二. 試題剖析

談 「校內段考」

王湘君

一. 前言:

北市某高中, 這學期高二第一次段考, 數 學各班平均 30 多分, 大約每班只有一、 二人 及格, 及格的也不過是 60 多分, 可謂慘不忍 睹。

命題老師原本對自已精心設計的考題, 抱以高度的期望, 沒料到學生考得這麼糟, 真 是大失所望。 就像一位大廚師, 上了一道拿手 的佳餚, 客人非但不捧場, 反而嫌東嫌西, 廚 師豈有不沮喪的! 大嘆學生不用功, 責怪他們 太差勁, 甚至怪罪到教育當局的學年學分制, 沒有留級, 學生有恃無恐, 更不知努力求學, 以致程度每下愈況! 有一位老師提議重考, 因 為學生沒讀好書, 再考一次, 可以讓學生有 機會好好地再讀一次, 以補強前面所學的不 足。 但最後以加分來 「粉飾太平」, 不過是美 化 「帳面」 而已, 於事何補!

遺憾的是: 並未見到老師認真地檢討教 學方法以及試題難易是否適中, 只是一味地 責怪學生, 而學生因為考不好, 有挫折感, 影 響日後學習的興趣和信心。 校內的考試, 一再 上演著同樣的戲碼, 所以引起我寫這篇文章 的動機, 來探討試題怎麼出, 才算是一次成功 的測驗!

二. 試題剖析

這次考試範圍包括: 平面向量、 空間概 念、空間向量, 與空間中的平面。 試題分三大 類, 一、 是非題, 佔10%, 二、 填空題, 佔80%, 三、 計算證明題, 佔 10%, 考試時間為 70 分 鐘, 現在分題剖析如下:

一、 是非題 : 10%

1. 設 A, B, C 為相異三點, 過 A 恰有一平 面與 ←→BC 垂直。

×2. 相異兩平面之交集可能為一線段。

×3. 設 O, A, B, C 為相異四點且 −→OC = α−→OA+ β−−→OB,(α, β, ∈ R)。 若 A, B, C 三點共線, 則 α + β = 1

×4. 設 ^⇀a ,

⇀

b ,^⇀c 為三向量, 則 ^⇀a · (

⇀

b ·^⇀c) = (^⇀a ·

⇀

b) ·^⇀c

×5. 設 ^⇀a ,

⇀

b ,^⇀c 為三向量, 若 ^⇀a ·^⇀c =

⇀

b ·^⇀c 且^⇀c 6=

⇀

0 則 ^⇀a =

⇀

b 。

評註: 只有第 3 題有陷阱, 必須注意 O 不能與 A.B.C 三點共線, 此定理才能成立。

其餘的, 都是一看題, 就會答, 可惜學生平日 讀書馬虎, 只著重公式的記憶, 對基本觀念不 求甚解, 因此解答問題似是而非。

二、 填空題 :80%

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談 「校內段考」

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1. 設 P 為

∠

∠

= 60^◦, AB = 3, AC = 4, −→AP = 9−→AB+ 3−→AC, AP 與 BC 相交於 D (1) −−→AD = x−→AB + y−→AC,(x, y ∈ R) 則

(x, y) = (甲) 。 (2) −→AB·−→CA= (乙) 。 (3) |−−→AD| = (丙) 。

(4) t = (丁) 時, |−→AB + t−→AC| 有 最小值 m, m = (戊) 。 (5) 過 A 作 BC 之垂線交 BC 於 H,

−−→AH = p−→AB + q−→AC,(p, q ∈ R) 則 (p, q) = (己) 。

(6) 建立座標系使 A 之座標為 (3,2),−→AB 之 方向為 x 軸正向, 單位長不變, C 在←→AB 上方,

(i)−−→BC之坐標成分表示法為 (庚) 。 (ii)

∠

答案: (甲) (³₄,¹₄) (乙) −6 (丙) ^√1334

(丁) −³8 (戊) ^3√₂³ (己) (¹⁰₁₃,₁₃³) (庚) (−1, 2√

3) (辛) (^√₂³,¹₂) 本題屬於平面向量部分

(1) 解析:(i) −−→AD = k−→AP ,−→AP = 9−→AB + 3−→AC(已知), ⇒−−→AD= 9k−→AB+3k−→AC (ii) B、 C、D 共線 ⇒ 9k + 3k = 1 評註: 標準考題, 是定理的應用, 但含兩 個概念, 一般學生缺乏聯想力。

(2) 解析: 利用 ^⇀a ·

⇀

b = |^⇀a||

⇀

b| cos θ, θ 為

⇀a 與

⇀

b 之夾角, 但須注意, −→AB, −→CA 夾 角為 120^◦

評註: 基本題, 但也考核了學生是否細心。

(3) 解析: 利用 |^⇀a+

⇀

b|² = |^⇀a|²+ 2^⇀a·

⇀

b +

|

⇀

b|²

評註: 標準考題, 但本題為連坐題, 必須 前兩題都答對, 才有得分機會。

(4) 解析: 有兩種解法: (i) 利用 |^⇀a+t

⇀

b|² =

|^⇀a|²+ 2t^⇀a ·

⇀

b + t²|

⇀

b|²及二次函數的配 方

(ii) 利用^⇀a+ t

⇀

b 與

⇀

b 垂直時, |^⇀a+ t

⇀

b| 為最小。

評註: 標準考題, 可惜與 (2) 連坐。

(5) 解析: (i) 先用餘弦定理算出 BC 長 (ii) 次用面積算出 AH 長

(iii) 再用畢氏定理算出 BH : CH (iv) 再用分點公式

評註: 計算繁瑣, 牽涉到較多的定理, 是 綜合性的考題, 應以計算題來考。

(6) 解析:(i) 利用 −−→BC = −→AC −−→AB, 把 A 當原點, −→

AB 射線當作 x 軸正向。(ii) 方 向角為 θ 的單位向量是 (cos θ, sin θ)。

評註: 這是測驗學生的解讀能力, 以及組 織能力, 是一般學生最弱的部分, 學生往 往 「小題大作」。

2. 設 A(1, 0, 2), B(3, 2, 3), C(1, 1, 4), D(1, 1, 1), E(1, 1, a)

(1) A, B, C, E 共平面, 則 a = (子) 。

(2) ∆ABC 之面積為 (丑) 。 (3) 四面體 A−BCD 之體積為 (寅) 。 (4) 平面 ABC 之單位法向量之座標成分表

示法為 (卯) 。

(5) D 在平面 ABC 上之正射影為 H, 則 H 之座標為 (辰) 。

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21

3

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(6) k 為 ∆ABC 之外心, 則 −−→AK· −−→BC = (已) 。

(7) 若 −→AF 之方向角為 60^◦, 120^◦, 45^◦ 且 |−→AF| = 6, 則 F 點之座標為

(午) 。

(8) 若 M 為 BC 之中點, N 為 CD 上 之點且 CN : ND = 3 : 2, −−→M N = l−→AB + m−→AC + n−−→AD 則 (l, m, n) =

(未) 。

[答案](子) 4 (丑) ^√₂²⁹ (寅) 1

(卯) ±(^√329),^√−4₂₉,^√2₂₉) (辰) (⁴⁷₂₉,₂₉⁵,⁴¹₂₉) (已) −2 (午) (4, −32 + 3√

2) (未) (−¹2,−10¹,³₅)

本題屬於空間向量與空間中的平面部分。

(1) 解析: 先求出 A、B、C 三點所決定的平 面方程式, 再把 E 點坐標代入。

評註: 因三階行列式還未教到, 如果用平 行六面體, 體積的觀念來解就容易多了。

(2) 解析: 利用 ∆ABC 面積

= ¹₂ q

|−→AB|²|−→AC|²− (−→AB·−→

AC)²。 評註: 基本題, 一再告誡學生, 空間中 ∆ 面積公式要記住並且要會證明。

(3) 解析: 解法有二 (i) 先求 D 到平面 ABC 之距離, 作為四面體 A − BCD 的高, 再利用體積公式 = ¹₃ × 底 × 高 (ii) 利用由 −→AB, −→AC,−−→AD 所張的平行 六面體體積 (三階行列式) 即

1 6        

−→AB

−→AC

−−→AD        

的絕對值

評註: 1.點到平面的距離, 不在本次考試 範圍內, 而且與 1,2連坐。

2. 平行六面體體積公式亦不在考試範圍 內。

(4) 解析: 平面 ax + by + cz + d = 0 的單 位法向量為 ±^√a2+b¹2+c2(a, b, c)。

評註: 與 1 連坐題, 學生總是疏忽有兩個 單位法向量。

(5) 評注: 此題要用直線的參數式, 根本不在 此次考試範圍內。

(6) 解析: 利用 −−→AK ·−−→BC = −−→AK · (−→AC −

−→AB) = −−→AK ·−→AC−−−→AK ·−→AB 以及內 積的幾何意義。

評註: 稍難, 學生不太會分解一個向量為 多個向量的和。

(7) 解析: −→OF = −→OA + −→AF, −→AF =

|−→AF|(cos α, cos β, cos γ) , α, β, γ 為

−→AF 的方向角。

評註: 學生誤把 −→AF 當作 −→OF 。

(8) 解析: −−→M N = −−→AN −−−→AM 再利用分點 公式。

評註: 沒有單純利用分點公式, 必須先分 解向量, 對中下程度的學生來說不易得 分。

三 . 計算題: 10% (社會組)

設^⇀a = (−1, 2, −2), ^⇀a·

⇀

b = 18, θ 表

⇀a 與

⇀

b 之夾角 (1) |

⇀

b| =? (以 θ 表示)。

(2) θ =? 時 |

⇀

b| 有最小值 m, 此時

⇀

b =? m =?

三 . 計算證明題: 10% (自然組)

談 「校內段考」

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1. ∆ABC 中, AD 垂直 ←→BC 於 D, BE 垂直 ←→CA 於 E, ←→AD 與 ←→BE 交於 H, 求證:←→CH ⊥←→AB

評註: 此兩題較簡單, 前者是向量的內 積, 後者是用向量證明三高共點。

三. 成功的測驗應具備的條件

這份試卷裡, 沒有死代公式, 只重記憶 的題目, 更沒有解題 「絕招」 才能解的題目, 命題的方式相當靈活, 可見命題老師的確下 了一番工夫設計問題, 不像有些試卷, 一字 不改地抄現成的試題, 學生只要背解答, 就能 應付考試。 而這份試題, 學生必須對教材徹底 理解, 融會貫通, 並且要有良好的思維品質, 才能應考。 這一點, 命題老師似乎高估了學 生。 個人認為數學的學習分為三階段, 首先是

「點」 的學習, 其次是把 「點」 連成 「線」, 最後 才是把 「線」 展成面。 段考是評量學生對 「點」

的了解, 是 「基本概念」 的測驗, 所以綜合性 的試題, 不宜佔太多比率。

以下是個人以為段考應掌握的方向

一、 題意淺顯明白 —一個題目只問一個概 念, 題意要淺顯, 沒有非數學的困擾。 因 為學生初學, 對教材根本不熟, 而老師浸 淫在數學教學中二十多年, 不能以自己 的標準來要求學生。 綜合性的題目, 只 能搭配著出, 讓程度高的學生, 有所發 揮, 一個題目中若含兩個以上的概念, 若 有一個不會, 整題就解不出來。

二、 題組比率應減少 —題組型的試題本來 可以測驗學生的連貫性與聯想力, 可惜 得分會受到連坐影響, 有時一題答錯, 就

全軍覆沒, 另一項缺點是周延性不夠, 涵 蓋面不廣, 容易遺漏某些重要題材, 此次 佔 80%, 似嫌多些, 約 30% ∼ 40% 即 可。

三、 掌握教材重點 —不要超出現階段所學 的範圍, 要讓教, 學與測驗三項配合良 好。 命題應理論和計算並重, 演算不可 繁瑣, 難易適中, 最好有基本送分題, 讓 學生一看題目, 就能答出來。

四、 配合學生學習的經驗 —教學是老師與 學生的互動, 老師要掌握學生學習的脈 動 , 因材施教, 也要因材測驗。 平時所 學過的例題, 習題以及小考題, 在段考中 出一些類似的問題 , 讓學生有成就感。

五、 成績要能呈現學生的程度 —段考不是 聯考, 也不是競試, 試題要適合學生的程 度, 不宜太深太廣, 以致打亂了他們學習 的陣腳, 要讓認真讀書的人, 考得好, 要 能鑑別出各種程度的考生。 如果大家的 分數, 都壓縮在一個小區間內, 那考試 的意義又何在?

四. 結語

「段考」 是校內定期評量學生階段性學 習的成果, 老師應在教學範疇內命題。 題目的 型式與難易的程度, 應審慎分配使教與學的 結果, 確實地展現出來。 切莫以為段考只是一 次小考而不重視, 隨興出題。 不良的試題, 會 打擊學生的信心, 甚至放棄學習。 盼老師出題 時, 要謹慎為之。

—本文作者曾任教於師大附中, 現已退休—