數學傳播 37卷4期, pp. 94-96
各邊相等的球內接多邊形的兩個性質
吳 波
文 [1]證明了正三角形和正五邊形的兩個性質。 因兩者形式一致, 下面我們只敘述正五邊 形的性質:
圖 1
如圖1所示, 點 P 為正五邊形 A1A2A3A4A5 內一點且由點 P 向各邊作垂線得到的垂 足都在各邊內, 設點 P 在五邊上的垂足分別為 F 、 I、 J、 K、 L, 連結 P A1、 P A2、 P A3、 P A4、 P A5, 則正五邊形被分成 10 個直角三角形。 設這些直角三角形的內切圓半徑分別為 r1、 r2、 . . .、 r10, 則有如下兩個結論:
(1) A1F + A2I + A3J + A4K + A5L = F A2 + IA3 + J A4+ KA5+ LA1; (2) r1 + r3+ r5+ r7+ r9 = r2+ r4+ r6+ r8+ r10。
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本文擬將這兩個結論推廣到一般情形。
上面 (1) 式中的“A1F + A2I + A3J + A4K + A5L”實質上是向量 −−→
A1P、−−→
A2P、−−→
A3P、
−−→A4P、−−→
A5P 分別在 −−−→
A1A2、 −−−→
A2A3、−−−→
A3A4、 −−−→
A4A5、 −−−→
A5A1、 上的射影之和。 注意到這一點, 我們 就能將其推廣為:
性質 1: 球 O 的內接 n 邊形 A1A2· · · An 各邊相等, P 為空間中任一點。 則向量−−→
A1P、−−→
A2P、
· · · 、 −−−−→
An−1P、 −−→
AnP 分別在 −−−→
A1A2、 −−−→
A2A3、· · · 、 −−−−−→
An−1An、 −−−→
AnA1 上的射影之和等於 n 邊形 A1A2· · · An 的半周長。
證明: 不妨設各邊相等的球 O 的內接 n 邊形 A1A2A3· · · An的邊長為 1, 則−−−→
A1A2、−−−→
A2A3、· · · 、
−−−−−→
An−1An、−−−→
AnA1 均為單位向量。
注意到 △OA1A2 中有 OA1 = OA2,所以向量−−→
A1O在−−−→
A1A2上的射影為邊長 A1A2的 一半, 即−−→
A1O·−−−→
A1A2 = 1
2。 同理有−−→
A2O·−−−→
A2A3 = 1 2,−−→
A3O·−−−→
A3A4 = 1
2,· · · ,−−→
AnO·−−−→
AnA1 = 1 2。 因此有 −−→
A1O·−−−→
A1A2+−−→
A2O·−−−→
A2A3+· · · +−−→
AnO·−−−→
AnA1 = n 2。 又,−→
OP 在−−−→
A1A2、−−−→
A2A3、· · · 、 −−−−−→
An−1An、−−−→
AnA1 上的射影之和為−→
OP· (−−−→
A1A2+−−−→
A2A3+
· · · +−−−→
AnA1) =−→
OP · ⃗0 = 0。
所以 −−→
A1P·−−−→
A1A2+−−→
A2P·−−−→
A2A3+· · ·+−−→
AnP·−−−→
AnA1
= (−−→
A1O+−→
OP )·−−−→
A1A2+(−−→
A2O+−→
OP )·−−−→
A2A3+· · ·+(−−→
AnO+−→
OP )·−−−→
AnA1
=−−→
A1O·−−−→
A1A2+−−→
A2O·−−−→
A2A3+· · ·+−−→
AnO·−−−→
AnA1+−→
OP · (−−−→
A1A2+−−−→
A2A3+· · ·+−−−→
AnA1) = n 2. 即: 向量−−→
A1P、−−→
A2P、· · · 、−−→
AnP 分別在−−−→
A1A2、−−−→
A2A3、· · · 、 −−−−−→
An−1An、−−−→
AnA1 上的射影之和等 於 n 邊形 A1A2A3· · · An 的半周長。
同理可證: 向量−−→
A1P、−−→
A2P、· · · 、−−−−→
An−1P、−−→
AnP 分別在 −−−→
A1An、−−−→
A2A1、 · · · 、−−−−−−→
An−1An−2、
−−−−−→
AnAn−1 上的射影之和也等於 n 邊形 A1A2A3· · · An 的半周長。
由此即可得:
推論: 球 O 的內接 n 邊形 A1A2A3· · · An 各邊相等, P 為空間中任一點。 則向量 −−→
A1P、
−−→A2P、· · · 、 −−−−→
An−1P、 −−→
AnP 分別在 −−−→
A1A2、 −−−→
A2A3、 · · · 、 −−−−−→
An−1An、 −−−→
AnA1 上的射影之和等於它 們分別在 −−−→
A1An、 −−−→
A2A1、 · · · 、 −−−−−−→
An−1An−2、 −−−−−→
AnAn−1 上的射影之和。
這樣, 我們就將 (1) 式推廣到了一般情形。
結合上述推論我們就可推得:
性質 2 : 球 O 的內接 n 邊形 A1A2· · · An 各邊相等, P 為空間中一點且點 P 在 n 邊形 A1A2· · · An 各邊所在直線上的射影都落在各邊之內。 設點 P 在此 n 邊形各邊上的射影依次
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為 P1、 P2、 · · · 、 Pn。 連結 P A1、 P A2、· · · 、 P An 和 P P1、 P P2、· · · 、 P Pn,則這 2n 條線段 和 n 邊形的 n 條邊可以圍成 2n 個直角三角形。 設這 2n 個直角三角形的內切圓半徑依次為 r1、r2、· · · 、r2n, 則有: r1+ r3+ r5+· · · + r2n−1 = r2+ r4+ r6+· · · + r2n。
性質 2 的證明與文 [1] 對 (2) 式的證明完全類似, 因此本文略去。
滿足性質2 “在 n 邊形 A1A2· · · An 各邊所在直線上的射影都落在各邊之內” 這個條件 的點 P 是一定存在的。 事實上, 過 Ai、Ai+1分別作直線 AiAi+1 的垂面 αi、 βi,則滿足條件的 點 P 必在平行平面 αi、 βi 之間 (i = 1, 2, 3, . . . , n, 這裡約定 An+1 = A1)。 又, 平行平面 αi、 βi 之間的距離即是 n 邊形 A1A2· · · An 的邊長, 則球心 O 到它們的距離都為邊長之半。
所以這 n 對平行平面所圍成的區域存在一個以點 O 為球心以 n 邊形 A1A2· · · An 的邊長之 半為半徑的內切球。 這表明這個區域是非空的, 因此點 P 必定存在。
