第三章：

1 Chapter 3 -

第三章：part-1: 晶體結構(金屬)

•3.1 簡介

•3.2 基本概念

•3.3 單位晶胞

•3.4 金屬之晶體結構

•3.5 密度計算－金屬

•3.6 陶瓷之晶體結構

•3.7 密度計算－陶瓷

•3.8 矽酸鹽陶瓷

•3.9 碳

•3.10 多形體和同素 異形體

•3.11 晶體系統

2 Chapter 3 -

第三章：part-1: 晶體結構(金屬)

•3.12 點座標

•3.13 結晶學的方向

•3.14 結晶學的平面

•3.15 線密度和平面 密度

•3.16 緊密堆積之晶 體結構

3.17 單晶 3.18 多晶材料 3.19 異向性

3.20 X-光繞射：晶體 結構的決定

3.21 非結晶固體

3 Chapter 3 -

•非緊密堆積,

• 緊密堆積,

緊密、規則堆積的結構，具有較低能量

能量與堆積

能量

r

典型的原子間 鍵結能

能量

原子間距 r 典型的原子間

鍵結能

典型的原子間 鍵結長度

原子間距 r

4 Chapter 3 -

3.1 簡介

•不同形式的原子鍵結方式是由個別原子 的電子結構來決定。

•對結晶固體之結晶結構的概念，特別以 單位晶胞來呈現。並藉由結晶學上之點

、方向、與平面等表現方式，對存在於 金屬與陶瓷內的晶體結構詳加描述。

5 Chapter 3 -

3.2 基本概念

•結晶（crystalline）材料的原子在遠大於 原子間距離之範圍內會重覆週期性的排 列，也就是說存在長程的秩序。

•結晶固體的某些性質取決於其晶體結構

（crystal structure），亦即依原子、離子 或分子在空間中的排列情形而定。

6 Chapter 3 -

•原子堆積方式為週期式的三度空間陣列 結晶材料...

- 金屬 - 許多陶瓷 - 部分高分子

•原子堆積無週期性 非結晶材料...

- 複雜結構 - 急速冷卻

結晶 SiO2

非結晶 SiO2

“ 非晶質(Amorphous)

=非結晶(Non-crystalline)

Adapted from Fig. 3.22(a), Callister 7e.

材料與堆積

Si Oxygen

•種類:

•產生於:

7 Chapter 3 -

3.3 單位晶胞

•描述晶體結構時，通常會將整個結構細分為許 多具有重覆性的小單元，稱為單位晶胞（unit cell）。對大部分晶體結構而言，單位晶胞是 具有三組平行面的平行六面體或稜柱體。

•單位晶胞用來表示晶體結構的對稱性，在晶體 中所有原子的位置，可藉由沿單位晶胞邊長移 動整數距離來產生。

•對一個特定的晶體結構，會有超過一種以上的 單位晶胞可選擇，但通常我們會選擇具有最高 幾何對稱性者為其單位晶胞。

8 Chapter 3 -

結晶系統

7 晶體系統

14 晶格

Fig. 3.4, Callister 7e.

單位晶胞(Unit cell):

包含完整結晶體晶格樣式的最小重複體積

a, b, c 為晶格常數

9 Chapter 3 -

晶體系統

≠≠≠90^o a ≠b ≠c

三斜

= = = 90^o a ≠b ≠c

斜方

= = 90^o≠ a ≠b ≠c

單斜

= = ≠90^o a = b = c

菱方

= = = 90^o a = b ≠c

正方

= = 90^o,= 120^o a = b ≠c

六方

= = = 90^o a = b = c

立方

夾角 軸

晶體結構

10 Chapter 3 -

3.4 金屬晶體結構

•最密堆積以盡量降低空隙的方式 2度空間

vs.

接著由

轉至

11 Chapter 3 -

•傾向於緊密堆積

• 緊密堆積的原因:

- 一般而言只有單一元素，其原子大小一樣.

- 金屬鍵無方向性.

- 鄰近原子間距小，以維持較低的鍵結能.

- 電子遮蔽帶正電的核心（填滿軌道的電子+原子核）

• 配位數（coordination number）

:每個原子之最鄰近或相接觸的原子數目

• 具有最簡單的結晶構造：BCC、FCC、HCP.

金屬晶體結構

12 Chapter 3 -

•非常稀少，因堆積密度低

•

•配位數 = 6

(最接近的鄰近原子)

(Courtesy P.M. Anderson)

簡單立方結構 (SC)

13 Chapter 3 -

•簡單立方結構 APF = 0.52

APF =

a3

4

3  (0.5a) 3 1

原子 體積

單位晶胞 體積

原子堆積因子 (APF)

APF = 單位晶胞內原子的體積*

單位晶胞內原子的體積

*假設原子為硬球

最密堆積方向含

a

R=0.5a

8 x 1/8 = 1 原子/單位晶胞

單位晶胞 原子數

14 Chapter 3 -

•配位數= 8

Adapted from Fig. 3.2, Callister 7e.

(Courtesy P.M. Anderson)

•體對角線方向原子相互接觸.

--注意： 為便於觀察，中心原子以不同顏色表示

體心立方結構 (BCC)

ex: 鉻、鎢、鐵()、鉭、鉬

2 原子/單位晶胞: 1 中心 + 8 角落 x 1/8

15 Chapter 3 -

原子堆積因子 : BCC

a

APF = 4

3 ( 3a/4)3 2

a3

長度 = 4R = 最密堆積方向:

3 a

•BCC的APF = 0.68

R a

Adapted from Fig. 3.2(a), Callister 7e.

2 a 3 a

單位晶胞

原子數 原子

體積

單位晶胞 體積

16 Chapter 3 -

•

Adapted from Fig. 3.1, Callister 7e.

(Courtesy P.M. Anderson)

• 面對角線方向原子相互接觸.

--

面心立方結構 (FCC)

ex: 鋁、銅、金、鉛、鎳、鉑、銀

4原子/單位晶胞: 6 面心 x 1/2 + 8 角落 x 1/8

17 Chapter 3 -

•FCC 的 APF = 0.74

例3.2 FCC的原子堆積因子

APF的極大值

APF = 4

3  ( 2a/4)3 4

a3 最密堆積方向：

長度= 4R = 2 a

單位晶胞包含:

6 x 1/2 + 8 x 1/8

= 4

a

2 a

Adapted from Fig. 3.1(a),

Callister 7e. 單位晶胞

原子數 原子

體積

原子 體積

18 Chapter 3 -

A 層

B B B B B

B B

C 層

C C A C

B B

•ABCABC...堆積順序

•2D 投影

•FCC 單位晶胞

FCC 堆積順序

B B B B B

B B B

層

C C A C

C C A C

B A

C

19 Chapter 3 -

•

= 12

•ABAB...堆積順序

•APF = 0.74

•3D 投影

Adapted from Fig. 3.3(a), Callister 7e.

六方最密堆積結構 (HCP)

6

ex: 鎘、鎂、鈦、鋅

•c/a = 1.633

c

a

A 層

A 層

•2D 投影

下層 中層

上層

20 Chapter 3 -

3.5 理論密度, 

where n =單位晶胞中原子數

V _C

³

_A = 亞弗加厥常數

= 6.023 x 10 ²³ 原子/莫耳

=

V _C N _A n

=

單位晶胞內原子質量

單位晶胞的體積

21 Chapter 3 -

• 例: 鉻 (BCC)

A = 52.00 g/mol

R = 0.125 nm n = 2

 _理論

a = 4R/ 3 = 0.2887 nm

 _真實 R a



=

a3

52.00

2

原子

單位晶胞

克

單位晶胞

體積 原子

莫耳

6.023 x 10 ²³

理論密度, 

= 7.18 g/cm ³

= 7.19 g/cm ³

22 Chapter 3 -

材料密度等級



> 

> 

Data from Table B1, Callister 7e.

 (g /c m ) 3

時墨/

陶瓷/

半導體

複合材料/

高分子 纖維

1 2 20 30

*GFRE：玻璃纖維強化環氧樹脂 CFRE：碳纖維強化環氧樹脂 AFRE：Aramid 纖維強化環氧樹脂,

(60% 單向排列的纖維)

10

3 4 5

0.3 0.4 0.5

鎂 鋁 鋼

鈦 銅、鎳 錫、鋅 銀、鉬 鉭 金、鎢鉑

石墨 矽 玻璃 - 碳酸鈉 混凝土 氮化矽鑽石 氧化鋁 鋯

H^{DPE, PS} PP, LDPE PC PTFE

PET PVC矽

木材 AFRE* CFRE* GFRE*

玻璃纖維

碳纖維 Aramid fibers

金屬...

•最密堆積 (金屬鍵)

•原子質量通常較大 陶瓷...

•堆積較不密

•原子通常較輕 高分子...

•低堆積密度 (常為非晶質)

•輕原子 (C,H,O) 複合材料...

•介於各材料之間

通常

合金

23 Chapter 3 -

•有些工程應用需要單晶:

•結晶材料的性質通常與晶體結構有關.

(Courtesy P.M. Anderson)

--Ex: 石英破壞偏好沿著某一些結 晶面

--鑽石單晶

作為磨料的晶體

--渦輪葉片

Fig. 8.33(c), Callister 7e.

(Fig. 8.33(c) courtesy of Pratt and Whitney).

(Courtesy Martin Deakins, GE Superabrasives, Worthington, OH. Used with permission.)

由晶體組成的材料

24 Chapter 3 -

3.17 單晶材料

•對一結晶固體來說，當其原子排列為週 期且重覆排列是完美的，或延伸到整個 試片而沒有間斷時，就稱為單晶（single crystal），所有單位晶胞以相同的方式互 相連接且具有相同方向。

•單晶存在於自然界，但也可以人工的方 式產生，它們通常較難以單晶方式成長

，因為其環境必須小心地控制。

25 Chapter 3 -

3.18 多晶材料

•許多結晶固體是由許多小晶體或晶粒（

grain）集合而成的，此材料稱為多晶（

polycrystalline）。

•晶粒與晶粒之間的結晶學方向並不相同

。而且，在兩晶粒相遇的區域會有某些 原子無法配合的很好；此區域稱為晶界

（grain boundary）。

26 Chapter 3 -

•大多數工程材料為

•Nb-Hf-W 板以電子束焊接.

•每一晶粒為一"單晶"

•若晶粒的指向隨機，則材料的整體材料性質無妨向性,

•晶粒直徑一般介於 1 nm 至 2 cm之間

(i.e., 數個至數百萬原子層).

Adapted from Fig. K, color inset pages of Callister 5e.

(Fig. K is courtesy of Paul E. Danielson, Teledyne Wah Chang Albany)

1 mm

多晶材料

等向性

異向性

27 Chapter 3 -

•單晶

-性質與方向有關: 異向性

-例: BCC 鐵的彈性係數 (E) :

•多晶

-性質與方向可能有關 -晶粒的指向隨機:等向性

(Epoly iron= 210 GPa)

-晶粒的指向有織構性(textured) 異向性

200m

Data from Table 3.3, Callister 7e.

(Source of data is R.W.

Hertzberg, Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials, 3rd ed., John Wiley and Sons, 1989.)

Adapted from Fig.

4.14(b), Callister 7e.

(Fig. 4.14(b) is courtesy of L.C. Smith and C.

Brady, the National Bureau of Standards, Washington, DC [now the National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD].)

單晶 vs 多晶

E (對角) = 273 GPa

E (邊) = 125 GPa

Q: what is 非晶 (amorphous) ?

28 Chapter 3 -

3.21 非結晶固體

•非結晶（noncrystalline）固體相對於原子 於大距離範圍內，原子缺乏對稱與規則 的排列。有時這種材料亦稱為非晶質（

amorphous）（字義上為未成形），或者 由於它們的原子結構類似於液體而稱為 過冷液體。

29 Chapter 3 -

3.10 多形體和同素異形體

•某些金屬和非金屬具有一種以上的晶體 結構，這種現象稱為多形體（

polymorphism）。若是在元素之固體中

，這種情況則稱為同素異形體（allotropy

）。晶體結構的型態取決於溫度和外在 壓力之大小。

30 Chapter 3 -

多形體

• 一種材料具有兩種或多種結晶構造 (allotropy/polymorphism)

(1) 鈦：, -Ti (2)碳： 鑽石、石墨

BCC FCC BCC

1538ºC 1394ºC

912ºC

-Fe

-Fe

-Fe 液態

(3) 鐵

31 Chapter 3 -

3.12 晶格點座標

單位晶胞中心的點座標：

a/2, b/2, c/2

½ ½ ½

單位晶胞角落的點座標： 111

平移: 晶格常數的整數倍  另 一單位晶胞中的相同位置 z

x

a b y

c

000

111

y z



2c







b b

32 Chapter 3 -

例: 圖 3.21 決定 P點在單位晶胞內座標

q、 r和 s之作法

33 Chapter 3 -

3.13 結晶方向

1. 若有需要可將向量平移，使其通過原點 2. 得出向量在三軸單位長度的投影量 a, b, c 3. 調整成最低整數直

4. 加上中括弧數字間無逗點

[uvw]

方向族 <uvw>：與[uvw]等效方向的集合 例：

z

x

規則：

例:

-1, 1, 1 => [ 111 ] 上標代表負號

y

] 001 [ , ] 0 1 0 [ , ] 010 [ , ] 00 1 [ , ] 100 [

和

] 001 [ , ] 0 1 0 [ , ] 010 [ , ] 00 1 [ , ] 100

[ , [ 00 1 ]

<100>：

34 Chapter 3 -

例3.9 求箭頭之方向指標 例3.10 plot [110] 方向

•令在 xyz軸投影為a/2, b, 0

•投影 ½ 1 0

•整數化 1 2 0

•So answer is [120]

x

y z

35 Chapter 3 -

HCP 結晶方向

1.

若有需要可將向量平移，使其通過 原點

2.

得出向量在三軸單位長度的投影量

a

3. 調整成最低整數直

4. 加上中括弧，數字間無逗點 [uvtw]

[ 1120 ]

例: ½, ½, -1, 0 =>

Adapted from Fig. 3.8(a), Callister 7e.

紅色虛線代表a₁與 a₂軸上的投影 a

₁

₂

a

₃

-a

a₂

2 a₁ a₃

-

a₁ a2

z 規則

36 Chapter 3 -

HCP 結晶方向

•六方晶

–四參數的米勒氏晶格指標與方向指標(i.e., u'v'w')的 關係如下：







'

t v u

)

( + -

) '

'

2 3 ( 1 -

) '

'

2 3 ( 1 -



]

[ ] '

'

'

[ 

Fig. 3.8(a), Callister 7e.

a₃

-

a1

a₂ z

37 Chapter 3 -

例: Al 在 [110]的線性密度

線性密度

• 原子的線性密度 LD =

a

[110]

單位向量長度 原子數

原子數

長度

3.5 nm

a

2

LD  2 

38 Chapter 3 -

3.14 結晶面

Adapted from Fig. 3.9, Callister 7e.

以原點O為參考點 (001)平面

其它等效的(001)平面

以原點O為參考點(110)平面

以原點O為參考點(111)平面

其它等效的(111)平面

39 Chapter 3 -

結晶面

•米勒氏指標: 平面與三軸截距的倒數，並消 去公因數與分數後，平行的平面擁有相同的米 勒氏指標

•規則

1.

選擇適當原點（平面不通過原點）

2.

以 a, b, c為單位決定平面與三軸的截距 3. 取截距的倒數

4. 約分至最小整數

5. 加上刮號，數字間沒有逗號 i.e., (hkl)

40 Chapter 3 -

結晶面

x

y

a b

c

4. 米勒氏指標 (110)

例

a b c

x

y

a b

c

4. 米勒氏指標 (200)

1. 截距 1 1 

2. 倒數 1/1 1/1 1/

1 1 0

3. 化簡 1 1 0

1. 截距 1/2  

2. 倒數 1/½ 1/ 1/

2 0 0

3. 化簡 2 0 0

例

a b c

41 Chapter 3 -

結晶面

z

x

y

a b

c 

 

4. 米勒氏指標 (634) example

1. 截距 1/2 1 3/4

a b c

2. 倒數 1/½ 1/1 1/¾ 2 1 4/3

3. 化簡 6 3 4

(001) (010),

平面族 {hkl}

(100), (010), (001),

例: {100} = (100),

42 Chapter 3 -

結晶面(HCP)

• 六方晶的單位晶胞中也使用相同觀念

例

a

a

a

c

4. 米勒 - 布拉維斯 指標 (1011)

1. 截距 1  -1 1

2. 倒數 1 1/

1 0 -1 -1

1 1

3. 化簡 1 0 -1 1

a2

a₃

a₁ z

Adapted from Fig. 3.8(a), Callister 7e.

43 Chapter 3 -

BCC鐵 (100) 平面密度

鐵在 T < 912C 具有 BCC 結構

(100)

鐵原子 R = 0.1241 nm

3

R

a 

Adapted from Fig. 3.2(c), Callister 7e.

2D 重複單元

=

a

2D

=

12.1 原子

m²

= 1.2 x 10¹⁹ 原子 1

2 3

R

3 面積 4

2D重複單元

44 Chapter 3 -

BCC鐵 (111) 平面密度

Solution (cont): (111) 面

a

h

 3

2

2 D

1

= =

nm² 7.0 原子

m² 0.70 x 10¹⁹

原子

3 ₂ 3

R

原子

2D

面積 2D重複單元

3

3 3

2

3 R R 16

3

2

4 a 3 ah

面積 2 





 



 





45 Chapter 3 -

X-Ray 繞射

•平面間距必須與繞射波長相當才會產生繞射光柵

(Diffraction gratings)

•平面間距時，無法產生清晰繞射圖

•平面間距為平行原子面的間距

電磁頻譜 頻率(Hz)

46 Chapter 3 -

以X-Rays決定結晶構造

X-ray 強度 (由檢測器 產生)



c

d



c

•入射X-rays由結晶面產生繞射

Adapted from Fig. 3.19, Callister 7e.

反射波必須同相 才能產生訊號

平面間距 d

入射 X-ra

ys

離開的X-rays 檢測

器





2 號波移動距離 比1 號波多移動 的距離

“1”

“2”

“1 ”

“2 ”

47 Chapter 3 -

X-Ray 繞射圖

Adapted from Fig. 3.20, Callister 5e.

(110)

(200)

(211)

z

x

a b y

c

繞射角 2

多晶-鐵 (BCC) 的X-ray繞射圖

強度(相對值)

z

x

a b y

c z

x

a b y

c

48 Chapter 3 -

3.19 異向性

•某些單晶物質的物理性質和所取之量測 的結晶學方向有關。例如，彈性模數、

導電度、折射率在 [100]和 [111]方向上具 有不同的數值。

•這種具有方向性的性質稱為異向性（

anisotropy），它跟在結晶學方向上的原 子或離子間距的變化有關係。若物質的 性質與量測方向無關，則稱為等向性的

（isotropic）。

49 Chapter 3 -

•原子可聚集成結晶 (crystalline)或非晶質(amorphous) 結構

•已知原子量、原子半徑、結晶構造(FCC, BCC, HCP).就 可預測其密度

結論

•一般金屬的結晶構造為FCC,BCC, 與HCP。FCC與HCP 具有相同的配位數與堆積因子

•結晶點、方向、平面可利用指標系統明確界定。由

結晶 方向、平面可決定原子線性密度、平面密度

50 Chapter 3 -

•有些材料擁有多種結晶構造，稱為多形體(polymorphism) 或

同素異形體

結論

•材料可分為單晶與多晶材料。單晶的性質與方向有關（異 向性），但晶粒指向隨機的多晶材料，其性質一般無方向 性（等向性）

•X-ray 繞射用於決定結晶構造與原子平面間距