隨機矩陣的乘積
蔡志賢
(一) 導言
本文最主要的目的是概略地介紹近四 十年來一個廣為研究與應用的數學領域——
隨機矩陣的乘積。 為求簡單起見, 我們將省略 許多數學上的假設。
設A1, A2, A3 . . . 均為 d× d 的隨機 矩陣, ~X(0) = (x1, x2, . . . , xd) 為 Rd 上的 一個非零向量, 令
k ~X(0)k =
q
(x1)2+ (x2)2+ . . . + (xd)2。 我們所想知道的是當n很大的時候 k ~X(n)k= kAn · An−1 · . . .·A1 X(0)k 的增減情形。~ 下面兩個例子可以幫助我們瞭解問題的來源。
例1: 假設有一種生物的生存情形如 以下所描述。 (i) 該生物只在秋天生產下一 代, (ii) 每個個體最長活四年,(iii) 夏天 時為k歲, 而下一個夏天仍活著的比率為bk, k = 0, 1, 2, 3,b3 = 0,(iv) 夏天時為k歲, 在 當年秋天每一個個體平均生產ak個下一代。
若xk(n) 為在第n 年夏天年紀為k歲的個數, 由 (i)∼(iv) 可得到以下的等式。
x0(n + 1) = a0x0(n) + a1x1(n) + a2x2(n) +a3x3(n)
x1(n + 1) = b0x0(n) x2(n + 1) = b1x1(n) x3(n + 1) = b2x2(n)
我們可將上列等式以向量與矩陣來表示
X(n + 1) =~
x0(n + 1) x1(n + 1) x2(n + 1) x3(n + 1)
=
a0 a1 a2 a3 b0 0 0 0
0 b1 0 0 0 0 b2 0
x0(n) x1(n) x2(n) x3(n)
= A ~X(n),
其中
A=
a0 a1 a2 a3 b0 0 0 0
0 b1 0 0 0 0 b2 0
。
如果這些ak 及 bk 均為常數, 也就是說 每年的存活率及平均生產個數都相同, 那麼 X(n) = A ~~ X(n − 1) = A2X(n − 2) = · · ·~
1
2
數學傳播 十六卷四期 民81
年12
月= AnX~(0)。
在此我們只考慮最開始的情況 ~X(0)是固定 的。 不難看出當n很大時,k ~X(n)k 的增減情 形是由矩陣A的固有值的絕對值的大小來決 定。 當矩陣A有一個絕對值大於 1 的固有值 時, k ~X(n)k 將會隨時間的增長而呈指數成 長。 反之, 當矩陣A的所有固有值的絕對值都 小於 1 時, 則呈指數遞減。
如果這些ak及bk 每年都會改變, 而出 現的方式又是根據某個機率分佈, 那麼矩陣 A會隨年份的不同而隨機出現。 這些矩陣就 是我們所稱的隨機矩陣。 向量 ~X(n) 的表示 式這時應修改為
X(n) = A~ n· An−1· · · A1X(0)。~ 這時我們便遇到一個隨機矩陣乘積的問題。
例2:設f 為由Rd到Rd的 (非線性) 平滑 函數, f ( ~X) = (f1( ~X), f2( ~X), . . . , fd( ~X))。
考慮下列序列 X~(0),
X(1) = f ( ~~ X(0)),
X~(2) = f ( ~X(1)) = f2( ~X(0)), ...
X(n) = f~ n( ~X(0)), · · · 。
如果 ~X(0) 是一個固定的向量, 那麼 { ~X(n)}
便是一個固定的向量序列。 如果 ~X(0)是個隨 機向量, 則{ ~X(n)} 是一串隨機向量, 也就是 我們常稱的隨機過程。 在此我們考慮函數f 自
始至終都是固定的。 現在我們關心的問題是 該過程對初始條件 ~X(0) 的敏感程度如何, 也就是說當 ~X(0) 有很小的變動時, 整個過 程是否曾受到很大的影響。
先回想平滑函數的 Jacobian 矩陣的定 義。
kf ( ~X+ ~h) − f ( ~X) − Af( ~X)~hk = o(k~hk), 當~h → ~0,
其中矩陣Af( ~X) 的i−j元素為 ∂fi
∂xj( ~X)。 因 此當 ~h 很小時,
fn( ~X(0)+~h) ≈ fn( ~X(0))+Afn( ~X(0))~h。
可見當~h 很小時,fn( ~X(0)+~h) 與 fn( ~X(0)) 的差矩最主要是由矩陣Afn( ~X(0)) 來決定。
由鏈鎖法則
Ag·f( ~X) = Ag(f ( ~X)) · Af( ~X)。
可得
Afn( ~X(0))
= Af(fn−1(X(0))) · Af(fn−2( ~X(0)) · · · Af(f ( ~X(0)) · Af( ~X(0)))
= Af( ~X(n − 1)) · Af( ~X(n − 2)) · · · Af( ~X(1)) · Af( ~X(0))。
令An = Af( ~X(n))。 因為 ~X(0) 是隨機的, 所以{An} 是一串隨機矩陣。 而
kfn( ~X(0) + ~h) − fn( ~X(0))k
≈ kAn−1· An−2· · · A0~hk。
可見整個過程對初始條件 ~X(0) 的敏感程度 決定於隨機矩陣 A0, A1, A2,· · · 的乘積。
隨機矩陣的乘積
3
(二)Lyapunov 指數與 Os- eledec 定理
從 1950 年代起已有許多數學家投入隨 機矩陣乘積的研究。 在 1960 年,H. Fursten- berg 與 H. Kesten 證明以下的結果。
定理1: 設{An}為獨立的隨機矩陣, 那 麼對任一與{An}無關的非零向量 ~X(0) ∈ Rd,
n→∞lim 1
nlog kAn· · · A1X(0)k = r~ 的機率為 1,r 為一個固定常數。
定理 1 中的r 被稱為 Lyapunov 指數。
上述定理最主要是告訴我們, 當n很大時, 絕 大多數的kAn· · · A1X~(0)k 都近似於 ern。 因此,r > 0 表示kAn· · · A1X~(0)k 將呈指 數成長, 而r < 0 時則呈指數遞減。 在 1963 年 H. Furstenberg 證明行列式為1的 2 × 2 隨機矩陣乘積的 Lyapunov 指數r 恆為大於 零的實數。
上述的結果都是在 ~X(0) 給定之後才考 慮 kAn· · · A1X~(0)k。 因此 ~X(0) 是 與{An} 無關的。 但是如果 ~X(0) 與 {An} 有關, 則可能出現不同的結果。 在 1968年 V.
I. Oseledec 發表了他對這種情形的研究結 果, 他的結論是
定理2: 對於d × d 的隨機矩陣乘積, 存 在常數 r1 > r2 > · · · > rk,1 ≤ k ≤ d, 且存在Rd 的隨機子向量空間 S1 ⊃ S2 ⊃
· · · ⊃ Sk, 使得若 ~X(0) ∈ Si 則
n→∞lim 1
nlog kAn· · · A1X~(0)k ≤ ri
且若 ~X(0) ∈ Si \ Si+1, 則 lim
n→∞
1 n log kAn· · · A1X(0)k = r~ i, 其中 i = 1, 2, . . . , k,Sk+1 = {~0}。
在此我們所稱的隨機子向量空間是指會 隨 {An} 而變動的子向量空間。 Oseledec 的 定理告訴我們, 針對一串特別的{An}, 我們 可以找到Rd的一組子向量空間, 使得在不同 方向的初始條件 ~X(0),kAn· · · A1X~(0)k 會 有不同的成長 (或遞減) 速率, 下面的例子可 以幫助我們瞭解以上的敘述。
例3: 假設有一個人的財產每年會加倍, 也就是說如果今年財產是正的, 明年會更富 有, 如果今年的財產是負的 (欠錢), 明年會 欠更多。 但是每年可能有一些意外增減 (意外 之財或意外損失)。 如果Un 代表第n 年的財 產,bn 表第n 年的意外增減, 我們將有下列等 式
un+1 = 2un− bn+1。 解上列差分方程而得
un= 2nu0−
n
X
i=1
2n−ibi = 2n(u0−
n
X
i=1
2−ibi)。
因為是意外的增減, 我們可假設bn是隨機的。
針對一組特殊的{bn}, 如果最開始的財產不 等於
∞
P
i=12−ibi (在此假設對任意i,|bi| ≤ M) , 那麼|un| 將會呈指數成長, 即|un| ≈ 2n = en log 2。
如果我們將差分方程改寫成向量與矩陣 的形式
un+1 1
!
= 2 −bn+1
0 1
!
un 1!
。
4
數學傳播 十六卷四期 民81
年12
月令
X~(n) = un 1
!
,An= 2 −bn+1
0 1
!
, 則 ~X(n) = An−1 · · · A0X~(0)。 我們可將 Ai−1 · · · A0 的乘積算出
An−1· · · A0 = 2n −2nan
0 1
!
,
其中an =
P
ni=12−ibi。 不難看出 Lyapunov 指數 r1 = log 2,r2 = 0。 令 a∞=
∞
P
i=12−ibi, 則當 ~X(0) = a∞
1
!
時
X(n) = A~ n−1· · · A0X(0)~
= 2n −2nan
0 1
!
a∞1
!
= 2n(a∞− an) 1
!
。
但是 |a∞ − an| = |
∞
P
i=n+12−ibi| ≤ 2−nM 。 因此不論n多大,k ~X(u)k 都是有界 的。 由 a∞
1
!
所展的向量空間即 Oseledec 定理中的S2。 如果 ~X(0) 不與 a∞
1
!
同方向, 不難算出 k ~X(u)k ≈ 2n, 即定理中的S1為整 個平面 R2。
所以, 如果我們知道所有的bi, 且選擇初 始條件 ~X(0) = a∞
1
!
, Oseledec 定理告 訴我們 k ~X(u)k 將不呈指數成長。 而其它的
選擇, 刻意不選 a∞
1
!
或隨意亂選, 都將得到 k ~X(n)k ≈ en log 2的結果。
(三) 結語
由於隨機矩陣乘積的應用很廣, 其本身 又是個很有趣的數學問題, 四十年來已有很 多數學家投入研究的行列, 也已得到許多結 果。 但是還有很多問題尚未有圓滿的答案。 例 如, 除了少數極特殊的情形外,Lyapunov 指 數是無法很完整的表示出來的。 在 [3]中, 有 許多未解決的問題被提出。 在 [2]中, 對隨機 矩陣的乘積有極詳細的介紹。 有興趣的讀者 可參閱這兩本書。
