數學老師欣賞的聯考試題

數學老師欣賞的聯考試題

石厚高

某校兩個學生的對話很有趣, 一個說我 們班的數學老師很偉大, 他一出題就全校學 生都不及格了, 另一個說我們班的數學老師 更偉大, 他一出題就全校數學老師都不及格 了。那時教務主任報告學生說的, 數學老師出 題一個比一個難。 當時還惹起一陣漣漪。

民國五十年大專聯考三萬考生參加, 數 學科二萬考生得了零分, 自然組最高分五十 八分, 一時輿論大譁交相指責。 這份試題讓 數學差勁兒差勁兒死差勁兒的學生佔了便宜。

他們[進步]了四十二分, 他們很應該感謝這位 命題人。 更有一年大專聯考數學科全體考生 平均也就是所謂的 [低標準] 只有九分, 數學 差勁兒的學生更要感謝祖宗保佑了。

今年大專聯考共有 6745 名考生得了零 分, 是歷年來最多的一次, 這個數據很讓數學 老師興趣濃厚, 作作二份試題就不意外了, 因 為題目很正常, 我不說它很容易, 容易不容易 是因人而異的。 社會組有 89 名滿分, 自然組 有 18 名滿分, 也都是恰如其份。

今年大專聯考數學科試題的題型不論自 然組社會組都讓數學老師欣賞, 多為課本上 有或老師講過或校內月考、 期考、 教師隨堂 小考考過的, 學生拿到考題只是寫的時間罷

了。 我可沒說它是份容易的題目, 容易不容易 是因人而異的, 我說它是份正常的題目, 讓正 常教學的老師有成就感, 不必把找難題作難 題當作教學重點。 今年在校生去補習數學的 學生要失望了, 這些題目既無[絕招]亦無[技 巧]。 希望補習班的老師不要生氣, 我絕沒對 沒有否定補習班的功能, 否則考不取大學的 高中畢業生還有服完兵役要重考的學子怎麼 辦呢? 我國補習事業全球獨步, 遠赴美國教 美國人如何考[托福] 、GRE, 因為美國人不 懂[補習], 一補習分數馬上就上升, 所以就紛 紛來 [中國補習班]補習了, 真的是中國人之 光。

我曾多次平均選取高中六冊數學課本上 的例題、 習題給學生作複習, 當然數據都作了 變更其中沒有難題, 在自己上課的連續二節 課裡測驗, 二班學生人數以往最高到一百二 十六人, 今年最少二班共九十六人。 在一半以 上學生都作完畢時才收考卷, 成績是九十分 以上的只有個位數字, 不及格的二十位左右, 而平均分數在六十五分左右。 對建中學生來 說是正常的。 這個數據很值得注意, 三年前北 部地區以第一志願進建中的學生, 在自己老 師命題、 題目又都是書上的、 考試時間又很充

1

分的情況下, 對三年所學的數學也只有六成 五的認知。 道理很簡單, 數學是全世界學生的 問題。

二份試題裡唯一的缺點是部分同類型的 試題, 社會組試題對社會組學生來說比自然 組試題對自然組學生來說要難一些, 因為有 微積分的緣故, 當然不會是試題印錯了組別。

社會組計算證明題第三題圓曲線10 分遠比自 然組填充題的第 1 題的二小格 10 分要難拿, 因為前者要求拋物線的焦點而後者要求出橢 圓的中心才能繼續往下作, 求橢圓的中心比 求拋物線的焦點要容易多了。 多項式基本運 算裡自然組的填空第 2題遠比社會組填空第6 題容易, 前者消去最高次項以後最高公因式 就自動顯現了, 後者要解一組三元一次聯立 方程式。

數學是[投資報酬率]最低的科目, 尤其 是升學考試學生最為恐懼, 因為入學考試不 是 [自己老師]出題與評分。 其實自己老師或 非自己老師完全是一樣的, 今年建中應屆畢 業生筆者學生呂承翰數學考了 97分分發第一 志願台大電機系, 他在校成績是 98 分, 不論 聯考或在校成績都正確反映了他的程度。 對 數學來說, 習題都是自己作的老師講的都明 白, 考試時能保持平常水準的學生, 應該有八 十分以上的成績; 不但現在講的都記得, 以前 講的也都記得就應該有九十分或更高的成績 了。

把今年的二份試題與去年也就是八十一 年大專聯考二份數學試題作個比較, 對試題 甄試的功能就優劣立現了。 去年大專聯考社 會組數學試題看來很順眼, 把它作一遍很是

佩服, 這是多年來很難得的一次社會組試題, 希望它能給以後聯考命題人一個榜樣, 更希 望它能帶動中等數學教育的正常化。 整體說 來各章節配分都很正常沒有偏廢, 例如與三 角有關的佔二十分就很正常, 某年大專聯考 不論文理組的數學試題與三角有關的佔了百 分之四十五左右, 命題人太偏愛三角, 雖然三 角重要, 它不應該佔這麼大的比重。

一般性的題目佔了八十五分左右, 另十 五分需要融會貫通、 觀念清楚並且各章節要 有綜合性的了解, 可以說是高中數學都考到 了。 這是一次社會組考生有機會拿滿分的試 題, 據說以往有過社會組考生數學滿分沒有 上榜, 實在遺憾。 數學能考滿分不但要後天的 努力也是需要些天賊的, 希望教育部救救他 們, 這種學生是中華民族的資優青年, 他們不 能各科平均發展, 教育部辦資優教育為甚麼 忘了他們。

八十一年社會組十二個填空題涵蓋了高 中三年的數學教材, 整體說來三角佔二十分 的比例正常, 相形之下自然組的微績分只佔 十分是少些。這份社會組的試題我十分喜歡, 我作了一遍又仔看了一遍還是很欣賞, 它和 八十一年自然組試題的“武功招數”不同, 想 必二組不是同一人命題。

八十一年自然組的數學試題就不是很完 美。 現行的高中數學課本是國立編譯館編定, 其中高三壹年教的是大學裡的微積分、 數值 方法與矩陣, 其中三上只教微積分, 這一部 分的教材並沒有引起太大的爭議; 至於三下 的數值方法與矩陣尤其是數值方法很惹起了 中學數學教師的物議。 這一份自然組的數學

試題高中三年級講了一年的課程只考了十分, 可見命題人也不認為這些東西是應該拿來教 中學生的, 當然這是試題的優點, 可也不能不 說是題目的缺點, 下一屆的高三學生都不去 注意高三的課程了, 不幸明年七月碰上個索 隱行怪的命題人, 把高三的課程出得特別多, 受到傷害的還是學生。 遺憾的是這些刁難中 學生的章節, 大專聯考可以不考, 老師可就不 能不教。 所以浪費了學生的時間, 老師是無所 謂的, 凡正[一個蘿蔔一個坑] 課表排的時間 就要站在那兒講甚麼都一樣。

八十一年自然組試題的九十分都在高一 與高二的四冊課本裡, 分配不是很平均, 有很 多可以考的重要章節都略去了, 尤其是容易 的題目與難題間有一道鴻溝, 容易的很容易 拿分, 難題又很難拿分。 更有要用到令人厭惡 的技巧讓人稍有讚嘆。

八十一年五月四日中國時報科學版取材 自 Smithsonian 雜誌的一篇文章 [袪除學 生對數理的恐懼感], 該文指出專家研究數學、

物理、 化學曾經是許多人求學時代的夢魘, 直 到進入社會工作才算鬆了一口氣, 因為不懂 這些自然學科一樣活得好。 可是每當有人提 起數學時, 總不免心虛的說數學我是一竅不 通的。 又談到一項國科會所支持調查的 [各行 業所需科學知識]其實非常少; 所以入學試題 尤其是數學只要把重點、 應該知道的普通知 識作評量標準也就夠了, 不必故意出難題整 人。 這四份試題在評估學生程度至少有三份 達到目標。 入學試題帶動初、 高中的教學是 不幸的, 在台灣也是個不爭而又無可奈何的 事實, 兩岸學術的交流我們發現大陸的歷史

課本比我們的厚得多, 我們的是濃縮本、 考試 本, 很值得我們三思。

命題不是一件簡單的事, 它是教學經驗 與專業知識的結合。 就以筆者選取課本習題、

例題、 變更數據而言, 就不簡單, 因為有的題 目數據一換就不能作, 有的變得很麻煩, 所以 要一試再試。 (多年來大專聯考數學科試題常 為考生與教師所垢病, 原因單純, 有些命題教 授不了解中學教材, 也不了解中學生, 所以不 能充分掌握命題重點。) 命題的設計最好能把 學生的能力表現得恰如其份, 今年的二份試 題頗獲好評, 去年社會組的數學試題也很不 錯, 把這四份試題排個名次, 去年社會組試題 名列第一, 今年二份試題排名第二, 去年自然 組試題實在不能坐第四把交椅, 它和另三份 試題的水準差了些。 希望以後大專聯考數學 試題精益求精, 學子幸甚教師幸甚。

以下是今年兩組考題的重點提示與略 解。

八十二年大專聯考自然組數學 試題重點提示與略解

選擇題第一大題共有 5 小題, 純為三 角、 平面幾何的基本運算也都是送分題。

正△ABC 之內心為 P , 邊長 100 公尺, P 點直立一旗桿, 自 A 測得旗桿頂之仰角為 30^◦, 正三角形之內心、 外心、 重心、 垂心四 心合一, 故得 AP 為中線長之三分之二。

1. AP = ²₃√

100²− 50² = ¹⁰⁰₃ √ 3 2. T P = AP tan 30^◦ = ¹⁰⁰₃ 3. AT = AP sec30^◦ = ²⁰⁰₃ 4. QT = T P csc 60^◦ = ²⁰⁰₉ √

3

5. ⁶ T AP = 30^◦, ⁶ T QP = 60^◦,

6 T QP = ⁶ T AP + ⁶ AT Q, 所以

6 AT Q = 30^◦ T P ⊥ AP 所以

6 P T Q= 30^◦, 所以 QT 平分 ⁶ AT P 故得 AQ : QP = AT : T P = 2 : 1 第二大題是立體解析幾何, 平面 E : x+ y + √

2z = 1 與 x 軸、y 軸、z 軸之 交點為 A(1, 0, 0)、B(0, 1, 0)、C(0, 0,^√1₂)

6. 平面E之法向量為 1、1、√

2, 平面xz之 法向量為 0、1、0 故得二平面交角之餘弦 為cos θ = 1 · 0 + 1 · 1 +√

2 · 0

√1 + 1 + 2√

0 + 1 + 0 = 1

2 得交角為^π

3

7. 直線 AB 之方向分量為-1、1、0, 故其方 程式為 x + y = 1, z = 0

8. 四面體 OABC 之體積 = ¹₃ · ¹₂ · OA · OB· OC = ¹₃ ·¹₂ · 1 · 1 · ^√1₂ = ^√₁₂² 9. 原點 O 至平面 E 之距離為

|0 + 0 +√

2 · 0 − 1|

√1 + 1 + 2 = ¹₂ 10. 四面體 OABC 之體積 = ^√₁₂² =

1

3△ABC ·¹₂, △ABC = ^√₂²

圓錐曲線的研讀先要把橢圓、 雙曲線、

拋物線的標準式弄清楚, 頂點、 焦點的座標要 能信手寫出來, 至於非標準式要把它化成標 準式, 拋物線找出頂點, 橢圓、 雙曲線找出中 心 (h, k), 焦點就很容易求了, 例如拋物線由 定義著手, 求至定直線與定點等距離之點集 合時, 設定直線為 x = −a, 定點即焦點設為 (a, 0), 由定義得 |x + a| =

^q

(x − a)²+ y²

化簡即得 y² = 4ax 它的頂點在 (0,0) 焦點 (a, 0), 非標準式的拋物線化成一樣的形式如 (y −k)² = 4(x−h) 它的頂點在 (h, k) 定點 (a, 0) 的 x、y座標各平移 h、k 單位 (h+a, k) 就是焦點的座標了。

標準式 中心 焦點

橢圓 ^x2

a²+^y_b²2 = 1 (0,0) (±c, 0) 0<b<a

x²

a²+^y_b²² = 1 (0,0) (0, ±c) 0<a<b 故得^(x−h)_a2 ²+^(y−k)_b^{2 2} = 1 (h, k) (h±c, k) 0 <

b < a

(x−h)²

a² +^(y−k)_b^{2 2}= 1 (h, k) (h, k ±c) 0 <

a < b

填空第 1 題二橢圓

Γ1 : ^(x−1)₃ ² + ^(y−2)₄ ² = ¹₄ · · · (1) Γ₂ : 4x²+ 3y²− 18y + 25 = 0 · · · (2)。(1) 與 (2) 消去二次項得 Γ1 與 Γ2 二者交點之 直線 L : 4x − 3y + 6 = 0 · · · (3) 化 Γ2

為標準式 Γ₂ : ^x₃² + ^(y−3)₄ ² = ¹₆ 得中心為 M(0, 3)

M 至L 之距離為|4 · 0 − 3 · 3 + 6|

q

4²+ (−3)² = 3

5 填充第 2 題求二多項式

p(x) = x⁵⁰− 2x²− 1 q(x) = x⁴⁸− 3x²− 4

之最高公因式。 這種問題的關鍵在於二式的 若干倍之和或差仍含二式之公因式。

p(x) − x²q(x) = 3x⁴+ 2x²− 1

= (3x²− 1)(x²+ 1)

3x²− 1 不為 p(x) 或 q(x) 之公因式, 故得 最高公因式為 x²+ 1

填空第 3題排列組合的基本題, 3球投入 3 個不同的袋子裡共有 3³ = 27 法, 3 球排 成一列共有 3! = 6 法, 所以每個袋子都有球 的機率為 ⁶

27 = ²₉。 3 球同在一袋之情形共有 三種, 所以三球都在一袋之機率為 ₂₇³ = ¹₉

列 表

空袋數 0 1 2 機率 ²

9 6 9

1

9 故得空袋子 個數的期望值為 0 · ²₉ + 1 · ⁶₉ + 2 · ¹₉ = ⁸₉

填空第 4 題矩陣基本運算, 設 A⁻¹ = p q

r s

!

得 1 2 3 4

!

p q r s

!

= 1 0

0 1

!

p+ 2r q+ 2s 3p + 4r 3q + 4s

!

= 1 0 0 1

!

故得 p+ 2r = 1 q+ 2s = 0 3p + 4r = 0 3q + 4s = 1

解之得 p = −2, q = 1, r = ³₂, s = −¹₂ 故得 A⁻¹ =

"

−2 1

3 2 −¹2

#

由題 設 AB = 2 0

0 2

!

= 2 1 0 0 1

!

故得 B = 2A⁻¹ = −4 2

3 −1

!

= a b c d

!

a = −4, b = 2, c = 3, d = −1 故得 a²+ b²+ c²+ d² = 30 填空第 5 題求旋轉體 體積用了微積分, 純代公式 π

^R

₂²⁰(f (x))²dx

π

Z

20

2 (1 + x²

100) = 10449π 25

設球半徑為 r 則 ^10449π₂₅ = ^4π₃ r³ 故得 r =

3

q

31347 100 。

計算證明第二題結合了對數與不等式 x+ 1 > 0 得 x > −1 · · · (1) 又 x²− x − 1 > 0

所以x > +√ 5

2 或 x < 1 −√ 5

2 (2) log_1.5(x + 1) > log_2.25(x²− x − 1) log_2.25(x + 1)² >log_2.25(x² − x − 1)

(x+1)²> x²−x−1 3x>−2 x>−−2 (3)3 由 (1)、(2)、(3) 畫出數線圖

- 1 - 2 / 3 1 -

故得 x > ¹⁺₂^√5 或 −²₃ < x < ¹⁻₂^√5 計算證明第三題結合了圓錐曲線與微積 分, 設拋物線 Γ 之方程式為 f (x) = ax² + bx+ c 按題意 Γ 過 (2,0) 與 (1,2) 二點

故得 f (2) = 4a + 2b + c = 0 f(1) = a + b + c = 2

又 f^′(1) = 2a+b = p^′(1) = 4·1²+1 = 5









− 解得 a= −6 b = 16 c = −8 所以 p(x) = −6x²+ 16x − 8 計算證明第四題是數列與極限, 由題設 a₀ = 1, a_n+1 =√

1 + an, n= 0, 1, 2, 3, · · · (1) 故得 a0 ≥ 1 令 a^k ≤ ¹⁺₂^√5

a_k+1 =√

1 + ak ≤

^q

1 + ¹⁺₂^√5

=

^q

⁶⁺²₄^√5 = ¹⁺₂^√5

故得 a_k+1 ≤ ¹⁺2^√5 由數學歸納法可知 原式於 n = 0, 1, 2, 3, · · · 恆成立。

(2) a²n+1 − a²ⁿ = 1 + an − a²ⁿ =

−(aⁿ−¹₂)²+¹₄ ≥ −(1 −¹₂)²+¹₄ = 0 所以 a²_n+1 ≥ a²n 所以 a_n+1 ≥ aⁿ (3) 因 an 遞增且有上界, 故知數列 {aⁿ}ⁿ

收斂。

八十二年大專聯考社會組數學 試題重點提示與略解

選擇題第 1 題先求出所予圓之圓心 (- 1,2), 聯心線長減去半徑就是相切二圓中較小 圓的半徑了

^q

(9 + 1)²+ (7 − 2)²−2√

5 = 3√

5

選擇題第 2 題是對數基本運算, 原式 = 2x+ 2 log₁₀(2 + 10^−x) −log10(¹₂+ 10^x)² = 2x + 2 log₁₀2 + 10^−x

1

2 + 10^x = 2x + 2 log₁₀(2 · 10^−x) = 2 log₁₀2。 這一題最大的敗筆在於 有些取巧的考生令 x = 0 代入即得以上答 案。

選擇題第 3 題利用等比級數求和公式 原式 = (1 − x)[1 − (1 − x)ⁿ]

1 − (1 − x)

= 1 − x − (1 − x)ⁿ⁺¹ x

所以 x² 項之係數就是 −(1 − x)ⁿ⁺¹ 展開式 裡 x³ 項之係數, 這個係數是 C(n + 1, 3) =

n(n + 1)(n − 1) 6 = n³

6 − n

6 故得 a = ¹₆, b= 0, c = −¹6, d = 0

選擇第 4題只要把[4好]與[3好1壞]的情 況除去就行了, 列式如下

1 − C(7, 4)

C(12, 4) − C(5, 1) · C(7, 3) C(2, 4) = 19

33

填空第 1 題考生要知道 a 與 465 的最 大公因數就是 465與 30的最大公因數, 故得 (a, 465) = (465, 30) = 15; 沒有想到這一 點就寫下 495, 960, 1425 · · · 所以 (1425, 465)=15。 這二點都沒想到就只好放棄了。

填空第 2 題綜合了三角基本運算與二次 方程式的根與係數的關係, 由根與係數的關 係可得 sin θ +cos θ = −^p₂, sin θ cos θ = ^q₂,

又由假設 sin θ − cos θ = ^√1₃ 故得

p²− 8q = 4(sin θ + cos θ)²− 16 sin θ cos θ

= 4(sin θ − cos θ)² = 4 3

填空第 3 題由假設可知 −2 ≤ a ≤ 0 且 a²+|a|+3k = 0, (a+2)²+|a+2|+3k = 0 故得 a²+ |a| = (a + 2)²+ |a + 2|

a²− a = a²+ 4a + 4 + a + 2

⇒ a = −1 代入 a² + |a| + 3k = 0 得 k= −²₃

有些考生答案為 −¹₃, 因為他們求出 a= −1 再求出 a+2 = 1 所以 1(−1) = 3k 得 k 值為 −¹₃, 他們不小心 誤以為 a 與 a+ 2 同為二次方程式 x² + x + 3k = 0 之二根, 題目是規定 a 與 a + 2 均為方程式 x²+ |x| + 3k = 0 的解, 所以作錯了。

填空第 4 題最單純, 三向量的行列式值 就是所張平行六面體的體積, 答案是 18。 有 些坊間參考書在行列式前有 ¹

2, 或 ¹₃ 是指三 向量所張三角柱或三角錐的體積, 所以考生 弄混淆就作錯了。

填空第 5 題重點在於 ^π₃、 ^2π

3 的正餘弦函 數值以及 sin(α±β)、cos(α±β) 的兩個公式 或直接利用差化積之公式, 就很容易得到解, 它是三角基本運算, 也是送分題。

f(x) = 2 cosπ

3cos x + 2 sinπ 3 sin x

−2 cos x − 3

= − cos x +√

3 sin x − 3

= 2(cos x cos2π

3 + sin x sin2π 3 ) − 3

= 2 cos(x − 2π 3 ) − 3

或

f(x) = −4 sin π 6 sin(π

6 − x) − 3

= −2 sin(π

6 − x) − 3

= 2 sin(x −π 6) − 3

= 2 cos(π

2 − x +π 6) − 3

= 2 cos(2π

3 − x) − 3

故得 M = 2 − 3 = −1

填空第 6 題是多項式的基本運算, 利用 被除式=除式·商式+ 餘式 按題意 h(x) = (x²− 1)A(x) + 3x + 4 = x(x²− 1)B(x) + px²+ qx + r

h(0) = 0 = r (1) h(1) = 7 = p + 1 + r (2) h(−1) = 1 = p − q + r (3)

解 (1)、(2)、(3) 得 p = 4, q = 3, r = 0, p²− q²+ r² = 7

填空第 7 題是線性規畫基本題, 先求 出滿足所設條件的四邊形區域, 四個頂點 是A(0, 0)、 B(0, 3)、C(1, 0)、D(₁₃⁴,³⁶₁₆), 四 個能產生極值的端點代入 x + 2y 得 6 為極 大值。 也有考生令 x + 2y = k, k 由 0 逐漸 增大, 這個直線系平行掃過 ABCD 的四邊 形區域時最後接觸的一點是 B, 可是圖形沒 有畫的很正確, 就誤以為 D 是最後一點, 所 以得答案為 ⁷⁶

13。 B 與 D 二點很接近, 用這 種方式作時要小心。

填空第 8 題的排列組合是普通又普通的 題目, 3男4女排成一列, 男生要排在一起, 女 生也要排在一起, 把 3男看作一人 4女也看作 一人, 所以是 3!4!, 可是男生女生可以交換, 要再乘以 2, 所以是 3!4! · 2 = 288。 只要男 生排在一起時, 男生 4人看作一人與女生 3人 共 4 人排成一列是4!, 而男生 4 人又有4!種排 法所以是 4!4! = 576

計算題第二題是不等式, 要用到定理 設 a、b、c ∈ R, 若 ax²+ bx + c > 0 對 任意 x ∈ R, 恆成立則 b² − 4ac < 0 這 個定理大專聯考考過很多次, 可惜很多考生 都誤以為 b² − 4ac > 0, 答案就錯得離譜 了。 由所予不等式可化為以下二不等式 x²+ax+(1−a) > 0 與 x²−ax+a > 0 故得 a²− 4(1 − a) < 0 與 a²− 4a < 0

即 −2 − 2√

2 < a < −2 + 2√ 2 與 0 < a < 4

畫畫數線

得交集為 0 < a < −2 + 2√ 2 計算題第三題過二拋物線

Γ1 : 2y − 3x² + 12x − 14 = 0 · · · (1) Γ2 : y + x² − 2x − 1 = 0 · · · (2) 交 點之直線為 L, (1)+3(2) 得 L 之方程式為 6x + 5y − 17 = 0

標準式 頂點 焦點

拋物線 y² = 4ax (0,0) (a,0) x² = 4ay (0,0) (0,a)

故得 (y−k)²=4(x−h) (h, k) (h+a, k) (x−h)²=4(y−k) (h, k) (h, k+

1) 化 Γ1 為標準式 Γ₁ : (x −2)² = 4 ·¹₆(y − 1) 得頂點 (2,1)

故得焦點 F (2, 1 +¹₆) 即 F (2,⁷₆) F 至 L 之距離為|6 · 2 + 5 ·⁷₆ − 17|

√6²+ 5² = 5

6√ 61