沒有運算的數學堂如何教？
張僑平
香港中文大學課程與教學學系 黎潔婷
中學教師
背景
一堂數學課該如何上，不同人自有不同的見解和教法。就數學科本身 而言，因涵蓋諸多不同的課題，譬如中學數學課程指引所列出的三大必修 範疇（數與代數，度量、圖形與空間，數據處理）（課程發展議會，2002），
在不同主題上教學方法的運用亦有不同。普通人對一般的事物或有自己的 喜好，那麼一位數學教師會否在教學上也有自己的喜好呢？本文的兩位作 者最近聊起了一些有關數學教學的話題，其中便涉及到教師教學的喜好。
談話的內容，從一位數學教師的公開課說起，一步步延展開到諸多與數學 教育相關的問題，希望能引起同行的共鳴與反思。以下我們整理了對話的 內容，與業內分享。
一堂緊張的公開課
K 是一位入職已經三年的中學數學教師，自認為書教得不錯，學生喜 歡上自己的數學課，在數學教學上也有很多自己的想法。不過，近日因為 要準備公開課，讓他有些緊張和憂慮。他也與以前大學的數學老師 T 聊起 了這次公開課。
K： 老師，好快就要上公開課了，今次的班級是中三學生，講授的內容是
《畫立體正側俯視圖》。同事之間交流時，都覺得這個課題好有難度。
T： 為什麼呢？
K： 一來呢個課題沒有數學運算，二來估計唔到學生畫唔畫到……現在都在 思考如何做才好。
T： 不如反過來想，為什麼覺得有數學運算就容易教呢？
K： 可能大部份 topic 都有運算，老師適應咗數學堂就係教運算技巧。如果 我教 3D 畫立體、對稱、圖像的 topic 都較 algebra 的 topics 有壓力。可 能我自己本身熱愛 algebra 多點。
T： 「熱愛」是指什麼？簡單？還是有運算，而自己又是否擅長運算？
K： 高中時鐘意運算後的成功感。所以到教書都係鐘意教這類技巧。
T： 但幾何都有運算。
K： 但圖像以前唔知老師係 skip 咗教，定係我無留心， 無印象自己點學。
運算幾何都鐘意。但我教畫圖、統計、對稱這類就唔太自在。
從上述的對話中不難看到，K 老師對公開課的緊張和不自在，主要因 為自己對講授內容的不可掌控。一方面，不熟悉沒有運算的課題如何教，
另一方面，也因為教授畫圖會不容易看到教學的效果，即不知道學生掌握 程度如何。而對於涉及運算的課題，K 老師就不會感覺有壓力。這不僅是 他的興趣所在，他還能享受解題的成功感，也容易掌握學生學習的情況。
而這樣的體驗與他學生時代的經歷有很大關係。事實上，有研究者曾就香 港教師和學生的數學觀做過一些調查，研究發現，教師和學生大多數會認 為數學與運算有密切關係（黃毅英、韓繼偉、王倩婷，2005），而學生的數 學觀與他們所經歷的學習空間（lived space）不無關係。換句話說，為何學 生認為數學是運算或是一大堆的公式與定理，正正因為他們在課堂上所感 受的數學就是如此。這一點從 K 老師的表述中亦可見到。另外，我們需進 一步思考，對於不熟悉的課題，如何才能「自在」起來呢？
沒有運算的證明又該怎麼教？
公開課可能會給 K 老師帶來一定的壓力和緊張，T 老師想知道更多 K 老師對於沒有運算（或較少涉及運算）的數學課題的看法，於是順著前面 幾何的話題，他們聊到了證明。
T： 證明呢？幾何中有的是計算，有的是證明，有的是你講的畫圖之類。
K： 我剛剛教完中二證明恆等式。我應該係變咗教學生記格式。（1）左方；
（2）右方；（3）因為；（4）所以。證明題目我不停強調格式的重要，
我不知道是否重點放錯了。之前教相似、全等三角形都類似，不停講格 式。
T： 你指教任何證明題都同代數證明差不多的方式？也就是說，用一種代數 運算的思考方式，去學幾何計算，幾何證明？
K： 證明應該高層次點，但我不覺得自己講得高層次咗，變咗操練式。
T： 你所謂的「高層次」是什麼呢？
K： 大致我講什麼是證明，我先講爸爸是男人，但不是所有男人都是爸爸。
說明證明的手法是不能倒轉用數字代入數式。但我覺得都唔能夠讓學生
意識到什麼是證明……但教運算我感覺學生就較易明白和上手。所以一 教證明，畫圖（即是非運算）或類似 topics 就有點緊張。
T： 嗯，其實，我可不可以說，你覺得證明不應該是這些運算和格式？
K： Yes!!!!
T： 那麼，你覺得證明是什麼呢？如果不好回答，或者說說你自己是否經歷 過你期望中的那種證明呢？
K： 我而家變咗操練學生考試拿高分，但我估計未必所有學生明白為何要這 樣。我由小到大的數學都係操練出來的。教證明時我都嘗試用多些生活 例子去講何謂證明，即不能夠用一個數字去證明所有 case 都是對的。
要有個 concept，未知數 x、y 是任何數字，以致你推測到所有 case 都是 對的。這是我個人認為的證明。
T： 幾何證明，如果沒有生活例子，又該如何講授呢？
K： 那我會用剪紙或是一些實際活動來試一次該定理，再推到其他更多的 case 吧。例如 pyramid 等於三分之一的 prism。或者用倒水法 video 證 明畢氏定理。剪紙證明 SSS，SAS……令學生覺得不太抽象而明白原因。
T： 你提到生活例子，或者動手操作，來講解或者解釋證明，為什麼你覺得 需要這樣做？是為了學生容易記住？方便理解？還是說，證明就需要這 樣呢？
K： 理解完再操練要有意思一點，不用死背數學。
T： 代數方面，是否就不須要這樣做（動手操作，生活例子）？你提到運算 多比較好講解。如果有很多證明，可能找不到或者很難找到生活例子或 動手操作演示，怎麼辦？
K： 嗯…每個課題性質也不同，所以我教法也不同。有得活動示範而時間許 可便做，有生活例子連繫到便用，但如果高 form 一些較難的證明，都 可能只可以係學生以前學的已有知識來推說……教了一次 DSE 的課 程，很多時候只能盡我能力重溫已有知識來證明有些較深的定理……但 例如「圓形的特性」有好多 reason，我也沒有每個 reason 解明白，只是 操練式去做題目。
T： 會不會其實你所理解的「操練式」，就是數學需要到達的一個程度呢？
叫操練可能不好聽，叫抽象思維，會不會舒服點？回到數學證明，正如 你說，只是「操練」般記得格式再模仿，不是真正的證明。但是，有生 活例子同動手操作的「證明」，同樣也被人覺得不是證明。
決。但有時想睇吓係咪每位老師都係咁解決這些課題。「證明」是否有 特定的方法呢？？？如果我教的「證明」別人認為不是證明，那「證明」
就變得見人見智。即是每人的抽象思維都唔一樣？
T： 換句話說，證明會存在不同的形式，不同人抓住的其中一部分。其實，
你教證明，無論代數或幾何，想學生學到些甚麼呢？
K： 即係證明係好大的拼圖，好難係課堂講解全副拼圖，課堂的證明極其量 都係其中教師覺得最精粹的一部份。我教多幾次這類課題就覺得學生背 咗個格式，但其實想他們明白點解數學上那些格式的必要性，而唔洗長 篇大論好似寫論文咁。不過，現在學校老師之間的教與學分享都缺少這 些，有時教書就變得技術性……好少諗到太深入。
儘管這段對話較長，不過我們能看到，K 老師對於沒有運算的數學課 題並非不知如何處理，他有一套自己的理解，也有不同的處理方式，包括 活動示範、生活例子，當然也包括讓學生記住格式，去操練一些技巧（可 見對話中重點突出的文字）。而操練，實乃「不得已而為之」。儘管他知道 證明並非如記住格式這般操練，但苦於難以解釋背後的理據，只好「退而 求其次」，以操練代之，起碼也能幫學生取得分數。K 教師這種數學觀念和 教學行為的不一致，在我們一些關於數學觀的研究中也有發現，即使教師 持有問題解決的數學觀，但實際的教學卻是另外一種方式，特別一旦遇到 教學上的困難，便會很快轉向工具型的教學，這種轉變在新教師身上尤為 明顯。而這種觀念和教學行為的不一致，從某種程度上也反映出教師學科 知識（subject matter knowledge: SK）或學科教學知識（pedagogical content knowledge: PCK）的不足（Zhang & Wong，待出版）。
結語
數學課是否就是教運算技巧以幫助學生拿分數？我們相信，絕大多數 老師會給出否定的答案。但數學與運算密切相關（甚或數學就是運算）卻 是被很多教師所認同。對於 K 老師來講，與其說因為精於運算而習慣講授 運算題，事實上他是在教授基本技能（basic skills）和培養高階思維能力（high order thinking skills）之間更偏重於前者，或者說對於學習的結果（product）
的重視多過學習的過程（process）。他能察覺到二者的不同，也知道後者的 重要（「證明應該高層次點」，「理解完再操練要有意思一點」），唯從基礎運 算過渡到高階能力，感到教學乏力。他也想多看看，多參考其他教師的教
學，但現實的境遇又太少提供這樣的機會。由此，對自身教學的進一步反 思和提升的機會，也就慢慢消失於繁忙的工作中……
回到最初的問題，沒有運算的數學課該如何教呢？既然沒有或者少有 筆頭計算，那就多關注思維方式和方法。我們常說培養學生的數感、空間 感，甚或動手能力、探究能力、推理能力、批判性思考能力等，不正可在 這類課題中大有作為嗎？以畫立體正俯視圖或展開圖為例，這些問題的出 現主要受到早期心理學研究中空間能力測試的影響（黃毅英，1990）。教學 中除了借助實物或教具動手畫，也可利用 IT 展示更多立體，還可以製作立 體，玩一些立體數學遊戲，透過立體模型認識空間關係。除了從立體到平 面，也需要從平面圖形來處理立體問題，甚或根據題意還原立體。這些活 動亦非到中學階段才開始，在小學接觸立體圖形時就需要這類活動體驗。
而學生在中學階段幾何問題解決能力的不足，與低年級時的活動經驗的缺 失不無關係（張僑平、陳葉祥、黃毅英，2014）。
造成 K 老師困境的原因，既與其自身的 SK、PCK 有關，也與促進他 進一步專業成長的環境有關（張僑平，2013）。不少學者早已提出，教師理 應成為「具反思的實踐者」（reflective practitioner）以及教師之間學習社群 的重要（learning community）（黃毅英，2014；Schön, 1983; Siu, Siu, & Wong, 1993）。然而，前線教師（尤其年輕教師）或許正是因為經歷一次次受挫（缺 乏指導、缺少交流討論的空間和時間），對反思的熱情漸漸退卻，疲於在課 堂之間、課題之間交接，一種我們不願見到的循環每天在課堂發生。拉近 這應然和實然之間的距離，需要我們每位專業教師長期共同的努力。
參考文獻
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香港數學教育學會。
張僑平、黃毅英、陳葉祥（2014）。從教科書分析帶出教學啟示：以小學數學的一個課 題為例。載石鷗、張增田（編）。《教科書評論》（頁 122－131）。北京：首都師範 大學出版社。
黃毅英（1990）。立體數學遊戲與空間想像力之訓練。《數學傳播》56，78－96。後載黃 毅英（編）（1997）。《邁向大眾數學之數學教育》（頁 294－328）。臺北：九章出版 社。
黃毅英（2014）。由「學養教師」到「學習社群」——從「 3
42是不是帶分數」說起。《香 港數理教育學會會刊》，30，頁 1－7。
黃毅英、韓繼偉、王倩婷（2005）。數學觀與數學教育。載黃毅英（編）。《迎接新世紀：
重新檢視香港數學教育——蕭文強教授榮休文集》（頁 77－99）。香港：香港數教 育學會。
香港課程發展議會（2002）。《數學教育學習領域課程指引（小一至中三）》。香港：教育 統籌局。
Schön, D. A. (1983). The reflective practitioner: How professionals think in action. London, U.K.: Temple Smith.
Siu, F. K., Siu, M. K., & Wong, N. Y. (1993). Changing times in mathematics education: The need of a scholar-teacher. In C. C. Lam, H.W. Wong, & Y. W. Fung (Eds.), Proceedings of the International Symposium on Curriculum Changes for Chinese Communities in Southeast Asia: Challenges of the 21st Century (pp. 223–226). Hong Kong: Department of Curriculum and Instruction, the Chinese University of Hong Kong.
Zhang, Q.P., & Wong, N. Y. (in press). Beliefs about mathematics, mathematics knowledge and approaches to teaching among Chinese teachers. In L. Fan, N.Y. Wong, J. Cai., & S.
Li (Eds.), How Chinese teach mathematics: Perspectives from insiders. Singapore:
World Scientific.
作者電郵： 張僑平 qpzhang@cuhk.edu.hk 黎潔婷 kitting_lai@yahoo.com.hk
