國立臺灣大學工學院應用力學研究所 碩士論文
Graduate Institute of Applied Mechanics College of Engineering
National Taiwan University Master Thesis
由柯莫氏因子、穿越頻率和尖端頻率的量測結果推算細 胞的介電性質
Extraction of the Cell Properties from the Measurements of Clausius-Mossotti Factor, Crossover Frequency and
Peak Frequency
孫佩豪 Sun, Pei-Hao
指導教授﹕李雨 博士 Advisor: U. Lei, Ph.D.
中華民國 100 年 7 月
July, 2011
I
致謝
首先，我必須對我敬愛的指導老師， 李雨教授致上最高的感激之意，若沒 有您在我感到不知所措時的耐心指導，本論文將無法完成。在這短暫卻也不短暫 的兩年中，您的指導讓我學會了許多不只是學業方面，同時也是做人處事方面的 道理。其次，我必須感謝我的雙親、弟弟、女朋友、實驗室的夥伴們以及所有在 我碰到困難時給予我鼓勵以及支持的人，你們都是我的貴人，沒有你們，這兩年 的學習生涯將會比現在更加難熬。第三，我必須感謝口試委員胡文聰教授以及楊 政穎教授，謝謝你們對我的研究給予適時並且相當受用的意見，沒有你們，我的 論文將不會更好。最後也必須感謝台大醫學院的楊泮池教授提供本研究中所使用 到的CL1-0 和 CL1-5 肺癌細胞，同時也必須感謝台大醫學院的吳明賢教授提供本 研究中所使用的Colo205 大腸癌細胞，沒有你們的協助本研究將無法順利進行。
II
摘要
本篇論文的目的主要是闡述如何使用實部柯莫氏因子(Clausis-Mossotti factor;
簡稱 CMF)、介電泳中的穿越頻率( fco)以及電旋轉中的尖端頻率( fpk)的量測來推 算生物細胞的介電性質。本文提出理論及計算步驟，並以文獻中現有實驗數據及 本研究所補充的實驗數據作驗證。在本論文中所使用的生物細胞為肺癌細胞CL1-0、
高侵略性肺癌細胞CL1-5 和大腸癌細胞 Colo205。
在現有文獻中與本論文中，CMF 在不同的施加電場頻率(從 10kHz 到 40MHz) 以及不同溶液導電度中(從 0.01 到 1(S/m))被量測出。根據 CMF 的定義，本文中利 用被量測出的CMF 搭配最佳化計算得到生物細胞的介電性質。結果顯示，對 CL1-0、
CL1-5 和 Colo205 三種生物細胞而言，細胞膜的電容值(介電係數與細胞膜厚的比 值)隨著施加電場頻率改變的幅度相當小，為 4.97~5.92(mF m/ 2)；然而，對細胞膜 電導值來說(導電度與細胞膜厚的比值)，CL1-5 的 921~997(S m/ 2)卻約為 CL1-0 與 Colo205(561~603 S m/ 2)的兩倍；在原生質介電係數部分，CL1-5 的 72~101 略小 於CL1-0 與 Colo205 的 78~142。此外，dispersion 的現象，意即生物細胞電性隨施 加電場頻率改變的現象，也在原生質的介電係數與導電度中被觀察到。
在現有文獻中，利用穿越頻率與尖端頻率的實驗數據去計算生物細胞電的方 法是存在的，但在文獻中有提到，利用 f 所得到的細胞膜電導值與利用co fpk所得 到的並不一致，當溶液導電度為0.1(S/m)這個階數時約有三倍的誤差。經由理論上 階數分析，本研究發現此種不一致性主要是因為現有文獻中所使用的直流近似假 設事實上是無法使用的，因此，本研究提出一項修正理論並同時驗證它的可行性。
利用修正過後的理論，本研究中發現，CL1-0、CL1-5 與 Colo205 的細胞膜電容值 分別為7.95、7.27 和 5.24(mF m/ 2)；細胞膜電導值分別為 662、1245 和 512(S m/ 2)；
III
原生質導電度分別為0.935、0.862 和 0.828(S m/ )；原生質介電係數則分別為 93、
114 和 153，此外，以上生物細胞電性均與利用 CMF 所得到的大致相符。
關鍵字：柯莫氏因子、穿越頻率、尖端頻率、介電性質、電容值、電導值、導電 度、介電係數
IV
Abstract
The goal of this thesis is to study how to extract the dielectric properties of cells from the measurements of the real part of the Clausis-Mossotti factor (CMF), the crossover frequency ( fco ) of dielectrophoresis, and the peak frequency ( fpk) of electrorotation. Both the theory and the calculation procedures are proposed and demonstrated using the experimental data in the literature, together with some additional CMF measurements in the present study, which includes the measurements of lung cancer cells CL1-0 and CL1-5, and the colorectal cancer cell Colo205.
In the present CMF measurement as well as those in the literature, CMF was measured for different applied electric frequencies (from 10 kHz to 40 MHz) and medium conductivity (from 0.01 – 1 S/m). The dielectric properties of cells can be extracted according to the definition of CMF together with a suitable cell model using the optimization method. The membrane capacitance (permittivity divided by the membrane thickness) differs slightly for various cells, and are found to be 4.97~5.92
(mF/m ) for different frequencies for CL1-0, CL1-5 and Colo205. However, the 2
membrane conductance (conductivity divided by membrane thickness) of CL1-5 (more invasive in comparing with CL1-0) is 921~997S/m2, which is about twice greater than those of CL1-0 and Colo205 (561~603S/m2 ). The cytoplasm conductivity is 0.842~1.165S/mfor these three cells. The cytoplasm relative permittivity is 72~101 for CL1-5, which is slightly less than 78~142 for CL1-0 and Colo205. The dispersion phenomenon, i.e., the variation of properties with applied electric frequency, is observed for both the cytoplasm conductivity and permittivity.
V
There exists theory and method for extracting the cell properties from the experimental data of f and co fpk in the literature. However, it was also found that the membrane conductance extracted from f is three times greater than that from co
fpkwhen the medium conductivity is of order of 0.1 S/m. Through a theoretical scaling analysis, it was found in the present study that the discrepancy is due to the DC limit approximation employed in the previous theory. A modified theory was thus proposed and validated in the present thesis. With the modified theory, it was found that the membrane capacitance are 7.95, 7.27 and 5.24 , the membrane conductance are 662, 1245 and 512S / m2, the cytoplasm conductivity are 0.935, 0.862 and 0.828 S/m, and the cytoplasm relative permittivity are 93, 114 and 153, respectively, for CL1-0, CL1-5 and Colo205. Note that the above values agree with those obtained using CMF data.
Keywords: Clausis-Mossotti factor, crossover frequency, peak frequency, dielectric properties, capacitance, conductance, conductivity, permittivity.
mF/m2
VI
目錄
致謝 ... I
摘要 ... II
Abstract ... IV 目錄 ... VI
圖目錄 ... VIII
表目錄 ... X
第一章 緒論 ... 1
1-1 研究動機與背景 ... 1
1-2 研究目的 ... 2
1-3 文獻回顧 ... 2
1-4 本文架構 ... 4
第二章 理論 ... 6
2-1 有效偶極矩與柯莫氏因子 ... 6
2-2 等效圓球模型 ... 8
2-3 介電泳力 ... 11
2-4 流體拖曳黏滯力 ... 14
2-5 生物微粒電性的計算 ... 15
2-5-1 利用柯莫式因子計算細胞電性 ... 15
2-5-2 利用穿越頻率以及尖端頻率計算細胞電性 ... 16
2-5-2-1 現有理論 ... 16
2-5-2-2 現有理論的改進 ... 18
2-5-3 最佳化計算 ... 22
第三章 實驗方法與設備 ... 25
3-1 實驗晶片 ... 25
3-2 實驗設備 ... 27
VII
3-3 實驗步驟 ... 28
3-3-1 柯莫氏因子的量測 ... 28
3-3-2 穿越頻率的量測 ... 28
3-4 生物微粒與實驗溶液 ... 29
3-4-1 細胞培養液的製備 ... 29
3-4-2 細胞培養 ... 30
第四章 結果與討論 ... 32
4-1 柯莫氏因子的量測與細胞電性分析 ... 32
4-1-1 理論 ... 32
4-1-2 實驗結果 ... 35
4-1-2-1 柯莫氏因子之量測結果 ... 35
4-1-2-2 細胞電性分析 ... 36
4-1-2-3 細胞 dispersion 效應分析 ... 36
4-2 使用穿越頻率和尖端頻率計算細胞電性的理論分析與傳統理論的改進 ... 37
4-3 穿越頻率的量測與細胞電性分析 ... 40
4-3-1 穿越頻率量測結果 ... 40
4-3-2 細胞電性分析 ... 41
第五章 結論與展望 ... 42
5-1 結論 ... 42
5-1-1 柯莫氏因子的量測與細胞電性分析結果... 42
5-1-2 使用穿越頻率和尖端頻率計算細胞電性的理論分析與現有理論的改進 ... 43
5-1-3 穿越頻率的量測與細胞電性分析 ... 44
5-2 未來展望 ... 45
參考文獻與書目 ... 46
VIII
圖目錄
圖(2-1)介電圓球在均勻電場中的電力線分佈示意圖。 ... 49
圖(2-2)均質球狀微粒的CMF 與操作頻率關係圖。 ... 50
圖(2-3)等效薄膜結構。 ... 51
圖(2-4)圓球在不同高度的雙牆中，黏滯力修正係數與粒子在雙牆中位置的關係。 ... 52
圖(2-5)在不同的參數下，式子(2-29)與(2-34)的比較圖。 ... 53
圖(2-6)在不同的參數下，式子(2-30)與(2-37)的比較圖。 ... 54
圖(3-1)運用微機電技術製造電極晶片的示意圖。 ... 55
圖(3-2)運用微機電技術製造微流道示意圖。 ... 56
圖(3-3)實驗設備。 ... 57
圖(3-4)實驗晶片實體圖。 ... 58
圖(4-1)(A)為本研究使用之晶片設計。(B)為理論上模型化的情形。 ... 59
圖(4-2)CL1-0 在溶液導電度 0.117(S/M)的溶液下，CMF 實部與施加電場頻率的關係。 ... 60
圖(4-3)CL1-0 在溶液導電度 0.014(S/M)的溶液下，CMF 實部與施加電場頻率的關係。 ... 61
圖(4-4)CL1-5 在溶液導電度 0.117(S/M)的溶液下，CMF 實部與施加電場頻率的關係。 ... 62
圖(4-5)CL1-5 在溶液導電度 0.014(S/M)的溶液下，CMF 實部與施加電場頻率的關係。 ... 63
圖(4-6)COLO205 在溶液導電度 0.117(S/M)的溶液下，CMF 實部與施加電場頻率的關係。 ... 64
圖(4-7)COLO205 在溶液導電度 0.014(S/M)的溶液下，CMF 實部與施加電場頻率的關係。 ... 65
圖(4-8)(A)(B)三種細胞的細胞膜電容值與電場頻率的關係。 ... 66
圖(4-9)(A)(B)三種細胞的細胞膜電導值與電場頻率的關係。 ... 67
圖(4-10)(A)(B)三種細胞的原生質介電常數與電場頻率的關係。 ... 68
圖(4-11)(A)(B)三種細胞的原生質導電度與電場頻率的關係。 ... 69
圖(4-12)PETHIG ET AL.,(2005)中，不同的溶液導電度對應不同的尖端頻率與回歸線分析。 ... 70
圖(4-13)PETHIG ET AL.,(2005)中，不同的溶液導電度對應不同的穿越頻率與回歸線分析。 ... 71
IX
圖(4-14)ARNOLD AND ZIMMERMANN,(1988)中，尖端頻率、尖端旋轉速率與溶液導電度的關係。 .. 72 圖(4-15) 三種不同細胞的穿越頻率與溶液導電度的關係。 ... 73
X
表目錄
表(2-1)在不同的溶液與等效圓球的導電度與介電係數的搭配下，穿越頻率存在的情形。 ... 74
表(2-2)按PETHIG ET AL.,(2005)的實驗結果，(2-31A)和(2-31B)式子中，各項的比較。 ... 75
表(2-3)按PETHIG ET AL.,(2005)的實驗結果，(2-32)式子中，各項的比較。 ... 76
表(4-1)三種不同細胞在溶液導電度為0.117(S/M)的溶液中，CMF 與施加頻率的關係。 ... 77
表(4-2)三種不同細胞在溶液導電度為0.014(S/M)的溶液中，CMF 與施加頻率的關係。 ... 78
表(4-3)不同細胞在不同溶液導電度下利用CMF 所計算出的細胞電性。 ... 79
表(4-4)三種不同細胞在溶液導電度為1.1(S/M)的溶液中，CMF 與施加頻率的關係。 ... 80
表(4-5)三種不同細胞在溶液導電度為0.105(S/M)的溶液中，CMF 與施加頻率的關係。 ... 81
表(4-6)三種不同細胞在溶液導電度為0.0112(S/M)的溶液中，CMF 與施加頻率的關係。 ... 82
表(4-7)不同細胞在不同溶液導電度下利用CMF 所計算出的細胞電性。 ... 83
表(4-8A)CL1-0 和 CL1-5，細胞電性與電場頻率的關係。 ... 84
表(4-8B)COLO205，細胞電性與電場頻率的關係。 ... 85
表(4-9)各種不同簡化級數的定義與使用條件。 ... 86
表(4-10) 相同數據使用五級簡化模型的結果比較。 ... 88
表(4-11)相同數據使用不同級級簡化的結果比較。 ... 89
表(4-12) 三種不同細胞的穿越頻率與溶液導電度的關係。 ... 90
表(4-13) 利用表(4-12)的數據使用五級簡化模型的結果比較。 ... 91
1
第一章 緒論
1-1 研究動機與背景
近年來，由於微機電(MEMS)製程的發展，使現今實驗尺度已經可以下探至微 米甚至奈米等級，對生物實驗來說，此一尺度恰巧與細胞、蛋白質以及病毒相近，
因此近年來有相當的的研究利用微機電製程達到生物微粒操控、檢測以及量測等 目的，也就是所謂的生物晶片研究。利用生物晶片做研究擁有實驗速度快、成本 低廉、製程容易、體積輕巧以及樣本少量等優勢，相較於傳統的生物醫學儀器的 使用方式，使用生物晶片是省時省力又省錢的一個好方法。
生物細胞的介電性質對於生物研究來說是非常重要的一個參數，介電性質除 了可以代表細胞內部的性質之外，來可以用來做很多生物上的應用，如細胞分辨、
細胞分離、細胞傳輸以及細胞操控等。事實上，由於使用生物儀器大多費時且需 要大量的經費，所以現在除了利用生物儀器的方法來量測細胞電性之外，已經有 許多人(Pethig et al., 2005、Huang et al., 1996、Arnold and Zimmermann, 1988 等)使 用微機電技術搭配介電泳(Dielectrophorises)，利用力學的方法來進行細胞內部電性 的量測。
在使用介電泳的技術時，柯莫式因子(Clausius-Mossotti factor; 簡稱 CMF)是一 個相當重要的參數，事實上，CMF 對於介電泳的重要性就相比於楊氏係數對於材 料的重要性，它可以決定細胞在特定電場下所受的介電泳力大小，同時，它也是 由生物細胞以及周邊溶液的特性所共同決定，因此，一旦有辦法將CMF 定量的話，
就可以其來進行更多的生物應用以及生物細胞內部電性的量測。很不幸地，由於 介電泳在具有邊界下的效應尚未被廣泛地使用，現在既有的文獻中，鮮少文獻有 提到任何方法將CMF 定量化，大多文獻使用的方式是將一個定性得到的實驗現象，
2
並加以推論出一些在 CMF 中屬於特例的相關的數據，如：穿越頻率(Crossover Frequency)以及尖端頻率(Peak Frequency)等，再利用這些特殊的點，利用特定的理 論，去推算出生物細胞的介電性質以及內部特性。很可惜的是，使用這些方法雖 然可以估算出生物細胞的介電性質，但卻無法了解在這些特殊點上以外的CMF 分 布情況或是在其它頻率下，生物粒子所受介電泳力的情形。再者，想要利用理論 的方法從特定的頻率點去計算細胞電性必須要能確定立論的準確性以及特定的理 論所能使用的特定條件，唯有如此，此方法得到的細胞電性以及內部性質才可靠。
此外，對進行微粒操控理論模擬與晶片設計的人而言，也需要知道微粒的CMF 才 可以開始工作。所以，使用一個具可靠性的晶片量測出生物細胞的CMF 以及提高 使用特殊頻率去推論出的細胞電性的考靠度就是本研究中所要去積極探討的。
1-2 研究目的
本研究中主要有兩個目的，其一為利用經過設計以及計算分析過的晶片去量 測低侵略性肺癌細胞(CL1-0)、高侵略性肺癌細胞(CL1-5)以及直腸癌細胞(Colo205) 的CMF，再進一步的利用所得到的實驗數據，透過適當的理論去計算出生物細胞 膜的內部電學性質。再者，在現有文獻(Pethig et al., 2005)中有提到利用尖端頻率以 及穿越頻率所推算出的細胞電性的不準確性，所以在本研究中將重新檢視現有理 論中的假設，並且進一步歸納出其不準確發生的可能性以及原因，並修正現有理 論，以便日後欲使用此法計算細胞電性的研究者可以更加準確地計算細胞電性以 及內部性質。
1-3 文獻回顧
基本的介電泳現象最早已在Pohl(1951)中描述，介電溶液中的介電粒子可利用 其受電場極化的差異產生電偶級距。當空間中電場分布不均勻時，其電場會與誘
3
導電偶極矩產生交互作用，使粒子受到一種非接觸力，並往電場中的特定方向移 動，此力稱之為介電泳力(Dielectrophoresis; DEP)。
在理論面部分，介電泳力的數學理論模式在 Pohl(1978)、Wang et al.(1993)、
Huges(2003) 、Jones(1995,2003)等中被推導出，根據文獻中指出，介電泳力除了與 溶液的介電係數、粒子半徑以及電場大小有關外，還與誘導偶極矩的實及虛部有 相當大的關係。其中實部的部分即為當初最早發現的介電泳力，稱之為傳統式介 電泳(Conventional dielectrophoresis; 簡稱 cDEP)，與電場的梯度有關；另外，與虛 部 的 部 分 相 關 的 稱 之 為 旅 波 式 介 電 泳 (Travelling wave dielectrophoeesis; 簡 稱 twDEP)與相位差的梯度相關，最後與相位差相關的稱為電旋轉(Electrorotation; ER)，
會產生一力矩使粒子旋轉。事實上，大多數的介電泳數學理論模型建立在無邊界 的溶液情況下，包含對圓球(Jones,1995,2003)和橢圓球(Yang and Lei,2007b)擬穩態 的分析以及暫態分析(Yang and Lei ,2006,2007a)，但在實際應用面上來說，我們的 生物細胞永遠是在一個有邊界的溶液情況下工作，於是Lo and Lei(2009,2010)提出 了在具有邊界的情況下，介電泳力的修正方法，使理論應用更加完整。上述傳統 式介電泳、旅波式介電泳與電旋轉可統稱廣義介電泳(Generalized dielectrophoriese;
簡稱gDEP)，近日，Lei and Lo(2011)就廣義介電泳做了一詳細的統整及回顧。
在應用面部分，Pethig 和 Markx(1994)就介電泳在生物科技上的應用做了一個 介紹，更詳細的介紹也可在Huges(2003)中看到。近年來，介電泳在細胞應用上愈 來愈廣泛，如Hu et al.(2005)將其應用在血球細胞的分類上、Ho et al.(2006)將其應 用在肝細胞上以及Flanagan et al.(2008)將其應用在分辨不同幹細胞上。
Pethig et al.(2005)、Huang et al.(1996)以及 Arnold and Zimmermann(1988)等利用 實驗得到穿越頻率以及尖端頻率，並且利用現有的理論推算出不同生物細胞細胞 膜的電容值(capacitance)以及電導值(conductance)，但也在 Pethig et al.(2005)中的文 末提到利用此法所得到的細胞膜電導值的不準確性。
4
1-4 本文架構
本篇論文共計有五章。
第一章對CMF、細胞電性以及內部性質對於理論和應用面的重要性做大略的 介紹，並且對本研究的目標做了基本的闡述，最後回顧了介電泳了理論的發展歷 史以及現今存在的應用和需要改善的部分。
第二章主要是介紹與本研究相關的理論部分。一開始會先介紹一介電粒子在 溶液中被電場誘導出的有效偶極矩的發生原因和數學模型，再來定義CMF 以及在 CMF 中所存在的穿越頻率和尖端頻率。下一步會介紹如何將生物粒子的模型化成 我們數學上可使用的式子，於是導入等效圓球模型並且提供特定的符合生物粒子 特性推導出適合的簡化過程。其次會開始介紹生物粒子在實際應用中所受力的情 形，其中包含介電泳力分析、拖曳黏滯力分析、重力和浮力等，並利用牛頓第二 運動定律導出生物粒子在應用中的運動情形。最後探討如何利用穿越頻率和尖端 頻率做生物粒子的電性推算，其中包含現有理論的分析和改進以及研究中所使用 的計算方法等。
第三章為生物晶片製程和生物細胞準備部分。先利用微機電技術分別製造出 電極和流道兩部分，再將它們接合成我們所使用的晶片，以及外部設備使用情形，
同時也介紹如何準備實驗中需要用到的生物細胞。
第四章為實驗結果部分，根據實驗目的可將實驗結果區分為三大部分。第一 部分為利用近牆廣義介電泳所設計出的晶片，根據不同種類的生物細胞去量測得 到不同細胞的 CMF，並利用此得到的 CMF 進一步計算生物細胞電性以及其內部 性質，並且比較以及分析不同種類生物細胞間的不同。第二部分為利用現有文獻 中的實驗數據套用到本研究中所改進的理論，討論及分析改進計算結果的情況，
並且改進文獻中所提到細胞電性計算不準確的問題。第三部分為，利用本研究中 所使用的生物細胞去進行實驗，在將實驗結果套用到本研究中所改進的現有理論，
5
並計算出生物細胞的電性及其內部性質，最後將此部分得到的結果與第一部份得 到的結果做交叉比對分析，得到較準確的細胞電性。
第五章為結論與未來展望。在此章節中會對整篇研究得結果做一個結論，並 且提出為了可以改善以及待解決的部分。
6
第二章 理論
2-1 有效偶極矩與柯莫氏因子
當一個完美介電球在介電溶液中受到單一方向的均勻電場作用時，電力線的 分佈形式會以如圖2-1(b)的方式呈現，此時我們稱為無損耗的情形。但實際應用上 來說，並沒有存在一種完美的導體或是介電材料，所以電力線的分佈會變成如圖 2-1(a)所示，此時我們稱之為有損耗的情形。在我們輸入的交流電頻率遠小於溶液 的特徵頻率的情況下，可適用擬穩態分析，且考慮到電雙層的效應遠小於我們施 加的電壓，所以溶液仍然會保持電中性。根據上述條件，Griffiths(1999)提到在無 損耗的情況下空間中介電球在介電溶液中的電動勢可以表示成
( ) 3
2 ,
p m
sphere
ε −ε R ⋅
Φ = E r
(2-1)
其中εm及εp分別代表溶液與圓球的介電常數，R為圓球半徑，r 代表相對於電偶極 中心的位置向量，純量r即空間中某一點距電偶極中心的距離，E為電場向量。由 靜電學知，空間中偶極矩p與電位勢Φ的關係為
3.
dipole 4
mR πε Φ = p r⋅
(2-2) 比較(2-1)及(2-2)式可得到圓球內部的有效偶極矩peff 施加電場 E
的關係為
4 3( p m) ,
eff m
p m
R ε ε πε ε ε
= −
p + E (2-3)
在有損耗的情況下，介電常數需要做以下修正
*
j ε ε ε σ
→ ≡ + ω (2-4) 將(2-4)代回(2-3)可以得到
7
* *
3 3
* *
4 ( p m) 4 ( ) ,
eff m m
p m
R ε ε R K
πε πε ω
ε ε
= − =
p + E E (2-5)
其中
* *
* *
( ) p m
p m
K ε ε
ω ε ε
= −
+ (2-6) 稱之為Clausius-Mossotti factor(簡稱CMF)。如果將CMF實部與虛部分解，則可得到 以下結果：
r i,
K=K + jK (2-7) 其中
2
2 2
2
( )( 2 ) 1 ( )( 2 ) 1 ,
( 2 ) ( 2 )
p m p m p m p m
r
p m p m
K
ε ε ε ε σ σ σ σ
ω
ε ε σ σ
ω
− + + − +
= + + +
(2-8)
及
2 2
2
3( )
1 .
( 2 ) ( 2 )
m p m p
i
p m p m
K
σ ε ε σ ω
ε ε σ σ
ω
= −
+ + +
(2-9)
由以上兩式可以發現，實部的部份，在高頻以及低頻區都會趨近於一個極限值，
而中間的部份則是一個由一邊極限到另一邊極限的變化過程，而虛部的部份，在 高頻以及低頻區則是都會趨近於零，中間頻率則是會出現一個極值，具體的描述 如圖2-2所示。在適當的溶液中，實部的低頻極限與高頻極限會呈現異號，而在轉 變過程中必定會出現一個穿越點，若取實部為零所對應的頻率我們稱為穿越頻率 (Crossover Frequency)，可表示如下
( )( 2 )
1 .
2 ( )( 2 )
m p p m
co
p m p m
f σ σ σ σ
π ε ε ε ε
− +
= − + (2-10)
若要使穿越頻率存在，則溶液與介電球的電性需要有特殊的搭配如表2-1所示。穿 越頻率在應用上有許多層面的意義以及用途，它代表著當介電球受到傳統介電泳
8
(Conventional DEP)力作用時會以正介電泳(Positive DEP)還是負介電泳力(Negative DEP)的方式呈現，此現象可應用於許多層面，如類似細胞分離、不同細胞分辨等，
同時，它也代表著介電球內部的電性，可藉由量測穿越頻率來了解生物粒子的內 部性質。另一方面，若我們對虛部的極值有興趣則可以取CMF虛部的一次導數為 零，此時可以得到所謂的尖端頻率(Peak Frequency)，可表示如下
1 2
2 2 .
p m
pk
p m
f σ σ
π ε ε
= +
+
(2-11) 尖端頻率代表著在電旋轉中(Electro-rotation; ER)所受到最大的力矩時的頻率，也代 表著在旅波式介電泳中，所受到最大的旅波式介電泳力的頻率。當然，它同時也 可以代表生物粒子內部的電性；與穿越頻率相同，我們也可利用尖端頻率來了解 生物粒子內部的性質。2-2 等效圓球模型
生物粒子並不如一般的聚合物是一種均勻分佈的物質。首先，生物微粒的形 狀並不是圓球型，而是針對不同種，甚至同種不同個體的生物微粒有所改變。再 者，生物微粒並不是從裡到外都是均勻的電性分佈，例如細胞內部的原生質與細 胞膜的性質差異就非常大，而比較像一種多層結構的介電粒子，如圖2-3所示。所 以在此處我們採用薄膜層理論(Thin Surface Layers Theory,Jones,1995)，以一個等效 的介電球來模型化我們的生物微粒。如圖2-3所示，若將具有雙層結構的介電球等 效成一個等效介電球，則等效介電常數可以表示成
3 * *
1
* *
2
3 * *
1
* *
2
2 2
. 2
p s
p p s
p p p
p s
p s
R j R
R R
ε ε
σ ε ε
ε ε ε
ω ε ε
ε ε
∗
−
+ +
≡ − =
−
−
+
(2-12)
在本研究中是將生物微粒模型成一個具有外層細胞膜與中間原生質部分的同
9
心圓，亦即如圖2-3所示一般。並且，根據生物微粒特性，細胞膜厚度(d = − )R1 R2
的部份往往是遠小於整個細胞的半徑大小(約千分之一)，所以R1≈ ，並將介電常R2 數與導電度分開，此時，可再進一步將(2-12)式寫為
2 2
2 2
2
1 1
( )( ) ( )( )
( ) 1 ( )
p s p s s p s p s p s p
p
s p s p
d d
R R
d d
R R
ε ε σ σ ε ε σ ε ε σ σ σ
ω ω
ε ε ε σ σ
ω
− + + + +
= + + + (2-13)
及
2
2 2
2
( 1 )( ) ( )( )
( ) 1 ( )
p s p s s p s p s p s p
p
s p s p
d d
R R
d d
R R
ε ε σ σ σ σ σ ε ε σ ε ε σ ω
ε ε σ σ
ω
− − + + + +
= + + +
(2-14)
其中σp及εp(下標p表示細胞內部原生質)分別為細胞內部原生質的導電度與介電 常數，σs及εs(下標s表示細胞膜)分別為細胞膜的導電度與介電常數，d為細胞膜厚
度，R= 為細胞半徑，ω為所施加的電場頻率。在實際應用時，我們可將生物微R1 粒內部性質的階數代入上兩式子中，做進一步地簡化。根據Gimsa et al.(1996)，就 人 類 紅 血 球 ， 其 細 胞 性 質 為 εs =8.445 ,ε σ0 s =3.6μS m/ ,εp =212 ~ 50 ,ε0
0.4 ~ 0.535 /
p S m
σ = ，其中原生質的性質會隨頻率由低而高改變。雖然不同生物微
粒間細胞性質各有差異，但階數上來說是差不多的，所以我們可以簡單的估計一 下各個性質的階數如
6 2
0 0
10 , 10 / , 10 , 1 / .
s s S m p p S m
ε ≅ ε σ ≅ − ε ≅ ε σ ≅ (2-15a) 將此估計階數代回(2-13)、(2-14)中，將與頻率有關與無關的項分開並簡化可得到結 果如下
10
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 p
s p s
p
p s
R
R
σ δ
ε ε ε
ε ω
ε σ δ ω
+
≅ +
(2-15)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 p
s p s
p
p s
R
R
σ δ
ε σ σ
σ ω
ε σ δ ω
+
≅ +
(2-16)
這兩式子在忽略的過程中並沒使用到頻率部分的忽略，所以可以使用在任何頻率，
且忽略的項目至少與主要項目差三個階數以上，是個十分可靠的近似。更進一步 地，將(2-15)、(2-16)中各項再進一步的階數分析，如
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 29 25 2 20 24
2 2
( ) ( ) ~ 10 ,s p p s ~ 10 , s p ~ 10 , p s ~ 10
R R
σ δ σ δ
ε ε ε ε σ σ
ω ω
− − − −
， 可 將
(2-15)再次簡化為
( ) ( )
2 2
2 2 2
2
,
p s p
p s
R R σ ε δ ε ω
ε σ δ ω
≅
+
(2-15b)然而，(2-16)卻無法再將次要項(差三個階數以上)丟掉的情況下再次簡化。我們將 (2-13)以及(2-14)中表示等效介電常數與等效導電度代入(2-8)中，即可得到一個由細 胞膜與原生質電性所表示的CMF實部。相同地，如果將此兩式代入(2-10)(或(2-11))，
可以得到一個如此一來由細胞膜與原生質電性所表示的穿越頻率(尖端頻率)，只要 實驗量測出CMF實部或是穿越頻率(或尖端頻率)，就可以利用式子推算出細胞膜以 及原生質的電性。
11
2-3 介電泳力
當一粒子處在不均勻的電場當中時，因為被偏極化的粒子兩端所受電場向量 不同，就會產生介電泳力。在無邊界的電場中，其淨作用力如下(參考Jones, 1995)
( ) ( ),
q q
= + −
F E r a E r (2-17)
其中a為由負電荷中心到正電荷中心的位置向量，在a →0時，對(2-17)式第一項 用泰勒展開式展開後可得粒子的受力為
dipole = ⋅∇ ( ).
F p E r (2-18)
如電場為三度空間與時間的函數，則擬穩態交流電場可依其向量的分量型式寫出 (Wang et al., 1994)為
0 0 0
ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
( , , ) cos( ( , , ))ˆ ( , , ) cos( ( , , ))ˆ ( , , ) cos( ( , , ))ˆ
x y z
x x
y y
z z
E E t i E t j E t k E x y z t x y z i E x y z t x y z j E x y z t x y z k
ω ω ω
= + +
= + Φ
+ + Φ
+ + Φ
(2-19)
其中Ex0,Ey0,E 表電場的各方向分量大小，而z0 Φ Φ Φ 則為各方為相位，x, y, z i j k 為ˆ ˆ, ,ˆ x, y, z方向上的單位向量。
將 (2-19)式代入(2-3)式後，再代入(2-18)式即可得到瞬時介電泳力。因為電的 作用週期遠小於微粒運動的時間尺度，故我們對其時間作單位周期的平均，最後 可整理出粒子在無邊界電場中所受到的時間平均介電泳力(Wang et al, 1994)為
3 2 3 2 2 2
0 0 0
( ) 2 2 ( )
( ) ( ) ,
m r rms m i x x y y z z
cDEP twDEP
t R K E R K E E E
t t
πε πε
= ∇ + ∇Φ + ∇Φ + ∇Φ
= + F
F F
(2-20)
其中R為粒子半徑，
2 2 2
0 0 0.
2
x y z
rms
E E E
E + +
=
由 (2-20) 式 可 以 看 出 介 電 泳 力 區 分 為 兩 項 ： 其 中FcDEP( )t 稱 為 傳 統 介 電 泳 力 (Conventional DEP)，其受到CMF的實部影響，Kr的正負會決定此為正介電泳或者
12
為負介電泳，且介電泳力也與其大小成正比。除此之外介電泳力也與粒子尺寸成 三次方正比，與電場方均根的平方的梯度成正比；另一項FtwDEP( )t 為旅波介電泳 力(Traveling Wave DEP)，其大小與Ki成正比、與粒子尺寸成三次方正比、及與電 場分佈和相位變化有關，在本次研究中，並無使用到旅波介電泳。
(2-20)中所描述的是一個粒子在無邊界的溶液中所受的介電泳力的情況，但實 際應用上來說，我們所使用的永遠是一個有邊界的溶液環境。在這種情況下，我 們必須考慮粒子本身在被極化的情況下產生的有效偶極矩所產生的額外電場，此 一電場會對粒子本身所受到的介電泳力產生加總的效果，按邊界的電性有可能是 加強或是減弱其大小，也依照粒子在邊界中的位置而定。對於此種情況下的介電 泳力在文獻中(Lo and Lei, 2009; 羅英傑, 2010)有提到，利用鏡像法可推導出當一個 圓球介電粒子被置放於一單牆邊界空間中，其介電泳力可表示如下：
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3
2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0
2 2 2 2 2
0 0 0
2 2
/ 2 / 2
2 2
3 2 / 2 ˆ
3 4 / 2
( ) ( )
m m
r i x y z
r i x x y y z z
x y z
r x y z
t t
R R
K K
K h y
K h
E E E
K K E E E
E E E
K E E E
πε πε
ϕ ϕ ϕ
∞
Δ − + +
Δ ∇ + ∇ + ∇
± Δ + +
− Δ + +
=
∇ F F
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
0 0 2 2
0 0
ˆ
3 cos 3 sin / 2
3 cos 3 sin / 2 , (2-21)
r x y i x y x y
r y z i y z y z
y
K E E h x
K E E h z
K K
K K
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
− Δ − + −
− Δ − − −
其中
( ) t
F
∞表無邊界時的介電泳力，如(2-20)所示，=( )
32
R
Δ h
，R為粒子半徑，h表粒子中心點與牆的距離，
K
2= K
r2+ K
i2。 在本研究中是將粒子放置在流道中，屬於雙牆邊界的情形，若將介電粒子至於高度H的雙牆中，則介電粒子在此情況下 的受的介電泳力可以表示成：
13
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3
2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0
2 2
/ 2 / 2 + 2 +2 3 2 / 2 ˆ
( ) ( )
m m
r i a b x z a b y
r i a b x x z z a b y y
c x y z
t t
R R
K K S S S S
S S S S
K S h y
E E E
K K E E E
E E E
πε πε
ϕ ϕ ϕ
∞
− Δ ± +
Δ ± ∇ + ∇ ∇
± Δ + +
=
∇ ∇
F F
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
0 0 0
2 2
0 0
2 2
0 0
3 4 / 2 ˆ
+ 3 / 2 3 cos 3 sin
+ 3 / 2 3 cos
r c a b x z a b y
x y c a b r x y
a b i x y
y z c a b r y z
K S S S S S h y
K E E h S S S
S S x
K E E h S S S
K E E E
K K
K
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
− Δ ± + +
Δ − ± −
− −
Δ − ± −
( ) ( )
+ 3Sa Sb Kisin ϕ ϕy − z z, (2-22) 其中介電粒子被放置於y=h(其中R< < −h H R)，
( ) [ ]
{ }
3 3 3
1
1 1 / / ,
a n
S h n h H n h H
H
∞ − −
=
= + − + + −
3
3 1
2 ,
b n
S h n
H
∞ −
=
=
及
( ) [ ]
{ }
4 4 4
1
1 1 / / .
c n
S h n h H n h H
H
∞ − −
=
= + − + − −
由上式中可發現，當雙牆距離無限大時，Sa →1，Sb →0，Sc →1此時(2-22)可 簡化成(2-20)，即無邊界時的介電泳力。事實上，(2-22)中並不是每一項都這麼重要，
原因是因為在實際應用時Δ往往都小於0.1，因此，在應用上我們使用(2-22)時往往 都只取乘以Δ一次方的項，而忽略乘以Δ二次方的項，意即使用(2-22)中的前三行 的部分。
14
2-4 流體拖曳黏滯力
在本研究中，粒子在流體中移動主要受到的力是介電泳力以及流體拖曳黏滯 力。對一個直徑約15微米以每秒50微米的速度在水溶液中移動的圓球粒子來說，
此時的雷諾數是遠小於1，所以我們可以使用史托克流體模型(Stokes’ Flow)來計算 流體拖曳黏滯力。當粒子在具邊界的溶液中移動時，其拖曳黏滯力可以寫成(Happel and Brenner,1986)：
drag =6πμR Cd
F U
(2-23) 其中U為粒子與流體間的相對速度，μ為黏滯係數， C 為具邊界溶液中的拖曳黏d 滯力修正係數。關於C 的求法，在文獻中有提到(Happel and Brenner,1986)，當一d 個圓球粒子沿著上下兩牆壁做直線運動時，其修正係數可以表示成：
3 5
1
1 (R / ) (R / ) (R / ) Cd
A l B l O l
= − + − (2-24) 其中
2 3 3 2
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
3(1 )
( (1 )((1 ) 1) (1 )((1 ) 1)
4 ( 1)
4 (2(1 ) 2 1) 2 ((3 ) ) 2 ((3 ) ) 4 (2(1 ) 2 1)
9(1 ) 2
(1 )((1 ) 1) (1 )((1 ) 1))
8 1
h x
A s t h h x s t h h x
N st
s t h x x st h x h s t h x h st h x x
h s t
s h h x t h h x dx dx
st
∞
∞
= − − − − + + + −
−
+ − − + + − − + − + − − + +
− + −
+ − − + + + + + +
−
3 2
2 2 2
0
3 3
2 3 3 2 2 2
0
3
2 2
0
(1 )
( (2(1 ) 1) (2(1 ) 1) ((4 1) 1) (2(1 ) 1) 8
(1 )
(2(1 ) 1) 2) ( (1 ) (1 ) (8 4) 4 ( 1)
(1 ) (8 2 ) (8 2 ) (8 4) (1 ) (1 ))
8 h x
B st h x s t h x st x t h x
N
h x
s h x dx s t h s t h s t x
st N
st x h s t x h st x s h t h dx h
∞
∞
∞
= − − − + + − + − + + + +
+ − + − + − − + + + −
−
− − − + + + − − − + − − 2 2
1 x s t dx
st + −
−
2 2 2 (1 ) 2 (1 )
( 1) 16 , , , 1 ,
,R h
x h x h l
N st x st s e t e h
L l
− +
= − − = = = −
為粒子距離牆壁的較短距離,L為兩牆壁半間距 為粒子半徑。注：此處 與前定義不同。
15
由以上式子可知黏滯修正係數是由粒子半徑、兩牆壁高度以及粒子距離牆壁 高度所共同決定，在本研究中所使用的生物微粒直徑約為15微米，所以此種粒子 在不同流道高度下所得到的黏滯修正係數如圖2-4所示，在圖中可發現，由於邊界 層的關係，當雙牆距離愈小時修正係數會愈大，且當粒子愈靠近牆邊時，修正係 數也會愈大，符合我們的認知。
綜合以上各種力，我們可得到粒子完整的三維運動方程式為：
cell drag DEP buoyancy
M d
dtV = + +
F F F (2-25) 其中Mcell為粒子的質量，(2-25)式中等號左邊為慣性項，等號右邊第一項為拖曳黏 滯力，第二項為介電泳力及第三項為浮力。由以上各種力的平衡，經過適當的結 構設計可以拿來測量生物微粒的CMF以及穿越頻率等。
2-5 生物微粒電性的計算
在本研究中，我們嘗試使用兩個方法來計算生物微粒的電性，以期望進行交 叉比對增加準確度，此兩種方法分別由透過CMF以及穿越頻率(或尖端頻率)的測量，
加上理論的計算所構成。
2-5-1 利用柯莫式因子計算細胞電性
由(2-8)式可知，CMF是由七個參數所決定，分別是施加電場頻率、溶液的導 電度和介電常數、及生物微粒的等校導電度和介電常數、生物微粒的半徑以及細 胞膜厚度等，其中施加電場頻率以及溶液的特性是本研究的實驗參數。再者，由 (2-13)以及(2-14)式可知，生物微粒的等效導電度以及介電常數可利用近似，進一步 由生物微粒中細胞膜的導電度和介電常數以及原生質的導電度和介電常數所決定。
16
將(2-13)以及(2-14)代回(2-8)式，即可得到由生物微粒中細胞膜的導電度和介電常數 以及原生質的導電度和介電常數所決定的CMF，表示如下：
2
2 2
2
( )( 2 ) 1 ( )( 2 ) 1 ,
( 2 ) ( 2 )
p m p m p m p m
r
p m p m
K
ε ε ε ε σ σ σ σ
ω
ε ε σ σ
ω
− + + − +
= + + +
(2-26) 其中ε 及p σ 如(2-13)及(2-14)式所示。 p
如此一來，只要實驗給定特定的溶液以及電場頻率，即可利用量測出來的CMF計 算出生物微粒的內部電性。
2-5-2 利用穿越頻率以及尖端頻率計算細胞電性
2-5-2-1 現有理論
傳統文獻(例如Pethig et al., 2005、Huang et al., 1996、Arnold and Zimmermann, 1988等)中已經有許多人利用穿越頻率或尖端頻率來計算生物微粒的特性，但其計 算重點大多集中於細胞膜上，而關於細胞內部原生質的計算則十分稀少。其理論 方法大多是將等效的細胞導電度以及介電常數做一個所謂的直流假設，如此即可 得到在直流假設的情況下，細胞的等效性質是由細胞膜部分主導，其形式如下：
DC
p p s
R
ε =ε ≡ d ε (2-27a)
DC
p p s
R
σ =σ ≡ dσ (2-27b) 其中R為細胞半徑，d為細胞膜厚度，下標DC表示直流假設。事實上，若我們將(2-15) 以及(2-16)式中的頻率取直流頻率，則也可以得到(2-27中所謂的直流r近似假設的結 果。在穿越頻率部分，若將上式(2-27)代回(2-10)並經過一些近似(εm<< )以及電εp
17
性轉換可得
2 2 2
2 (4 ) 9
co 8 m s s
s
f RG R G
RC σ
= π − − (2-28)
其中Cs s d
=ε 為細胞膜電容值(Capacitance)，Gs s d
=σ 為細胞膜電導值(Conductance)。
再進一步將(2-28)做近似以及泰勒展開式可得 2 2
2 8
s
co m
s s
f R G R
C σ C
π π
= − (2-29)
由上式(2-29)可看出穿越頻率與細胞半徑的乘績(f Rco )恰巧與溶液的導電度(σm)呈 現一個線性關係，如此只要利用不同的溶液導電度搭配量測到的穿越頻率即可利 用斜率及截距計算細胞膜的電性。此外，在尖端頻率部分，將(2-27(a),(b))代入(2-11) 並利用與上述相同的假設則可得到
2
m s
pk
s s
f R G R
C C
σ
π π
= +
(2-30)由上式也可以發現尖端頻率與細胞半徑的乘積( f Rpk )與溶液導電度(σm)呈現一線
性關係，可利用此關係透過實驗計算出細胞膜的電性，C 與s Gs。
再者，若要確定此法可用還需要確定其準確度，因此，本研究中利用Pethig et al., (2005)中所給的實驗數據來做以下分析來確認利用斜率以及截距來計算細胞膜 的電容值以及電導值的可靠度。根據Pethig et al., (2005)的實驗結果，在電旋轉(ER) 部分，其結果可分為高溶液導電度(σm = 48.7mS/m~101.4mS/m)以及低溶液導電度 (σm =11.5mS/m~42.5mS/m)兩部分來看，其結果如下兩式所表示
1 1
0.0299 0.0207, for 11.5mS/m 42.5 mS/m
f R
pk= σ + ≤ σ ≤
(2-31a)0.0311 0.0147, for 48.7mS/m
1101.4 mS/m
pk m
f R = σ + ≤ σ ≤
(2-31b)18
我們將上兩式與(2-30)做係數對照，將結果整理如表(2-2)所示。從表上我們可以觀 察出，與電容值相關的第二項以及第一項是在相同的階數上，但與電導值相關的 第三項卻與前兩項差兩個階數以上，甚至比實驗值的標準差還要小一個階數，如 此意味著若我們想要利用此方法去得到較可靠的電導值必須將實驗誤差壓低在1%
以下。很不幸地，對生物實驗來說非常困難。雖然此方法對於電導值的計算有著 不小的不確定性，但對於電容值的計算卻是相對可靠的，因為與電容值相關的第 二項與實驗值的平衡是屬於主要項的平衡，比較不會因為一點誤差而發生巨大的 改變。另一方面，利用相同的方法來分析DEP的部分，同樣根據Pethig et al., (2005)，
其結果為
0.0226 0.018, for 48.7mS/m 101.4 mS/m
co m m
f R = σ − ≤ σ ≤
(2-32) 摘要結果如表(2-3)所示。其與ER部分相同的現象一樣在DEP部份發生，所以我們 一樣可以推論，在電容值的部分計算結果是可靠的，但電導值的部分不確定性則 扮演一個重要的腳色，事實上，在此文獻的討論上有提到其ER與DEP所測得的電 導值不一致的問題，比較表(2-2)及(2-3)，由DEP所算出的G 較由ER算出的高約三s 唄。2-5-2-2 現有理論的改進
由上節我們已經知道現有理論有其缺失以及計算誤差會發生的地方，因此，
在本研究中，改善電導值計算的結果會從簡化的過程中去下手，尋找是否有不適 當或是過度簡化的情況。
在現有理論中可將穿越(尖端)頻率和細胞半徑的乘積與溶液導電度表示成線 性關係的重要假設就是在(2-27)中提到的直流極限假設。但在各文獻中(Pethig et al., 2005、Huang et al., 1996、Arnold and Zimmermann, 1988等)所使用的頻率大多是在
19
1MHz左右的階數，顯而易見的，它不是所謂的直流，於是我們將此頻率以及我們 已知的生物微粒的特性一起代回(2-15)及(2-16)式做階數分析。在(2-15)式中，當頻
率 在 1MHz 時 ， 其 各 的 階 數 約 為
2 2 2 2 2
4 8 2 4
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
10 , 10 , 10 , 10
p p p
s s d s d
R R
ε σ σ
ε ε ε
ε ε ω ε ε ε ω ε
≅ ≅ ≅ ≅
，
在此情況下，(2-15)至(2-15b)式中的假設是合適的，被忽略的項都比主要項小三個 階數以上。另一方面，在(2-16)式中，同樣的將頻率設定在1MHz時，其各項的階
數約為
2 2 2 2 2
2 2 4
2 2 2 2
0 0 0 0
10 , s p 10, 10 , p 10
s s
p
d d
R R
σ σ σ
ε σ ε
ε ω ε ε ω ε
≅ ≅ ≅ ≅
，
在此情況下，如要令所有被忽略的項均小最大項三個階數以上，則(2-16)式無法再 進一步簡化。
如果我們只保留前兩階的項，則(2-15)式可簡化為(2-27a)式的直流假設結果，
但(2-16)式則變為
( )
2 22 2 2 2 2 22
.
s p
s p
s
p s
p p
d
R R R
d d
d R
ε σ σ σ
ω ε ω
σ σ
σ σ
ω
+
≈ = +
(2-33)
與(2-27b)式的相對直流假設相比，多了(2-33)式中的等號右方第一項，此項即為我 們的修正項。我們可以發現修正項的大小與頻率平方成正比，所以當我們的頻率 在1MHz的階數時，修正項不僅不能忽略，甚至會比直流假設項大一個階數，如果 要讓直流假設成立的話，亦即前一項比後一項小兩個階數以上的話，此時頻率必 須小於30kHz方能成立。
若以(2-27a)與(2-33)式較直流假設更接近真實狀況(但較(2-15b)與(2-16)式差)的
σ 與p ε 代回(2-10)(2-11)式去求得修正之後的穿越頻率和尖端頻率與溶液導電度的p
關係。在DEP的部分，可得
