上述命題的一個簡單證明。 然後從理 論上說明 : 對圓內接偶數邊形, 為何不存在同樣的比例式。
引理 (見 [1]): 對圓內接 2n 邊形 A1A2A3. . . A2n (n ≥ 2) 的內角, 有下式粧成立:
n
X
i=1
A2i−1=
n
X
i=1
A2i = (n − 1)π.
命題 1 的證明: 如圖 1, 在 z {
A1A2 上取一點 P , 則對圓內接六邊形 A1P A2A3A4A5, 由引理 可知 : P = 2π − (A3+ A5).
在 △A1P A2 中, 由正弦定理有 : A1A2
sin P = 2R. 將前式代入即得:
A1A2
sin(A3+ A5) = −2R.
同理可證其他幾式。
顯然, 這種方法對一般的圓內接奇數邊形仍然適用(有時 2R 前沒有負號)。
對圓內接偶數邊形, 按同樣的方法: 在某條弧上取一點 P , 再連上相鄰兩頂點, 可轉化為 圓內接奇數邊形。 但對圓內接奇數邊形, 引理中的結論並不成立。 因此, 對圓內接偶數邊形, 不 存在同樣的比例式。
但這還不能完全消除我們的疑惑。 因為“對圓內接奇數邊形引理中的結論並不成立”, 這只 是說不存在“P = 2π − (A3+ A5)”這種表達式。 但如果 ∠P 能由諸 ∠Ai (i = 1, 2, 3, . . . , n) 用其他方式表示出來呢?
圖 2 因此, 我們有必要探討如下問題:
問題: ∠P 能由諸 ∠Ai (i = 1, 2, 3, . . . , n) 確定嗎?
易知三角形時是可以確定的。 下面看圓的內接四邊形的情形。
如圖 2, ⊙O 的內接四邊形 A1A2A3A4 的四個頂點將 圓周分割成四段弧, 設其中的 z {
AiAi+1 所對的圓心角的弧度 為 x(i)(i+1) (i = 1, 2, 3, 4, 約定 : 當某個腳標超過 4 時, 將 其等同於模 4 的最小正剩餘)。 在 z {
A1A2 上取一點 P , 由圓 內接四邊形對角互補知 : P + 1
2x12 = π.
要由諸 ∠Ai (i = 1, 2, 3, 4) 去確定∠P , 即轉化為由諸 ∠Ai (i = 1, 2, 3, 4) 去確定 x12. 由圓內接四邊形對角互補知:
A2 +1
2(x12+ x23) = π.
變形得:
x12+ x23= 2(π − A2).
同理有:
x23+ x34 = 2(π − A3), x34+ x41= 2(π − A4), x12+ x41= 2(π − A1).
其中 A1+ A2+ A3+ A4 = 2π.
說明: 另一限制條件“x12+x23+x34+x41= 2π”已蘊含在“A1+A2+A3+A4= 2π”之中。
可算得這四個方程所組成的線性方程組的係數行列式的值為 0.
這意味著 : 此方程組的解中含有自由變量。 僅由諸 ∠Ai (i = 1, 2, 3, 4) 並不能確定 x12. 從而也不能確定 ∠P .
一般地, 對圓內接 n 邊形 A1A2A3· · · An (n ≥ 3), n 個頂點將圓周分割成 n 段弧, 設 其中的 z {
AiAi+1 所對的圓心角的弧度為 x(i)(i+1) (i = 1, 2, . . . , n, 約定 : 當某個腳標超過 n
時, 將其等同於模 n 的最小正剩餘)。 同上可得:
x12+ x23 = 2(π − A2) x23+ x34 = 2(π − A3)
... ... ...
x(n−1)(n)+x(n)(1)= 2(π − An) x12+ x(n)(1) = 2(π − A1)
其中 Pn
i=1
Ai = (n − 2)π .
其係數行列式 Dn=
1 1 0 · · · 0 0 1 1 0 · · · ...
... 0 1 1 0 ...
... ... 0 1 1 0 0 ... ... 0 1 1 1 0 ... ... 0 1
. 按第一列展開得:
Dn=
1 1 0 · · · 0 0 1 1 0 ...
... 0 1 1 0 ... ... 0 1 1 0 · · · 0 1
+ (−1)n+1
1 0 · · · 0 1 1 0 · · · ...
0 1 1 0 ... ... 0 1 1 0 0 · · · 0 1 1
= 1 + (−1)n+1.
因此, 當 n 為不小於 3 的奇數時, Dn = 2. 此時有唯一解。
這表明 : 若告知圓內接奇數邊形 A1A2A3· · · An 的內角及內角的順序, 則其各邊所對的 圓心角及其順序將被確定。 也就是說, 圓內接奇數邊形的形狀可以由它的內角及內角的順序來 確定。
事實上, 當 n 為不小於 3 的奇數時, 由上述線性方程組可以解出 x(i)(i+1) 即有 (過程略) :
命題2: 對圓內接奇數邊形 A1A2A3· · · An(n ≥ 3), 弧z {
AiAi+1所對圓心角的弧度為 x(i)(i+1)
(i = 1, 2, . . . , n, 約定 : 當某個腳標超過 n 時, 將其等同於模 n 的最小正剩餘), 則
x(k)(k+1)= 2
n−1 2
X
i=1
Ak+2i− (n − 3)π (k = 1, 2, 3, . . . , n).
結合 x(k)(k+1) > 0, 由命題 2 可知: 諸 Ai (i = 1, 2, 3, . . . , n) 必滿足
n−1 2
X
i=1
Ak+2i> n − 3
2 π (k = 1, 2, 3, . . . , n).
又, 注意到 Pn
i=1
Ai = (n − 2)π, 減掉上式中那 n − 1
2 個角的和, 剩下的 n + 1
2 個角的和 將小於 n − 1
2 π, 即有
命題3: 對圓內接奇數邊形 A1A2· · · An(n ≥ 3) 的內角, 約定 An+j = Aj (j = 1, 2, . . . , n), 則有:
n−1 2
X
i=1
Ak+2i> n − 3 2 π,
n+1 2
X
i=1
Ak+2i < n − 1
2 π, (k = 1, 2, . . . , n).
這表明 : 對圓內接奇數邊形的內角, 雖然不存在引理中那樣的等式, 但有上述不等式限制。
命題 3 也可直接用引理證明。 這只需像圖 1 中那樣, 在某弧上取一個點並連接相鄰兩個 頂點, 從而轉化為圓內接偶數邊形。 再在引理中那個等式的基礎上進行放縮即可。
而當 n 為不小於 4 的偶數時, Dn = 0, 此時解中將含有自由變量。 這即是說 : 對圓內 接偶數邊形, 僅由它的內角是無法確定其形狀的。 這方面最常見的例子是矩形。 下面給出的圖 3 也可以表明這一點 —— 這些六邊形各邊對應平行, 各內角對應相等, 但形狀各不相同。
圖 3 圖 4
我們將上述討論總結為:
命題4: 圓內接奇數邊形的形狀完全由它的內角及內角的順序確定; 但對圓內接偶數邊形, 由其 內角及內角的順序並不能確定其形狀。
由命題 4 即知 : 對圓內接偶數邊形, 如命題 1 那樣的比例式是不存在的。
有趣的是, 像圖 3 這樣, 有一組各邊對應平行的內接偶數邊形, 這並不是圓才擁有的特性。
事實上, 一般的二次曲線都擁有這種特性 (圖 4 只展示了拋物線時的情形)。 對此感興趣的讀者 可參閱文 [2].
參考資料
1. 李輝濱。 圓內接奇數邊多邊形的正弦定律。 數學傳播季刊, 37(4), 84-93, 2013。
2. 吳波。 二次曲線的一個封閉性質 — whc174 的拓廣和本質。 數學通報, 53(6), 57-60, 63, 2014。
—本文作者任教中國重慶市長壽龍溪中學—
勘誤表
第 45 卷第 1 期 (177號)
(1) 第24 頁 20 世紀未數學的最大成就之一 應為 : 20 世紀末數學的最大成就之一 (2) 第 28 頁 定義 L-函數
L(s, χ) =
∞
X
(n=1,p6|n
χ(n)
ns , 其中 s ∈ C, ℜ s > 1.
應為 :
L(s, χ) =
∞
X
n=1,p ∤ n
χ(n)
ns , 其中 s ∈ C, ℜ s > 1.
(3) 第 31 頁 定義 E/Q 的 zeta 函數如下 : L(E/Q, s) =Y
ℓ6|△
1
1 − aℓ(E)ℓ−s+ ℓ1−2s, (ℜ s > 3 2).
應為 :
L(E/Q, s) =Y
ℓ ∤ △
1
1 − aℓ(E)ℓ−s+ ℓ1−2s, (ℜ s > 3 2).
