數學傳播 34 卷 4 期, pp. 83-86
圓內接多邊形的一個性質
劉步松
筆者研究發現, 圓內接多邊形有如下一個美妙性質。
設 A1A2· · · An 為圓內接 n 邊形 (n ≥ 4), 畫 n − 3 條對角線將這個 n 邊形分割成 n −2 個三角形 (這些對角線在多邊形內部沒有交點), 則無論如何分割, 所得到的 n − 2 個三 角形的內切圓半徑之和是一個定值。
如圖 (一) 中有 r1+ r2 = r3+ r4, 如圖 (二) 中有 r1+ r2+ r3 = r4+ r5+ r6。
圖(一)
圖(二)
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下面證明這個性質。
首先證明 n = 4 時, 性質成立。
如圖 (三), ABCD 為圓內接四邊形, 連結對角線 AC 和 BD, 設 △ABC 的內心為 E,
△BCD 的內心為 F, △CDA 的內心為 G, △DAB 的內心為 H, 為了證明性質成立, 先證 明兩個結論:(1) B, E, F , C 四點共圓; (2) 四邊形 EF GH 是矩形。
圖 (三) 圖 (四)
證明:(1) 連結 BE, F C, BF , EC, 則
∠BEC = 180◦−(∠EBC + ∠ECB)
= 180◦−(1
2∠ABC +1
2∠ACB)
= 180◦−1
2(∠ABC + ∠ACB)
= 180◦−1
2(180◦− ∠BAC)
= 90◦+1
2∠BAC 同理可證 ∠BF C = 90◦+12∠CDB。
因為 A, B, C, D 四點共圓, 所以 ∠BAC = ∠CDB, 從而 ∠BEC = ∠BF C, 即 B, E, F , C 四點共圓。
(2) 如圖 (四), 因為 B, E, F , C 共圓, 所以 ∠F EC = ∠F BC, 同理可證, A, H, E,
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B 共圓, 從而也有 ∠HEA = ∠HBA, 則
∠HEF = ∠AEC − (∠F EC + ∠HEA)
= ∠AEC − (∠F BC + ∠HBA)
=h
180◦−(1
2∠BAC +1
2∠BCA)i
−(1
2∠DBC +1
2∠DBA)
= 180◦− 1
2(∠BAC + ∠BCA + ∠DBC + ∠DBA)
= 180◦− 1
2(∠BAC + ∠BCA + ∠ABC)
= 180◦− 1
2×180◦ = 90◦
同理可證四邊形 EF GH 的其他各頂角也都是 90◦。 這就證明了四邊形 EF GH 是一個矩形。
從圖 (三) 中看到, △ABC 和△CDA 的內切圓半徑之和就是 E 點和 G 點到對角線 AC 的距離之和, △ABD 和 △BCD 的內切圓半徑之和就是 F 點和 H 點到對角線 BD 的 距離之和, 由於 EF GH 是矩形, 所以 EG = F H, 從而要證明上面所說的兩個和相等, 只需 證明 EG 和 AC 的夾角等於 F H 和 BD 的夾角即可。
如圖 (五), 設 EG 與 AC 相交於 P , 則
∠EP C = 180◦− ∠P EC − ∠ACE
= 180◦−(∠GEF + ∠F EC) − ∠ACE
= 180◦− ∠GEF − ∠F EC − ∠ACE 因為 B, E, F , C 四點共圓,
所以 ∠F EC = ∠F BC, 從而
∠EP C = 180◦− ∠GEF − ∠F BC − ∠ACE
= 180◦− ∠GEF − 1
2∠CBD − 1
2∠ACB
圖 (五)
設 F H 與 BD 相交於 Q, 則同理可證
∠F QB = 180◦− ∠HF E −1
2∠ACB − 1
2∠CBD
因為 EF GH 為矩形, 所以 ∠GEF = ∠HF E, 從而有 ∠EP C = ∠F QB, 這就證明了 n= 4 時性質成立。
為了證明對任意的 n ≥ 4 這個性質都成立, 我們只需證明, 對於 n 邊形 A1A2· · · An 的 任意一個分割, 都可以通過若干次調換對角線變為從 A1 點所引對角線的分割, 而在調換對角
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線時, 這些三角形的內切圓半徑之和並不會改變。 為了讓讀者理解這個調換的過程, 先看一個具 體的例子:
圖 (六) 是八邊形的一個分割, 將它調換成從 A1 點所引對角線的分割。
第一步, 將四邊形 A1A2A6A7 的對角線 A2A7 調換成對角線 A1A6 變為圖 (七);
第二步, 將四邊形 A1A2A3A6 的對角線 A2A6 調換成對角線 A1A3 變為圖 (八);
第三步, 將四邊形 A1A3A4A6 的對角線 A3A6 調換成對角線 A1A4 變為圖 (九);
第四步, 將四邊形 A1A4A5A6 的對角線 A4A6 調換成對角線 A1A5 變為圖 (十);
圖 (六) 圖 (七) 圖 (八)
圖 (九) 圖 (十)
由於調換四邊形的對角線不會改變調換前後兩個三角形的內切圓半徑之和, 從而也不會改 變調換前後八邊形的各三角形內切圓半徑之和。
對於 n 邊形的任意一個分割, 如果以 A1 點為頂點的某個三角形中, A1 點的對邊是一條 對角線 AiAj, 而以 AiAj 為邊的另一個三角形中, AiAj 所對的頂點為 Ak , 則可將四邊形 A1AiAkAj 的對角線 AiAj 調換成對角線 A1Ak, 這樣調換下去, 直到以 A1 為頂點的所有三 角形中, A1 點所對的邊都不是對角線為止。 而此時所有三角形均以 A1 點為頂點, 所有對角線 都過 A1 點, 從而性質成立。
—本文作者現任教江蘇省運河高等師範學校—
