乘乘積積 11 22 44 機機率率

高雄市明誠㆗㈻ 高㆓數㈻平時測驗 ㈰期：92.06.02 範 班級

圍 3-3 期望值+Ans

座號

姓

㈴

㆒. 單㆒選擇題 (每題 8 分)

1、( C ) 一次丟二粒公正的骰子，其點數和的期望值為 (Ａ) 3 7

(Ｂ) 2 7

(Ｃ)7 (Ｄ) 4 49

(Ｅ)21 解析解析：：

2 ) 7 6 5 4 3 2 1 6 (

1× + + + + + =

，， 2 7 2

7× =

2、( C ) 二枚公正的銅板分別在其正面貼上“2”，反面貼上“1”，投擲此二枚公正的銅 板一次，則兩銅板上數字乘積的期望值為 (Ａ) 2

3

(Ｂ) 4 7

(Ｃ) 4 9

(Ｄ)3 (Ｅ)6 解析解析：：

乘乘 積 積1 1 2 2 4 4 機率機率

4 1

2 1

4 1

4 9 4 4 1 2 2 1 4

1×1+ × + × = 或或..

2 3 2 3 4 9 = ×

3、( C ) 擲三個公正的銅板，共出現 K 個正面，約定獎金如下：當 K 為奇數時可得 K²元，

當K = 0 時要賠 6 元，當 K = 2 時要賠 a 元，若希望此遊戲之期望值為 0 元，則a= (Ａ)–2 (Ｂ)0 (Ｃ)2 (Ｄ)4 (Ｅ)6

解析解析：：

K K 0 0 1 1 2 2 3 3 機率機率

8 1

8 3

8 3

8 1

8 0 ) 3 8 (

) 1 6 8 ( 3 1 8

1²×3+ ²× + − × + −a × = ∴∴a=2

4、( D ) 一袋中有 100 元鈔票 5 張，500 元鈔票 3 張，1000 元鈔票 2 張，每張大小均相同，

自其中任取兩張，其數學期望值為 (Ａ)160 (Ｂ)320 (Ｃ)400 (Ｄ)800 (Ｅ) 3 3200 元

解析解析：：取取一一張張，， 400 10 1000 2 10

500 3 10

5 + × + × =

×

100 440000 ×× 22 == 880000

5、( B ) 一袋中有 1 元鈔票 5 張，5 元鈔票 7 張，10 元鈔票 6 張，20 元鈔票 2 張，每張被取 到的機會相同，自其中任取乙張，其數學期望值為 (Ａ)5 (Ｂ)7 (Ｃ)9 (Ｄ)35 (Ｅ)

9 35 元

解析解析：： 20 7

20 10 2 20 5 6 20 1 7 20

5 × + × + × + × =

6、( A ) 袋中有大小相同的 1 到 4 號球各一個，一次由袋中取二球，其球號乘積的期望值為 (Ａ) 6

35

(Ｂ) 2 5

(Ｃ) 2 13

(Ｄ) 4 25

(Ｅ)5

解析解析：：

6 ) 35 12 8 6 4 3 2 6 (

1× + + + + + = 二. 填充題 (每題 ０ 分)

1、一次擲出 3 粒公正的骰子，則點數和的期望值為_______。

答 答案案：：

2 21

解析解析：：

2 3 21 2 7× =

2、擲一公正骰子 3 次，則出現 2 點之次數的期望值為_______。

答 答案案：：

2 1 解析解析：：

次數次數 11 22 33 00

機率機率 ₁³ )² 6 )(5 6 (1

C )

6 (5 6) (1 ²

3

C2 ₃³ )³ 6 (1

C 216

125

2 ) 1 6 (1 3 6) (5 6) (1 2 6) )(5 6 (1

1×C₁^{3 2} + ×C₂^{3 2} + × ³ = 另

另解解：：

2 1 6 3×1 =

3、A、B 兩箱中分別放入 5000 元，A 箱中放入 2 張 1000 元、6 張 500 元，B 箱中放入 1 張 1000 元，4 張 500 元，20 張 100 元，在A 箱中任取 1 張的期望值為 K1元，在B 箱中任 取3 張其金額總和的期望值為K2元，則K₂ =_______，又K1，K2之大小關係為_______。

答案答案：：660000,, K₁ >K₂

解析解析：： 625

8 5000 8

500 6 8 1000 2

1 = × + × = =

K

600 25)

100 20 25 500 4 25 1000 1 (

2 =3× × + × + × =

K K₁ >K₂

4、一袋中有大小相同的 8 個代幣，其中 5 個為 6 元代幣，而其他 3 個為 K 元代幣，若由袋中 一次取出2 個代幣之期望值為 15 元，則K =_______。

答

答案案：：1100 解

解析析：：取取一一個個代代幣幣之之期期望望值值為為

8 3 30 8 3 8

6 5 K

K +

=

× +

× ,, 2 15

8 3

30+ K× =

∴

∴K =10

5、在測驗中，欲使完全不會隨意瞎猜的考生得分的期望值為 0，因此採用答錯倒扣之計分 方式，(1)是非題答對得 4 分，答錯應倒扣_______分，(2)單一選擇題，題中有 5 個選項，

其中只有1 個是正確的選項，若答對得 5 分，答錯應倒扣_______分。

答案答案：：44,, 4 5

解

解析析：：((11))是是非非題題倒倒扣扣KK分，分， ( ) 0 2

4 1 2

1× + × −K = ∴∴K =4

(2(2))單單一一選選擇擇題題倒倒扣扣KK分，分， ( ) 0 5

5 4 5

1× + × −K = ∴∴ 4

= 5 K

去資料顯示，住宅房屋發生火災的機率為0.0015，則保險公司的利潤期望值為_______

元。

答案答案：：550000

解析解析：：1000000×0.0015=1500,, 2000−1500=500

7、投擲四粒公正的骰子，若出現四粒骰子點數相同時，可得獎金 2160 元，若出現四粒骰子 點數相連時，可得獎金648 元，若出現兩種點數各兩粒時，可得獎金 216 元，則其獎金 的期望值為_______元，又發生兩種點數各兩粒之機率為_______。

答案答案：：6611,, 72

5 解析解析：：

骰子骰子 四四同同 四四粒粒相相連連 兩兩兩兩相相同同

機率機率 ₄ 6

6

64

! 4 3×

4 6 2

6

! 2

! 2

!

× 4 C

216 61 216 15 216 648 12 216

2160× 1 + × + × = ,,

72 5 6

! 2

! 2

! 4

4 6

4 × =

C

8、一次擲出 6 粒公正的骰子，若出現點數為五同一異時，可得 6⁶元，其餘不給錢，則其數 學期望值為_______元。

答案答案：：118800

解

解析析：： 6 180 6

! 5

! 6

6 6

5 1 6

1C × × =

C

（

（元元））

9、某次測驗考複選題，每題有五個選項，其中正確選項不止一個（即至少有二個正確選項），

若完全答對可得5 分，否則倒扣 K 分，欲使完全不會隨意瞎猜的考生得分的期望值為 0，

則K _______，又正確選項恰有三個的機率為_______。 = 答案答案：：

5 1,,

13 5 解

解析析：：已已知知至至少少有有22個正個正確確選選項項之之情情形形有有C₂⁵ +C₃⁵ +C₄⁵ +C₅⁵ =26 故猜故猜對對機機率率

26

1 ，猜，猜錯錯機機率率 26

25，， 0

26 ) 25 26 (

5× 1 + −K × = ∴∴ 5

=1 K 正

正確確選選項項恰恰有有33個的個的機機率率為為

13 5 26 10 26

5

3 = =

C

10、將 4 個球任意分配到 3 個箱子中，則均無空箱之機率為_______，又對空箱個數的數學期 望值為_______。

答案答案：： 9 4, ,

27 16

解析解析：：4=(2,1,1), ,

9 4 3

! 2

! 3

4 1 1 2 1 4

2C C × =

C

空箱空箱數數 2 2 1 1 00 機率機率 ¹³ ₄ ⁴

3

×1 C

4 4 3 1

3 ) 2 2 ( − C

9 4

27 16 27 1 14 27

2× 1 + × =

11、一袋中藏有 3 個紅球，7 個白球。今從袋中每取一球，取後即放回，連取三次，則取得 的紅球數之期望值為_______，若改為從袋中一次任取二球，則取得的紅球數之期望值為 _______。

答 答案案：：

10 9 , ,

5 3

解析解析：：取取11球之球之期期望望值值為為 10

3 ，，

10 3 9 10

3 × =

5 1 3 2 ₁₀

2 7 1 3 1 10

2 3

2 × + × =

C C C C

C ，，即即

5 2 3 10

3 × =

12、投擲三枚公正的硬幣，若出現三枚同一面時，可獲得 10 元，若出現二正面一反面時，可 獲得2 元，若出現二反面一正面時，要賠 6 元，則其報酬的期望值為_______元。

答案答案：：11

解析解析：： 1

8 ) 3 6 8 ( 2 3 4

1+ × + − × =

× 10

三. 計算與證明題 (每題 ０ 分)

1、甲乙二人進行乒乓球比賽，已知二人技能相當，且比賽均不得有和局，約定先勝三場者可 獲得獎金640 元，今比賽了一場，甲得勝，但卻因故停止比賽，並決定不再比賽，則獎 金依獲勝機率分配，甲應得多少元？乙應得多少元？

答案答案：： 甲甲







甲 乙乙甲

甲 乙甲 甲甲

甲甲勝勝之之機機率率

64 ) 35 2 (1

! 2

! 3 2 ) 1 2 (1 2 2 ) 1 2

(1 ² + × × ² + × × ³ =

甲得甲得 350 64

640×35 = 元，元，乙乙得得229900元 元

2、根據過去資料顯示，一個 60 歲的人在一年內死亡的機率為 0.08%，生病住院之機率為 6%，

佳怡60 歲投保 100 萬元之人壽保險 1 年期，於保險期間若死亡，則保險公司給付 100 萬 元，若生病住院，則給付1 萬元，今保險公司欲得利潤之期望值為 600 元，則應收保費 多少元？

答 答案案：：

保險保險公公司司支支出出 101000萬萬元元 11萬萬元元 機率機率 0.0.0088% % 6%6%

1400 600

800

% 6 10000

% 08 . 0

1000000× + × = + = ,, 1400+600=2000

3、一袋中有 1 號球n 個，2 號球(n–1)個，3 號球(n–2)個，……，n 號球 1 個，今自袋中任取 一球，若取得r 號球，就可得 r 元，試求其數學期望值。

) 1 (n+ ×n

2 ) 1 (

1 2

) 1 (

) 2 3 (

2 ) 1 (

) 1 2 (

2 ) 1 1 (

× + + + +

× − + +

× − + +

× n n n

n n

n n

n n n

n

n "

] 1 )

2 ( 3 ) 1 ( 2 1 )[ 1 (

2 × + × − + × − + + ×

= + n n n n

n

n "

3 2 3

1 ) 2

1 (

6 ] ) 1 2 )(

1 ( 2

) 1 ) (

1 )[(

1 ( )] 2 1 ( ) [

1 (

2

1

= +

− + +

=

+

− +

× + + +

=

− +

∑ + ×

= =

n n n

n n

n n

n n n

K n n

n K n

n K

4、一袋中有 1 號球 1 個，2 號球 2 個，3 號球 3 個，……，n 號球 n 個，今自袋中任取一球，

若取得r 號球，就可得 r²元，試求其數學期望值。

答

答案案：：球球的的總總個個數數為為11 ++ 22 ++ 33 ++……++ nn == ( 1) 2

1n n+ 所求所求期期望望值值為為

3 2 1 1

[12 ( 1)] 1 ( 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 2

2 2 2

n

n r

r

r n n

r r n

n n n n n n

=

=

∑ +

∑ ⋅ = = = +

+ + + n )

11、一袋中有 1 號球 1 個，2 號球 2 個，3 號球 3 個，……，n 號球 n 個。今自袋中任取一球，

若取得r 號球，就可得 r 元，試求其數學期望值。

答案答案：：球球的的總總個個數數為為11 ++ 22 ++ 33 ++……++ == ( 1) 2

1n n+ 所求所求期期望望值值為為

2 1 1

1 ( 1)(2 1) 2 1 1 ( 1) 1 ( 1) 6 1 ( 1) 3

2 2 2

n

n r

r

n n n

r r n

r

n n n n n n

=

=

+ +

∑ +

∑ ⋅ = = =

+ + +