選擇權的訂價模型

Introduction to Binomial Trees

Chapter 11

選擇權的訂價模型

Binomial Pricing Model ：

__________________

Black-Scholes Model ：

__________________

選擇權的定價模型

Black-Scholes 模型是由推導______上的

熱傳導而來

解決選擇權訂價不確定因素的方法

z

方法一：是假定標的資產價格隨著時間而行為的 方式。因此我們可以___________________。

這種方式導引出選擇權訂價上極為著名的Black- Scholes模型

z

方法二：則是在選擇權最初出售時，

__________________________，並且在選擇 權到期之前不斷調整該避險部位。這便是所謂的

二項式訂價模式

(Binomial Pricing Model)

1979年Cox, Ross和Rubinstein，利用

____________導出之選擇權評價模式，此稱二 項評價模式(Binomial Option Pricing Model；

BOPM)或稱 (Cox-Ross Rubinstein；CRR)模式

二項式模型

z

是以簡化的股價模擬的方式，建立

_______________(tree model)來模擬股價的行為

z

股價每期或每步只能有______或______兩種狀 態

z

「中央極限定理(Central Limit Theorem)」 的應用

z

假設標的資產價格是________(而非Black-Scholes 公式中是連續的)，在下一個時間單位，標的資產 價格不是上漲一定幅度(________)就是下跌一定

單期二項式訂價模式

z 單期二項式訂價模式是指在某一期間

內，利用標的股票價格的變化—上漲或 下跌的情況，來________________。

而所稱之單期是指某一期間，此期間可

長可短，若界定的期間與選擇權的期間

相同，則屬於單期；反之若不相同，則

單期二項式訂價模式

z

基本假設：股價的變動是間斷的(discrete)。股 票價格在單期內只有上漲或下跌，也就是說股 價不是漲到uS

₀

就是下跌至dS

₀

，而且相對應的 選擇權，也只有上漲或下跌這兩種情況，有關 其變化的路徑圖示如下：

(1)股價的變化 (2)買權的價格變化

uS

₀

（上漲） fu（上漲）

S f

A Simple Binomial Model

z A stock price is currently $20

z In three months it will be either $___ or $___

Stock Price = $22

Stock Price = $18

Stock price = $20

Stock Price = $22 _______________

Stock Price = $18 _______________

Stock price = $20 Option Price=?

A Call Option ( Figure 11.1, 336)

A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.

z Consider the Portfolio: long Δ shares

short 1 call option

z

Portfolio is riskless when 22Δ – 1 = 18Δ or

Δ = 0.25

______

______

Setting Up a Riskless Portfolio

Valuing the Portfolio

(Risk-Free Rate is 12%)

z The riskless portfolio is:

long 0.25 shares short 1 call option

z The value of the portfolio in 3 months is 22 ∗0.25 – 1 = 4.50

z The value of the portfolio today is

4.5e – 0.12∗0.25 = 4.3670

Valuing the Option

z The portfolio that is long 0.25 shares short 1 option

is worth 4.367

z The value of the shares is 5.000 (= 0.25 ∗ 20 )

z The value of the option is therefore

0.633 (= 5.000 – 4.367 )

Generalization (Figure 11.2, page 338）

A derivative lasts for time T and is dependent on a stock

___

___

___

S ₀ ƒ

p

Generalization

(continued)

z Consider the portfolio that is long Δ shares and short 1 derivative

z The portfolio is riskless when S ₀ uΔ – ƒ _u = S ₀ d Δ – ƒ _d or S ₀ uΔ – ƒ _u

S ₀ dΔ – ƒ _d

Generalization

(continued)

z Value of the portfolio at time T is S ₀ u Δ – ƒ _u

z Value of the portfolio today is (S ₀ u Δ – ƒ _u )e ^–rT

z Another expression for the

portfolio value today is S ₀ Δ – f

z Hence

Generalization

(continued)

z Substituting for Δ we obtain

________________________

where

___________________

例題

假設目前股價為S=100，買權履約價格 K=100，還有一年到期，u=1.2，d=0.9，

利率為10%，求此買權的價格

答:

所以

120 2

. 1

100 × =

= u 90 S

9 . 0

100 × =

= d S

20 )

0 , 100 120

(

max − =

u

=

f ， f

_d

= max ( 90 − 120 , 0 ) = 0 ， Δt = 1

1052 .

1 1

1 .

0 =

= ^×

Δ e

e ^{r t}

，而 0 . 684

9 . 0 2 . 1

9 . 0 1052 .

1 =

−

= −

p ，代入公式得到目前買權價格

] )

1 ( [ ⋅ + −

= e

^−rt

p f p f f

9048 .

1 0

1 .

0 =

= ^{− ×}

Δ

− e

e ^{r t}

A Two-Step Example

Figure 11.3, page 343

z Each time step is 3 months 20

22

18

24.2

19.8

16.2

Valuing a Call Option

Figure 11.4, page 343

z Value at node B

= e ^{–0.12´0.25} (0.6523´3.2 + 0.3477´0) = 2.0257

z Value at node A

= e ^{–0.12´0.25} (0.6523´2.0257 + 0.3477´0) 20

1.2823

22

18

24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 0.0 2.0257

0.0

A

B

C

D

E

F

Binomial Trees

S

Su

Sd

Su²

Sud

Sd²

Su³

Sd ³ Su d²

Sud²

Su⁴

Sud³ Su d³

Su d^{2 2}

Valuing Stock Options:The Black-Scholes Model

Chapter 12

Black-Scholes 選擇權評價模型

Black-Scholes買權價格公式(無配息) ________________________

其中，d ₁ =

T

T K r

S

σ

σ ) (

ln ＋ ＋ ₂ ^{1 2}

T

S ( r − ¹ σ ² )

ln ＋

Black-Scholes 選擇權評價模型

Black-Scholes賣權價格公式(無配息) _______________________

其中，d ₁ =

T

T K r

S

σ

σ ) (

ln ＋ ＋ ₂ ^{1 2}

T K r

S

σ σ

−

− ₂ ^{1 2} ) = (

ln ＋

Black-Scholes 買權評價公式

買權合理價格公式如下

) (

) 1

( )

( d ₁ K r N d ₂ N

S

C = ⋅ − + ^{− T}

T K r

S d

σ ) 5

. 0 (

ln + +

²

=

其中

T d

T K r

S

d σ σ

−

− =

= +

₁

2 2

) 5 . 0 (

ln

Black-Scholes 買權評價公式

C： 買權目前理論價值 S： 目前的股價

K： 履約價格

r： 無風險利率（以年為標準）

T： 到期日之長短（以年為單位）

ln： 自然對數

σ ： 股價報酬波動度（以年為標準）

其中

Black-Scholes 選擇權評價模型

B-S公式中的N(d ₁ )一般稱為避險比率(hedge ratio)或對沖率，或delta。

___________

其中，ΔC：買權變動的大小

Black-Scholes 模型之假設

1.短期利率是已知，而且是個常數。

2.股價是 _________________，而且遵循

_____________________

。股價的變異 數和股價的平方成正比，到期日的可能 股價分配是

對數常態(log-normal)，

而股 價報酬的變異數為常數。

3.股票不發放股利。

Black-Scholes 模型之假設（續）

5.買賣股票或選擇權沒有交易成本。

6.證券是可以分割的，同時可以依短期利 率借入所需要的資金。

7.沒有賣空證券的限制，賣空者可以馬上

拿到賣空金額，而在未來的某一個日期

支付所賣空證券的到期價格。

B-S模型的主要概念是假設有一投資組合，

包含股票及其買權，_________________

___________________，_____________

_____________________。因此在無套利 情形下，該投資組合應賺得無風險報酬

B-S 模型的主要概念

例 題

假設台積電（台灣積體電路公司）目 前股價為100元，那麼履約價格為100元、

到期期限為一年的買權（或認購權證）合

理價格為多少（假設台積電股價年報酬波

動性為60%，台灣的無風險利率為6%）？

解 答

根據上述資料，參考公式的定義可知S =100，K=100，

r = 6%，T=1， 60%。

步驟 1：先求出d ₁

步驟 2：求 N(d ₁ )

N(d ₁ )可由統計標準累積機率表查到，另外也可以在 Excel的NORMSDIST指令得到，或Lotus1-2-3的

σ =

4 . 6 0

. 0

24 . 0 6

. 0

18 . 0 06 . 0 0 1

6 . 0

1 ) 6 . 0 5 . 0

% 6 100 (

ln 100

²

1

= + + = =

×

×

× +

= +

d

解答 （續）

步驟 3：求d ₂

步驟 4：求N(d ₂

) 查表得

步驟 5：求出買權價值

買權合理價格為：

也就是根據所給定的資料，一年期的台積電認 購 權 證 目 前 合 理 的 價 格 是 25.78 元 ， 也 就 是

2 . 0 1

6 . 0 4

.

1 0

2 = d − T = − = −

d σ

421 .

0 )

2 . 0 ( )

( d

₂

= N − = N

25.78 0.421

0.06) 100(1

0.655 100

) N(d r)

K(1 )

N(d

S ⋅

₁

− +

^−T

⋅

₂

= × − +

⁻¹

× =

Black-Scholes 選擇權評價模型

3. 股價波動度之估算

(1). __________(historical volatility))，

其公式如下：

252 1

) (

1

2

×

=

= ∑ −

= 天

－

σ σ

σ ⁿ

i

i

n

R

R

Black-Scholes 選擇權評價模型

(2).____________(implied volatility)

利用市場上選擇權的交易價格，代入B-S 公式反求出報酬的波動度。

國外學者發現同樣的股票，由價內選擇權 及價外選擇權所求出來的隱含波動度常常 不一樣，通常______________________

_______________，一般稱為_________

敏感度分析(sensitivity analysis)

___________

_______

______是用來衡量選擇權標的資產價格變動 對選擇權價格的影響。

0 )

d ( S N

Δ ＝ C＝

₁

＞

∂

∂

敏感度分析(sensitivity analysis)

買權敏感度 _________

________是用來衡量delta的敏感度，也就是 當股價變動時，避險比率delta變動的情況。

T 0 σ

S

) d ( ' N S

) d ( N S

Γ ＝ ² C ₂ ＝ ¹ ＝ ¹ ＞

∂

∂

∂

∂

敏感度分析(sensitivity analysis)

買權敏感度 ________

vega或稱kappa，是用來衡量標的價格波動度 改變對選擇權價格的影響，也就是波動度每 上升一單位對選擇權價格的影響。

0 )

d ( ' N T S

) d ( ' N T σ Ke

v ＝ C ＝ ^{− rT} ₂ ＝ ₁ ＞

∂

∂

敏感度分析(sensitivity analysis)

買權敏感度 ______

rho是用來衡量無風險利率變動對選擇權價格 的影響，或者是說選擇權價格對無風險利率 變動的敏感度。

0 )

d ( N C TKe

rho ＝ ＝ ^{− rT} ₂ ＞

∂

∂

敏感度分析(sensitivity analysis)

買權敏感度 ________

theta是用來衡量到期期限變動對選擇權價格 的影響。

0 )

d ( N T rKe

2

) d ( ' SN σ

T

θ ＝ C ＝ ¹ ＋ ^{− rT} ₂ ＞

∂

∂

敏感度分析(sensitivity analysis)

__________

履約價格對選擇權價格的影響 0 )

d ( N K e

C＝－

⁻ rT 2

＜

∂

∂

敏感度分析(sensitivity analysis)

買權敏感度 __________

lambda是用來衡量當股價變動1%時，選擇權價格 變動多少百分比。換句話說，delta是衡量絕對價格 的變動，而lambda是衡量相對價格的變動。

λ 即為實際槓桿比率(effective gearing)，而 就

C ) S S ( S N

C

S Δ C Δ S

S Δ

C C

λ ＝ Δ ＝ ＝ ₁

C

S