圓內接多邊形的歐拉線

圓內接多 邊形的歐拉線

楊玉星

一、 前言

在平面幾何中, 歐拉線是指過三角形的外心、 重心、 九點圓 (歐拉圓) 圓心和垂心的一條直 線。 歐拉線上的四點中, 九點圓圓心到垂心和外心的距離相等, 而且重心到外心的距離是重心到 垂心距離的一半。 換言之, 設三角形的外心為 O、 重心為 G、 九點圓圓心為 K 和垂心為 H, 可以推得 OG : GK : KH = 2 : 1 : 3。 如果現在我們也可以定義圓內接多邊形的外心、 重 心、 歐拉圓心和垂心, 那麼圓內接多邊形的四心是否依然共線? 又四心的距離比能否維持不變 呢? 這兩者都是我們感興趣的。

二、 圓內接多邊形四心的定義

(一) 外心

一般定義多邊形的外接圓圓心即是外心, 因此圓內接多邊形必有外心。

(二) 重心

將三角形想像成在頂點位置各放一顆質量相等的質點, 則此三個質點的質心就是三角形的 重心。 因此依據力矩平衡的概念, 先找出其中兩質點的質心, 再跟剩餘的質點, 就可以確定 最後的質心位置, 也就是三角形重心的位置。 依此類推, 就可以定義任意多邊形的重心。

(本定義不同於參考資料 [1] 是利用多邊形中線定義其重心) (三) 歐拉圓心

如果將圓上一弦的中點視為兩邊形的歐拉圓心, 那麼三角形的歐拉圓心就是過此三中點之 圓的圓心。 圓內接四邊形四頂點中任取三頂點可得四個三角形, 因此可得四個三角形的歐 拉圓心, 而此時這四個歐拉圓心會共圓, 不妨就定義圓內接四邊形的歐拉圓心就是過此四 點之圓(歐拉圓) 的圓心。 依此類推, 就可以定義圓內接多邊形的歐拉圓心。

(引用參考資料 [1] 的定義) (四) 垂心

三角形的三條高線交於一點, 稱為三角形的垂心。 圓內接四邊形四頂點中任取三頂點可得 四個三角形, 因此可得四個三角形的垂心, 而此時這四個垂心會共圓, 不妨就定義圓內接 四邊形的垂心就是過此四點之圓(垂心圓) 的圓心。 依此類推, 就可以定義圓內接多邊形的

垂心。 (引用參考資料[1]的定義)

三、 圓內接多邊形的四心共線與距離比

定理: 設圓內接 n (n ≥ 3) 邊形 A¹A²· · · Aⁿ⁻¹Aⁿ 中, 其外心為 O、 重心為 G、 歐拉圓心為 K、 垂心為 H, 則此四心會共線且 OG : GK : KH = 2 : (n − 2) : n。

(此定理是作者個人的創見) 證明:

(一) 如圖一, 設 △A¹A²A³ 的三頂點坐標分別為 A1(x¹, y¹), A²(x², y²), A³(x³, y³), 其外接 圓半徑為 r, 外心為 O (0, 0), 則 x²1+ y1² = r², x²2+ y2² = r², x²3 + y3² = r²。 (參考資 料 [2] 的假設)

圖一

1. 已知 A¹ 和 A² 的中點為 M³x¹+ x²

2 ,y¹+ y² 2

, 由前面三角形重心的定義可知 :

△A1A²A³ 的重心 G = 2 3

x¹ + x²

2 ,y¹+ y² 2

 + 1

3(x³, y³)

=x¹+ x²+ x³

3 ,y¹+ y²+ y³ 3

.

2. 又 A²和 A³的中點為 M¹x²+x³

2 ,y²+y³ 2

, A³和 A¹的中點為 M²x³+x¹

2 ,y³+y¹ 2

,

由三角形各邊中點坐標之關係, (參考資料 [2] 的證法)

易知 △A¹A²A³ 的九點圓圓心 Kx¹ + x²+ x³

2 ,y¹+ y²+ y³ 2

, 且

KM¹ = 1 2

px²1 + y1²= 1

2r, KM² = 1 2

px²2+ y2² = 1

2r, KM³ = 1 2

px²3+ y3² = 1 2r。

3. 設 △A1A2A3 的垂心 H 為 (x, y), 由三角形垂心的定義可知 : −−→

A1H ·−−−→

A3A2 = 0,

−−→A2H ·−−−→

A3A1 = 0, −−→

A3H ·−−−→

A2A1 = 0, (以下證法是作者個人的創見) 推得 (x − x¹)(x² − x³) + (y − y¹)(y²− y³) = 0,

(x − x²)(x¹ − x3) + (y − y²)(y¹− y3) = 0, (x − x³)(x¹ − x²) + (y − y³)(y¹− y²) = 0, 又

(x²+ x³)(x² − x³) + (y²+ y³)(y²− y³) = 0 ⇔ (x²2+ y2²) − (x²3+ y3²) = 0, (x¹+ x³)(x¹ − x3) + (y¹+ y³)(y¹− y3) = 0 ⇔ (x²1+ y1²) − (x²3+ y3²) = 0, (x¹+ x²)(x¹ − x²) + (y¹+ y²)(y¹− y²) = 0 ⇔ (x²1+ y1²) − (x²2+ y2²) = 0, 故 △A¹A²A³ 的垂心 H(x, y) = (x¹ + x²+ x³, y¹+ y²+ y³)。 從而

−→OG =x¹+ x² + x³

3 ,y¹+ y² + y³ 3

, −−→

OK =x¹+ x²+ x³

2 ,y¹+ y²+ y³ 2

,

−−→OH = (x¹ + x²+ x³, y¹+ y²+ y³),

可推知 : −→

OG//−−→

OK//−−→

OH, 且

−−→GK =−−→

OK −−→

OG =x1+ x²+ x³

6 ,y¹+ y²+ y³ 6

 ,

−−→KH =−−→

OH −−−→

OK =x1+ x2+ x3

2 ,y1+ y2+ y3

2

,

故 △A¹A²A³ 的四心 O、 G、 K、 H 共線且 OG : GK : KH = 2 : 1 : 3。

(二) 如圖二, 設圓內接四邊形 A¹A²A³A⁴ 的四頂點坐標分別為 A¹(x¹, y¹), A²(x², y²), A³(x³, y³), A⁴(x⁴, y⁴), 其外接圓半徑為 r, 外心為 O (0,0), 則 x²1+ y²1 = r², x²2+ y2² = r², x²3+ y3² = r², x²4+ y4² = r²。 (參考資料 [2] 的假設)

圖二 1. 已知 △A1A2A3 重心為 G4

x1+ x2+ x3

3 ,y1+ y2+ y3

3

, 由前面多邊形重心的定義可 知 : 圓內接四邊形 A1A2A3A4 的重心為

G = 3 4

x1+ x2+ x3

3 ,y1+ y2+ y3

3

 +1

4(x⁴, y⁴)

=x¹+ x²+ x³+ x⁴

4 ,y¹+ y²+ y³+ y⁴ 4

.

如圖三, 已知圓內接 (n − 1) 多邊形 A1A2A3· · · An−1 的重心為

Gⁿx¹+ x²+ x³+ · · · + xⁿ⁻¹

n − 1 ,y¹+ y²+ y³+ · · · + yⁿ⁻¹ n − 1

,

則由多邊形重心的定義可知 : 圓內接 n 多邊形 A¹A²A³· · · Aⁿ⁻¹Aⁿ 的重心為

G = n − 1 n

x1+ x2+ x3 + · · · + xn−1

n − 1 ,y1+ y2+ y3+ · · · + yn−1

n − 1

 + 1

n(xⁿ, yⁿ)

=x1 + x²+ x³+ · · · + xⁿ⁻¹+ xⁿ

n ,y¹+ y²+ y³+ · · · + yⁿ⁻¹+ yⁿ n

 , 故由數學歸納法得證此重心公式為真。

圖三

2. 已知圓內接四邊形 A¹A²A³A⁴ 中, △A1A²A³、 △A2A³A⁴、 △A3A⁴A¹、 △A4A¹A² 的 歐拉圓心分別為

K⁴x1+ x²+ x³

2 ,y¹+ y²+ y³ 2



、 K¹x2+ x³+ x⁴

2 ,y²+ y³+ y⁴ 2



、

K²x3+ x⁴+ x¹

2 ,y³+ y⁴+ y¹ 2

、 K3

x4+ x¹ + x²

2 ,y⁴ + y¹+ y² 2

 ,

則由這四個三角形歐拉圓心坐標之關係, (以下參考資料 [2] 的假設與證法) 易知圓內接四邊形 A1A²A³A⁴的歐拉圓心為 Kx¹+ x²+ x³+ x⁴

2 ,y¹+ y²+ y³+ y⁴ 2

,

且 KK¹= 1 2

q

x²1+ y1² = 1

2r, KK² = 1 2

q

x²2+ y2² = 1 2r, KK³= 1

2 q

x²3+ y3² = 1

2r, KK⁴ = 1 2

q

x²4+ y4² = 1 2r.

如圖三, 設圓內接 n 多邊形 A¹A²A³· · · Aⁿ⁻¹Aⁿ 的 n 個頂點坐標分別為 A¹(x¹, y¹), A²(x², y²), A³(x³, y³), . . ., Aⁿ⁻¹(xⁿ⁻¹, yⁿ⁻¹), Aⁿ(xⁿ, yⁿ), 其外接圓半徑為 r, 外心為 O (0,0), 則

x²1+y²1 = r², x²2+y²2 = r², x²3+y3² = r², . . . , x²n−1+yn−1² = r², x²n+y²n= r².

已知圓內接 n 多邊形 A1A²A³· · · An−1Aⁿ中, n 個圓內接 (n−1) 多邊形 A1A²· · · An−1、 A²A³· · · Aⁿ 、 . . . 、 AⁿA¹A²· · · An−2 的歐拉圓心分別為

Kⁿx1+ x2+ x3 + · · · + xn−1

2 ,y1+ y2+ y3+ · · · + yn−1

2

 , K¹x²+ x³ + x⁴+ · · · + xⁿ

2 ,y²+ y³+ y⁴+ · · · + yⁿ 2

, . . . ,

Kⁿ⁻¹xⁿ+ x¹+ x²+ · · · + xⁿ⁻²

2 ,yⁿ+ y¹+ y²+ · · · + yⁿ⁻² 2

,

則由這 n 個圓內接 (n − 1)多邊形歐拉圓心坐標之關係, 易知圓內接 n 多邊形 A¹A²A³· · · Aⁿ⁻¹Aⁿ 的歐拉圓心為

Kx¹+ x² + x³+ · · · + xⁿ⁻¹+ xⁿ

2 ,y¹+ y²+ y³+ · · · + yⁿ⁻¹+ yⁿ 2

,

且

KK¹ = 1 2

q

x²1+ y²1 = 1

2r, . . . , KKⁿ⁻¹ = 1 2

q

x²n−1+ yn−1² = 1 2r, KKⁿ = 1

2

px²n+ yn² = 1 2r.

故由數學歸納法得證此歐拉圓心公式為真。

3. 已知圓內接四邊形 A1A2A3A4 中, △A1A2A3、 △A2A3A4、 △A3A4A1、 △A4A1A2 的 垂心分別為

H⁴(x¹+ x²+ x³, y¹+ y²+ y³)、 H¹(x² + x³+ x⁴, y²+ y³+ y⁴)、

H²(x³+ x⁴+ x¹, y³+ y⁴+ y¹)、 H³(x⁴+ x¹+ x², y⁴+ y¹+ y²),

則由這四個三角形垂心坐標之關係, (以下證法是作者個人的創見)

易知圓內接四邊形 A¹A²A³A⁴ 的垂心為 H(x¹+ x²+ x³ + x⁴, y¹+ y²+ y³+ y⁴), 且 HH¹=p

x²1+ y²1 = r, HH²=p

x²2+ y2² = r, HH³=p

x²3+ y²3 = r, HH⁴=p

x²4+ y4² = r.

如圖三, 已知圓內接 n 多邊形 A¹A²A³· · · Aⁿ⁻¹Aⁿ 中, n 個圓內接 (n − 1) 多邊形 A¹A²A³· · · Aⁿ⁻¹、 A²A³A⁴· · · Aⁿ、 . . . 、 AⁿA¹A²· · · Aⁿ⁻² 的垂心分別為

Hⁿ(x¹+ x² + x³+ · · · + xⁿ⁻¹, y¹+ y²+ y³+ · · · + yⁿ⁻¹), H1(x2+ x3+ x4+ · · · + xⁿ, y2+ y3+ y4+ · · · + yⁿ), . . . , Hⁿ⁻¹(xⁿ+ x¹+ x²+ · · · + xⁿ⁻², yⁿ+ y¹+ y²+ · · · + yⁿ⁻²),

則由這 n 個圓內接 (n − 1)多邊形垂心坐標之關係, 易知圓內接 n 多邊形 A1A²· · · An 的 垂心為

H(x1+ x2 + · · · + xⁿ, y1+ y2+ · · · + yⁿ), 且 HH1=

q

x²1+y²1= r, . . . , HHⁿ⁻¹= q

x²n−1+yn−1² = r, HHⁿ=p

x²n+yn²= r.

故由數學歸納法得證此垂心公式為真。

從而 −→

OG =x¹+ x²+ · · · + xⁿ

n ,y¹+ y²+ · · · + yⁿ n

,

−−→OK =x¹+ x²+ · · · + xⁿ

2 ,y¹+ y²+ · · · + yⁿ 2

,

−−→OH = (x¹ + x²+ · · · + xⁿ, y¹+ y²+ · · · + yⁿ),

可推知 : −→

OG//−−→

OK//−−→

OH,

且 −−→

GK =−−→

OK −−→

OG = n − 2 2

x1+ x² + · · · + xⁿ

n ,y¹+ y²+ · · · + yⁿ n

 ,

−−→KH =−−→

OH −−−→

OK =n 2

x¹+ x²+ · · · + xⁿ

n ,y¹+ y²+ · · · + yⁿ n

,

故圓內接 n (n ≥ 3) 多邊形 A¹A²A³· · · Aⁿ⁻¹Aⁿ 的四心 O、 G、 K、 H 也會共線, 且 OG : GK : KH = 1 : n − 2

2 : n

2 = 2 : (n − 2) : n.

參考資料

1. 李冬梅, 白世忠譯。 幾何學中的歸納法。 九章出版社, 開明(大陸) 出版社, 101-119。

2. 黃家禮編著。 幾何明珠。 九章出版社, 155-156。

—本文作者任教國立金門高級中學_—