成大研發快訊 - 文摘
成大研發快訊 第十卷 第五期 - 2009年九月四日
[ http://research.ncku.edu.tw/re/articles/c/20090904/3.html ]
修正型損失函數在制定最適化工程規格上之研究
潘浙楠1,*、潘建標2
1國立成功大學統計系
2加州州立科技大學工業及製造系統工程系 [email protected]
Engineering Optimization, 41 (2), pp. 99-118, February 2009
傳統上工業界認為產品品質特性之量測值只有在超出規格 界限時才會造成報廢或重作之損失。自從田口提出以二次損失 函數的概念作為衡量產品品質損失的依據後，產品品質特性之 量測值一旦偏離其目標值即可能產生損失之觀念遂逐漸為產學 界所接受並廣泛地使用。然而在工業產品之生產過程中，工程 規格之制定與損失函數之選取方式均可能影響品質成本的估 算。一般而言，工程規格可分為望目、望小與望大特性三類。
為了使工程規格之制定符合實際情況，本研究針對Kapur經濟 模式進行修正並考慮產品品質特性呈常態分配。至於損失函數 方面則考慮(1)田口二次損失函數 (2) INLF (Inverted Normal Loss Function) (3) RINLF(Revised Inverted Normal Loss Function, 如圖1所示) 三種以估算顧客及生產者所遭受之期望
損失(報廢、重作及檢驗成本等)，期能制定出使單位產品之平均總期望損失最小的最適化工程規格。由於 當產品超出規格上限與低於規格下限時的重作或報廢損失並不相等，故將Kapur經濟模式：本研究針對 Kapur經濟模式進行修正。由於當產品超出規格上限與低於規格下限時的重作或報廢損失並不相等，故將 Kapur經濟模式：TC＝LQ*＋(1−q)×SC＋IC修正為TC＝L*＋q1×SC＋q2×RC＋IC，以下簡稱為修正之 Kapur經濟模式，其中TC為單位產品之平均總期望損失、SC為單位產品報廢成本、RC為單位產品重作成 本、 IC為單位產品檢驗成本、LQ*為SC≠RC時單位產品顧客所遭受之期望損失、LQ*為單位產品顧客所遭 受之期望損失、q為產品的良率以及q1、q2分別為產品報廢或重作的機率。若考慮產品品質特性之分配呈 常態機率分配函數，即Y~N(μ, σ2)並利用田口二次、INLF及RINLF等損失函數，分別估算(1)未進行任何 檢驗；(2)修正Kapur之經濟模式下之單位產品平均總期望損失，則我們可分別求算出雙邊與單邊規格下期 望損失之公式並推導出雙邊對稱與非對稱規格下各種期望損失與製程能力指標間之關係。
本研究數值分析係採用Pan(2004)文中所提及QFP (Quad Flat Package，塑料方型扁平式封装)電路板焊接 之實際資料進行分析。該製程之品質特性為晶片與主機板焊接時的焊接體積，焊接體積過大或過小皆須報 廢，故為雙邊望目規格。一般電子業之製程能力指標Cp值須達到1.67，即不良率為0.54p.p.m，因此就傳統 上均將規格上、下限制定在製程目標值加減5倍標準差(即T±5σ)範圍，然而此做法並未將製程的報廢及檢 驗成本納入考慮，且無法降低運送到顧客手中產品的製程變異，因此本研究本利用修正之Kapur經濟模 式，進行印刷電路板焊接體積之最適化工程規格的制定並以厚度0.15mm、孔徑大小0.5mm的QFP焊接體 積，為例說明其制定的方法及步驟。
焊接體積之最適化工程規格制定
步驟一 預檢資料
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QFP焊接體積實驗資料共有264片電路板(Pan, et al., 2006)，由Kolmogorov -Smirnov檢定得知QFP焊接體 積服從常態分配如圖1所示，其中製程平均μ＝0.0507 mm3，製程標準差σ＝0.005 mm3。
步驟二 制定符合QFP焊接體積之RINLF：已知焊接體積的目標值T＝0.059mm3，當焊接體積偏離目標值 時且落在規格上、下限外時，假設單位所可遭遇的最大損失為K1＝K2＝$50 (即對稱損失函數)。至於落在 規格上、下限外時，所造成之單位產品重作成本RC則為＄20。若進行100﹪全面檢驗之單位檢驗成本IC為
$5。而令製程在T±5σ界限上會使RINLF達到最大損失，其中T−5σ＝0.059−5×0.005＝0.034，T＋5σ＝ 0.059＋5×0.005＝0.084，故知焊接體積落在(L,U)＝(0.0465, 0.0715)內不致造成損失，其中L＝0.059−
0.0125＝0.0465，U＝0.059＋0.0125＝0.0715，調整係數σL1＝(0.0465−0.034)/4＝0.0031，σL2＝ (0.084−0.0715)/4＝0.0031。
步驟三 制定QFP焊接體積最適化工程規格：倘若我們利用修正之Kapur經濟模式來降低運送到顧客手中產 品的製程變異時，可將步驟二所制定符合焊接體積之RINLF損失函數的參數代入所推導的理論式TC＝L*＋ q1×SC＋q2×RC＋IC，由於此產品只有重作成本，故其模式可表示成TC＝L*RINLF ＋(1−q)×RC＋IC。已 知TC為η1與η2的函數，接著進行使單位產品之平均總期望損失TC最小的經濟工程規格的制定，其數學式 可寫成
Min{η1,η2:TC(η1,η2)=L*RINLF+(1-q)×SC+IC
藉由本文提供的程式(詳見潘2009)可以求得，當Min{TC(η1,η2)}=7.2421時，最佳解為η1=1.4653及 η2=4.7846，我們將最佳解η1與η2代入最適化工程規格上、下限的公式(LSL,USL)＝(μ-η1σ, μ+η2σ)中，
即可求得最適化工程規格下限為
LSL＝ μ - η1σ = 0.0507-1.4653×0.005= 0.0434
，而最適化工程規格上限為
USL＝μ +η1σ=0.0507+4.7846×0.005=0.0746
，其中η1與η2的範圍為
現將我們所制定的QFP產品焊接體積最適化工程規格(LSL,USL)、RINLF及其機率密度函數N (0.0507,0.0052)之關係繪如圖1所示。
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圖1 焊接體積之(LSL, USL)、RINLF及機率密度函數N(0.0507,0.0052)之示意圖
即使在非對稱損失下其報廢成本與重作成本不相同時，我們可將資料輸入至本文提供的程式，便可得知在 不同的損失函數下最適化規格界限與最小總成本。同樣地，以相似的步驟利用RINLF、INLF及修正田口二 次損失函數與各別的平均總期望損失，求得QFP產品焊接體積最適化規格界限及最小總成本，如表1所示。
表1. 焊接體積最適化工程規格制定之比較
由表1得知，對監控焊接體積產品品質而言，若使用RINLF損失函數則有最小總單位成本，而焊接體積最 適化工程規格界限為(0.0434, 0.0746)，此最適化的規格界限。最後將QFP產品焊接體積之預檢資料、
RINLF之參數設定及其最適化工程規格之制定整理如表2所示。
表2 QFP產品焊接體積之預檢資料及利用RINLF制定最適化工程規格之結果
結論
在工業產品之生產過程中，工程規格之制定與損失函數之選取方式均可能影響品質成本的估算。因此，本 研究利用製程能力指標與單位產品期望損失之對應關係及合理性得知RINLF損失函數在制定最適化對稱及 非對稱工程規格時較田口二次損失函數與Spiring之INLF損失函數為適當。在修正之Kapur經濟模式下，藉 由RINLF損失函數模式來制定最適化工程規格之研究成果可運用在各種高科技產品之製程中。如此將更能 權衡生產者成本與顧客所遭受之損失以達到雙贏之生產策略。
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茲將本研究之成果與貢獻簡述如下：
1. 由於當產品超出規格上、下限時的重作或報廢損失成本不相等(SC≠RC)，故本研究對Kapur經濟模 式進行修正，並利用製程能力指標與單位產品平均期望損失之對應關係及合理性得知，RINLF修正 型損失函數所制定的經濟工程規格較適當。
2. 當產品品質特性服從常態分配時，研究結果顯示利用修正之Kapur經濟模式以及RINLF修正型損失 函數可制定出單位產品之平均期望損失最小的經濟工程規格。
3. RINLF修正型損失函數可應用於QFP電路板焊接等高科技產品的經濟工程規格制定上，此一制定工 程規格的模式對電子業在製程監控上有相當大的助益。
(相關參考文獻請參閱原文)
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